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专题06 圆-暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）
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专题06 圆 【知识点梳理】知识点1：直线与圆的位置关系设有直线和圆心为且半径为的圆，怎样判断直线和圆的位置关系？ 图1观察图1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离时，直线和圆相离，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相切，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相交，如圆与直线. 图2在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如图2，连结圆心和弦的中点的线段垂直于这条弦.且在中，为圆的半径，为圆心到直线的距离，为弦长的一半，根据勾股定理，有. 图3当直线与圆相切时，如图3，为圆的切线，可得，，且在中，. 图4如图4，为圆的切线，为圆的割线，我们可以证得，因而.知识点2：点的轨迹在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于；同时，到定点的距离等于的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长的点的轨迹.我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.从上面对圆的讨论，可以得出：到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.【题型归纳目录】题型1：直线与圆的位置关系题型2：点的轨迹【典型例题】题型1：直线与圆的位置关系例1．阅读下列材料，并按要求解答相关问题：【思考发现】根据直径所对的圆周角是直角，我们可以推出“如果一条定边所对的角始终为直角，那么所有满足条件的直角顶点组成的图形是以定边为直径的圆或圆弧（直径的两个端点除外）”这一正确的结论．如图1，若AB是一条定线段，且，则所有满足条件的直角顶点P组成的图形是定边AB为直径的（直径两端点A、B除外）(1)已知：如图2，四边形ABCD是边长为8的正方形，点E从点B出发向点C运动，同时点F从点C出发以相同的速度向点D运动，连接AE，BF相交于点P．①当点E从点B运动到点C的过程中，的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请直接写出的度数．②当点E从点B运动到点C的过程中，点P运动的路径是（ ）A．线段；B．弧；C．半圆；D．圆③点P运动的路经长是_____．(2)已知：如图3，在图2的条件下，连接CP，请直接写出E、F运动过程中，CP的最小值．例2．如图，是的外接圆，，为的直径交于点，交的延长线于点．(1)求证：是的切线；(2)若，，求线段的长．例3．如图，在中，，延长到点，使，延长到点，使．以点为圆心，分别以、为半径作大小两个半圆，连接．(1)求证：；(2)设小半圆与相交于点，．①当取得最大值时，求其最大值以及的长；②当恰好与小半圆相切时，求弧的长．例4．如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，以点O为圆心、2为半径画圆，过点A作⊙O的切线，切点为P，连接OP，将OP绕点O按逆时针方向旋转到OH时，连接AH，BH，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．(1)当α＝90°时，求证：BH是⊙O的切线；(2)当△AHB面积最小时，请直接写出此时点H到AB的距离．例5．如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，∠ABE＝2∠E．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若⊙O的直径为8，BD＝1，求AB的长．题型2：点的轨迹例6．如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点均在格点上．(1)画出△ABO向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到的图形，并写出的坐标；(2)画出△ABO绕点O逆时针旋转90°后得到的图形，并求出点A旋转轨迹的长度．例7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离.（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）例8．问题背景：如图1，在矩形ABCD中，AB=2，∠ABD=30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．(1)在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①=______ ；②直线AE与DF所夹锐角的度数为 _______．(2)小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．(3)根据以上探究，将△BEF绕点B按顺时针方向旋转180°，设直线AE与DF的交点为P，在旋转过程中，点P的位置也随之改变，请思考点P运动的轨迹，直接写出点P运动的路程_______．（结果保留π）例9．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝60°，BE⊥AC于点E，延长线交⊙O于点P．（1）如图①，若△ABC是等边三角形，求证：OE＝PE；（2）如图②，当点A在直线BC上方运动时（包括点B、C），作CQ⊥AB交BE于点H，①求证：HE＝PE；②若BC＝3，求点H运动轨迹的长度．例10．如图，三个顶点的坐标分别为，，．（1）请画出绕原点逆时针旋转后得到的．（2）求旋转过程中点运动轨迹的长度．【过关测试】一、单选题1．如图所示，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为（ ）A． B． C． D．2．如图，是圆的直径，切圆于点，交圆于点，若，，则的长为（ ）A．4 B．5 C．6 D．83．如图，是的直径，是的内接三角形，若，，则的长为（ ）A． B． C． D．4．如图，点、、在上，若，则（ ）A． B． C． D．5．正六边形边长为2，分别以对角线和为边作正方形，则图中两个阴影部分的面积差的值为（ ）A．8 B． C．4 D．06．如图，的两条内角平分线相交于点D，过点D作一条平分面积的直线MN，那么这条直线分成的两个图形的周长比是（ ）A．2∶1 B．1∶1 C．2∶3 D．3∶17．如图，⊙I是Rt△ABC中的内切圆，，过点I作分别交CA，CB于E，F，若EA＝4，BF＝3，则⊙I的半径是（ ）A． B． C． D．8．如图，AB是的直径，C是上一点，D是AB另一侧半圆的中点，若，则的半径长为（ ）A． B． C． D．29．如图，点O是△ABC的外心（三角形三边垂直平分线的交点），若∠BOC=96°，则∠A的度数为（ ）A．49° B．47.5° C．48° D．不能确定10．如图，在中，，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（ ）A．2 B． C． D．二、填空题11．如图，在中，，以为斜边作等腰直角，连接，若，则__________．12．如图，在△ABC中，边AC，BC的垂直平分线交于三角形外一点P，若△ABP为等边三角形，则∠ACB的度数为________．13．如图，以BC为直径的圆与AC相切于点C，交AB于点D，若，，则tan∠ABC＝________．14．如图，AB是的直径，点E、C在上，点A是弧EC的中点，过点A画的切线，交BC的延长线于点D，连接EC，若，则______°．15．如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是_____，⊙C上的整数点有_______个．16．如图，线段、、与相切于、、三点，且，，，则______．17．如图，在锐角三角形ABC中，，，于点N，于点M，连接MN，则△AMN面积的最大值是______．18．图，矩形中，，，分别与边，，相切，点，分别在，上，，将四边形沿着翻折，使点、分别落在、处，若射线恰好与相切，切点为，则线段的长为______．19．如图，BD是⊙O的直径，弦CF⊥BD交于点A，E是上一点，连EB交CF于点G，连接EF，已知AF=6，CG=3，BG=4，给出下列结论：①∠BFC=∠BEF；②tan∠BEF=；③BE=；④SΔBEF=．其中正确的是________．三、解答题20．如图，在中，，点是的中点，以为直径的与边交于点，连接．(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求的直径．21．阅读材科：如图1，若点P是⊙O外的一点，线段交⊙O于点A，则长是点P与⊙O上各点之间的最短距离．证明：延长交⊙O于点B，显然．如图2，在⊙O上任取一点C（与点不重合），连结．，且，的长是点P与⊙O上各点之间的最短距离．由此可得真命题：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差．请用上述真命题解决下列问题．（1）如图3，在中，，以为直径的半圆O交于是弧上的一个动点，连接，则长的最小值是________．（2）如图4，在边长为2的菱形中，是边的中点，点N是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到连接．①点的轨迹是______（填直线、线段、圆、半圆）②求线段长的最小值．（3）如图5，已知正方形的边长为4，点G是以为直径的半圆O上的一动点，点P是边上另一动点，连接，求的最小值．22．如图，是的直径，点C在上且不与点A，B重合，是的切线，过点B作于点D，交于点E．(1)证明：点C是的中点；(2)若，，求的半径．23．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O于D，连接AD，BD．(1)求证：；(2)若，，求的值．24．如图1，四边形ABCD内接于，AD为直径，过点C作于点E，连接AC．(1)求证：；(2)若CE是的切线，，连接OC，如图2．①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；②当AB＝2时，请直接写出AD，AC与围成阴影部分的面积为______．25．如图1，AB是的直径，点F是上的一点，连接AF，过点O作交于点C，过点C作的切线，交FA的延长线于点D，于E，连接AC．(1)求证：；(2)如图2，在图1的条件下，若点F为半圆的中点，连接CF交AB于点M，求的度数．26．如图，是的外接圆，平分的外角，，，垂足分别是点M、N，且．(1)求证：//；(2)如图，延长交于E点，若，；求的半径长．27．如图，为直径，C、D为上不同于A、B的两点，，连接CD，过点C作，垂足为E，直线与相交于F点．(1)求证：为的切线；(2)当时，求的长．28．粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具，图（1）、图（2）是我国某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图（3）是粒子加速器的俯视示意图，其中粒子真空室可看作，粒子在点注入，经过优弧后，在点引出，粒子注入和引出路径都与 相切，，是两个加速电极，粒子在经过时被加速．已知，粒子注入路径与的夹角，所对的圆心角是90°．(1)求 的直径；(2)比较与的长度哪个更长．（相关数据：）29．如图，点D是Rt△ABC斜边AB上一点，且，点O在AC上，以O为圆心，OA为半径的经过点D，交AC于点E,连接DE．(1)求证：DC与相切；(2)若，，求CB的长．30．已知，四边形是圆O的内接四边形，为直径，．(1)如图1，求证：；(2)如图2，点F是圆O上一点，连接，延长交于点E，当时，求证：；(3)如图3，在（2）问的条件下，连接交于点M．当时，求的长．
专题06 圆 【知识点梳理】知识点1：直线与圆的位置关系设有直线和圆心为且半径为的圆，怎样判断直线和圆的位置关系？ 图1观察图1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离时，直线和圆相离，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相切，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相交，如圆与直线. 图2在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如图2，连结圆心和弦的中点的线段垂直于这条弦.且在中，为圆的半径，为圆心到直线的距离，为弦长的一半，根据勾股定理，有. 图3当直线与圆相切时，如图3，为圆的切线，可得，，且在中，. 图4如图4，为圆的切线，为圆的割线，我们可以证得，因而.知识点2：点的轨迹在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于；同时，到定点的距离等于的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长的点的轨迹.我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.从上面对圆的讨论，可以得出：到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.【题型归纳目录】题型1：直线与圆的位置关系题型2：点的轨迹【典型例题】题型1：直线与圆的位置关系例1．阅读下列材料，并按要求解答相关问题：【思考发现】根据直径所对的圆周角是直角，我们可以推出“如果一条定边所对的角始终为直角，那么所有满足条件的直角顶点组成的图形是以定边为直径的圆或圆弧（直径的两个端点除外）”这一正确的结论．如图1，若AB是一条定线段，且，则所有满足条件的直角顶点P组成的图形是定边AB为直径的（直径两端点A、B除外）(1)已知：如图2，四边形ABCD是边长为8的正方形，点E从点B出发向点C运动，同时点F从点C出发以相同的速度向点D运动，连接AE，BF相交于点P．①当点E从点B运动到点C的过程中，的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请直接写出的度数．②当点E从点B运动到点C的过程中，点P运动的路径是（ ）A．线段；B．弧；C．半圆；D．圆③点P运动的路经长是_____．(2)已知：如图3，在图2的条件下，连接CP，请直接写出E、F运动过程中，CP的最小值．例2．如图，是的外接圆，，为的直径交于点，交的延长线于点．(1)求证：是的切线；(2)若，，求线段的长．例3．如图，在中，，延长到点，使，延长到点，使．以点为圆心，分别以、为半径作大小两个半圆，连接．(1)求证：；(2)设小半圆与相交于点，．①当取得最大值时，求其最大值以及的长；②当恰好与小半圆相切时，求弧的长．例4．如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，以点O为圆心、2为半径画圆，过点A作⊙O的切线，切点为P，连接OP，将OP绕点O按逆时针方向旋转到OH时，连接AH，BH，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．(1)当α＝90°时，求证：BH是⊙O的切线；(2)当△AHB面积最小时，请直接写出此时点H到AB的距离．例5．如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，∠ABE＝2∠E．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若⊙O的直径为8，BD＝1，求AB的长．题型2：点的轨迹例6．如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点均在格点上．(1)画出△ABO向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到的图形，并写出的坐标；(2)画出△ABO绕点O逆时针旋转90°后得到的图形，并求出点A旋转轨迹的长度．例7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离.（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）例8．问题背景：如图1，在矩形ABCD中，AB=2，∠ABD=30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．(1)在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①=______ ；②直线AE与DF所夹锐角的度数为 _______．(2)小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．(3)根据以上探究，将△BEF绕点B按顺时针方向旋转180°，设直线AE与DF的交点为P，在旋转过程中，点P的位置也随之改变，请思考点P运动的轨迹，直接写出点P运动的路程_______．（结果保留π）例9．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝60°，BE⊥AC于点E，延长线交⊙O于点P．（1）如图①，若△ABC是等边三角形，求证：OE＝PE；（2）如图②，当点A在直线BC上方运动时（包括点B、C），作CQ⊥AB交BE于点H，①求证：HE＝PE；②若BC＝3，求点H运动轨迹的长度．例10．如图，三个顶点的坐标分别为，，．（1）请画出绕原点逆时针旋转后得到的．（2）求旋转过程中点运动轨迹的长度．【过关测试】一、单选题1．如图所示，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为（ ）A． B． C． D．2．如图，是圆的直径，切圆于点，交圆于点，若，，则的长为（ ）A．4 B．5 C．6 D．83．如图，是的直径，是的内接三角形，若，，则的长为（ ）A． B． C． D．4．如图，点、、在上，若，则（ ）A． B． C． D．5．正六边形边长为2，分别以对角线和为边作正方形，则图中两个阴影部分的面积差的值为（ ）A．8 B． C．4 D．06．如图，的两条内角平分线相交于点D，过点D作一条平分面积的直线MN，那么这条直线分成的两个图形的周长比是（ ）A．2∶1 B．1∶1 C．2∶3 D．3∶17．如图，⊙I是Rt△ABC中的内切圆，，过点I作分别交CA，CB于E，F，若EA＝4，BF＝3，则⊙I的半径是（ ）A． B． C． D．8．如图，AB是的直径，C是上一点，D是AB另一侧半圆的中点，若，则的半径长为（ ）A． B． C． D．29．如图，点O是△ABC的外心（三角形三边垂直平分线的交点），若∠BOC=96°，则∠A的度数为（ ）A．49° B．47.5° C．48° D．不能确定10．如图，在中，，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（ ）A．2 B． C． D．二、填空题11．如图，在中，，以为斜边作等腰直角，连接，若，则__________．12．如图，在△ABC中，边AC，BC的垂直平分线交于三角形外一点P，若△ABP为等边三角形，则∠ACB的度数为________．13．如图，以BC为直径的圆与AC相切于点C，交AB于点D，若，，则tan∠ABC＝________．14．如图，AB是的直径，点E、C在上，点A是弧EC的中点，过点A画的切线，交BC的延长线于点D，连接EC，若，则______°．15．如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是_____，⊙C上的整数点有_______个．16．如图，线段、、与相切于、、三点，且，，，则______．17．如图，在锐角三角形ABC中，，，于点N，于点M，连接MN，则△AMN面积的最大值是______．18．图，矩形中，，，分别与边，，相切，点，分别在，上，，将四边形沿着翻折，使点、分别落在、处，若射线恰好与相切，切点为，则线段的长为______．19．如图，BD是⊙O的直径，弦CF⊥BD交于点A，E是上一点，连EB交CF于点G，连接EF，已知AF=6，CG=3，BG=4，给出下列结论：①∠BFC=∠BEF；②tan∠BEF=；③BE=；④SΔBEF=．其中正确的是________．三、解答题20．如图，在中，，点是的中点，以为直径的与边交于点，连接．(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求的直径．21．阅读材科：如图1，若点P是⊙O外的一点，线段交⊙O于点A，则长是点P与⊙O上各点之间的最短距离．证明：延长交⊙O于点B，显然．如图2，在⊙O上任取一点C（与点不重合），连结．，且，的长是点P与⊙O上各点之间的最短距离．由此可得真命题：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差．请用上述真命题解决下列问题．（1）如图3，在中，，以为直径的半圆O交于是弧上的一个动点，连接，则长的最小值是________．（2）如图4，在边长为2的菱形中，是边的中点，点N是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到连接．①点的轨迹是______（填直线、线段、圆、半圆）②求线段长的最小值．（3）如图5，已知正方形的边长为4，点G是以为直径的半圆O上的一动点，点P是边上另一动点，连接，求的最小值．22．如图，是的直径，点C在上且不与点A，B重合，是的切线，过点B作于点D，交于点E．(1)证明：点C是的中点；(2)若，，求的半径．23．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O于D，连接AD，BD．(1)求证：；(2)若，，求的值．24．如图1，四边形ABCD内接于，AD为直径，过点C作于点E，连接AC．(1)求证：；(2)若CE是的切线，，连接OC，如图2．①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；②当AB＝2时，请直接写出AD，AC与围成阴影部分的面积为______．25．如图1，AB是的直径，点F是上的一点，连接AF，过点O作交于点C，过点C作的切线，交FA的延长线于点D，于E，连接AC．(1)求证：；(2)如图2，在图1的条件下，若点F为半圆的中点，连接CF交AB于点M，求的度数．26．如图，是的外接圆，平分的外角，，，垂足分别是点M、N，且．(1)求证：//；(2)如图，延长交于E点，若，；求的半径长．27．如图，为直径，C、D为上不同于A、B的两点，，连接CD，过点C作，垂足为E，直线与相交于F点．(1)求证：为的切线；(2)当时，求的长．28．粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具，图（1）、图（2）是我国某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图（3）是粒子加速器的俯视示意图，其中粒子真空室可看作，粒子在点注入，经过优弧后，在点引出，粒子注入和引出路径都与 相切，，是两个加速电极，粒子在经过时被加速．已知，粒子注入路径与的夹角，所对的圆心角是90°．(1)求 的直径；(2)比较与的长度哪个更长．（相关数据：）29．如图，点D是Rt△ABC斜边AB上一点，且，点O在AC上，以O为圆心，OA为半径的经过点D，交AC于点E,连接DE．(1)求证：DC与相切；(2)若，，求CB的长．30．已知，四边形是圆O的内接四边形，为直径，．(1)如图1，求证：；(2)如图2，点F是圆O上一点，连接，延长交于点E，当时，求证：；(3)如图3，在（2）问的条件下，连接交于点M．当时，求的长．
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