高考数学统考一轮复习第4章三角函数解三角形第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式学案

　同角三角函数的基本关系与诱导公式

[考试要求]　1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2 α＋cos2 α＝1，＝tan α.

2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．

1．同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；

(2)商数关系：tan α＝.

提醒：平方关系对任意角α都成立，而商数关系中α≠kπ＋，k∈Z.

2．诱导公式

同角三角函数的基本关系式的几种变形

(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；

cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)．

(2)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.

(3)sin α＝tan αcos α.

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1. (　　)

(2)若α∈R，则tan α＝恒成立． (　　)

(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角． (　　)

(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝. (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

二、教材习题衍生

1．化简sin 690°的值是(　　)

A．　　 　B．－　 　　C．　　 　D．－

B　[sin 690°＝sin(720°－30°)＝－sin 30°＝－.选B．]

2．若sin α＝，＜α＜π，则tan α＝        .

－　[∵＜α＜π，∴cos α＝－＝－，

∴tan α＝＝－.]

3．已知tan α＝2，则的值为        ．

3　[原式＝＝＝3.]

4．化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为        ．

－sin2α　[原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α.]

考点一　同角三角函数基本关系式的应用     

　“知一求二”问题

1．若α∈，sin(π－α)＝，则tan α＝(　　)

A．－    B．    C．－    D．

C　[因为α∈，sin α＝，所以cos α＝－，所以tan α＝－，故选C．]

2．已知tan α＝2，π＜α＜，则sin α＋cos α＝(　　)

A．－    B．－    C．－    D．

A　[由tan α＝＝2，得sin α＝2cos α.

代入sin2α＋cos2α＝1得cos2α＝.

又π＜α＜，∴cos α＝－，sin α＝tan αcos α＝－，

∴sin α＋cos α＝－，故选A．]

3．已知α∈，tan α＝cos α，则sin α＝(　　)

A．    B．    C．    D．

C　[由tan α＝＝cos α，得cos2α＝，

代入sin2α＋cos2α＝1得sin2α＋＝1，

即sin2α＋sin α－＝0.

解得sin α＝，故选C．]

　已知tan α求sin α，cos α齐次式的值

　若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，对于分母为1的二次式，可用sin2α＋cos2α做分母求解．

[典例1－1]　(1)已知＝5，则cos2α＋sin 2α的值是(　　)

A．    B．－    C．－3    D．3

(2)已知α∈，sin α＋cos α＝，则tan α＝(　　)

A．－   B．－或－

C．   D．或－

(1)A　(2)A　[(1)由＝5得＝5，可得tan α＝2，则cos2α＋sin 2α＝cos2α＋sin αcos α＝＝＝.故选A．

(2)由sin α＋cos α＝，得1＋2sin αcos α＝，

即2sin αcos α＝－.

又2sin αcos α＝＝＝－，

∴12tan2α＋25tan α＋12＝0，

解得tan α＝－或tan α＝－.

又∵α∈，∴tan α∈(－1,1)，

∴tan α＝－，故选A．]

点评：解题中要注意sin2α＋cos2α＝1的应用．

　sin α±cos α与sin αcos α关系的应用

　对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二，若令sin α＋cos α＝t(t∈[－，])，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．

[典例1－2]　已知x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝.

(1)求sin x－cos x的值；

(2)求的值．

[解]　(1)由sin x＋cos x＝，

平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，

整理得2sin xcos x＝－.

∴(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝.

由x∈(－π，0)，知sin x＜0，

又sin x＋cos x＞0，

∴cos x＞0，则sin x－cos x＜0，

故sin x－cos x＝－.

(2)＝

＝

＝＝－.

点评：利用sin αcos α＞0(sin αcos α＜0)可知sin α，cos α同号还是异号，再结合角α的范围或sin α±cos α的正负，可进一步确定sin α，cos α的正负．

1．若|sin θ|＋|cos θ|＝，则sin4θ＋cos4θ＝(　　)

A．    B．    C．    D．

B　[因为|sin θ|＋|cos θ|＝，两边平方，得1＋|sin 2θ|＝，所以|sin 2θ|＝，所以sin4θ＋cos4θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝.故选B．]

2．已知＝－1，则

(1)＝        ；

(2)sin2α＋sin αcos α＋2＝        .

(1)－　(2)　[由＝－1得tan α＝.

(1)＝＝－.

(2)sin2α＋sin αcos α＋2＝＝＝＝.]

3．已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x的方程2x2＋(－1)x＋m＝0(m∈R)的两根，则m＝        ，sin θ－cos θ＝        .

－　　[因为sin θ，cos θ是方程2x2＋(－1)x＋m＝0(m∈R)的两根，所以sin θ＋cos θ＝，sin θ·cos θ＝，可得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝1＋m＝，解得m＝－.因为θ为第二象限角，所以sin θ＞0，cos θ＜0，即sin θ－cos θ＞0，因为(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1－m＝1＋，所以sin θ－cos θ＝＝.]

考点二　诱导公式的应用                     

[典例 2]　(1)设f (α)＝

(1＋2sin α≠0)，则f ＝        .

(2)已知cos＝a，则cos＋sin的值是        ．

(1)　(2)0　[(1)因为f (α)＝＝＝＝，所以f ＝＝＝＝.

(2)因为cos＝cos＝－cos＝－a，sin＝sin＝cos＝a，所以cos＋sin＝0.]

点评：在使用诱导公式时，若不是诱导公式的标准形式，如：sin，cos(－π－α)等，先化为标准形式，再用诱导公式化简．

1．若sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，

则＝(　　)

A．    B．    C．    D．

B　[∵方程5x2－7x－6＝0的两根分别为x1＝2和x2＝－，∴sin α＝－.

则

＝＝＝－＝，故选B．]

2．计算：sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)sin(－1 050°)＋tan 945°＝        .

2　[原式＝－sin 120°cos 210°＋cos 60°sin 30°＋tan 225°＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°＝＋＋1＝2.]

3．已知sin＝，则cos＝        .

－　[由题意知，cos＝cos＝－sin＝－.]

考点三　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用

　求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求

[典例3]　已知f (x)＝(n∈Z)．

(1)化简f (x)的表达式；

(2)求f ＋f 的值．

[解]　(1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，

f (x)＝

＝＝＝sin2x；

当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，

f (x)＝

＝

＝＝

＝sin2x，

综上得f (x)＝sin2x.

(2)由(1)得f ＋f

＝sin2＋sin2

＝sin2＋sin2

＝sin2＋cos2＝1.

1．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是(　　)

A．    B．    C．    D．

C　[由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0.

tan α－6sin β－1＝0，

解得tan α＝3，

又α为锐角，故sin α＝.]

2．已知sin α＋cos α＝－，且＜α＜π，则＋的值为        ．

　[由sin α＋cos α＝－，两边平方得

sin αcos α＝－，

∵＜α＜π，

∴sin α－cos α＝＝，

∴＋＝－＝＝＝.]