山东省泰安市宁阳县2021-2022学年八年级下学期期末数学试题(五四学制)(word版含答案)
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这是一份山东省泰安市宁阳县2021-2022学年八年级下学期期末数学试题(五四学制)(word版含答案),共25页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省泰安市宁阳县八年级(下)期末数学试卷(五四学制)
一、选择题(每题4分,12小题,共48分)
1.(4分)下列运算正确的是( )
A.+=3 B.4﹣=4 C.×= D.÷=4
2.(4分)对于一元二次方程2x2﹣3x+4=0,则该方程根的情况为( )
A.没有实数根 B.两根之和是3
C.两根之积是﹣2 D.有两个不相等的实数根
3.(4分)用配方法解方程x2+4x+1=0时,配方结果正确的是( )
A.(x﹣2)2=5 B.(x﹣2)2=3 C.(x+2)2=5 D.(x+2)2=3
4.(4分)若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A.x>﹣1 B.x≥﹣1且x≠0 C.x>﹣1且x≠0 D.x≠0
5.(4分)如图,E,F,G,H分别是四边形ABCD四条边的中点,要使四边形EFGH为矩形,则四边形ABCD应具备的条件是( )
A.一组对边平行而另一组对边不平行
B.对角线相等
C.对角线互相垂直
D.对角线互相平分
6.(4分)如图,△ABC与△DEF位似,点O是它们的位似中心,其中OE=2OB,则△ABC与△DEF的周长之比是( )
A.1:2 B.1:4 C.1:3 D.1:9
7.(4分)若|a﹣|+=0,则ab=( )
A. B. C.4 D.9
8.(4分)如图是拦水坝的横断面,斜坡AB的水平宽度为12米,斜面坡度为1:2,则斜坡AB的长为( )
A.4米 B.6米 C.12米 D.24米
9.(4分)如图,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则cos∠ABC的值为( )
A. B. C. D.
10.(4分)如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O,且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形,若OA:OC=OB:OD,则下列结论中一定正确的是( )
A.①和②相似 B.①和③相似 C.①和④相似 D.②和④相似
11.(4分)有一个人患了流行性感冒,经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒,则每轮传染中平均一个人传染的人数是( )
A.14 B.11 C.10 D.9
12.(4分)矩形,菱形,正方形都具有的性质是( )
A.每一条对角线平分一组对角
B.对角线相等
C.对角线互相平分
D.对角线互相垂直
二、填空题(每题4分,6小题,共24分)
13.(4分)已知关于x的一元二次方程kx2﹣(2k﹣1)x+k﹣2=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是 .
14.(4分)如图,菱形ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,AE=EF,则∠EAF= .
15.(4分)等边△ABC的边长为3,点P为BC边上一点,且BP=1,点D为AC上一点,若∠APD=60°,则CD长是 .
16.(4分)如图,在平行四边形ABCD中,AD=5,AB=12,sinA=,过点D作DE⊥AB,垂足为E,则sin∠BCE= .
17.(4分)如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB上的点,DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于 .
18.(4分)观察下列各等式:
①;
②;
③;
…
根据以上规律,请写出第5个等式: .
三、解答题(7个题,共78分)
19.(10分)计算:
(1);
(2)(3﹣)0×4﹣(2﹣6)﹣.
20.(10分)解方程
(1)2x2﹣5x+3=0;
(2)(2x+3)2+(2x+3)﹣2=0.
21.(10分)一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作,在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°,面向AB方向继续飞行5米,测得该建筑物底端B的俯角为45°,已知建筑物AB的高为3米,求无人机飞行的高度(结果精确到1米,参考数据:≈1.414,≈1.732).
22.(10分)列方程(组)解应用题
端午节期间,某水果超市调查某种水果的销售情况,下面是调查员的对话:
小王:该水果的进价是每千克22元;
小李:当销售价为每千克38元时,每天可售出160千克;若每千克降低3元,每天的销售量将增加120千克.
根据他们的对话,解决下面所给问题:超市每天要获得销售利润3640元,又要尽可能让顾客得到实惠,求这种水果的销售价为每千克多少元?
23.(12分)如图,点P是菱形ABCD的对角线BD上一点,连结CP并延长,交AD于E,交BA的延长线于点F.
(1)求证:PE•PF=PC2.
(2)如图2,连接AC交BD于O,连接OE,若CE⊥BC,求证:△POC∽△AEC.
24.(12分)如图,点E,F分别在正方形ABCD的边AB,AD上,且AE=DF,点G,H分别在边AB,BC上,且FG⊥EH,垂足为P.
(1)求证:FG=EH;
(2)若正方形ABCD边长为5,AE=2,tan∠AGF=,求PF的长度.
25.(14分)如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,已知OA=OC,OB=OD,过点O作EF⊥BD,分别交AB、DC于点E,F,连接DE,BF.
(1)求证:四边形DEBF是菱形;
(2)设AD∥EF,AD+AB=12,BD=4,求AF的长.
2021-2022学年山东省泰安市宁阳县八年级(下)期末数学试卷(五四学制)
参考答案与试题解析
一、选择题(每题4分,12小题,共48分)
1.(4分)下列运算正确的是( )
A.+=3 B.4﹣=4 C.×= D.÷=4
【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断;根据二次根式的乘法法则对C进行判断;根据二次根式的除法法则对D进行判断.
【解答】解:A、原式=2,所以A选项的计算错误;
B、原式=3,所以B选项的计算错误;
C、原式==,所以C选项的计算正确;
D、原式===2,所以D选项的计算错误.
故选:C.
【点评】本题考查了二次根式的混合运算,解题的关键是掌握二次根式的乘法和除法法则.
2.(4分)对于一元二次方程2x2﹣3x+4=0,则该方程根的情况为( )
A.没有实数根 B.两根之和是3
C.两根之积是﹣2 D.有两个不相等的实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2﹣4ac,即可求出Δ=﹣23<0,进而可得出该方程没有实数根(若方程有实数根,再利用根与系数的关系去验证B,C两个选项).
【解答】解:∵a=2,b=﹣3,c=4,
∴Δ=b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×2×4=﹣23<0,
∴一元二次方程2x2﹣3x+4=0没有实数根.
故选:A.
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系,牢记“当Δ<0时,方程没有实数根”是解题的关键.
3.(4分)用配方法解方程x2+4x+1=0时,配方结果正确的是( )
A.(x﹣2)2=5 B.(x﹣2)2=3 C.(x+2)2=5 D.(x+2)2=3
【分析】方程整理后,利用完全平方公式配方得到结果,即可作出判断.
【解答】解:方程x2+4x+1=0,
整理得:x2+4x=﹣1,
配方得:(x+2)2=3.
故选:D.
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
4.(4分)若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A.x>﹣1 B.x≥﹣1且x≠0 C.x>﹣1且x≠0 D.x≠0
【分析】利用分式分母不为0和二次根式、零指数幂有意义的条件确定关于x的不等式,从而确定答案.
【解答】解:根据题意得:x+1>0且x≠0,
解得:x>﹣1且x≠0,
故选:C.
【点评】此题考查的是分式分母不为0和二次根式、零指数幂有意义的条件,掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键.
5.(4分)如图,E,F,G,H分别是四边形ABCD四条边的中点,要使四边形EFGH为矩形,则四边形ABCD应具备的条件是( )
A.一组对边平行而另一组对边不平行
B.对角线相等
C.对角线互相垂直
D.对角线互相平分
【分析】根据三角形的中位线定理得到四边形EFGH一定是平行四边形,再推出一个角是直角,由矩形的判定定理可求解.
【解答】解:要是四边形EHGF是矩形,应添加条件是对角线互相垂直,
理由是:连接AC、BD,两线交于O,
根据三角形的中位线定理得:EF∥AC,EF=AC,GH∥AC,GH=AC,
∴EF∥GH,EF=GH,
∴四边形EFGH一定是平行四边形,
∴EF∥AC,EH∥BD,
∵BD⊥AC,
∴EH⊥EF,
∴∠HEF=90°,
故选:C.
【点评】能够根据三角形的中位线定理证明:顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形;顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形;顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形.掌握这些结论,以便于运用.
6.(4分)如图,△ABC与△DEF位似,点O是它们的位似中心,其中OE=2OB,则△ABC与△DEF的周长之比是( )
A.1:2 B.1:4 C.1:3 D.1:9
【分析】根据位似图形的概念得到BC∥EF,进而证明△OBC∽△OEF,根据相似三角形的性质解答即可.
【解答】解:∵△ABC与△DEF位似,
∴△ABC∽△DEF,BC∥EF,
∴△OBC∽△OEF,
∴==,即△ABC与△DEF的相似比为1:2,
∴△ABC与△DEF的周长之比为1:2,
故选:A.
【点评】本题考查的是位似图形的概念和性质、相似三角形的性质,掌握位似图形的对应边平行是解题的关键.
7.(4分)若|a﹣|+=0,则ab=( )
A. B. C.4 D.9
【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值,然后代入代数式进行计算即可得解.
【解答】解:由题意得,a﹣=0,9a2﹣12ab+4b2=0,
解得a=,b=,
所以,ab=×=.
故选:B.
【点评】本题考查了非负数的性质:几个非负数的和为0时,这几个非负数都为0.
8.(4分)如图是拦水坝的横断面,斜坡AB的水平宽度为12米,斜面坡度为1:2,则斜坡AB的长为( )
A.4米 B.6米 C.12米 D.24米
【分析】先根据坡度的定义得出BC的长,进而利用勾股定理得出AB的长.
【解答】解:在Rt△ABC中,
∵i==,AC=12米,
∴BC=6米,
根据勾股定理得:
AB==6米,
故选:B.
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,勾股定理,难度适中.根据坡度的定义求出BC的长是解题的关键.
9.(4分)如图,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则cos∠ABC的值为( )
A. B. C. D.
【分析】由图可知,可把∠ABC放在Rt△ABD中,利用勾股定理可求出斜边AB的长,再利用余弦的定义可得cos∠ABC===.
【解答】解:法一、如图,
在Rt△ABD中,∠ADB=90°,AD=BD=3,
∴AB===3,
∴cos∠ABC===.
故选:B.
法二、在Rt△ABD中,∠ADB=90°,AD=BD=3,
∴∠ABD=∠BAD=45°,
∴cos∠ABC=cos45°=.
故选:B.
【点评】本题主要考查勾股定理,锐角三角函数的定义等内容,题目比较简单,找到角所在的直角三角形是解题关键.
10.(4分)如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O,且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形,若OA:OC=OB:OD,则下列结论中一定正确的是( )
A.①和②相似 B.①和③相似 C.①和④相似 D.②和④相似
【分析】利用相似三角形的判定定理,即两边成比例且夹角相等的两个三角形相似,即可判定B选项正确.
【解答】解:在△AOB与△COD中,
,
∴△AOB∽△COD,
∴①与③相似,故B选项正确,
又由于①与②,①与④,②与④均不满足相似的判定条件,故A,C,B选项均不正确,
故选:B.
【点评】本题考查了相似三角形的判定,要特别注意隐藏条件,即∠AOB=∠COD,是解决本题的关键.
11.(4分)有一个人患了流行性感冒,经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒,则每轮传染中平均一个人传染的人数是( )
A.14 B.11 C.10 D.9
【分析】患流行性感冒的人传染给别人,自己仍然患病,包括在总数中.设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则第一轮传染了x个人,第二轮作为传染源的是(x+1)人,则传染x(x+1)人,依题意列方程:1+x+x(1+x)=144,解方程即可求解.
【解答】解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人,依题意得1+x+x(1+x)=144,
即(1+x)2=144,
解方程得x1=11,x2=﹣13(舍去),
故选:B.
【点评】考查了一元二次方程的应用,本题要注意的是,患流行性感冒的人把病毒传染给别人,自己仍然是患者,人数应该累加,这个问题和细胞分裂是不同的.
12.(4分)矩形,菱形,正方形都具有的性质是( )
A.每一条对角线平分一组对角
B.对角线相等
C.对角线互相平分
D.对角线互相垂直
【分析】矩形,菱形,正方形都是特殊的平行四边形,因而平行四边形具有的性质就是矩形,菱形,正方形都具有的性质.
【解答】解:矩形,菱形,正方形都具有的性质:对角线互相平分.故选:C.
【点评】本题主要考查的是对矩形,矩形,菱形,正方形的性质的理解.
二、填空题(每题4分,6小题,共24分)
13.(4分)已知关于x的一元二次方程kx2﹣(2k﹣1)x+k﹣2=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是 k>﹣且k≠0 .
【分析】根据一元二次方程根的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ=(2k﹣1)2﹣4k(k﹣2)>0,然后求出两不等式的公共部分即可.
【解答】解:根据题意得k≠0且Δ=(2k﹣1)2﹣4k(k﹣2)>0,
解得k>﹣且k≠0.
即实数k的取值范围是k>﹣且k≠0.
故答案为:k>﹣且k≠0.
【点评】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2﹣4ac有如下关系:当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程无实数根.
14.(4分)如图,菱形ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,AE=EF,则∠EAF= 60° .
【分析】由菱形的性质得出AB=AD,∠B=∠D,证明△ABE≌△ADF(AAS),由全等三角形的性质得出AE=AF,证出△AEF是等边三角形,则可得出结论.
【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,∠B=∠D,
∵AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,
∴∠AEB=∠AFD=90°,
∴△ABE≌△ADF(AAS),
∴AE=AF,
∵AE=EF,
∴AE=EF=AF,
∴△AEF是等边三角形,
∴∠EAF=60°,
故答案为:60°.
【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质;熟练掌握菱形的性质,证明三角形是等边三角形是解决问题的关键.
15.(4分)等边△ABC的边长为3,点P为BC边上一点,且BP=1,点D为AC上一点,若∠APD=60°,则CD长是 .
【分析】根据等边三角形性质求出AB=BC=AC=3,∠B=∠C=60°,推出∠BAP=∠DPC,证△BAP∽△CPD,得出=,代入求出即可.
【解答】解:如图,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC=3,∠B=∠C=60°,
∴∠BAP+∠APB=180°﹣60°=120°,
∵∠APD=60°,
∴∠APB+∠DPC=180°﹣60°=120°,
∴∠BAP=∠DPC,
又∠B=∠C,
∴△BAP∽△CPD,
∴=,
∵AB=BC=3,BP=1,
∴CP=BC﹣BP=3﹣1=2,
∴=,
解得:CD=,
故答案为:.
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定,等边三角形的性质,三角形的内角和定理的应用,解题关键是推出△BAP∽△CPD,主要考查了学生的推理能力和计算能力.
16.(4分)如图,在平行四边形ABCD中,AD=5,AB=12,sinA=,过点D作DE⊥AB,垂足为E,则sin∠BCE= .
【分析】过点B作BF⊥EC于点F,由锐角三角函数定义求出DE=4,则AE=3,再由平行四边形的性质得AD=BC=5,AB=CD=12,然后由锐角三角函数定义得EF=3BF,最后由勾股定理求出BF的长,即可解决问题.
【解答】解:如图,过点B作BF⊥EC于点F,
∵DE⊥AB,
∴∠DEA=90°,
∵AD=5,sinA==,
∴DE=4,
∴AE===3,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD∥AB,AD=BC=5,AB=CD=12,
∴BE=AB﹣AE=12﹣3=9,
∵CD∥AB,
∴∠DEA=∠EDC=90°,∠CEB=∠DCE,
∴tan∠CEB=tan∠DCE,
∴===,
∴EF=3BF,
在Rt△BEF中,根据勾股定理得:EF2+BF2=BE2,
即(3BF)2+BF2=92,
解得:BF=,
∴sin∠BCE===,
故答案为:.
【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识,得出EF=3BF是解决本题的关键.
17.(4分)如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB上的点,DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于 1:3 .
【分析】首先根据题意求得:∠DFE=∠FED=∠EDF=60°,即可证得△DEF是正三角形,又由直角三角形中,30°所对的直角边是斜边的一半,得到边的关系,即可求得DF:AB=1:,又由相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可求得结果.
【解答】解:∵△ABC是正三角形,
∴∠B=∠C=∠A=60°,
∵DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,
∴∠AFE=∠CED=∠BDF=90°,
∴∠BFD=∠CDE=∠AEF=30°,
∴∠DFE=∠FED=∠EDF=60°,,
∴△DEF是正三角形,
∴BD:DF=1:①,BD:AB=1:3②,△DEF∽△ABC,
①÷②,=,
∴DF:AB=1:,
∴△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1:3.
故答案为:1:3.
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质,以及直角三角形的性质.此题难度不是很大,解题时要注意仔细识图.
18.(4分)观察下列各等式:
①;
②;
③;
…
根据以上规律,请写出第5个等式: 6= .
【分析】观察第一个等式,等号左边根号外面是2,被开方数的分子也是2,分母是22﹣1,等号右边是这个整数与这个分数的和的算术平方根;观察第二个等式,等号左边根号外面是3,被开方数的分子也是3,分母是32﹣1,等号右边是这个整数与这个分数的和的算术平方根;根据规律写出第5个等式即可.
【解答】解:第5个等式,等号左边根号外面是6,被开方数的分子也是6,分母是62﹣1,等号右边是这个整数与这个分数的和的算术平方根,
故答案为:6=.
【点评】本题考查了探索规律,逐步找到规律是解题的关键,注意第5个等式等号左边根号外面应该是6.
三、解答题(7个题,共78分)
19.(10分)计算:
(1);
(2)(3﹣)0×4﹣(2﹣6)﹣.
【分析】(1)先根据二次根式的乘法法则计算,再将二次根式化为最简二次根式并合并即可;
(2)直接利用零指数幂的性质、二次根式的性质、立方根的性质分别化简,进而合并得出答案.
【解答】解:(1)
=2﹣
=2﹣3
=﹣;
(2)(3﹣)0×4﹣(2﹣6)﹣
=1×4﹣2+6+2+2
=4﹣2+8+2
=12.
【点评】此题主要考查了实数的运算和二次根式的混合运算,正确化简各数是解题关键.
20.(10分)解方程
(1)2x2﹣5x+3=0;
(2)(2x+3)2+(2x+3)﹣2=0.
【分析】(1)将左边利用十字相乘法因式分解,继而可得两个关于x的一元一次方程,分别求解即可得出答案;
(2)将左边利用十字相乘法因式分解,继而可得两个关于x的一元一次方程,分别求解即可得出答案.
【解答】解:(1)∵2x2﹣5x+3=0,
∴(x﹣1)(2x﹣3)=0,
∴x﹣1=0或2x﹣3=0,
解得x1=1,x2=;
(2)∵(2x+3)2+(2x+3)﹣2=0,
∴(2x+3﹣1)(2x+3+2)=0,即(2x+2)(2x+5)=0,
∴2x+2=0或2x+5=0,
∴x1=﹣1,x2=﹣.
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.
21.(10分)一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作,在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°,面向AB方向继续飞行5米,测得该建筑物底端B的俯角为45°,已知建筑物AB的高为3米,求无人机飞行的高度(结果精确到1米,参考数据:≈1.414,≈1.732).
【分析】过A作AC⊥PQ,交PQ的延长线于C,设AC=x米,由锐角三角函数定义求出PC=AC=x(米),QC=BC=(x+3)米,再由PC﹣QC=PQ=5米得出方程,求解即可.
【解答】解:过A作AC⊥PQ,交PQ的延长线于C,如图所示:
设AC=x米,
由题意得:PQ=5米,∠APC=30°,∠BQC=45°,
在Rt△APC中,tan∠APC==tan30°=,
∴PC=AC=x(米),
在Rt△BCQ中,tan∠BQC==tan45°=1,
∴QC=BC=AC+AB=(x+3)米,
∵PC﹣QC=PQ=5米,
∴x﹣(x+3)=5,
解得:x=4(+1),
∴BC=4(+1)+3=4+7≈14(米),
答:无人机飞行的高度约为14米.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,熟练掌握俯角的定义和锐角三角函数定义,正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.
22.(10分)列方程(组)解应用题
端午节期间,某水果超市调查某种水果的销售情况,下面是调查员的对话:
小王:该水果的进价是每千克22元;
小李:当销售价为每千克38元时,每天可售出160千克;若每千克降低3元,每天的销售量将增加120千克.
根据他们的对话,解决下面所给问题:超市每天要获得销售利润3640元,又要尽可能让顾客得到实惠,求这种水果的销售价为每千克多少元?
【分析】设每千克降低x元,超市每天可获得销售利润3640元,由题意列出一元二次方程,解之即可得出答案.
【解答】解:设每千克降低x元,超市每天可获得销售利润3640元,由题意得,
(38﹣x﹣22)(160+×120)=3640,
整理得x2﹣12x+27=0,
∴x=3或x=9.
∵要尽可能让顾客得到实惠,
∴x=9,
∴售价为38﹣9=29元/千克.
答:水果的销售价为每千克29元时,超市每天可获得销售利润3640元.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
23.(12分)如图,点P是菱形ABCD的对角线BD上一点,连结CP并延长,交AD于E,交BA的延长线于点F.
(1)求证:PE•PF=PC2.
(2)如图2,连接AC交BD于O,连接OE,若CE⊥BC,求证:△POC∽△AEC.
【分析】(1)根据菱形的性质,首先利用SAS证明△CDP≌△ADP,得PC=PA,∠DCP=∠DAP,再说明△PAE∽△PFA,得,即可证明结论;
(2)根据菱形的性质可说明∠COP=∠CEA,从而证明结论.
【解答】证明:(1)∵四边形ABCD菱形,
∴AD=CD,∠CDP=∠ADP,CD∥AB,
在△CDP和△ADP中,
,
∴△CDP≌△ADP(SAS),
∴PC=PA,∠DCP=∠DAP,
∵CD∥AB,
∴∠DCP=∠F,
∴∠DAP=∠F,
∵∠APE=∠FPA,
∴△PAE∽△PFA,
∴,
∴PA2=PE•PF,
∴PE•PF=PC2;
(2)∵CE⊥BC,
∴∠ECB=90°,
∵AD∥BC,
∴∠CEA=∠BCE=90°,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∴∠COP=90°,
∴∠COP=∠CEA,
∵∠OCP=∠ECA,
∴△POC∽△AEC.
【点评】本题主要考查了菱形的性质,相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,证明PA=PC是解决问题(1)的关键.
24.(12分)如图,点E,F分别在正方形ABCD的边AB,AD上,且AE=DF,点G,H分别在边AB,BC上,且FG⊥EH,垂足为P.
(1)求证:FG=EH;
(2)若正方形ABCD边长为5,AE=2,tan∠AGF=,求PF的长度.
【分析】(1)根据正方形的性质可得∠A=∠B,∠PEG=∠GFA,从而可证△AFG≌△BEH(ASA),即可得证;
(2)根据正方形的性质以及tan∠AGF=,可得GE的长,再根据tan∠AGF=,设EP=3x,GP=4x,根据勾股定理,求出x的值,进一步可得GP的长,从而可得PF的长.
【解答】(1)证明:在正方形ABCD中,AB=BC=AD,
∠A=∠B=90°,
又∵AE=DF,
∴BE=AF,
∵FG⊥EH,
∴∠PEG+∠PGE=90°,
∵∠PGE+∠GFA=90°,
∴∠PEG=∠GFA,
在△AFG和△BEH中,
,
∴△AFG≌△BEH(ASA),
∴FG=EH;
(2)解:∵正方形ABCD边长为5,AE=2,
∴AD=5,DF=2,
∴AF=5﹣2=3,
∵tan∠AGF=,
∴AG=4,
∴GE=AG﹣AE=2,
根据勾股定理,可得FG=5,
∵tan∠AGF=,
设EP=3x,GP=4x,
根据勾股定理,得(3x)2+(4x)2=4,
解得x=,
∴GP=,
∴FP=FG﹣GP=.
【点评】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,解直角三角形,熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.
25.(14分)如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,已知OA=OC,OB=OD,过点O作EF⊥BD,分别交AB、DC于点E,F,连接DE,BF.
(1)求证:四边形DEBF是菱形;
(2)设AD∥EF,AD+AB=12,BD=4,求AF的长.
【分析】(1)证△BOE≌△DOF(ASA),得BE=DF,再证四边形DEBF是平行四边形,然后由菱形的判定即可得出结论;
(2)由勾股定理求出AD=4,则AB=8,再由菱形的性质得DE∥BF,BF=BE=DF,然后证四边形AEFD是菱形,得AF⊥DE,则AF⊥BF,即可解决问题.
【解答】(1)证明:∵OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD为平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠EBO=∠FDO,
在△BOE和△DOF中,
,
∴△BOE≌△DOF(ASA),
∴BE=DF,
∵BE∥DF,
∴四边形DEBF是平行四边形,
∵EF⊥BD,
∴平行四边形DEBF是菱形;
(2)解:∵AD∥EF,EF⊥BD,
∴∠ADB=90°,
在Rt△ABD中,由勾股定理得:AD2+BD2=AB2,
∵AD+AB=12,BD=4,
∴AD2+(4)2=(12﹣AD)2,
解得:AD=4,
∴AB=8,
∵AD∥EF,AB∥CD,
∴四边形AEFD是平行四边形,
∴AE=DF,
∵四边形DEBF是菱形,
∴DE∥BF,BF=BE=DF,
∴AE=BE=AB=4,
∴AE=AD,BF=BE=4,
∴四边形AEFD是菱形,
∴AF⊥DE,
∴AF⊥BF,
∴∠AFB=90°,
∴AF===4.
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识,熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.
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