专题03 一元二次方程与二次函数的图象、性质-暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

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专题03 一元二次方程与二次函数的图象、性质
【知识点梳理】
知识点1：根的判别式
我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为
．①
因为a≠0，所以，4a2＞0．于是
（1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根
x1，2＝；
（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根
x1＝x2＝－；
（3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．
由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有
(1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根
x1，2＝；
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根
x1＝x2＝－；
（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．
知识点2：根与系数的关系（韦达定理）
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根
，，
则有
；
．
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定理．
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知
x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，
即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，
所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．
知识点3：二次函数图像的伸缩变换
问题 函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？
为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝x2，y＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系．
先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象．
先列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
2x2
…
18
8
2
0
2
8
18

从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了．

再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y＝2x2的图象可以由函数y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．
同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝x2，y＝－2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax2(a≠0)
知识点4：二次函数图像的平移变换
函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？
同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y＝2(x＋1)2＋1与y＝2x2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y＝2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y＝2(x＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．

类似地，还可以通过画函数y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．
由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法：
由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－
，
所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：
（1）当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而减小；当x＞时，y随着x的增大而增大；当x＝时，函数取最小值y＝．
（2）当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而增大；当x＞时，y随着x的增大而减小；当x＝时，函数取最大值y＝．
【题型归纳目录】
题型1：根的判别式
题型2：根与系数的关系（韦达定理）
题型3：二次函数图像的伸缩变换
题型4：二次函数图像的平移变换
【典型例题】
题型1：根的判别式
例1．已知关于x的一元二次方程(k-2)x2-2kx+k+1=0，若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围.
【答案】且
【解析】
【分析】
直接利用一元二次方程根的判别式大于0即可求解．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且；
解得，且．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
例2．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-4mx+4m2-9＝0的两实数根．
(1)若这个方程有一个根为-1，求m的值；
(2)若这个方程的一个根大于-1，另一个根小于-1，求m的取值范围；
(3)已知Rt△ABC的一边长为7，x1，x2恰好是此三角形的另外两边的边长，求m的值．
【答案】(1)m的值为1或-2
(2)-2＜m＜1
(3)m＝或m＝
【解析】
【分析】
（1）把x=-1代入方程，列出m的一元二次方程，求出m的值；
（2）首先用m表示出方程的两根，然后列出m的不等式组，求出m的取值范围；
（3）首先用m表示出方程的两根，分直角△ABC的斜边长为7或2m+3,根据勾股定理求出m的值.
(1)
解：∵x1，x2是一元二次方程x2-4mx+4m2-9＝0的两实数根，这个方程有一个根为-1，
∴将x＝-1代入方程x2-4mx+4m2-9＝0，得1+4m+4m2-9＝0．
解得m＝1或m＝-2．
∴m的值为1或-2．
(2)
解：∵x2-4mx+4m2＝9，
∴(x-2m)2＝9，即x-2m＝±3．
∴x1＝2m+3，x2＝2m-3．
∵2m+3＞2m-3，
∴
解得-2＜m＜1．
∴m的取值范围是-2＜m＜1．
(3)
解：由(2)可知方程x2-4mx+4m2-9＝0的两根分别为2m+3，2m-3．
若Rt△ABC的斜边长为7，
则有49＝(2m+3)2+(2m-3)2．
解得m＝±．
∵边长必须是正数，
∴m＝．
若斜边为2m+3，则(2m+3)2＝(2m-3)2+72．
解得m＝．
综上所述，m＝或m＝．
【点睛】
本题主要考查了根的判别式与根与系数的关系的知识，解答本题的关键是熟练掌握根与系数关系以及根的判别式的知识，此题难度一般.
例3．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）根据（1）确定，从而求出方程的解为，然后分相同的根为时和时，两种情况讨论求解即可．
(1)
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根，
∴，
∴；
(2)
解：∵， k是符合条件的最大整数，
∴，
∴方程即为，
解方程得：，
∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根
当这个相同的根为时，
∴，
∴；
当这个相同的根为时，
∴，
∴，
∵当时，方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0即为不是一元二次方程，
∴．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的解等等，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
例4．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若方程有一个根是0，求方程的另一个根．
【答案】(1) 且
(2)另一个根为
【解析】
【分析】
（1）由一元二次方程定义和根的判别式与根之间的关系，列不等式组求解即可．
（2）将x=0代入原方程，求出m，再解方程即可．
(1)
解：∵是一元二次方程，
，
∵一元二次方程有两个不相等的实数，
，
即： ，
整理得： ，
，
综上所述： 且．
(2)
∵方程有一个根是0，
将x=0代入方程得： ，
，
则原方程为： ，
解得： ，
∴方程的另一个根为 ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式与根的关系：方程有两个不相等的实数根 ， 方程有两个相等的实数根，方程没有实数根，方程有实数根．熟练掌握根的判别式与根的关系是解题关键，一元二次方程的二次项系数不能为0是易错点．
例5．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)是方程的一个根吗？若方程有一个实数根为负数，求正整数的值．
【答案】(1)见解析
(2)x=2是方程的一个根，
【解析】
【分析】
（1）证明Δ≥0即可；
（2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可．
(1)
证明：∵Δ=（-m）2-4×（2m-4）
=m2-8m+16
=（m-4）2，
∵（m-4）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
(2)
解：把x=2代入方程左边，得左边=22-2m+2m-4=0=右边，
∴x=2是方程x2-mx+2m-4=0的一个根；
用因式分解法解此方程x2-mx+2m-4=0，
可得（x-2）（x-m+2）=0，
解得x1=2，x2=m-2，
若方程有一个根为负数，则m-2＜0，
故m＜2，
∴正整数m=1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
题型2：根与系数的关系（韦达定理）
例6．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
(1)求的取值范围；
(2)若，求方程的两个根．
【答案】(1)且
(2)，
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义及方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，从而到关于的不等式，求出的范围即可；
（2）利用根与系数的关系可得，根据可得关于的方程，整理后即可解出的值，最后求出方程的根．
(1)
解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
即且，
解得：且．
(2)
∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
经检验：是分式方程的解，
∴当时，方程为：，
解得：，．
【点睛】
本题考查了根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程以及分式方程等知识．关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：⑴方程有两个不相等的实数根；⑵方程有两个相等的实数根；⑶方程没有实数根．以及根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，．
例7．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
【答案】(1)见解析；
(2)，
【解析】
【分析】
（1）利用一元二次方程根的判别式判断即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方公式的变形求值即可．
(1)
解：∵一元二次方程，
，


∴无论为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
(2)
解：依题意得，，，
∵，∴，
∴，即，
（3a+1）（a-1）=0，
解得，；
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，．
例8．若为一元二次方程的根；
(1)则方程的另外一个根______，______；
(2)求的值．
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（2）根据是为一元二次方程的根，可得，代入代数式化简，进而根据一元二次方程根与系数的关系代入求解即可．
(1)
解：∵为一元二次方程的根，设方程的另外一个根为，
∴


故答案为：，；
(2)
是为一元二次方程的根
，
，，
，，
，，



，，
原式
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的意义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
例9．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若此方程的两实数根满足，求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则，由此求得的取值范围；
（2）由得，利用一元二次方程根与系数的关系进行求解．
(1)
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得．
(2)
解：根据题意得，，．
，
，
即，
解得或，
又，
．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握两根之和与两根之积的表达式是解决本题的关键．
例10．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若，且该方程的两个实数根的差为3，求k的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出结合偶次方的非负性可得出Δ≥0，进而可证出：无论k为何实数，方程总有两个实数根；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=4k，x1x2=3k2，结合（x1-x2）2=9，即可得出关于k的方程，解之即可得出结论．
(1)
∵，且无论k为何实数，
∴Δ≥0
∴该方程总有两个实数根；
(2)
方法一：设该方程两个实数根分别为，则有
，

则



解得：
∵．
∴
方法二：
解得：，
由题意得：

，
解得：
∵．
∴
【点睛】
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当Δ=0时，一元二次方程有两个实数根”；（2）利用根与系数的关系结合（x1-x2）2=1，找出关于k的方程．
题型3：二次函数图像的伸缩变换
例11．已知二次函数y＝ax2+bx﹣2（a≠0）的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．
(1)若点A的坐标为（4，0）、点B的坐标为（﹣1，0），求a+b的值；
(2)若y＝ax2+bx﹣2的图象的顶点在第四象限，且点B的坐标为（﹣1，0），当a+b为整数时，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）代入A、B坐标，求出a、b的值即可得解；
（2）根据抛物线顶点在第四象限，又与x轴有两个交点，得到抛物线的开口向上，即a＞0，根据顶点在第四象限得出，求出a的取值范围，进而得出a+b的取值范围，即可求解．
(1)
代入A、B坐标，可得：
，
解得，
则a+b=-1；
(2)
∵抛物线顶点在第四象限，又与x轴有两个交点，
∴抛物线的开口向上，即a＞0，且抛物线对称轴，
∵抛物线过B点(-1,0)，
∴代入B点坐标可得：a-b-2=0，则有b=a-2，
∴，
解得a＜2，
∴，
∵a+b=a+a-2=2a-2，
∴，
∵a+b是整数，
∴a+b=a+a-2=2a-2为整数，
∴2a-2可以为-1,0,1，
∴a可以为，1，．
【点睛】
本题考查了求解抛物线与x轴的交点、抛物线函数图象的坐标特征等知识，根据抛物线顶点在第四象限，又与x轴有两个交点，得到抛物线的开口向上，即a＞0，是解答本题的关键．
例12．抛物线交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于点C，对称轴为直线．

(1)如图1，若点C坐标为，则_______，_________；
(2)若点P为第二象限抛物线上一动点，在（1）的条件下，求四边形面积最大时，点P坐标和四边形的最大面积；
(3)如图2，点D为抛物线的顶点，过点O作别交抛物线于点M，N，当时，求c的值．
【答案】(1)，2；
(2)点P（-2，3），四边形ABCP的最大面积为9；
(3)．
【解析】
【分析】
（1）根据解析式和对称轴可求出b，根据C点坐标即可求出ｃ；
（2）求出，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q，设点，，求出，进一步求出S四边形ABCP，即可求出结果；
（3）求出直线CD的解析式为：，进一步可得直线MN的解析式为：，分别过C，N作x轴的平行线，过D，M作y轴的平行线交于点G，H，证明，即可求出结果．
(1)
解：由题意可知：
∵，∴，
∵点C坐标为，∴；
(2)
解：令，整理得，
解得或，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
过点P作x轴的垂线，交AC于点Q，

设点，则点，
，
∴，
∴S四边形ABCP，
∵，函数图象开口向下，又，
∴当时，S四边形ABCP最大 = 9，
此时点，
∴当点时，四边形ABCP的最大面积，最大面积为9；
(3)
解：∵，
∴，
又∵，
∴设直线CD的解析式为（k≠0） ，代入点D，C的坐标得
，
解得，
∴直线CD的解析式为：，
∵，
∴直线MN的解析式为：，
由题意，联立，
得：，
解得：，
由题意，，，
，
分别过C，N作x轴的平行线，过D，M作y轴的平行线交于点G，H，
∴，，

∴，
∴，
∵ MN＝3CD，
∴，
∵，，
∴ ，
∴ ，
又∵，
∴．
【点睛】
本题考查二次函数综合，难度较大，解题的关键是熟练掌握二次函数图象及性质，一次函数，相似三角形的判定及性质知识点．
例13．二次函数（，，是常数，）．当时，函数有最小值．
(1)若该函数图象的对称轴为直线，并且经过点，求该函数的表达式．
(2)若一次函数的图象经过二次函数图象的顶点．
①求该二次函数图象的顶点坐标．
②若是该二次函数图象上的两点，求证：．
【答案】(1)
(2)①顶点坐标为（-1，-1）；②证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先确定顶点坐标，再设出该函数的顶点式解析式，将点（0,0）的坐标代入解析式中求出a，即可求解；
（2）①将顶点代入，再利用，进行转化后，求出即可求解；
②设函数表达式为，代入两点坐标后得到p和q的表达式，利用作差法比较大小即可．
(1)
解：由题意，得函数图象的顶点坐标为，
所以可设函数表达式为，
把代入，解得，
所求函数的表达式为．
(2)
①由题意，将顶点代入，
化简，得．
又因为，
所以，．所以，
所以顶点坐标为．
②由①可知，函数顶点坐标为，，
所以可设函数表达式为．
所以．
．
因为函数有最小值，所以，
所以，所以．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数及其图象、作差法比较大小等，解题的关键是牢记函数的顶点式解析式和顶点坐标公式等．
例14．已知点P是二次函数图像的顶点．

(1)小明发现，对m取不同的值时，点P的位置也不同，但是这些点都在某一个函数的图像上，请协助小明完成对这个函数的表达式的探究：
①将下表填写完整：
m
-1
0
1
2
3
P点坐标


_________
________
________

②描出表格中的五个点，猜想这些点在哪个函数的图像上？求出这个图像对应的函数表达式，并加以验证，
(2)若过点（0，2），且平行于x轴的直线与的图像有两个交点A和B，与②中得到的函数的图像有两个交点C和D，当时，直接写出m的值等于________；
(3)若，点Q在二次函数的图像上，横坐标为m，点E在②中得到的函数的图像上，当时，求出E点的横坐标（用含m的代数式表示）．
【答案】(1)①（0，﹣1），（1，1），（2，5），表格见解析，②在二次函数图像上，二次函数表达式是，验证见解析；
(2)或；
(3)
【解析】
【分析】
（1）点P是二次函数图像的顶点，得到点P的坐标表示为（m－1，），分别带入m的值求解P点的坐标，描出表格中的五个点，猜想这些点在一个二次函数图像上，设二次函数的表示为，把（0，﹣1），（1，1），（2，5）分别代入，利用待定系数法求出函数表达式，把x＝m－1代入函数表达式验证即可；
（2）根据题意求出AB和CD的长度，利用AB＝CD，列出方程并解方程即可求得m的值；
（3）求出点Q的坐标，设点E的坐标为（t，），利用两点间距离公式表示出、、，由勾股定理得到＋＝，整理后即可表示出点E的横坐标
(1)
解：∵点P是二次函数图像的顶点 ，
∴点P的坐标表示为（m－1，）
当m＝1时，m－1＝0，＝，此时P点坐标是（0，﹣1）；
当m＝2时，m－1＝1，＝，此时P点坐标是（1,1）；
当m＝3时，m－1＝2，＝，此时P点坐标是（2,5）；
填写表格如下：
m
-1
0
1
2
3
P点坐标


（0，﹣1）
（1，1）
（2，5）

故答案为：（0，﹣1），（1，1），（2，5）；
②描出表格中的五个点，如图所示，

猜想这些点在一个二次函数图像上，设二次函数的表示为，
把（0，﹣1），（1，1），（2，5）分别代入得

解得
∴函数表达式为
当x＝m－1时，，
∴点P在二次函数的图像上，猜想成立．
(2)
解：∵过点（0，2），且平行于x轴的直线与的图像有两个交点A和B，
∴当y＝2时，，
方程整理得
解得，，
∴AB＝｜｜＝2
∵过点（0，2），且平行于x轴的直线与抛物线有两个交点C和D，
∴当y＝2时，，
解得，，
CD＝｜｜＝｜－｜＝，
∵AB＝CD
∴2＝
整理得
解得，；
故答案为：或；
(3)
解：∵点Q在二次函数的图像上，横坐标为m，
∴当x＝m时，y＝，
∴点Q的坐标是（m，），
∵点E在②中得到的函数的图像上，
∴可设点E的坐标为（t，）
由（1）知点P的坐标表示为（m－1，），
则，
，
，
∵
∴△EPQ是QE为斜边的直角三角形，
由勾股定理得＋＝，
∴＋2＝
解得t＝．
∴点E的横坐标是．
【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的顶点式、待定系数法求二次函数解析式、一元二次方程的解法、坐标系中两点间距离、勾股定理等知识，运算量较大，具备良好的计算能力是解答此题的关键．
题型4：二次函数图像的平移变换
例15．已知关于x的方程ax2+（3a+1）x+3＝0．
(1)求证：无论a取任何实数时，该方程总有实数根；
(2)若抛物线y＝ax2+（3a+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且a为正整数，求a值以及此时抛物线的顶点H的坐标；
(3)在（2）的条件下，直线y＝﹣x+5与y轴交于点C，与直线OH交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，请直接写出它的顶点横坐标h的值或取值范围．
【答案】(1)证明过程见详解．
(2)a＝1，(﹣2，﹣1)
(3)h＝或﹣≤h