2021-2022学年福建省泉州市安溪县蓝溪中学高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年福建省泉州市安溪县蓝溪中学高二（下）期末数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知数列满足，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 数列，，，，，的一个通项公式为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知等差数列中，，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知等比数列中，，，则公比(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知等比数列的首项为，前项和为，若，则公比(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下列说法正确的是(    )

A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B. 过空间内不同的三点，有且只有一个平面
C. 棱锥的所有侧面都是三角形
D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台

7. 已知，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列命题正确的是(    )

A. 若，是异面直线，，，且，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则

8. 周髀算经是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，则立秋的晷长为(    )

A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 若，，与的夹角为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 在的展开式中，下列说法正确的是(    )

A. 常数项是 B. 第项的二项式系数最大
C. 第项是 D. 所有项的系数的和为

11. 下列说法中正确的是(    )

A. 已知，，平面内到，两点的距离之和等于的点的轨迹是线段
B. 已知，，平面内到，两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆
C. 平面内到点，两点的距离之和等于点到，的距离之和的点的轨迹是椭圆
D. 平面内到点，距离相等的点的轨迹是椭圆

12. 如图，在正方体中，以下四个结论正确的是(    )

A. 直线与是相交直线 B. 直线与是平行直线
C. 直线与是平行直线 D. 直线与是异面直线

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知是等比数列，则______．
14. 如图所示，在平行六面体中，，若，则 ______ ．

15. 椭圆的右焦点为，以为焦点、坐标原点为顶点的抛物线方程为______．
16. 如图所示，将一环形花坛分成，，，四块，现有种不同的花供选种，要求在每块里种种花，且相邻的块种不同的花，则不同的种法总数为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
    ，经过点，焦点在轴上；
    与椭圆有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为．
18. 已知等差数列满足，
    求的通项公式；
    设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等？
19. 已知直线：与轴，轴围成的三角形面积为，圆的圆心在直线上，与轴相切，且在轴上截得的弦长为．

求直线的方程结果用一般式表示

求圆的标准方程．

20. 已知等比数列中，，．
    求数列的通项公式；
    记，求数列的前项和．
21. 如图，在正方体中，为的中点．
    求证：平面；
    求直线与平面所成角的正弦值．

22. 已知椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合．过且与轴垂直的直线交于，两点，交于，两点，且．
    求的离心率；
    若的四个顶点到的准线距离之和为，求与的标准方程．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意，，
则是以为首项，为公比的等比数列，
，
则，
故选：．
由题意，为等比数列，再求即可．
本题考查数列的递推公式，考查学生的运算能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由于数列中后项与前项之差为，首项为，则可判断此数列是等差数列，
则通项公式，
故选：．
根据题意可判断数列为首项为，公差为的等差数列后可解．
本题考查等差数列相关知识，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意，设等差数列的公差为，
则，
即，
，
，
解得，
．
故选：．
先设等差数列的公差为，再根据题干已知条件列出关于首项与公差的方程组，解出与的值，即可根据等差数列的通项公式计算出的值．
本题主要考查等差数列的基本运算．考查了方程思想，等差数列通项公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意，可得，
解得．
故选：．
先根据题干已知条件及等比数列的性质计算出的值，进一步计算即可得到的值．
本题主要考查等比数列的性质．考查了方程思想，等比数列的性质运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意得，
若，则，
故．
故选：．
由已知结合等比数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：选项A，四棱台的上下底面平行，其余各面也均为四边形，但不是棱柱，即A错误；
选项B，若这三点共线，则可以确定无数个平面，即B错误；
选项C，棱锥的底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，即C正确；
选项D，只有用平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，即D错误．
故选：．
，举反例四棱台即可判断；，当空间内不同的三点共线时，可以确定无数个平面；，由棱锥的定义和结构特点进行判断；，前提条件是截面与底面平行．
本题考查棱柱和棱锥的结构特征，考查学生的空间立体感和逻辑推理能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：若，，则或，则D错误；
若，，则或与相交，则B错误；
若，，则或，则C错误；
若，是异面直线，，，且，则，则A正确．
故选：．
根据线面、面面平行与垂直的性质定理及判定定理一一判断即可．
本题考查了线面、面面平行与垂直的性质定理及判定定理，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意，可将题中九个节气的晷长构造成等差数列，，，，，
设等差数列的前项和为，
则，，
设等差数列的公差为，
则，
化简整理，得，
解得，
立秋的晷长为第项，而，
立秋的晷长为尺．
故选：．
先根据题意将实际问题转化成数学问题，构造等差数列，进一步根据题干可得，，然后设等差数列的公差为，列出关于首项与公差的方程组，解出与的值，即可计算出立秋的晷长对应的的值，得到正确选项．
本题主要考查等差数列的实际运用．考查了转化与化归思想，方程思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属基础题．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查实数值的求法，考查向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用向量夹角公式直接求解．

【解答】

解：，，与的夹角为，
，
解得或．
故选：．

10.【答案】 

【解析】解：展开式的常数项为，故A错误，
因为，所以二项式系数最大的项为第项，故B正确，
展开式的第项为，故C错误，
令，则展开式的各项系数和为，故D正确，
故选：．
：根据二项式定理求出常数项即可判断，：根据的值以及二项式系数的性质即可判断，：根据二项式定理求出第项即可判断，：令，由此即可判断求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于，，
平面内到，两点的距离之和等于的点的轨迹是线段，故A正确，
对于，到，两点的距离之和等于，小于，这样的轨迹不存在，故B错误，
对于，点到，的距离之和为，其轨迹为椭圆，故C正确，
对于，轨迹为线段的垂直平分线，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合椭圆的定义，即可求解．
本题主要考查了椭圆的定义，考查了计算能力，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于：平面，平面，且它们不同在任何一个平面内，故AE与为异面直线，故A错，
对于：故B对，
对于：，，故AD，故C对，
对于：平面，平面，故D错，
故选：．
利用空间中两直线的位置关系可解．
本题考查空间中两直线的位置关系，属于基础题
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意，设等比数列的公比为，
则，
故．
故答案为：．
先设设等比数列的公比为，再根据题干已知条件及等比数列的定义计算出的值，最后根据等比数列的通项公式即可计算出的值．
本题主要考查等比数列的定义及通项公式．考查了转化与化归思想，等比数列通项公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为

，
又，
所以，
则．
故答案为：．
在平行六面体中把向量用表示，然后利用向量相等，得到，，的值．
本题考查了空间向量基本定理的理解和应用，考查了化简运算能力与转化回归能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：椭圆的右焦点为，
以为焦点、坐标原点为顶点的抛物线方程为．
故答案为：．
求出椭圆的焦点坐标，得到抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程．
本题考查椭圆的简单性质的应用，抛物线方程的求法，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
根据题意，依次分析、、和的选法数目，由分步计数原理计算可得答案．

【解答】

解：根据题意，对于区域，有种不同的花卉供选择，有种选法，
对于区域，与区域相邻，有种选法，
对于区域和，若与的选择相同，有种选法，
若与的选择不同，有种选法，有种选法，此时有种选法，
则区域和有种选法，
故有种选法；
故答案为：．

17.【答案】解：由题意可得，双曲线的焦点在轴上，
则可设双曲线方程为，
，且过点在双曲线上，
，解得，，
故双曲线的标准方程为．
双曲线与椭圆有共同的焦点，
双曲线的焦点为，，
双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为，
该焦点的横坐标为或，故交点为或，
，解得，，
故双曲线的方程为． 

【解析】由题意可得，双曲线的焦点在轴上，则可设双曲线方程为，将和点代入双曲线，即可求解．
双曲线与椭圆有共同的焦点，可得双曲线的焦点为，，由双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为，可推得该焦点的横坐标为或，故交点为或，再结合双曲线的性质，以及交点在双曲线上，即可求解．
本题主要考查了双曲线标准方程的求解，以及双曲线性质的应用，属于中档题．
 

18.【答案】解：设等差数列的公差为．
，所以
，所以
，

设等比数列的公比为，
，，

，
，而

与数列中的第项相等 

【解析】由，可求公差，然后由，可求，结合等差数列的通项公式可求
由，，可求等比数列的首项及公比，代入等比数列的通项公式可求，结合可求
本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用，属于对基本公式应用的考查，试题比较容易．
 

19.【答案】解：在直线方程中，令，得，
令，得，
故，又，故．
所求直线方程为：；
设所求圆的标准方程为：．
由题可知，
联立求解得：或．
故所求圆的标准方程为：或． 

【解析】求出直线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式求得，则直线方程可求；
设所求圆的标准方程为：由题意列关于，，的方程组，求解得答案．
本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用待定系数法求圆的标准方程，是中档题．
 

20.【答案】解：设公比为的等比数列，
等比数列中，，．
所以，解得，解得．
故，
所以．
，
所以，
，
得：，
整理得：． 

【解析】直接利用等比数列的性质的应用建立等量关系，进一步求出通项公式；
利用的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的求和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
 

21.【答案】证明：因为是正方体，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
又面，平面，
平面；
解：连接交于，
平面，平面，
，
又，，
平面，
直线与平面所成角为，
，
则直线与平面所成角的正弦值是． 

【解析】由条件证明四边形是平行四边形，得到即可；
连接交于，得到平面，则直线与平面所成角为，即可求解．
本题考查了线面平行的证明和线面角的计算，属于中档题．
 

22.【答案】解：由题意设抛物线的方程为：，焦点坐标为，因为轴，将代入抛物线的方程可得，所以，
所以弦长，
将代入椭圆的方程可得，所以，
所以弦长，
再由，可得，即，
整理可得，即，，所以解得，
所以的离心率为；
由椭圆的方程可得个顶点的坐标分别为：，，
而抛物线的准线方程为：，
所以由题意可得，即，而由可得，所以解得：，，所以，
所以的标准方程为：，的标准方程为：． 

【解析】本题考查求椭圆，抛物线的方程，及直线与椭圆的综合，属于中档题．
由题意设抛物线的方程，求出焦点坐标，再由题意求切线弦长，的值，再由，可得，，的关系，由椭圆中，，，之间的关系求出椭圆的离心率；
由椭圆的方程可得个顶点的坐标，及抛物线的准线方程，进而求出个顶点到准线的距离，再由的结论求出，的值，又由椭圆中，，之间的关系求出，，的值，进而求出椭圆及抛物线的方程．