2022届海南省高三下学期学业水平诊断（三）数学试题含解析

2022届海南省高三下学期学业水平诊断（三）数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先解出集合，再求出的补集，最后求交集得出答案.

【详解】,

或，则.

故选：A.

2．已知复数z满足，则z的虚部为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】化简得到，从而得到z的虚部.

【详解】，故z的虚部为.

故选：C

3．函数的图象的一个对称中心为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据余弦函数的对称性结合整体思想求出函数的对称中心，然后逐一验证即可.

【详解】解：令，则，

所以函数的图象的对称中心为，故AB不是函数图象的对称中心；

令，则，故不是函数图象的对称中心；

令，则，故是函数图象的对称中心.

故选：D.

4．设，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分别求出的范围，直接比较大小即可.

【详解】，，，.

故选：D.

5．若且，则（       ）

A． B． C． D．7

【答案】B

【分析】先由余弦的二倍角公式与齐次式弦化切得到关于正切的方程，结合角的范围求出答案.

【详解】，故，由于，所以，故.

故选：B

6．两个不同的圆锥的底面是球O的同一截面，顶点均在球O表面上，若球O的体积为V，则这两个圆锥体积之和的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设球半径为，两个圆锥中较小的高为，由圆截面性质求得圆锥底面半径，再得两个圆锥体积和，记为，由二次函数性质得最大值．

【详解】设球半径为，两个圆锥中较小的高为，则另一个圆锥的高为，

圆锥底面半径为，则，，

两个圆锥的体积和为，

所以时，，

，因此．

故选：B．

7．设随机变量X服从正态分布，若，则（       ）

A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8

【答案】C

【分析】由已知可知正态曲线关于直线对称，然后正态分布的性质求解即可

【详解】因为随机变量X服从正态分布，

所以正态曲线关于直线对称，

因为，所以，

所以，

故选：C

8．海口钟楼的历史悠久，最早是为适应对外通商而建立，已成为海口的最重要的标志性与象征性建筑物之一，如图所示，海口钟楼的主体结构可以看做一个长方体，四个侧面各有一个大钟，则从到这段时间内，相邻两面钟的分针所成角为的次数为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】在长方体中，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设分针长为，设矩形的对角线的交点为，矩形的对角线的交点为，考查到这个时间段，设时刻，侧面、内的钟的分针的针点的位置分别为、，设，其中，则，利用空间向量法求出的可能取值，即可得解.

【详解】在长方体中，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设分针长为，

设矩形的对角线的交点为，矩形的对角线的交点为，

考查到这个时间段，设时刻，侧面、内的钟的分针的针点的位置分别为、，

设，其中，

则，，

由已知可得，则，

因为，故的取值为、、、，

即在到这个时间段，相邻两面钟的分针所成角为的次数为，

因此，从到这段时间内，相邻两面钟的分针所成角为的次数为.

故选：D.

二、多选题

9．已知向量，，则（       ）

A． B．

C． D．与的夹角为

【答案】BC

【分析】利用平面向量的坐标运算可判断A；利用平面向量的模长公式可判断B；利用平面向量垂直的坐标表示可判断C；利用平面向量夹角余弦的坐标表示可判断D.

【详解】对于A，，A错；

对于B，，，则，B对；

对于C，，故，所以，，C对；

对于D，，，故，D错.

故选：BC.

10．下列双曲线的渐近线方程为的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】的渐近线方程为：，的渐近线方程为：.

【详解】A选项，的渐近线方程为，A正确；

B选项，的渐近线方程为：，B错误；

C选项，的渐近线方程为：，C错误；

D选项，的渐近线方程为：，D正确.

故选：AD

11．环境监测部门统计了甲、乙两个城市去年每天的（空气质量指数），数据按照，，进行分组得到下面的频率分布直方图，已知时空气质量等级为优，则（       ）

A．甲、乙两城市的中位数的估计值相等 B．甲、乙两城市的平均数的估计值相等

C．甲城市的方差比乙城市的方差小 D．甲城市空气质量为优的天数比乙城市空气质量为优的天数多

【答案】ABD

【分析】根据给出的频率分布直方图，对个选项进行分析，判断作出正误，得出答案 .

【详解】选项A .   根据两个频率分布直方图，甲、乙两个城市去年每天的的中位数均为125，故选项A正确.

选项B.设甲、乙两频率分布直方图中小矩形的高度数值如图所示，

则，即

同理

甲城市的的平均数为：

乙城市的的平均数为：

所以甲、乙两城市的平均数的估计值相等，故选项B正确 .

选项C. 由图可知，乙城市的数据更集中，即方差更小，所以选项C错误.

选项D. 由图可知甲城市在的频率大于0.2，乙城市在的频率小于0.2

所以甲城市在的频率大于乙城市在的频率，甲城市空气质量为优的天数比乙城市空气质量为优的天数多。故D正确.

故选：ABD

12．“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为，将其外观描述为“个”，则第二项为；将描述为“个”，则第三项为；将描述为“个，个”，则第四项为；将1描述为“个，个，个”，则第五项为，，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．则对于外观数列，下列说法正确的是（       ）

A．若，则从开始出现数字

B．若，则的最后一个数字均为

C．不可能为等差数列或等比数列

D．若，则均不包含数字

【答案】BD

【分析】求出，可判断A选项；分、两种情况讨论，逐项递推可判断B选项；取可判断C选项；利用假设法可判断D选项.

【详解】对于A，，即“个”，，即“个，个”，，即“个，个”，故，A错；

对于B，若，即“个”，，即“个，个”，

，即“个，个”，，，

以此类推可知，的最后一个数字均为，

若，则，，，，以此类推可知，的最后一个数字均为.

综上所述，若，则的最后一个数字均为，B对；

对于C，取，则，此时数列既是等差数列，又是等比数列，C错；

对于D，，则，，，，

若数列中，中为第一次出现数字，则中必出现了个连续的相同数字，

如，则在的描述中必包含“个，个”，

即，显然的描述是不合乎要求的，

若或，同理可知均不合乎题意，

故不包含数字，D对.

故选：BD.

三、填空题

13．已知函数的定义域为，则_________．

【答案】

【分析】由已知可得不等式的解集为，可知为方程的根，即可求得实数的值.

【详解】由题意可知，不等式的解集为，则，解得，

当时，由，可得，解得，合乎题意.

故答案为：.

14．的展开式中的系数为_________．（结果用数字表示）

【答案】112

【分析】先求出二项展开式的通项公式，再令的指数为即可求解.

【详解】的展开式的通项为，

令，，则的系数为.

故答案为：112.

15．已知椭圆的左焦点为是C上的动点，点，若的最大值为6，则C的离心率为_________．

【答案】

【分析】设出右焦点,将转化成，最后利用三点共线表示最大值求出，进而求出离心率.

【详解】设右焦点，由椭圆定义，，，

当且仅当三点共线时，取等号，.又，，，.

故答案为：.

16．已知函数和，其中为常数且．若存在斜率为1的直线与曲线同时相切，则的最小值为_________．

【答案】2

【分析】分别设出切点，用导数的几何意义得到两切点坐标，利用两点间斜率公式得到的关系，变形后使用三个正数的基本不等式求解最小值.

【详解】定义域为R，的定义域为，又，，

设在切点处的切线即为斜率为1的直线，故，所以，则，

设在切点，处的切线即为斜率为1的直线，则，则，

则，由两点间斜率公式得：，则，由于b>0，

则，当且仅当，

即时，此时等号成立，故的最小值为2.

故答案为：2

四、解答题

17．设等差数列的公差为，前n项和为，已知．

(1)若，求的通项公式；

(2)若，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)由前n项和的意义和等差数列性质求出，然后可得；

(2)根据前n项和公式解不等式即可.

(1)

，

所以．

所以．

(2)

由（1）知，所以．

，

由得，

所以，

解得，即d的取值范是．

18．的内角所对的边分别为，已知．

(1)求边，；

(2)若点D在线段上（与不重合），且，求．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由余弦定理求出边，；（2）先由余弦定理得到CD，再由正弦定理求出.

(1)

由余弦定理可得:，

即，解得：．

所以．

(2)

在中，由余弦定理可得，

即，解得：或5，

当时D与B重合，不符合题意，当时．符合要求.

由正弦定理可得，

所以．

19．如图所示，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，，，点M在棱上且．

(1)证明：平面；

(2)求平面与平面的夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先证明M是的中点，连接，与交于点O，连接，从而证明，从而可证明.

（2）以D为坐标原点，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系．利用向量法求解即可.

(1)

因为平面平面，且平面平面，

根据条件可知，所以平面，

所以．

所以，同理可得，

又，所以是等边三角形，

因为，所以M是的中点．

如图，连接，与交于点O，连接，则O是的中点，所以，

因为平面平面，所以平面．

(2)

以D为坐标原点，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系．

则．

由（1）知是平面的一个法向量．

设为平面的法向量．因为，

所

令，可得．

设平面与平面的夹角为，

则

．

20．已知抛物线的焦点为F，过F作圆的切线，切线长为．

(1)求C的方程；

(2)过F的直线与C交于两点，点P在C的准线上，满足，求的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据切线长为，求得点F到圆心M的距离即可.

（2）设线段的中点为Q，由题意可知为的中垂线，根据，在中，得到，设的方程为，与抛物线方程联立，求得P，Q的坐标和弦长AB求解.

(1)

解：由已知得圆M的圆心为，半径为2，

因为切线长为，

所以点F到圆心M的距离为，

因为，

所以F在x轴正半轴上，于是，

所以，

故C的方程为．

(2)

设线段的中点为Q，

由题意可知为的中垂线，且在中，由，

即，可得．

设的方程为，

由得，

则，

所以．

所以直线的方程为，

令，可得，即．

所以．

又．

所以，

解得．

所以的方程为或．

21．如图是游乐场中一款抽奖游戏机的示意图，玩家投入一枚游戏币后，机器从上方随机放下一颗半径适当的小球，小球沿着缝隙下落，最后落入这6个区域中．假设小球从最上层4个缝隙落下的概率都相同，且下落过程中遇到障碍物会等可能地从左边或右边继续下落．

(1)分别求小球落入和的概率；

(2)已知游戏币售价为2元/枚．若小球落入和，则本次游戏中三等奖，小球落入和，则本次游戏中二等奖，小球落入和，则本次游戏中一等奖．假设给玩家准备的一、二、三等奖奖品的成本价格之比为，若要使玩家平均每玩一次该游戏，商家至少获利0.7元，那么三等奖奖品的成本价格最多为多少元？

【答案】(1)小球落入的概率为，小球落入的概率为；

(2)最多为0.8元.

【分析】（1）由题设，落入第一层各缝隙的概率为，进入下一层障碍物两侧缝隙概率均为，应用独立事件的乘法公式求落入和的概率；

（2）设三等奖奖品成本为a元，X可能取值为，进而求各可能值对应的概率并写出分布列，根据分布列求期望，由求a的值即可.

(1)

记第一层障碍物之间的缝隙从左到右分别为，小球落入缝隙为事件，

第二层障碍物之间的缝隙从左到右分别为，小球落入缝隙为事件，

第三层障碍物之间的缝隙从左到右分别为，小球落入缝隙为事件．

由题意，，

则， ．

(2)

设三等奖奖品成本为a元，玩家玩一次游戏获得的奖品成本为随机变量X，则X的所有可能取值为，

，

，

，

所以X的分布列为：

所以X的数学期望为．

由题意，，解得，

因此三等奖奖品的成本价格最多为0.8元．

22．已知函数．

(1)若，求的最值；

(2)若，设，证明：当时，．

【答案】(1)最大值为，没有最小值

(2)证明见解析

【分析】（1）求导数，确实单调性得最值；

（2）由导数确定的单调性，构造新函数，再由导数确定其单调性（需要二次求导），得最小值，利用两个单调性可得证不等式成立．

(1)

若，则，

当时，，当时，，

即在单调递增，在单调递减，

所以的极大值，也是最大值为，没有最小值．

(2)

由题意得，所以．

令，则，

当时，，当时，，

即在上单调递减，在上单调递增，

则，即，于是得在R上单调递增．

设，则，

令，则，

所以在R上单调递增，

而，所以当时，，当时，，

即在单调递减，在上单调递增，

则，即．

当时，，所以．

所以．

【点睛】本题考查用导数求函数的最值，证明不等式工，解题关键是引入新函数把问题转化为求新函数的最小值，然后由单调性得出结论，属于较难题．