2021-2022学年福建省莆田市高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年福建省莆田市高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 已知向量，，且与互相垂直，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 甲、乙两名篮球运动员分别投篮一次，如果两人投中的概率都是，且两人投篮相互独立，则两人都投中的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 函数的导函数是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 定义在上的函数，其导函数图象如右图所示，则的单调递减区间是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知在空间直角坐标系中，平行四边形三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

6. “保护环境，绿色出行”是现代社会提倡的一种环保理念，李明早上上学的时候，可以乘坐公共汽车，也可以骑单车，已知李明骑单车的概率为，乘坐公共汽车的概率为，而且骑单车与乘坐公共汽车时，李明准时到校的概率分别为与，则李明准时到校的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知函数为增函数，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 若正六棱柱底面边长为，高为，则直线和所成的角大小为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 为预测某电子商务平台年的销售额单位：亿元，建立了年销售额与年份代码的两个回归模型，根据该平台年至年的数据年份代码的值依次为，，，作出散点图，建立模型：和模型：，如下图，则下列说法正确的是(    )

A. 模型更适合作为回归模型
B. 年销售额与年份代码呈正相关关系
C. 根据模型计算得，当时，，可预测该平台年的年销售额为亿元
D. 若模型过样本中心，该平台年至年间年销售额的平均值为亿元，则

10. 在正三棱柱中，点满足，其中，则(    )

A. 棱 B. 平面
C.  D.

11. 已知件产品中有件是一等品，其余都是二等品．从这些产品中不放回地抽取三次，令为第次取到的是一等品，则(    )

A.  B. 与相互独立
C.  D.

12. 已知函数，则下列说法正确的有(    )

A. 无最大值 B. 有唯一零点
C. 在单调递增 D. 为的一个极小值

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 曲线在处的切线方程为______．
14. 已知随机变量服从标准正态分布，，则______．
15. 将个和个随机排成一行代码，则代码是“”的概率为______．
16. 如图，在棱长为的正方体中，，，分别为正方形，，的中心，点在正方形内含边界运动，若直线与平面无交点，则点所形成的轨迹______点填“经过”或“不经过”；该轨迹长度为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 如图，在空间四边形中，，，两两垂直，，，点在边上，且，为的中点．
    用向量，，表示向量；
    求．

18. 已知函数．
    求的单调区间；
    求在区间的最值．
19. 中学生应主动承担一定的烹饪、家庭清洁、家居美化等日常生活劳动，某劳动实践基地为了解中学生对提高烹饪技术是否有兴趣，从某中学随机抽取男、女各人进行调查．

请完成列联表，并判断是否有的把握认为对提高烹饪技术是否有兴趣与性别有关？
该基地为参与调查的同学组织了一次抽奖活动．袋中装有个除颜色外其余均相同的小球，其中个红球、个黄球．抽奖者从中一次抽出个小球，抽到个红球获得售价为元的冰墩墩摆件；否则获得售价为元的小礼品，设一位抽奖者获得奖品售价为元，求．
附：，其中．

20. 如图，在四棱锥中，底面且，，，，点为棱的中点．
    证明：；
    求平面与平面所成角的余弦值．

21. 国家射击队队员甲、乙两人在莆田市体育训练基地射击馆进行一次队内比赛，约定赛制如下：先进行一轮发子弹，每枪一发的常规赛，命中数多者为胜者．如果常规赛命中数相同，则进行附加赛，即每人各射击一发子弹，一人子弹命中目标而另一人子弹未命中，命中者获胜，否则每人继续射击一发，直到分出胜负为止，设甲、乙两人每发子弹命中目标的概率分别为和，且每发子弹是否命中目标互不影响．
    用表示常规赛中甲的命中数，求和；
    若甲、乙两人常规赛命中数相同，求在附加赛中两人恰好各射击三发子弹甲才获胜的概率．结果保留位小数
    参考数据：，，，．
22. 已知函数，．
    若是的极值点，求；
    时，证明：．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，且与互相垂直，
，解得．
故选：．
根据已知条件，结合空间向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查空间向量垂直的性质，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：两人都投中的概率为，
故选：．
利用独立事件的概率乘法公式求解．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
故选：．
根据导数的公式即可得到结论．
本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
 

4.【答案】 

【解析】解：由的图像可知在上，，单调递减，
故选：．
利用导函数的图像，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意数形结合思想的应用，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，设的坐标为，
的中点为，则的中点也为，
又由，，则的坐标为，
而，则有，，，
解可得：，，，故D的坐标为，
故选：．
根据题意，设的坐标为，的中点为，则的中点也为，利用中点坐标公式计算可得答案．
本题考查空间点的坐标，涉及中点坐标公式，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：李明上学骑单车准时到校的概率为，乘坐公共汽车准时到校的概率为，
因此李明准时到校的概率为：，
故选：．
分别求出乘坐公共汽车和骑单车准时到校的概率，然后求和即为准时到校的概率．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意得恒成立，
所以恒成立，
因为，
所以．
故选：．
先对函数求导，然后结合导数与单调性关系可求．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意，平移到，则为所求，

由于，
，
．
故选：．
画出正六棱柱几何体，将平移到，再求出的三边，利用余弦定理求出即可．
本题考查了异面直线所成角的计算，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由散点图可知年销售额与年份代码呈正相关关系，模型更适合作为回归模型，故选项A，B正确；
当时，，
当时，对应的年份为，可预测该平台年的年销售额为亿元，故选项C正确；
，
，解得，故选项D不正确．
故选：．
由散点图可判断选项A，，结合回归方程可判断选项C，．
本题考查了散点图和回归方程的应用，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由点满足，其中，
取，中点分别为，，

可得点是上的动点，可得是错误的；
即有平面，可得是正确的；
又与相交，而与平行，所以与相交，可得是错误的；
又，
正三棱柱中，
，
，
面，
面，
面，
面，
，可得是正确的；
故选：．
由点满足，取线段，中点分别为，，则点在线段上，即可判断B正确，再由线面垂直的判定定理判断出是正确的即可．
本题考查了动点轨迹，线面垂直的判定问题等，综合性强，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：件产品中有件是一等品，其余都是二等品，
从这些产品中不放回地抽取三次，令为第次取到的是一等品，
对于，，故A正确；
对于，，，故C错误；
对于，，，与不相互独立，故B错误；
对于，，故D正确．
故选：．
根据古典概型的概率公式及条件概率公式能求出结果．
本题考查命题真假的判断，考查古典概型的概率公式及条件概率公式、相互独立事件定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：令，，显然在上单调递增，对于，，令，解得，令，解得，故在递减，在递增，故，故无最大值，故A，C正确，令，则或，故B错误，而为的一个极小值，故D正确，
故选：．
令，，根据函数的单调性分别判断即可．
本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由，得，
，
又时，，
曲线在处的切线方程为．
故答案为：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再由直线方程的斜截式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：随机变量服从标准正态分布，，
，
．
故答案为：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：个位置选个放，其余个位置放，
总的排法有，
代码是“”的排法只有种，
代码是“”的概率为．
故答案为：．
根据古典概型计算公式，利用组合数计算全部事件的个数，所求事件仅为其中一种，由此能求出代码是“”的概率．
本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

16.【答案】经过  

【解析】解：因为直线与平面无交点，
所以平面，
所以需要在平面上找一点，设为，使平面平面，
延长，，，分别到，，，，使
，，，，
取正方形的中心，的中点，连接，，交平面于，
因为在正方体中，，分别为正方形，的中心，
所以，，所以四边形为平行四边形，
所以，
因为，，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为，平面，，平面，
所以平面，平面，
因为，平面，，
平面平面，
因为平面，所以平面，
延长交于，则为点所形成的轨迹，
所以点所形成的轨迹经过点，
过作于，过作于，则
∽，所以，
所以，得，
所以，
所以，
故答案为：经过，．
延长，，，分别到，，，，使，，，，取正方形的中心，的中点，连接，，交平面于，可证得平面，延长交于，则为点所形成的轨迹，过作于，过作于，利用∽，可求出，从而可求出的长．
本题考查了轨迹方程的综合应用，属于难题．
 

17.【答案】解：依题意，得，分
因为点满足，为的中点，
所以分
所以分
因为，，两两垂直．，，
所以，分
由可得分
即分
所以分 

【解析】由，根据，的位置可得出答案．
由，由向量的数量积的运算可得出答案．
本题主要考查空间向量基本定理，空间向量的四则运算，数量积运算等基础知识；考查空间想象，推理论证，运算求解等能力；考查化归与转化，数形结合等思想；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性与综合性．
 

18.【答案】解：由题意可得，
令，得或，列表如下：

所以单调递增区间为和，单调递减区间为．
由知在，单调递增，在单调递减，
又因为，，，，
所以在区间上的最大值为，最小值为． 

【解析】求出导函数，利用导函数的符号，判断函数的单调性，推出结果即可．
求出函数的极值以及端点值，即可得到函数的最值．
本题主要考查函数的单调性，最值等基础知识：考查推理论证，运算求解等能力；考查函数与方程，数形结合等数学思想；考查逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性和应用性．
 

19.【答案】解：提出统计假设：对提高烹饪技术有兴趣与性别无关．
由题意，可得如下列联表：

所以．
所以有的把握认为对提高烹饪水平是否有兴趣与性别有关．
的可能取值为，．
．
．
所以 

【解析】根据题干数据补全表格，再根据相关系数公式求解即可．
求出所有的可能取值，再求出对应概率，求解期望即可．
本题主要考查相关系数和离散型随机变量的期望，属于基础题．
 

20.【答案】解法一：
证明：因为，所以．
如图，以为原点，分别以，为轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，
，，，，因为点为棱的中点，所以

于是，
所以，
所以，即．
解：由得，
设是平面的法向量，则，
取，得，则是平面的一个法向量，
又因为平面，所以是平面的一个法向量，
设平面与平面所成的角为，
则，
所以平面与平面所成角的余弦值为．
解法二：
证明：如图，取中点，连接，，

因为平面，平面，
所以．
因为，，，
所以四边形为正方形，，
所以且，所以，
所以在中，，所以，
又因为，，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
在中，，为中点，所以，
因为，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以．
解：分别取，的中点，，连接，，，则，

又由知，同理可得，
所以，，
因为，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
因为，，所以，
又因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为，所以为二面角的平面角，
在中，，所以，
所以平面与平面所成角的余弦值为． 

【解析】解法一：
以为原点，分别以，为轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，求解，利用向量的数量积为，证明即可．
求出平面的法向量，平面的一个法向量，利用空间向量的数量积求解平面与平面所成角的余弦值．
解法二：
取中点，连接，，证明，推出平面，得到，证明，推出平面，即可证明．
分别取，的中点，，连接，，，说明为二面角的平面角，通过求解三角形推出结果即可．
本题主要考查直线与直线平行，直线与平面垂直，两个平面所成的角等基础知识；考查空间想象，推理论证，运算求解等能力；考查化归与转化，数形结合等思想；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性与综合性．
 

21.【答案】解：由题意得，
则，
．
用表示在附加赛中两人恰好各射击三发子弹甲才获胜，
用表示在附加赛中两人各射击第一发子弹未分出胜负，
用表示第二发子弹未分出胜负，
用表示甲第三发子弹命中目标且乙第三发子弹未命中目标，
则，且，，相互独立，
所以，，，
所以． 

【解析】根据已知条件可得，再结合即可求解．
根据已知条件，分别求出在附加赛中两人各射击第一发子弹未分出胜负的概率，第二发子弹未分出胜负的概率，甲第三发子弹命中目标且乙第三发子弹未命中目标的概率，再结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解．
本题主要考查二项分布的期望公式，以及二项分布的概率公式，属于中档题．
 

22.【答案】解；，是的极值点，，解得，
经检验，符合题意；
要证，即证，
令，则，
令，，减函数，
又，，
，使得，且时，从而，，，从而，
，又极值唯一，，又，代入得，，
即， 

【解析】根据条件是的极值点，求解；
转化为证明，进而求函数的最值，问题得证．
本题考查了极值点的概念，及运用导数证明不等式，是中档题．