2021-2022学年山东省聊城市高一（下）期末数学试卷-（Word解析版）

2021-2022学年山东省聊城市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 已知是虚数单位，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列说法正确的是(    )

A. 三个点可以确定一个平面
B. 若直线在平面外，则与无公共点
C. 用平行于底面的平面截正棱锥所得的棱台是正棱台
D. 斜棱柱的侧面不可能是矩形

3. 已知数据，，，的方差为，则，，，的方差为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 甲、乙两人打靶，已知甲的命中率为，乙的命中率为，若甲、乙分别向同一靶子射击一次，则该靶子被击中的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态．已知，，与的夹角为，则的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是(    )

A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则

7. 某企业为响应国家新旧动能转换的号召，积极调整企业拥有的种系列产品的结构比例，并坚持自主创新提升产业技术水平，年年总收入是年的倍，为了更好的总结种系列产品的年收入变化情况，统计了这两年种系列产品的年收入构成比例，得到如图饼图：
   
   则下列结论错误的是(    )

A. 年的甲系列产品收入和年保持不变
B. 年的丁系列产品收入是年丁系列产品收入的倍
C. 年的丙和丁系列产品的收入之和比年的企业年总收入还多
D. 年的乙和丙系列产品的收入之和比年的乙和丙系列产品收入之和的倍还少

8. 在高速公路建设中经常遇到开通穿山隧道的工程，如图所示，，，为某山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，，，现需要沿直线开通穿山隧道，已知，，，则隧道的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 下列说法中，正确的是(    )

A. 对于事件与事件，如果，那么
B. 在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性
C. 随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率
D. 从个红球和个白球中任取两个球，记事件取出的两个球均为红球，取出的两个球颜色不同，则与互斥而不对立

10. 已知是虚数单位，是复数，则下列叙述正确的是(    )

A.
B. 若，则不可能是纯虚数
C. 若，则在复平面内对应的点的集合确定的图形面积为
D. 是关于的方程的一个根

11. 已知，，分别是三个内角，，的对边，则下列命题中正确的是(    )

A. 若，则
B. 若是边长为的正三角形，则
C. 若，，，则有一解
D. 若是所在平面内的一点，且，则是直角三角形

12. 在棱长为的正方体中，，分别是，的中点，则(    )

A. 异面直线与所成的角为
B. 二面角的正切值为
C. 点到平面的距离是点到平面的距离的倍
D. 过，，三点的平面截该正方体所得截面的周长是

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知向量，的夹角的余弦值为，，且与垂直，则______．
14. 某同学劳动课上制作了一个圆锥形礼品盒，其母线长为，底面半径为，从底面圆周上一点处出发，围绕礼品盒的侧面贴一条金色彩线回到点，则所用金色彩线的最短长度为______．
15. 在中，是中点，，与交于，若，则______．
16. 在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点，是底面内一动点，满足平面，当最短时，三棱锥外接球的体积是______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 某高校在年的强基计划考试成绩中，随机抽取名学生的成绩，分组如下：

绘制成频率分布直方图，如图所示．
根据频率分布直方图求出第二组的频数，并估计该名学生成绩的第百分位数；
现需从成绩较高的第三、四、五组中按比例用分层抽样的方法抽取名学生进行座谈，求第三、四、五组各应抽取多少名学生进行座谈．

18. 已知点，，，点是直线上的动点为坐标原点，．
    求的坐标；
    求在方向上的投影向量．
19. 如图，在棱长为的正方体中，是上的动点，是的中点．
    求三棱锥的体积；
    若是的中点，求证：平面E.

20. 年月联合国教科文组织正式批准将端午节列入人类非物质文化遗产代表作名录，端午节成为中国首个入选世界非遗的节日．某学校在端午节前夕举行“灯谜竞猜”活动，活动分一、二两关，分别竞猜道、道灯谜．现有甲、乙两位选手独立参加竞猜，在第一关中，甲、乙都猜对了道，在第二关中甲、乙分别猜对道、道．假设猜对每道灯谜都是等可能的．
    从第一关的道灯谜中任选道，求甲都猜对的概率；
    从第二关的道灯谜中任选一道，求甲、乙两人恰有一个人猜对的概率．
21. 在中，，，分别为角，，的对边，且．
    求角；
    若是钝角三角形，且，求外接圆半径的取值范围．
22. 如图，在三棱柱中，点在平面上的射影为的中点，，，，．
    求证：平面；
    若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：三个共线的点不可以确定一个平面，A错误；
若直线在平面外，则或与相交，当与相交有一个公共点，B错误；
用平行于底面的平面截正棱锥所得的棱台是正棱台，C正确；
斜棱柱的侧面可以是矩形，D错误．
故选：．
由平面的基本性质、棱柱、棱锥的概念依次判断即可．
本题考查平面的基本性质，棱柱、棱锥的几何特征，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：样本数据，，，，的方差，
样本数据，，，的方差为：．
故选：．
利用方差性质求解．
本题考查样本数据方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用．
 

4.【答案】 

【解析】解：该靶子被击中的概率为．
故选：．
用减去甲乙两人都不命中的概率积可得结论．
本题考查相互独立事件的积事件概率求法，考查数学运算能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意知，，
所以，
所以．
故选：．
由三力平衡，知，将其两边平方，并结合平面向量的数量积进行运算，得解．
本题考查平面向量数量积的物理应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，
若，，，可得或、相交，故A错误；
若，，，可得，平行或异面、相交，故B错误；
若，，可得，又，则，故C正确；
若，，，可能，故D错误．
故选：．
由线线和线面、面面的位置关系，结合平行、垂直的判定定理和性质定理，可得结论．
本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，考查推理能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意设年总收入为，则年总收入为，
对于：年甲系列收入为，年甲系列收入为，故A正确；
对于：年丁系列收入为，年丁系列收入为，故B正确；
对于：年丙和丁系列收入之和为，年总收入为，故C正确；
对于：年的乙和丙系列产品收入之和的倍为，由得，D错误．
故选：．
根据题意设年总收入为，则年总收入为，依次计算可解．
本题考查了频率分布饼状图相关知识，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由已知可得，

．
在中，由正弦定理可得，，
在中，，，，
由正弦定理可得，，
．
故选：．
利用已知条件和正弦定理求得与，再由求解．
本题考查正弦定理、余弦定理和三角形面积的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：选项A，如果，那么，选项A错误；
选项B，根据随机事件发生频率的意义，一个随机事件发生的频率具有随机性，选项B正确；
选项C，随机事件发生的的频率稳定值，即为随机事件发生的概率，选项C正确；
选项D，从个红球和个白球中任取两个球，随机事件、不可能同时发生，也可能都不发生，选项D正确；
故选：．
根据随机事件发生的频率、概率及互斥事件概念直接判断．
本题考查了随机事件的有关概念，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，设，，
则，
，，故A正确，
对于，当为纯虚数时，
则，无解，
故当，则不可能是纯虚数，故B正确，
对于，，
则在复平面内对应的点的集合确定的图形为以圆心，为半径的圆，以及圆的内部，其面积为，故C错误，
对于，，
则，解得或，故D正确．
故选：．
对于，结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解，
对于，结合纯虚数的定义，即可求解，
对于，结合复数的几何意义，即可求解，
对于，直接解出的复数根，即可求解．
本题主要考查共轭复数和纯虚数的定义，复数模公式，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对选项，，由正弦定理可得，，选项正确；
对选项，是边长为的正三角形，
，选项错误；
对选项，，，
有两解，选项错误；
对选项，，
，
，两边平方化简可得：
，，是直角三角形，选项正确．
故选：．
对，根据正弦定理及大边对大角即可判断；
对，根据向量数量积的定义计算即可判断；
对，根据三角形解的个数的图解法即可判断；
对，根据向量的线性运算及向量数量积的性质即可判断．
本题考查正弦定理，三角形解的个数的图解法，向量数量积的定义，向量的线性运算及向量数量积的性质，属中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，连接，，，

，分别是，的中点，，
，，
是异面直线与所成角或所成角的补角，
是等边三角形，，异面直线与所成的角为，故A错误；
对于，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，令，得，
平面的一个法向量为，
设二面角的大小为，由图知是锐角，
则，，
二面角的正切值为，故B正确；
对于，设，分别到平面的距离为，，
，，
，，
，，
，
点到平面的距离是点到平面的距离的倍，故C正确；
对于，作直线，分别延长，，交于，，
连接交于，连接，交于，连接，，

则五边形为过，，三点的截面，
正方体的棱长为，则，，
∽，，
，，，，
同理得，，
五边形的周长为：，故D正确．
故选：．
对于，连接，，，可得是异面直线与所成角或所成角的补角，在中求解即可；对于，建立空间直角坐标系，利用空间向量能求出结果；对于，利用等体积法求解；对于，作出截面，求出其周长即可．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由于向量，的夹角的余弦值为，，
所以，
与垂直，
所以，
整理得，
故．
故答案为：．
直接利用向量垂直的充要条件求出的值．
本题考查的知识要点：向量的数量积，向量的夹角运算，向量垂直的充要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

14.【答案】 

【解析】解：圆锥侧面展开图如图：

圆锥侧面展开图中扇形所在的圆心角为：，
，
故答案为：．
利用圆锥侧面展开图，解三角形，即可解出．
本题考查了数形结合思想，转化思想，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意，如图，在中，是中点，则，
又由，则，则有，
又由、、三点共线，则设，且，
又由，则，则有，
又由，则，解可得；
故答案为：．
根据题意，分析可得，又由、、三点共线，则设，且，联立可得，则有，进而分析可得
，解可得答案．
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及向量的线性运算，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：补全截面为截面如图，设，

直线与平面不存在公共点，所以平面，
易知平面平面，所以，
且当与重合时，最短，此时的面积最小，
由等面积法得，即，
所以，因为，，所以平面，则，
又，所以为三棱锥的外接球的直径，长度为，
则三棱锥的外接球的半径为，体积为．
故答案为：．
由直线与平面没有公共点可知线面平行，补全所给截面后，易得两个平行截面，从而确定点所在线段，可知当时，三角形面积最小，然后证，得到为三棱锥的外接球的直径，进一步求解得答案．
本题考查了三棱锥外接球的体积计算，属于中档题．
 

17.【答案】解：由频率分布直方图可知，第二组的频率为，
所以第二组的频数为．
由频率分布直方图可知，成绩在分以下的学生所占比例为，
成绩在分以下的学生所占比例为，
因此，第百分位数一定位于内．
由，
可得样本数据的第百分位数约为．
因为第三、四、五组小矩形的高之比为：：，所以从第三、四、五组中抽取学生数之比为：：，
从第三组抽取人；从第四组抽取人；从第五组抽取人． 

【解析】由频率公布直方图结合频率与频数的关系可以求得第二组的频数，由频率公布直方图可知第百分位数位于内，从而求得第百分位数；
由分层抽样的定义即可求得第三、四、五组各应抽取多少名学生．
本题考查了频率分布直方图的应用，同时考查了数据的数字特征，考查了数据分析的能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：根据题意可设，则，，
因为，所以，解得，
所以，
故．
因为，，所以，
所以，
所以在方向上的投影向量为，
 

【解析】设，由，根据平面向量共线的坐标运算，可得关于的方程，解之，得解；
先计算的值，再由在方向上的投影向量为，，代入数据，运算得解．
本题考查平面向量的运算，熟练掌握平面向量的线性坐标运算，数量积运算，投影向量的计算方法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

19.【答案】解：在正方体中，平面
所以点在上运动时，到平面的距离为，；
证明：连接交于点，连接，，，

因为，且，，且，所以，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面E. 

【解析】在正方体中，平面，利用等体积即可计算；
连接交于点，连接，，，得到四边形是平行四边形，则，即可得证．
本题考查了线面平行的证明和三棱锥的体积计算，属于中档题．
 

20.【答案】解：设“任选道灯谜，甲都猜对”，用，，，，表示第一关的道灯谜，其中，，，表示甲猜对的道，
则样本空间为，，，，，，，，，，
，，，，，，
，，
根据古典概型的计算公式，得．
设“任选一道灯谜，甲猜对”，“任选一道灯谜，乙猜对”，“任选一道灯谜，甲、乙两人恰有一个人猜对”，
根据题意可得，，，，．
因为，且，互斥，
又甲、乙两位选手独立参加竞猜，所以，相互独立，从而，，，也相互独立．
所以，．
即甲、乙两人恰有一个人猜对的概率为． 

【解析】分别表示出道题选道题的样本空间，甲猜对道题的样本空间，即可解出；
利用相互独立事件同时发生的概率，即可解出．
本题考查了古典概型的概率计算，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

21.【答案】解：由余弦定理得，，所以，
由正弦定理得，，
又，，
所以，即．
因为，所以，即．
由知，所以，
又，所以，
因为是钝角三角形，由，可知角为钝角，所以，
即，得，
由可得，解得，所以，
由，得，即．
设外接圆半径为，由正弦定理知，
所以外接圆半径的取值范围是． 

【解析】由余弦定理，正弦定理，转化求解即可．
利用余弦定理推出，是钝角三角形，推出，结合正弦定理求解外接圆半径的取值范围即可．
本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，是中档题．
 

22.【答案】证明：因为平面，平面，所以平面平面．
因为，，所以．
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
解：

取中点，连接，，则，所以四边形是平行四边形．
因为，，，，平面，
所以平面，
所以平面平面D.
作于，则平面，
连接，则为直线与平面所成的角．
由，，，知，
又由知平面，
所以，，．
则．
由于，所以，所以．
故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为． 

【解析】证明平面平面推出得到平面平面，即可证明平面．
取中点，连接，，推出四边形是平行四边形．证明平面，得到平面平面D.作于，则平面，连接，说明为直线与平面所成的角．然后求解直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，是中档题．