人教版高考数学一轮复习第11章计数原理概率随机变量及其分布第7节n次独立重复试验与二项分布学案理含解析

第七节　n次独立重复试验与二项分布

‖知识梳理‖

1．条件概率

2.事件的相互独立性

(1)定义：设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．

(2)性质

①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．

②如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立．

3．独立重复试验与二项分布

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(　　)

(2)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率，一定有P(AB)＝P(A)·P(B)．(　　)

(3)相互独立事件就是互斥事件．(　　)

(4)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√

二、走进教材

2．(选修2－3P55T3改编)根据天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为(　　)

A．0.2 B．0.3

C．0.38 D．0.56

答案：C

3．(选修2－3P54T2改编)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为(　　)

A． B．

C． D．

答案：B

三、易错自纠

4．两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为和，两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为(　　)

A． B．

C． D．

解析：选B　因为两人加工成一等品的概率分别为和，且相互独立，所以两个零件中恰好有一个一等品的概率P＝×＋×＝.

5．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于(　　)

A． B．

C． D．

解析：选B　P(A)＝＝，P(AB)＝＝，P(B|A)＝＝.

|题组突破|

1．(2019届石家庄一模)袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球，现从中不放回地摸取2个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为(　　)

A． B．

C． D．

解析：选B　设“第二次摸到红球”为事件A，“第一次摸到红球”为事件B，∵P(A)＝＝，P(AB)＝＝，∴P(B|A)＝＝，∴在第二次摸到红球的条件下，第一次摸到红球的概率为，故选B．

2．(2019届广东汕头模拟)如图所示，半径为1的圆O是正方形MNPQ的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ内，用A表示事件“豆子落在圆O内”，B表示事件“豆子落在扇形OEF(阴影部分)内”，则P(B|A)＝(　　)

A． B．

C． D．

解析：选B　由已知得P(A)＝＝，P(AB)＝＝，∴P(B|A)＝＝＝，故选B．

3．(2019届江西南昌模拟)口袋中装有大小形状完全相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为________．

解析：设事件A表示“第一次取得红球”，事件B表示“第二次取得白球”，则P(A)＝＝，P(AB)＝×＝，∴第一次取得红球后，第二次取得白球的概率为P(B|A)＝＝＝.

答案：

►名师点津

条件概率的3种求法

【例1】　某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．

[解析]　依题意，该选手第2个问题回答错误，第3，4个问题均回答正确，第1个问题回答正误均有可能，则所求概率P＝1×0.2×0.82＝0.128.

[答案]　0.128

|变式探究|

1．(变问题)保持本例条件不变，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为________．

解析：依题意，该选手第3个问题的回答是错误的，第4，5个问题均回答正确，第1，2个问题回答均错误或有且只有1个错误，则所求概率P＝0.23×0.82＋2×0.2×0.8×0.2×0.82＝0.005 12＋0.040 96＝0.046 08.

答案：0.046 08

2．(变问题)保持本例条件不变，则该选手回答了5个问题(5个问题必须全部回答)就结束的概率为________．

解析：依题意，设答对的事件为A，则可分为第3个回答正确与错误两类．若第3个回答正确，则有AAAA或 AA两类情况，其概率为0.8×0.2×0.8×0.2＋0.2×0.2×0.8×0.2＝0.025 6＋0.006 4＝0.032；若该选手第3个问题的回答是错误的，则第1，2个问题回答均错误或有且只有1个错误，则所求概率P＝0.23＋2×0.2×0.8×0.2＝0.008＋0.064＝0.072.所以所求概率为0.032＋0.072＝0.104.

答案：0.104

►名师点津

利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路

(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和．

(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．

(3)代入概率的积公式求解．

|跟踪训练|

1．(2019年全国卷Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场排队依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．

解析：由题意可知七场四胜制且甲队以4∶1获胜，则共比赛了5场，且第5场甲胜，前4场中甲胜3场．第一类：若第1场、第2场中甲胜1场，第3场、第4场甲胜，则P1＝C×0.6×0.4×0.52＝2×××＝；第二类：若第1场、第2场甲胜，第3场、第4场中甲胜1场，则P2＝0.62×C×0.5×0.5＝×2×＝.所以甲队以4∶1获胜的概率为P＝×0.6＝0.18.

答案：0.18

【例2】　九节虾的真身是虎斑虾，虾身上有一深一浅的横向纹路，煮熟后有明显的九节白色花纹，肉味鲜美．某酒店购进一批九节虾，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示：

(1)若购进这批九节虾35 000 g，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数)；

(2)以频率估计概率，若在本次购买的九节虾中随机挑选4只，记质量在[5，25)间的九节虾的数量为X，求X的分布列．

[解]　(1)由表中数据，可以估计每只九节虾的质量为

×(4×10＋12×20＋11×30＋8×40＋5×50)＝29.5(g)．

因为35 000÷29.5≈1 186(只)，

所以这批九节虾的数量约为1 186只．

(2)由表中数据知，任意挑选1只九节虾，质量在[5，25)间的概率P＝＝，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，

则P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝C××＝，

P(X＝2)＝C××＝，

P(X＝3)＝C××＝，

P(X＝4)＝＝.

所以X的分布列为

►名师点津

独立重复试验与二项分布问题的类型及解题策略

(1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．

(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率．

|跟踪训练|

2．挑选飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要过五关：目测、初检、复检、文考(文化考试)、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学能通过复检关的概率分别是0.5，0.6，0.75，能通过文考关的概率分别是0.6，0.5，0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响．

(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率；

(2)设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数X的分布列．

解：(1)设A，B，C分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，则所求概率P＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.5×(1－0.6)×(1－0.75)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.75)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.75＝0.275.

(2)甲被录取的概率P甲＝0.5×0.6＝0.3，

同理P乙＝0.6×0.5＝0.3，P丙＝0.75×0.4＝0.3.

∴甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为0.3，故可看成是独立重复试验，即X～B(3，0.3)，X的可能取值为0，1，2，3，其中P(X＝k)＝C(0.3)k·(1－0.3)3－k，k＝0，1，2，3.

故P(X＝0)＝C×0.30×(1－0.3)3＝0.343，

P(X＝1)＝C×0.3×(1－0.3)2＝0.441，

P(X＝2)＝C×0.32×(1－0.3)＝0.189，

P(X＝3)＝C×0.33＝0.027.

故X的分布列为

【例】　从某市的高一学生中随机抽取400名同学的体重进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60 kg的概率；

(2)假设该市高一学生的体重X服从正态分布N(57，σ2)．

①利用(1)的结论估计该高一某个学生体重介于55～57 kg之间的概率；

②从该市高一学生中随机抽取3人，记体重介于54～57 kg之间的人数为Y，利用(1)的结论，求Y的分布列．

[解]　(1)这400名学生中，体重超过60 kg的频率为(0.04＋0.01)×5＝，由此估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60 kg的概率为.

(2)①∵X～N(57，σ2)，

由(1)知P(X>60)＝，

∴P(X<54)＝.

∴P(54<X<60)＝1－2×＝.

∴P(54<X<57)＝×＝，即高一某个学生体重介于54～57 kg之间的概率为.

②∵该市高一学生总体很大，∴从该市高一学生中随机抽取3人，可以视为独立重复试验．

其中体重介于54～57 kg之间的人数Y～B，

P(Y＝i)＝C，i＝0，1，2，3.

∴Y的分布列为

►名师点津

求解与二项分布与统计知识交汇问题的关键在于分析条件，确立事件类型．

|跟踪训练|

一个盒子中装有大量形状、大小一样但质量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的质量(单位：克)，质量分组区间为[5，15)，[15，25)，[25，35)，[35，45]，由此得到如图所示的样本的质量频率分布直方图．

(1)求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球质量的众数与平均数；

(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中质量在[5，15)内的小球个数为X，求X的分布列和期望．(以直方图中的频率作为概率)

解：(1)由题意，得(0.02＋0.032＋a＋0.018)×10＝1，解得a＝0.03.由频率分布直方图可估计盒子中小球质量的众数为20克，50个样本中小球质量的平均数为x＝0.2×10＋0.32×20＋0.3×30＋0.18×40＝24.6(克)．

故由样本估计总体，可估计盒子中小球质量的众数为20克，平均数为24.6克．

(2)由题意知，该盒子中小球质量在[5，15)内的概率为，则X～B.

X的可能取值为0，1，2，3，

则P(X＝0)＝C×＝，

P(X＝1)＝C×＝，

P(X＝2)＝C×＝，

P(X＝3)＝C×＝.

∴X的分布列为

∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.