山东省济宁市曲阜市2021—2022学年八年级下学期期末考试数学试题(word版含答案)

这是一份山东省济宁市曲阜市2021—2022学年八年级下学期期末考试数学试题(word版含答案)，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省济宁市曲阜市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．（3分）要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＜2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2
2．（3分）如图，在▱ABCD中，若∠A＝∠D+40°，则∠B的度数为（　　）

A．35° B．55° C．70° D．110°
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，则添加下列条件，不能判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a：b：c＝2：2：1 B．a2+b2＝c2
C．a：b：c＝5：12：13 D．a：b：c＝4：5：3
5．（3分）如图，某容器的底面水平放置，匀速地向此容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
6．（3分）选拔一名选手参加全国中学生男子百米比赛，我市四名中学生参加了训练，他们成绩的平均数及其方差s2如表所示：如果选拔一名学生去参赛，应派（　　）去．

甲
乙
丙
丁

12″33
10″26
10″26
15″29
S2
1.1
1.1
1.3
1.6
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（3分）已知P（﹣2，3），Q（﹣3，2），R（4，﹣6），S（﹣6，9）中有三个点在同一直线y＝kx上，不在此直线上的点是（　　）
A．点P B．点Q C．点R D．点S
8．（3分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，已知BC＝1，CE＝7，点H是AF的中点，则CH的长是（　　）

A．5 B．3.5 C．4 D．
9．（3分）如图所示，直线y＝x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边，在第二象限内作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，则过B、C两点直线的解析式为（　　）

A． B． C． D．y＝﹣2x+2
10．（3分）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点O是AC的中点．
求证：OB＝AC．
证明：延长BO到D，使OD＝OB，连接AD、CD，
中间的证明过程排乱了：
①∵∠ABC＝90°，
②∵OB＝OD，OA＝OC，
③∴四边形ABCD是平行四边形，
④∴四边形ABCD是矩形．
∴AC＝BD，∴OB＝BD＝AC．
则中间证明过程正确的顺序是（　　）

A．①④②③ B．①③②④ C．②④①③ D．②③①④
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．（3分）已知正比例函数y＝（3m﹣1）x|m|（m为常数），若y随x的增大而减小，则m＝　 　．
12．（3分）小何同学根据舞蹈比赛中9位评委给出的分数，制作了一张表格如下．如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是 　 　．
平均数
中位数
众数
方差
9.2
9.3
9.4
0.35
13．（3分）已知x＝+1，y＝﹣1，则x2﹣y2的值为　 　．
14．（3分）火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：
①火车的长度为120米；
②火车的速度为30米/秒；
③火车整体都在隧道内的时间为25秒；
④隧道长度为800米．其中正确的结论 　 　．（填序号）

15．（3分）如图，矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为 　 　．

三、解答题（共8小题，共55分）
16．（6分）计算：（1）+|﹣3|+（π﹣1）0；
（2）．
17．（6分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且AE∥CF．求证：BE＝DF．

18．（6分）已知一次函数的图象与直线y＝﹣2x平行，且经过点（﹣2，2）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）在所给平面直角坐标系中画出（1）中的函数图象；
（3）此函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴上，若S△ABC＝2，请直接写出点C的坐标．

19．（6分）随着电影《长津湖》的热映，中学生对抗美援朝这段历史产生了极大的兴趣．某中学组织全校学生开展“抗美援朝”知识竞赛，随机抽取了九年级30名学生的成绩x（单位：分，满分100分）进行收集、整理与分析，过程如下．
收集数据：
73 89 90 66 97 75 80 45 85 70 56 81 95 86 74
87 60 55 77 64 80 72 82 63 100 78 86 92 68 72
整理数据：
成绩x/分
x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
人数
3
5
8
9
a
分析数据：
统计量
平均数
中位数
方差
数值
76.6
b
170.17
（1）a＝　 　，b＝　 　．
（2）若该校九年级有900名学生，请估计该校九年级成绩达到90分及以上的学生人数．
（3）若该校八年级学生成绩的平均数为76.6分，中位数为80分，方差为92.5，你认为哪个年级的成绩较好？请作出评价，并至少从两个方面说明理由．
20．（6分）某商店王老板借助网络平台了解到A、B两款网红杯子非常受欢迎，于是决定购进这两款网红杯子售卖．该店中这两款杯子售卖信息具体如下：

A款杯子
B款杯子
进价（元/个）
100
85
售价（元/个）
150
120
王老板计划购进A、B两款网红杯子共160个进行销售，设购进A款杯子x个，A、B两款网红杯子全部售完后获得的总利润为y元．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）若王老板计划用不超过15000元资金一次性购进A、B两款网红杯子，则如何进货才能使获利最大？并求出最大利润．
21．（7分）如图，在菱形ABCD中，O为AC，BD的交点，P，M，N分别为CD，OD，OC的中点．
（1）求证：四边形OMPN是矩形；
（2）连接AP，若AB＝4，∠BAD＝60°，求AP的长．

22．（8分）已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°∠A、∠B、∠C所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以△ABC的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，则有S1+S2＝S3；
（1）如图2，分别以△ABC的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，请问S1+S2与S3有怎样的数量关系，并证明你的结论；
（2）分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2、S3，根据（2）中的探索，直接回答S1+S2与S3有怎样的数量关系；
（3）若Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，求出图4中阴影部分的面积．

23．（10分）【特例感知】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为AB，AD的中点，DE、CF交于点G．
（1）易证△ADE≌△DCF，可知DE、CF的关系为 　 　；（直接填写结果）
（2）连接BG，若AB＝6，求BG的长．
【初步探究】如图2，在正方形ABCD中，点E为AB边上一点，FG⊥DE分别交AD、BC于F、G，垂足为O．求证：FG＝DE．
【基本应用】如图3，将边长为6的正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点M处，折痕为PQ，点P、Q分别在边AD、BC上，求PQ的长．


2021-2022学年山东省济宁市曲阜市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．（3分）要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＜2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得4﹣2x＞0，
解得x＜2，
故选：A．
【点评】本题考查的是代数式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0解题的关键．
2．（3分）如图，在▱ABCD中，若∠A＝∠D+40°，则∠B的度数为（　　）

A．35° B．55° C．70° D．110°
【分析】由平行四边形的性质可得∠B＝∠D，∠A+∠D＝180°，即可求∠B的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠B＝∠D，
∴∠A+∠D＝180°，
∵∠A＝∠D+40°，
∴∠D＝70°，
∴∠B＝70°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘除运算法则计算，进而判断得出答案．
【解答】解：A.+不能合并为一项，故此选项不合题意；
B.4﹣＝3，故此选项不合题意；
C.×＝，故此选项符合题意；
D.÷＝，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（3分）已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，则添加下列条件，不能判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a：b：c＝2：2：1 B．a2+b2＝c2
C．a：b：c＝5：12：13 D．a：b：c＝4：5：3
【分析】根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．
【解答】解：A．∵a：b：c＝2：2：1，
∴b2+c2≠a2，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
B．∵a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵a：b：c＝5：12：13，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵a：b：c＝4：5：3
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
5．（3分）如图，某容器的底面水平放置，匀速地向此容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据图象可知，容器底部直径较大，上部直径较小，故注水过程的水的高度是先慢后快．
【解答】解：因为根据图象可知，容器底部直径较大，上部直径较小，
故注水过程的水的高度是先慢后快，故选项C符合题意，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数图象的知识，根据t与h的变化规律排除不合适的选项是解题的关键．
6．（3分）选拔一名选手参加全国中学生男子百米比赛，我市四名中学生参加了训练，他们成绩的平均数及其方差s2如表所示：如果选拔一名学生去参赛，应派（　　）去．

甲
乙
丙
丁

12″33
10″26
10″26
15″29
S2
1.1
1.1
1.3
1.6
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】首先比较出较小的平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
【解答】解：∵乙和丙的平均成绩较好，
∴从乙和丙中选择一人参加比赛，
∵S乙2＜S丙2，
∴选择乙参赛，
故选：B．
【点评】此题主要考查了方差和平均数，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
7．（3分）已知P（﹣2，3），Q（﹣3，2），R（4，﹣6），S（﹣6，9）中有三个点在同一直线y＝kx上，不在此直线上的点是（　　）
A．点P B．点Q C．点R D．点S
【分析】当点P（﹣2，3）在直线y＝kx上时，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值，进而可得出正比例函数的解析式，再分别代入其余各点的横坐标求出y值，对边各点的纵坐标即可得出结论．
【解答】解：当点P（﹣2，3）在直线y＝kx上时，﹣2k＝3，
解得：k＝﹣，
∴此时正比例函数的解析式为y＝﹣x．
当x＝﹣3时，y＝﹣×（﹣3）＝≠2，
∴点Q不在直线y＝﹣x上；
当x＝4时，y＝﹣×4＝﹣6，
∴点R在直线y＝﹣x上；
当x＝﹣6时，y＝﹣×（﹣6）＝9，
∴点S在直线y＝﹣x上．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx是解题的关键．
8．（3分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，已知BC＝1，CE＝7，点H是AF的中点，则CH的长是（　　）

A．5 B．3.5 C．4 D．
【分析】根据正方形的性质求出AB＝BC＝1，CE＝EF＝7，∠E＝90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出AM＝8，FM＝6，∠AMF＝90°，根据正方形性质求出∠ACF＝90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH＝AF，根据勾股定理求出AF即可．
【解答】解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝7，
∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝7，∠E＝90°，
延长AD交EF于M，连接AC、CF，
则AM＝BC+CE＝1+7＝8，FM＝EF﹣AB＝7﹣1＝6，∠AMF＝90°，
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，
∴∠ACD＝∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
∵H为AF的中点，
∴CH＝AF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF＝＝＝10，
∴CH＝5，
故选：A．

【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，并求出AF的长和得出CH＝AF，有一定的难度．
9．（3分）如图所示，直线y＝x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边，在第二象限内作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，则过B、C两点直线的解析式为（　　）

A． B． C． D．y＝﹣2x+2
【分析】过C作CM垂直于x轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，以及AC＝AB，利用AAS得到三角形ACM与三角形BAO全等，由全等三角形对应边相等得到CM＝OA，AM＝OB，由AM+OA求出OM的长，即可确定出C坐标，然后根据待定系数法即可求得过B、C两点的直线对应的函数表达式．
【解答】解：对于直线y＝x+2，令x＝0，得到y＝2，即B（0，2），OB＝2，
令y＝0，得到x＝﹣3，即A（﹣3，0），OA＝3，
过C作CM⊥x轴，可得∠AMC＝∠BOA＝90°，
∴∠ACM+∠CAM＝90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，即∠BAC＝90°，AC＝BA，
∴∠CAM+∠BAO＝90°，
∴∠ACM＝∠BAO，
在△CAM和△ABO中，
，
∴△CAM≌△ABO（AAS），
∴AM＝OB＝2，CM＝OA＝3，即OM＝OA+AM＝3+2＝5，
∴C（﹣5，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∵B（0，2），
∴，
解得 ．
∴过B、C两点的直线对应的函数表达式是y＝﹣x+2．
故选：B．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．
10．（3分）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点O是AC的中点．
求证：OB＝AC．
证明：延长BO到D，使OD＝OB，连接AD、CD，
中间的证明过程排乱了：
①∵∠ABC＝90°，
②∵OB＝OD，OA＝OC，
③∴四边形ABCD是平行四边形，
④∴四边形ABCD是矩形．
∴AC＝BD，∴OB＝BD＝AC．
则中间证明过程正确的顺序是（　　）

A．①④②③ B．①③②④ C．②④①③ D．②③①④
【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再证平行四边形ABCD是矩形．得AC＝BD，即可得出结论．
【解答】解：延长BO到D，使OD＝OB，连接AD、CD，
∵OB＝OD，OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
∴AC＝BD，
∴OB＝BD＝AC．
则中间证明过程正确的顺序是②③①④，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．（3分）已知正比例函数y＝（3m﹣1）x|m|（m为常数），若y随x的增大而减小，则m＝　﹣1　．
【分析】根据正比例函数的定义可得|m|＝1，求出m的值，再根据正比例函数的增减性，可得3m﹣1＜0，求出m的取值范围，从而确定m的值．
【解答】解：正比例函数y＝（3m﹣1）x|m|（m为常数），
∴|m|＝1，
∴m＝±1，
∵y随x的增大而减小，
∴3m﹣1＜0，
∴m＜，
∴m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了正比例函数的定义和性质，熟练掌握正比例函数的定义和性质是解题的关键．
12．（3分）小何同学根据舞蹈比赛中9位评委给出的分数，制作了一张表格如下．如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是 　中位数　．
平均数
中位数
众数
方差
9.2
9.3
9.4
0.35
【分析】利用方差、中位数、平均数和众数的定义进行判断．
【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分，表中数据一定不发生变化的是中位数．
故答案为：中位数．
【点评】本题考查了众数、中位数、平均数、方差，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．
13．（3分）已知x＝+1，y＝﹣1，则x2﹣y2的值为　4　．
【分析】求得x+y＝2，x﹣y＝2，将代数式进行适当的变形后，代入即可．
【解答】解：∵x＝+1，y＝﹣1，
∴x+y＝2，x﹣y＝2，
∴x2﹣y2
＝（x+y）（x﹣y）
＝2×2
＝4；
故答案为4．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
14．（3分）火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：
①火车的长度为120米；
②火车的速度为30米/秒；
③火车整体都在隧道内的时间为25秒；
④隧道长度为800米．其中正确的结论 　②③　．（填序号）

【分析】根据函数的图象即可确定在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒，进而即可确定其它答案．
【解答】解：由图象可知，火车的长度是150米，故①说法错误；
在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒．故②说法正确；
整个火车都在隧道内的时间是：35﹣5﹣5＝25（秒），故③说法正确；
隧道长是：35×30﹣150＝1050﹣150＝900（米），故④说法错误．
正确结论有②③．
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查了用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为 　9或18　．

【分析】分两种情况•分别求解，（1）当∠CED′＝90°时，如图（1），根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′＝45′，得DE＝AD＝18；
（2）当∠ED′A＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D，AD′＝AD，DE＝D′E，得A、D′、C在同一直线上，根据勾股定理得AC＝30，设DE＝D′E＝x，则EC＝CD﹣DE＝24﹣x，根据勾股定理得，D′E2+D′C2＝EC2，代入相关的值，计算即可．
【解答】解：（1）当∠CED′＝90°时，如图（1），
∵∠CED′＝90°，
根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′＝×90°＝45°，
∵∠D＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AD＝18；
（2）当∠ED′A＝90°时，如图（2），
根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D＝90°，AD′＝AD，DE＝D′E，
△CD'E为直角三角形，
即∠CD′E＝90°，
∴∠AD′E+∠CD′E＝180°，
∴A、D′、C在同一直线上，
根据勾股定理得AC＝＝30，
∴CD′＝30﹣18＝12，
设DE＝D′E＝x，则EC＝CD﹣DE＝24﹣x，
在Rt△D′EC中，D′E2+D′C2＝EC2，
即x2+144＝（24﹣x）2，
解得x＝9，
即DE＝9；
综上所述：DE的长为9或18；
故答案为：9或18．


【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质的综合应用，分情况讨论，划出图形是解题关键．
三、解答题（共8小题，共55分）
16．（6分）计算：（1）+|﹣3|+（π﹣1）0；
（2）．
【分析】（1）先化简，然后合并同类项和同类二次根式即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式可以将题目中的式子展开，然后合并同类项即可．
【解答】解：（1）+|﹣3|+（π﹣1）0
＝2+3﹣+1
＝+4；
（2）
＝5﹣2+3﹣4+4
＝10﹣4．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用．
17．（6分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且AE∥CF．求证：BE＝DF．

【分析】证明△ABE≌△CDF（AAS），由全等三角形的性质可得出结论．
【解答】证明：∵AE∥CF，
∴∠AED＝∠CFB，
∴∠AEB＝∠CFD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，证明△ABE≌△CDF是解题的关键．
18．（6分）已知一次函数的图象与直线y＝﹣2x平行，且经过点（﹣2，2）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）在所给平面直角坐标系中画出（1）中的函数图象；
（3）此函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴上，若S△ABC＝2，请直接写出点C的坐标．

【分析】（1）根据一次函数的图象与直线y＝﹣2x平行可设一次函数的解析式为y＝﹣2x+b，然后把已知点（﹣2，2）代入进行计算求出b值，即可得解；
（2）利用描点法法作出函数图象即可；
（3）根据三角形面积可知AC＝2，由图象可得结论．
【解答】解：（1）∵一次函数的图象与直线y＝﹣2x平行，
∴设y＝﹣2x+b，
∵一次函数的图象经过点（﹣2，2）．
∴﹣2×（﹣2）+b＝2，
解得b＝﹣2，
∴一次函数的解析式：y＝﹣2x﹣2；

（2）当x＝0时，y＝﹣2，
当y＝0时，﹣2x﹣2＝0，解得x＝﹣1，
所以，函数图象经过点B（0，﹣2），A（﹣1，0），
函数图象如图：


（3）∵点B（0，﹣2），A（﹣1，0），点C在x轴上，
∴S△ABC＝AC•OB＝AC×2＝AC，
∵S△ABC＝2，
∴AC＝2，
∵A（﹣1，0），
∴C（﹣3，0）或（1，0）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法、一次函数的图象、三角形面积等知识，解题的关键是掌握函数图象上点坐标的特征，得出A、B的坐标．
19．（6分）随着电影《长津湖》的热映，中学生对抗美援朝这段历史产生了极大的兴趣．某中学组织全校学生开展“抗美援朝”知识竞赛，随机抽取了九年级30名学生的成绩x（单位：分，满分100分）进行收集、整理与分析，过程如下．
收集数据：
73 89 90 66 97 75 80 45 85 70 56 81 95 86 74
87 60 55 77 64 80 72 82 63 100 78 86 92 68 72
整理数据：
成绩x/分
x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
人数
3
5
8
9
a
分析数据：
统计量
平均数
中位数
方差
数值
76.6
b
170.17
（1）a＝　5　，b＝　77.5　．
（2）若该校九年级有900名学生，请估计该校九年级成绩达到90分及以上的学生人数．
（3）若该校八年级学生成绩的平均数为76.6分，中位数为80分，方差为92.5，你认为哪个年级的成绩较好？请作出评价，并至少从两个方面说明理由．
【分析】（1）根据已知数据按分组计数可得a，再根据中位数的概念可得b；
（2）总人数乘以样本中成绩达到90分及以上的学生人数所占比例；
（3）分别从平均数和中位数及方差的意义逐一分析可得．
【解答】解：（1）a＝30﹣3﹣5﹣8﹣9＝5，
九年级30名学生的成绩由低到高排列，第15，16个数据分别是77，78，
所以中位数为b＝＝77.5，
故答案为：5，77.5；

（2）估计全校九年级成绩达到90分及以上的学生人数为900×＝150（名），
答：估计该校九年级成绩达到90分及以上的学生人数为150名；

（3）八年级的成绩较好．理由如下：
从平均数看，八年级和九年级平均数相等，两个年级的平均成绩相等；
从中位数看，八年级的中位数大于九年级的中位数，所以八年级高分的人数多于九年级高分人数，八年级的成绩较好；
从方差看，八年级的方差小于九年级的方差，所以八年级的成绩比九年级的成绩稳定，八年级的成绩较好；
综上可知，八年级的成绩较好．
【点评】考查频数分布表、众数、中位数、平均数、方差的意义及计算方法，明确各自的意义和计算方法是解决问题的前提．
20．（6分）某商店王老板借助网络平台了解到A、B两款网红杯子非常受欢迎，于是决定购进这两款网红杯子售卖．该店中这两款杯子售卖信息具体如下：

A款杯子
B款杯子
进价（元/个）
100
85
售价（元/个）
150
120
王老板计划购进A、B两款网红杯子共160个进行销售，设购进A款杯子x个，A、B两款网红杯子全部售完后获得的总利润为y元．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）若王老板计划用不超过15000元资金一次性购进A、B两款网红杯子，则如何进货才能使获利最大？并求出最大利润．
【分析】（1）根据题意，可以写出y与x的函数关系式；
（2）根据服装店计划投入不超过15000元购进A、B这两款杯子，可以得到x的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到王老板可获得的最大利润．
【解答】解：（1）由题意可得，y＝（150﹣100）x+（120﹣85）（160﹣x）＝15x+5600，
即y与x之间的函数关系式为y＝15x+5600；
（2）由题意得，100x+85（160﹣x）≤15000，
解得，x≤93，
又∵y＝15x+5600，15＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝93时，y有最大值，此时y＝6995，
160﹣93＝67（个），
答：购进93个A款杯子，67个B款杯子，可获得的最大利润是6995元．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．（7分）如图，在菱形ABCD中，O为AC，BD的交点，P，M，N分别为CD，OD，OC的中点．
（1）求证：四边形OMPN是矩形；
（2）连接AP，若AB＝4，∠BAD＝60°，求AP的长．

【分析】（1）由三角形中位线定理得PM∥OC，PN∥OD，得四边形OMPN是平行四边形，再由菱形的性质得AC⊥BD，则∠MON＝90°，即可得出结论；
（2）证△ABD是等边三角形，得AD＝BD＝AB＝4，得OD＝2，再由勾股定理得OA＝2，则AN＝OA+ON＝3，然后由矩形的性质得NP＝OM＝1，∠PNA＝90°，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵P，M，N分别为CD，OD，OC的中点，
∴PM、PN是△OCD的中位线，
∴PM∥OC，PN∥OD，
∴四边形OMPN是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠MON＝90°，
∴平行四边形OMPN是矩形；
（2）解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD＝AB＝4，
∴OD＝BD＝2，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA＝＝＝2，
∴OC＝2，
∵M，N分别为OD，OC的中点，
∴OM＝OD＝1，ON＝OC＝，
∴AN＝OA+ON＝3，
由（1）可知，四边形OMPN是矩形，
∴NP＝OM＝1，∠PNA＝90°，
∴AP＝＝＝2．

【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识．熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
22．（8分）已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°∠A、∠B、∠C所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以△ABC的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，则有S1+S2＝S3；
（1）如图2，分别以△ABC的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，请问S1+S2与S3有怎样的数量关系，并证明你的结论；
（2）分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2、S3，根据（2）中的探索，直接回答S1+S2与S3有怎样的数量关系；
（3）若Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，求出图4中阴影部分的面积．

【分析】（1）由扇形的面积公式可知S1＝AC2，S2＝BC2，S3＝AB2，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，即S1+S2＝S3；
（2）根据（1）中的求解即可得出答案；
（3）利用（2）中的结论进行求解．
【解答】解：（1）∵，
根据勾股定理可知：S1+S2＝S3；

（2）S1+S2＝S3；

（3）S阴影部分＝S1+S2﹣（S3﹣S△ABC）
＝S△ABC＝×6×8＝24．
【点评】本题考查勾股定理的应用，难度适中，解题关键是对勾股定理的熟练掌握及灵活运用．
23．（10分）【特例感知】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为AB，AD的中点，DE、CF交于点G．
（1）易证△ADE≌△DCF，可知DE、CF的关系为 　DE＝CF，DE⊥CF　；（直接填写结果）
（2）连接BG，若AB＝6，求BG的长．
【初步探究】如图2，在正方形ABCD中，点E为AB边上一点，FG⊥DE分别交AD、BC于F、G，垂足为O．求证：FG＝DE．
【基本应用】如图3，将边长为6的正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点M处，折痕为PQ，点P、Q分别在边AD、BC上，求PQ的长．

【分析】【特例感知】（1）由“SAS”可证△ADE≌△DCF，即可得出结论；
（2）由“AAS”可证△ADE≌△BHE，可得AD＝BH，由直角三角形的性质可求解；
【初步探究】由“ASA”可证△ADE≌△DCH，可得DE＝CH＝FG；
【基本应用】由全等三角形的性质可证PQ＝AM，由勾股定理可求解．
【解答】【特例感知】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，AD＝AB＝CD，
∵点E，F是AB，AD的中点，
∴AE＝AB，DF＝AD，
∴AE＝DF，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴DE＝CF，∠AED＝∠DFC，
∵∠AED+∠ADE＝90°，
∴∠ADE+∠DFC＝90°，
∴∠DGF＝90°，
∴DE⊥CF，
故答案为：DE＝CF，DE⊥CF；

（2）解：延长DE交CB的延长线于H，

∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠EBH＝90°，
又∵AE＝BE，∠AED＝∠BEH，
∴△ADE≌△BHE（AAS），
∴AD＝BH，
∴BH＝BC，
又∵DE⊥CF，
∴BG＝BC＝6；

【初步探究】证明：如图2，过点C作CH∥GF，交AD于H，交DE于N，

∵HC∥GF，AD∥BC，
∴四边形FHCG是平行四边形，
∴FG＝CH，
∵HC∥GF，FG⊥DE，
∴CH⊥DE，
∴∠NDH+∠DHN＝90°＝∠DHN+∠DCH，
∴∠DCH＝∠NDH，
又∵AD＝CD，∠A＝∠CDH＝90°，
∴△ADE≌△DCH（ASA），
∴DE＝CH＝FG；

【基本应用】解：如图3，过点Q作QH⊥AD于H，则四边形ABQH中，HQ＝AB，

由翻折变换的性质得PQ⊥AM，
∵∠APQ+∠DAM＝90°，∠AMD+∠DAM＝90°，
∴∠APQ＝∠AMD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，
∴HQ＝AD，
在△ADM和△QHP中，
，
∴△ADM≌△QHP（AAS），
∴QP＝AM，
∵点M是CD的中点，
∴DM＝CD＝3，
在Rt△ADM中，由勾股定理得，AM＝＝＝3，
∴PQ的长为3．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．