专题20 幂函数-暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

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专题20 幂函数
【知识点梳理】
知识点一：幂函数概念
形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.
知识点诠释：
幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数.例如：等都不是幂函数.
知识点二：幂函数的图象及性质
1.作出下列函数的图象：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．

知识点诠释：
幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：
(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；
(2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
(3)时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
2.作幂函数图象的步骤如下:
(1)先作出第一象限内的图象；
(2)若幂函数的定义域为或，作图已完成；
若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性
如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象；
如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象.
3.幂函数解析式的确定
(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．
(2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．
(3)如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即．
4.幂函数值大小的比较
(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．
(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．
(3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．

【题型归纳目录】
题型一：幂函数的概念
题型二：幂函数的图象的应用
题型三：幂函数的单调性
题型四：幂函数的奇偶性
题型五：幂值大小的比较
题型六：定点问题
题型七：定义域问题
题型八：值域问题

【典型例题】
题型一：幂函数的概念
1．（2022·河北沧州·高一期末）下列函数是幂函数的是（       ）
A． B．
C． D．

2．（2022·吉林·梅河口市第五中学高一期末）下列函数是幂函数的是（       ）
A． B．
C． D．

3．（2022·河南新乡·高一期末）已知幂函数在上单调递减，则（       ）
A．2 B．16 C． D．

4．（2022·四川·什邡中学高一阶段练习）已知点在幂函数的图象上，则=_______．

5．（2022·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高一期末）幂函数的图象经过点，则=____.

6．（2022·新疆·乌市一中高一期末）已知幂函数的图象过点，则________

7．（2022·广东·深圳科学高中高一期中）若幂函数为偶函数，则 ________ .

8．（2022·甘肃庆阳·高一期末）已知幂函数的图象过点，则此函数的解析式为______．

9．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学高一期中）已知幂函数的图象关于y轴对称，则___________．

10．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二期中（文））已知幂函数过点A（4，2），则f（）=___________.

11．（2022·湖南·高一课时练习）已知是幂函数，若，求和．

题型二：幂函数的图象的应用
1．（2021·河北省博野中学高一开学考试）函数和的图象如图所示，有下列四个说法：
①如果，那么；
②如果，那么；
③如果，那么；
④如果时，那么.
其中正确的是（          ）.

A．①④ B．① C．①② D．①③④

2．（2020·上海市晋元高级中学高一期中）已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是（       ）
A． B．
C． D．

3．（2022·四川凉山·高一期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（       ）

A． B． C． D．

4．（2022·宁夏吴忠区青铜峡市教育局高一开学考试）已知幂函数的图象过点，则函数的图象是（       ）
A． B．
C． D．

5．（2022·辽宁大连·高一期末）已知幂函数与的部分图像如图所示，直线，与，的图像分别交于A，B，C，D四点，且，则（       ）


A． B． C． D．

6．（2021·福建·高三学业考试）函数的图象大致为（       ）
A． B．
C． D．

7．（2021·全国·高一单元测试）图中C1、C2、C3为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（　　）

A．、、 B．、、 C．、、 D．、、

8．（2021·全国·高一课时练习）若幂函数与在第一象限内的图像如图所示，则（       ）

A．； B．，；
C．，； D．，．

9．（2021·陕西·咸阳市实验中学高一阶段练习）若幂函数在同一坐标系中的部分图象如图所示，则､的大小关系正确的是（       ）

A． B． C． D．

（多选题）10．（2021·全国·高一课时练习）下列关于幂函数的性质说法正确的有（       ）
A．当时，函数在其定义域上递减
B．当时，函数图象是一条直线
C．当时，函数是偶函数
D．当时，函数的图象与轴交点的横坐标为

（多选题）11．（2022·广东·韶关市田家炳中学高一期末）如果幂函数的图象不过原点，则实数的取值为（       ）
A． B． C． D．无解

12．（2022·湖南·高一课时练习）对幂函数，填空：
（1）当，时，图象恒过______和______两点；其中当时，幂函数图象在图象的______方；当时，幂函数图象在图象的______方．
（2）当，时，图象也恒过______和______两点；其中当时，幂函数图象在图象的______方；当，幂函数图象在图象的______方．
（3）当，时，图象恒过点______．

题型三：幂函数的单调性
1．（2022·四川成都·高一开学考试）下列幂函数中，既是奇函数又在区间单调递增的是（       ）
A． B． C． D．

2．（2022·湖南·株洲二中高一阶段练习）已知函数幂函数，且在其定义域内为单调函数，则实数（       ）
A． B．
C．或 D．

3．（2022·四川凉山·高一期末）已知，若，则（       ）
A．－2 B．－1 C． D．2

（多选题）4．（2022·安徽·泾县中学高一阶段练习）已知函数的图象经过点则（       ）
A．的图象经过点 B．的图象关于y轴对称
C．在上单调递减 D．在内的值域为

5．（2022·全国·池州市第一中学高一开学考试）已知幂函数在内是单调递减函数，则实数______．

6．（2022·北京房山·高一期末）试写出函数，使得同时满足以下条件： ①定义域为；②值域为；③在定义域内是单调增函数．则函数的解析式可以是_______（写出一个满足题目条件的解析式）．

7．（2022·湖南·高一课时练习）已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．

8．（2022·湖南·高一课时练习）已知幂函数的图象经过点，求函数的解析式，并作出该函数图象的草图，判断该函数的奇偶性和单调性．

9．（2022·湖南·高一课时练习）结合图中的五个函数图象回答问题：


(1)哪几个是偶函数，哪几个是奇函数？
(2)写出每个函数的定义域、值域；
(3)写出每个函数的单调区间；
(4)从图中你发现了什么？

10．（2022·湖南·高一课时练习）已知幂函数的图象经过点，求函数的解析式，并作出该函数图象的草图，判断该函数的奇偶性和单调性．

11．（2022·全国·高一课时练习）求函数的定义域，并指出其单调区间.

题型四：幂函数的奇偶性
1．（2022·北京丰台·高一期末）下列函数中，图象关于坐标原点对称的是（       ）
A． B． C． D．

2．（2022·江西·景德镇一中高一期末）已知幂函数的图象过，则下列结论正确的是（       ）
A．的定义域为 B．在其定义域内为减函数
C．是偶函数 D．是奇函数

3．（2022·四川雅安·高一期末）已知幂函数为偶函数，则实数的值为（       ）
A．3 B．2 C．1 D．1或2

（多选题）4．（2022·安徽阜阳·高一期中）已知函数为幂函数，则该函数为（       ）
A．奇函数
B．偶函数
C．区间上的增函数
D．区间上的减函数

（多选题）5．（2022·广东深圳·高一期末）若函数是幂函数，则一定（       ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在上单调递减 D．在上单调递增

（多选题）6．（2022·广西钦州·高一期末）若函数是幂函数且为奇函数，则的值为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4

7．（2022·湖南·湘潭一中高一期末）已知幂函数是奇函数，则___________.

8．（2022·湖南怀化·高一期末）写出一个同时具有下列三个性质的函数：________.①；②在上单调递增；③.

9．（2022·河南南阳·高一期末）写出一个同时具有下列三个性质的函数：___________.
①为幂函数；②为偶函数；③在上单调递减.

10．（2022·黑龙江绥化·高一期末）已知幂函数f(x)是奇函数且在上是减函数，请写出f(x)的一个表达式________．

11．（2022·山东·济南一中高一阶段练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为________.

12．（2022·重庆巫山·高一期末）若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是______

13．（2022·上海·同济大学第二附属中学高一期末）已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则＝______.

14．（2022·北京房山·高一期末）已知幂函数的图象经过点．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数满足条件 ，试求实数的取值范围．

15．（2022·上海市第三女子中学高一期末）已知幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数．
(1)求的值；
(2)求满足不等式的实数的取值范围．

16．（2022·全国·高一课时练习）判断函数与的奇偶性.

题型五：幂值大小的比较
1．（2022·湖北·华中师大一附中高一期末）已知幂函数的图象过点，则下列两函数的大小关系为：（       ）
A． B． C． D．

2．（2021·山东聊城一中高一期中）设幂函数的图像经过点，若实数，则与的大小关系是（       ）
A． B． C． D．以上都有可能

3．（2021·江苏·高一专题练习）下列比较大小中正确的是（   ）.
A．
B．
C．
D．

4．（2022·湖南·高一课时练习）已知，，则m与n的大小关系为________．

5．（2022·全国·高一）比较下列各组数的大小．
（1）；                                                     
（2）；
（3）；

6．（2021·全国·高一课前预习）求出函数的单调区间，并比较与的大小．

7．（2021·全国·高一课时练习）已知幂函数.
(1)求证：该函数在区间上是严格减函数；
(2)利用（1）的结论，比较与的大小关系.

8．（2021·江苏·高一课时练习）比较下列各组数中两个数的大小（）：
（1），；       
（2），；
（3），；       
（4），.

9．（2021·全国·高一课时练习）已知（）的图像关于y轴对称且在上随着x值的增大而减小，求的解析式及其定义域、值域，并比较与的大小.

10．（2021·全国·高一课时练习）比较下列各组中两个数的大小，并说明理由．
（1），；
（2），．

11．（2021·全国·高一专题练习）比较下列各组数的大小：
（1）和；（2）和；（3）和；

题型六：定点问题
1．（2022·全国·高一）下列命题中正确的是（       ）
A．幂函数的图象一定过点（0，0）和点（1，1）
B．若函数f（x）＝xn是奇函数，则它在定义域上单调递增
C．幂函数的图象上的点一定不在第四象限
D．幂函数的图象不可能是直线

2．（2022·全国·高三专题练习）下列结论正确的是（       ）
A．幂函数图象一定过原点
B．当时，幂函数是减函数
C．当时，幂函数是增函数
D．函数既是二次函数，也是幂函数

3．（2021·全国·高一课时练习）下列命题中正确的是（       ）
A．当时，函数的图像是一条直线；
B．幂函数的图像都经过和点；
C．幂函数的定义域为；
D．幂函数的图像不可能出现在第四象限．

（多选题）4．（2022·福建漳州·高一期末）已知幕函数的图象经过点，则（       ）
A．函数是偶函数
B．函数是增函数
C．函数的图象一定经过点
D．函数的最小值为0

（多选题）5．（2022·全国·高三专题练习）下列关于幂函数图象和性质的描述中，正确的是（       ）
A．幂函数的图象都过点 B．幂函数的图象都不经过第四象限
C．幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种 D．幂函数必定是增函数或减函数中的一种

6．（2022·全国·高三专题练习）如图是幂函数（αi＞0，i＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，，，已知它们具有性质：
①都经过点（0，0）和（1，1）；     ②在第一象限都是增函数．
请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．


7．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一期中）若幂函数的图象经过点，则________．

8．（2022·北京·高一期末）幂函数的图象恒过点_________，若幂函数的图象过点，则此函数的解析式是____________．

9．（2022·湖南·高一课时练习）对幂函数，填空：
（1）当，时，图象恒过______和______两点；其中当时，幂函数图象在图象的______方；当时，幂函数图象在图象的______方．
（2）当，时，图象也恒过______和______两点；其中当时，幂函数图象在图象的______方；当，幂函数图象在图象的______方．
（3）当，时，图象恒过点______．

题型七：定义域问题
1．（2022·山西吕梁·高一期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（       ）
A．R B．
C． D．

2．（2022·全国·高一课时练习）设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为（       ）
A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3

3．（2022·黑龙江绥化·高一期末）函数的定义域为（       ）
A． B． C． D．

4．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学高一阶段练习）已知幂函数的图象过点，则下列关于说法正确的是（       ）
A．奇函数 B．偶函数
C．在单调递减 D．定义域为

5．（2021·陕西·西安市第三中学高一期中）幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（       ）
A． B． C． D．

（多选题）6．（2022·海南鑫源高级中学高一期末）若函数的定义域为且为奇函数，则可能的值为（       ）
A． B． C． D．3

7．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校高一期末）已知幂函数的定义域为，且单调递减，则________.

8．（2022·辽宁丹东·高一期末）写出一个具有性质①②③的函数______．
①定义域为；②在单调递增；③．

9．（2022·全国·高一课时练习）求函数的定义域，并指出其单调区间.

题型八：值域问题
1．（2022·安徽·歙县教研室高一期末）已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（       ）
A．的定义域为 B．的值域为
C．为偶函数 D．为减函数

2．（2022·广东·广州六中高一期末）幂函数的图象过点，则函数的值域是（       ）
A． B． C． D．

（多选题）3．（2022·江西省丰城中学高一开学考试）已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（       ）
A．函数为增函数 B．函数为偶函数
C．若，则 D．若，则

4．（2022·北京房山·高一期末）试写出函数，使得同时满足以下条件： ①定义域为；②值域为；③在定义域内是单调增函数．则函数的解析式可以是_______（写出一个满足题目条件的解析式）．

5．（2021·江苏·高一专题练习）函数，其中，则其值域为___________.

6．（2021·全国·高一课时练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________．

7．（2022·湖南·高一课时练习）已知幂函数在区间上是减函数．
(1)求函数的解析式；
(2)讨论函数的奇偶性和单调性；
(3)求函数的值域．

8．（2022·全国·高一课时练习）写出函数与的定义域和值域.

9．（2021·全国·高一课时练习）（1）使用五点作图法，在图中画出的图象，并注明定义域．

（2）求函数的值域．

10．（2021·江苏·高一专题练习）已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的．
（1）求实数k的值；
（2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值．

11．（2019·全国·高一课时练习）已知幂函数在上单调递增.
（1）求的值；
（2）当时，记的值域为集合，若集合，且，求实数的取值范围.