人教版高考数学一轮复习第11章计数原理概率随机变量及其分布第5节古典概型与几何概型学案理含解析54

第五节　古典概型与几何概型

‖知识梳理‖

1．基本事件的特点

(1)任何两个基本事件是互斥的．

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．

2．古典概型

(1)

(2)概率计算公式

P(A)＝．

3．几何概型

(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．

(2)特点：①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；

②等可能性：每个结果的发生具有等可能性．

(3)公式

P(A)＝．

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”这三个事件是等可能事件．(　　)

(2)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，所有的基本事件构成集合I，则事件A的概率为.(　　)

(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(　　)

(4)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有限．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

二、走进教材

2．(必修3P133A1改编)袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球抽到白球的概率为(　　)

A． B．

C． D．非以上答案

答案：A

3．(必修3P140练习1改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(　　)

答案：A

4．(必修3P134B1改编)某人有4把钥匙，其中2把能打开门．现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是________．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是________．

答案：　

5．(必修3P146B4改编)如图，正方形ABCD的边长为2，向正方形内随机投掷200个点，有30个点落入图形M中，则图形M的面积的估计值为________．

答案：0.6

三、易错自纠

6．已知四边形ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为(　　)

A． B．1－

C． D．1－

解析：选B　如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比，即所求概率P＝＝＝1－.

7．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．若从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．

解析：P＝1－＝1－＝.

答案：

【例1】　(1)(2019年全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是(　　)

A． B．

C． D．

[解析]　由6个爻组成的重卦种数为26＝64，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的种数为C＝＝20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P＝＝.故选A．

[答案]　A

(2)(2019届吉林梅河口校级期末)一个袋中装有4个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.

①从袋中随机抽取2个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；

②先从袋中随机取一个球，将该球的编号记为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，将该球的编号记为n，求n<m＋2的概率．

[解]　①从袋中随机抽取2个球，共有C＝6(种)情况，它们出现的机会均等，分别为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)．其中取出的2个球的编号之和不大于4的有2种情况，为(1，2)，(1，3)，∴P(取出的2个球的编号之和不大于4)＝＝.

②先从袋中随机取一个球，放回袋中，再取出一个球，共有4×4＝16(种)情况，它们出现的机会均等，其中n<m＋2的基本事件(m，n)共有13个，分别是(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，∴P(n<m＋2)＝.

►名师点津

古典概型概率的求解步骤

(1)求出所有基本事件的个数n.

(2)求出事件A包含的所有基本事件的个数m.

(3)代入公式P(A)＝求解．

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1．在运动会火炬传递活动中，有编号为1，2，3，4，5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬选手的编号相连的概率为(　　)

A． B．

C． D．

解析：选A　从1，2，3，4，5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1，2，3)，(2，3，4)，(3，4，5)，∴选出的火炬手的编号相连的概率为P＝.

2．(2020届四川五校联考)随着新课程改革和高考综合改革的实施，高中教学以发展学生学科核心素养为导向，学习评价更关注学科核心素养的形成和发展．为此，某市于2019年举行第一届高中数学学科素养竞赛，竞赛结束后，为了评估该市高中学生的数学学科素养，从所有参赛学生中随机抽取1 000名学生的成绩(单位：分)作为样本进行估计，将抽取的成绩整理后分成五组，依次记为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，并绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)请补全频率分布直方图，并估计这1 000名学生成绩的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)该市决定对本次竞赛成绩排在前180名的学生给予表彰，授予“数学学科素养优秀标兵”称号，一名学生本次竞赛成绩为79分，请你判断该学生能否被授予“数学学科素养优秀标兵”称号．

解：(1)由题意知，成绩在[60，70)的频率为1－(0.30＋0.15＋0.10＋0.05)＝0.40，补全的频率分布直方图如图：

样本的平均数＝55×0.30＋65×0.40＋75×0.15＋85×0.10＋95×0.05＝67.

(2)因为＝0.18，所以由频率分布直方图可以估计获得“数学学科素养优秀标兵”称号的学生的最低成绩为80－＝78(分)．

因为79＞78，所以该同学能被授予“数学学科素养优秀标兵”称号．

●命题角度一　与长度(角度)有关的几何概型

【例2】　(1)(2019届辽宁省五校联考)若a∈[1，6]，则函数y＝在区间[2，＋∞)上单调递增的概率是(　　)

A． B．

C． D．

(2)如图所示，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为(　　)

A． B．

C． D．

[解析]　(1)∵函数y＝＝x＋在区间(0，)上单调递减，在区间(，＋∞)上单调递增，又1≤a≤6，∴1≤≤.要使函数y＝在区间[2，＋∞)上单调递增，则≤2，解得1≤a≤4，∴P(1≤a≤4)＝＝，故选C．

(2)当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′＝，A′点在A点左右都可取得，由几何概型的概率计算公式得P＝＝.

[答案]　(1)C　(2)C

●命题角度二　与面积有关的几何概型

【例3】　如图，六边形ABCDEF是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则该点恰好在图中阴影部分的概率是(　　)

A． B．

C． D．

[解析]　设正六边形的中心为点O，BD与AC交于点G，BC＝1，则BG＝CG，∠BGC＝120°，在△BCG中，由余弦定理得1＝BG2＋BG2－2BG2cos 120°，解得BG＝，所以S△BCG＝×BG×BG×sin 120°＝×××＝.因为S六边形ABCDEF＝S△BOC×6＝×1×1×sin 60°×6＝，所以该点恰好在图中阴影部分的概率P＝1－＝.

[答案]　C

●命题角度三　与体积有关的几何概型

【例4】　已知在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝2，现在该四棱锥内部或表面任取一点O，则四棱锥O－ABCD的体积不小于的概率为________．

[解析]　当四棱锥O－ABCD的体积为时，设O到平面ABCD的距离为h，则×22×h＝，解得h＝.

如图所示，在四棱锥P－ABCD内作平面EFGH平行于底面ABCD，且平面EFGH与底面ABCD的距离为.

因为PA⊥底面ABCD，且PA＝2，所以＝.

又四棱锥P－ABCD与四棱锥P－EFGH相似，

所以四棱锥O－ABCD的体积不小于的概率P＝＝＝＝.

[答案]　

►名师点津

建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量．

(1)若一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，则只需把这个变量放在数轴上即可；

(2)若一个随机事件需要用两个连续变量来描述，则可用这两个变量组成的有序实数对表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系即可建立与面积有关的几何概型；

(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型．

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3．在区间[0，1]上随机取一个数x，则事件“log0.5(4x－3)≥0”发生的概率为(　　)

A． B．

C． D．

解析：选D　因为log0.5(4x－3)≥0，所以0<4x－3≤1，即<x≤1，所以所求概率P＝＝，故选D．

4．在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1内任取一点P，则点P到正方体各面的距离都不小于1的概率为(　　)

A． B．

C． D．

解析：选A　正方体中到各面的距离都不小于1的点的集合是一个中心与原正方体中心重合，且棱长为1的正方体，该正方体的体积是V1＝13＝1，而原正方体的体积为V＝33＝27，故所求的概率P＝＝.

5.在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是(　　)

A．2－ B．4－

C．－ D．

解析：选B　设圆的半径为r，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S＝24＝4πr2－6r2，圆的面积S′＝πr2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为＝4－，故选B．

【例】　(1)(2019届威海调研)从集合{2，3，4，5}中随机抽取一个数a，从集合{1，3，5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为(　　)

A． B．

C． D．

(2)在边长为4的等边三角形OAB及其内部任取一点P，使得·≤4的概率为(　　)

A． B．

C． D．

[解析]　(1)由题意可知m＝(a，b)有：(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共12种情况．

因为m⊥n，即m·n＝0，

所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，

满足条件的有：(3，3)，(5，5)，共2个，

故所求概率为.

(2)设在上的投影为||，则·＝||·||，若·≤4，则||≤1.取OB的中点M，作MN⊥OA于N，则满足条件的P构成的区域为图中阴影部分，N为OA的四等分点，所以使得·≤4的概率为＝.

[答案]　(1)A　(2)D

►名师点津

解决与古典概型、几何概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数或相应的区域度，然后利用古典概型、几何概型的概率计算公式进行计算．

|跟踪训练|

1．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为(　　)

A． B．

C． D．

解析：选B　建立如图所示的平面直角坐标系，则试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD及其内部．要使函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点，则必须有Δ＝4a2－4(－b2＋π)≥0，即a2＋b2≥π，其表示的区域为图中阴影部分．故所求概率P＝＝＝.

2．(2019届洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．

解析：依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(6，6)，共36种，其中满足直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满足≤，即a2≤b2的数组(a，b)情况如下：

①当a＝1时，b＝1，2，3，4，5，6，共6种；

②当a＝2时，b＝2，3，4，5，6，共5种；

③当a＝3时，b＝3，4，5，6，共4种；

④当a＝4时，b＝4，5，6，共3种；

⑤当a＝5时，b＝5，6，共2种；

⑥当a＝6时，b＝6，共1种．

∴总共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(种)，因此所求的概率为＝.

答案：