2021-2022学年福建省福州市四校联盟高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

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绝密★启用前2021-2022学年福建省福州市四校联盟高二（下）期末数学试卷第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）已知集合M={x|y=2-x}，N={x|-2n>0”是m2>n2的( )A. 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件函数y=log2(3x-2)的定义域是( )A. (-∞,23) B. (23,+∞) C. (23,1] D. [1,+∞)函数f(x)=sinx-3cosx(x∈[-π,0])的单调递增区间是( )A. [-π,-5π6] B. [-5π6,-π6] C. [-π6,0] D. [-π3,0]我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象的特征，如函数f(x)=12x-sinx的图象大致是( )A. B. C. D. 已知x>0，y>0，x+2y=1，则(x+1)(y+1)xy的最小值为( )A. 4+43 B. 12 C. 8+43 D. 16已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )A. 若m//α，n//α，则m//n B. 若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC. 若m⊥α，m⊥n，则n//α D. 若m//α，m⊥n，则n⊥α二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）下列选项中，与sin56π的值相等的是( )A. cos(-π3) B. cos18°cos42°-sin18°sin42°C. 2sin15°sin75° D. tan30°+tan15°1-tan30∘tan15∘有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲7 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙9 5 7 8 7 6 8 6 7 7在这次射击中，下列说法正确的是( )A. 甲成绩的极差比乙成绩的极差大 B. 甲成绩的众数比乙成绩的众数大C. 甲的成绩没有乙的成绩稳定 D. 甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大已知四边形ABCD为正方形，GD⊥平面ABCD，四边形DGEA与四边形DGFC也都为正方形，连接EF，FB，BE，点H为BF的中点，下列结论正确的是( )A. DE⊥BF B. EF与CH所成角为60°C. EC⊥平面DBF D. BF与平面ACFE所成角为45°．在某社区兴办的“环保我参与”有奖问答比赛活动中，甲、乙、丙3个家庭同时回答一道有关环保知识的问题，已知甲家庭回答对这道题的概率是34，甲、丙2个家庭都回答错的溉率是112，乙、丙2个家庭都回答对的概率是14，若各家庭回答是否正确互不影响，则下列说法正确的是( )A. 乙家庭回答对这道题的概率为38 B. 丙家庭回答对这道题的概摔为78C. 有0个家庭回答对的概率为596 D. 有1个家庭回答对的概率为712第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）函数f(x)=x,x<0ex-1,x≥0，则f(2)+f(-1)=______．已知向量a，b满足a=(-1,3)，b=(1,0)，则向量a在b上的投影向量为______．已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)部分图象如图所示，ω=______．函数f(x)=2x+3x-4的零点所在的区间是(a,a+1)则a=______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(本小题10.0分)4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每日课外阅读的时长，如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a的值，并估计1000名学生每日的平均阅读时间(同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值)；(2)若采用分层抽样的方法，从样本在[60,80)[80，100]内的学生中共抽取5人来进一步了解阅读情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．(本小题12.0分)已知函数f(x)=3sin2x-2cos2x+m+1(x∈R)的最小值为-2．(1)求实数m的值；(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)=2，c=5，cosB=17，求AC的长．(本小题12.0分)已知向量a=(sinx,3sin(π+x))，b=(cosx,-sinx)，函数f(x)=a⋅b-32．(1)求f(x)的最小正周期及f(x)图像的对称轴方程；(2)先将f(x)的图像上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向左平移π3个单位长度得到函数g(x)的图像，若函数y=g(x)-m在区间[π6,5π6]内有两个零点，求m的取值范围．(本小题12.0分)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2，AA1=5，E、F分别为D1D、B1B上的点，且DE=B1F=1．(Ⅰ)求证：BE⊥平面ACF；(Ⅱ)求点E到平面ACF的距离．(本小题12.0分)已知函数f(x)=(12)x，函数g(x)=log2x.(1)若g(mx2+2x+m)的定义域为R，求实数m的取值范围；(2)当x∈[-1,1]时，函数y=[f(x)]2-2af(x)+3的最小值为1，求实数a的值．(本小题12.0分)党的十九大报告明确指出要坚决打赢脱贫攻坚战，让贫困人口和贫困地区同全国一道进入全面小康社会，要动员全党全国全社会力量，坚持精准扶贫、精准脱贫，确保到2020年我国现行标准下农村贫困人口实现脱贫．现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作．经摸底排查，该村现有贫困农户100户，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其户数必须小于种植的户数．从2018年初开始，若该村抽出4x户(x∈Z,1≤x≤12)从事水果包装、销售．经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高x20，而从事包装销售农户的年纯收入每户平均为(3-15x)万元．(参考数据：1.123=1.404，1.153=1.520，1.183=1.643，1.23=1.728)．(1)至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.32万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由；(2)至2020年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫(即每户(水果种植农户)年均纯收入不低于1.6万元)，至少要抽出多少户从事包装、销售工作？答案和解析1.【答案】C 【解析】解：∵M={x|x≤2}，N={x|-2n>0，可以推出m2>n2，但m2>n2，如：m=-5，n=1，mn>0，故“m>n>0”是m2>n2的充分不必要条件．故选：A．根据充要条件的定义，一一分析即可．本题考查充要条件的判断，属于基础题．4.【答案】D 【解析】解：log2(3x-2)≥0，且3x-2>0，解得x≥1，故选：D．根据偶次根号下的被开方数大于等于零，对数的真数大于零，列出不等式组，进行求解再用集合或区间的形式表示出来．本题考查了函数定义域的求法，即根据函数解析式列出使它有意义的不等式组，最后注意要用集合或区间的形式表示出来，这是易错的地方．5.【答案】C 【解析】解：函数f(x)=sinx-3cosx=2sin(x-π3)，令2kπ-π2≤x-π3≤2kπ+π2，求得2kπ-π6≤x≤2kπ+5π6，的单调递增区间[2kπ-π6,2kπ+5π6]，k∈Z．结合x∈[-π,π]，可得函数的增区间为[-π6,0]，故选：C．利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的增区间，求得函数f(x)=sinx-3cosx(x∈[-π,0])的单调递增区间．本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的增区间，属于基础题．6.【答案】A 【解析】解：f(-x)=-12x-sin(-x)=-(12x-sinx)=-f(x)，故函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故排除BD；又f(π2)=π4-1<0，故排除C．故选：A．利用函数的奇偶性及特殊点的值，运用排除法得解．本题考查函数图象的确定，考查函数性质的运用，考查数形结合思想，属于基础题．7.【答案】C 【解析】解：由x+2y=1可得，(x+1)(y+1)xy=(x+x+2y)(y+x+2y)xy=(2x+2y)(x+3y)xy=2x2+8xy+6y2xy=2xy+6yx+8≥22xy×6yx+8=8+43．当且仅当2xy=6yx时，等号成立，即x2=3y2．所以(x+1)(y+1)xy的最小值为8+43，故选：C．将x+2y=1代入(x+1)(y+1)xy中，利用基本不等式求解即可．本题考查了基本不等式及其应用，属于中档题．8.【答案】B 【解析】【分析】本题考查空间直线与平面的位置关系，属于基础题．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，判断A，D；运用线面垂直的性质，结合线线垂直，判断B，C．【解答】解：若m//α，n//α，则m，n相交或平行或异面，故A错误；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；若m⊥α，m⊥n，则n//α或n⊂α，故C错误；若m//α，m⊥n，则n//α或n⊂α或n⊥α或n与α相交，故D错误．故选：B． 9.【答案】ABC 【解析】解：因为sin5π6=12，cos(-π3)=cosπ3=12，A符合题意；cos18°cos42°-sin18°sin42°=cos(18°+42°)=cos60°=12，B符合题意；2sin15°sin75=2sin15°cos15°=sin30°=12，C符合题意；tan30°+tan15°1-tan30∘tan15∘=tan(30°+15°)=tan45°=1，D不符合题意．故选：ABC．结合诱导公式及和差角，二倍角公式分别进行化简，即可求解．本题主要考查了和差角公式，二倍角公式及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．10.【答案】AC 【解析】解：对于选项A：甲成绩的极差为10-4=6，乙成绩的极差为9-5=4，所以甲成绩的极差比乙成绩的极差大，故选项A正确，对于选项B：甲成绩的众数为7，乙成绩的众数为7，所以甲成绩的众数与乙成绩的众数相等，故选项B错误，对于选项C：甲成绩的平均数为7+8+7+9+5+4+9+10+7+410=7，方差为110[(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(4-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7-7)2+(4-7)2]=4，乙成绩的平均数为9+5+7+8+7+6+8+6+7+710=7，方差为110[(9-7)2+(5-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2]=1.2，所以甲成绩的方差大于乙成绩的方差，所以甲的成绩没有乙的成绩稳定，故选项C正确，对于选项D：甲成绩的中位数为7，乙成绩的中位数为7，故选项D错误，故选：AC．根据极差、众数、平均数和中位数的定义，逐个分析各个选项即可．本题主要考查了数据的极差、众数、平均数和中位数，是基础题．11.【答案】ABC 【解析】解：由题意将所得几何体补成一个正方体，如图，以D为坐标原点，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DG所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设AD=DC=DG=2，则D(0,0,0)，C(0,2,0)，E(2,0,2)，F(0,2,2)，B(2,2,0)，H(1,2,1)，对于A，DE=(2,0,2)，BF=(-2,0,2)，∴DE⋅BF=0，∴DE⊥BF，故A正确；对于B，EF=(-2,2,0)，CH=(1,0,1)，设CH，EF所成角为θ，θ∈(0,π2],∴cosθ=|cos|=|EF⋅CH||EF|⋅|CH|=12，解得θ=π3，故B正确；对于C，EC=(-2,2,-2)，DB=(2,2,0)，DF=(0,2,2)，设n=(x,y,z)是平面DBF的一个法向量，∴n⋅DB=2x+2y=0n⋅DF=2y+2z=0，令x=1，则n=(1,-1,1)，∴EC=-2n，∴EC//n，∴EC⊥平面DBF，故C正确；对于D，由题意，EA⊥平面ABCD，则EA⊥DB，由题意得DB⊥AC，EA∩AC=A，则DB⊥平面ACFE，则DB=(2,2,0)是平面ACFE的一个法向量，设BF与平面ACFE所成角为α，α∈[0,π2]，∴sinα=|cos|=|DB⋅BF||DB|⋅|BF|=12，解得α=π6，故D错误．故选：ABC．根据题意，将几何体补形为正方体，进而建立空间直角坐标系，通过空间向量的运算能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】AC 【解析】解：设甲家庭对这道题为事件A，乙家庭答对这道题为事件B，丙家庭对这道题为事件C，则P(A)=34，且P(A-)⋅P(C-)=112P(B)⋅P(C)=14，即[1-P(A)][1-P(C)]=112P(B)⋅P(C)=14，解得P(B)=38，P(C)=23，故A正确，B错误；有0个家庭回答对的概率为：P0=P(A-B-C-)=P(A-)P(B-)P(C-)=14×58×13=596，故C正确；有1个家庭回答对的概率为：P1=P(AB-C-+A-BC-+A-B-C)=34×58×13+14×38×13+14×58×23=724，故D错误．故选：AC．设事件，列出方程组，解出P(B)=38，P(C)=23，计算有0个家庭回答对的概率和有1个家庭回答对的概率，逐一判断各选项能求出结果．本题考查概率的运算，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】e2-2 【解析】解：∵f(x)=x,x<0ex-1,x≥0，则f(2)+f(-1)=e2-1-1=e2-2．故答案为：e2-2．结合分段函数的解析式，分别求出f(2)与f(-1)即可．本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．14.【答案】(-1,0) 【解析】解：∵a=(-1,3)，b=(1,0)，∴|a|=2，|b|=1，a⋅b=-1，∴cos=-12，向量a在b上的投影向量为|a|⋅cos⋅b|b|=(-1,0)．故答案为：(-1,0)．根据向量a在b上的投影向量为|a|⋅cos⋅b|b|，计算即可．本题考查投影向量，属于基础题．15.【答案】32 【解析】解：由图象可得34T=7π12-(-5π12)=π，所以T=43π，所以2πω=43π，所以ω=32．故答案为：32．由图象可求得函数的最小正周期，从而可求得ω．本题主要考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查数形结合思想与运算求解能力，属于基础题．16.【答案】0 【解析】解：f(0)=1-4=-3<0，f(1)=2+3-4=1>0，根据零点存在定理，可得函数f(x)=2x+3x-4的零点所在的大致区间是(0,1) 故a=0．故答案为：0．确定f(0)=1-4=-3<0，f(1)=2+3-4=1>0，根据零点存在定理，可得结论．本题考查零点存在定理，考查学生的计算能力，属于基础题．17.【答案】解：(1)由频率分布直方图可得，(0.0025+0.01+a+0.015+0.01)×20=1，即a=0.0125，这1000名学生每日的平均阅读时间x-=10×0.05+30×0.2+50×0.25+70×0.3+90×0.2=58分钟．(2)∵由频率分布直方图，可知样本在[60,80)[80，100]内的学生频率分布为0.3，0.2，∴样本在[60,80)[80，100]采用分层抽样的比例为3：2，∴[60,80)抽取了3人a，b，c，[80,100]抽取了2人d，e，则再从5人中抽取2人共有{ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de}10种不同的抽取方法，抽取的2人来自不同组共有{ae,bc,bd,be,cd,ce}6种，∴抽取的2人来自不同组的概率P=610=35．【解析】(1)由频率分布直方图的性质，可得各个区间的频率和为1，即可求a的值，再将各区间的中点乘以对应的频率，并求和，即可求解．(2)样本在[60,80)[80，100]内的学生频率分布为0.3，0.2，即样本在[60,80)[80，100]采用分层抽样的比例为3：2，再结合古典概型，即可求解．本题考查了频率分布直方图的应用问题，频率、频数与样本容量的应用问题，以及古典概率的问题，属于基础题．18.【答案】解：(1)f(x)=3sin2x-2cos2x+m+1=-cos2x+3sin2x+m=2sin(2x-π6)+m．∵f(x)的最小值为-2，∴-2+m=-2，解得m=0．(2)由f(A)=2得sin(2A-π6)=1，∵00恒成立，当m=0时，不符合，∴m>04-4m2<0，解得m>1．∴实数m的取值范围为(1,+∞)；(2)由题意，令t=(12)x，t∈[12,2]．则函数y=[f(x)]2-2af(x)+3化为y=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2，t∈[12,2]．①当a>2时，可得当t=2时y取最小值，且ymin=y(2)=7-4a，由7-4a=1，解得a=32(舍)；②当12≤a≤2时，可得当t=a时y取最小值，且ymin=y(a)=3-a2，由3-a2=1，得a=-2(舍)或a=2；③a<12时，可得当t=12时y取最小值，且ymin=y(12)=134-a，由134-a=1，得a=94(舍)．综上，a=2．【解析】(1)由mx2+2x+m恒成立，得关于m的不等式组，求解得答案；(2)令t=(12)x，t∈[12,2]，可得y=(t-a)2+3-a2，t∈[12,2]，根据二次函数的定义域和对称轴的关系分类讨论求最小值，进一步求得实数a的值．本题主要考查函数的定义域及其求法，训练了利用换元法求二次函数的最值，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．22.【答案】解：(1)假设至2018年底每户年均纯收入能达到1.32万元，由已知可得：每户的平均收入为：f(x)=4x(3-15x)+(100-4x)(1+x20)100，令f(x)=4x(3-15x)+(100-4x)(1+x20)100≥1.32，化简，得x2-13x+32≤0，解得：13-412≤x≤13+412，因为x∈Z，1≤x≤12，且6<41<7，可得：x∈{4,5,6,7,8,9}，所以，当从事包装、销售的户数为16，20，24，28，32，36户时能达到每户平均纯收入1.32万元．(2)由已知可得：至2020年底，种植户每户平均收入为1×(1+x20)3，令(1+x20)3≥1.6，得：x≥20(31.6-1)，由题所给数据，知：1.15<31.6<1.18，所以，3<20(31.6-1)<3.6，所以，x的最小值为4，4x≥16，即至少抽出16户从事包装、销售工作．【解析】(1)假设至2018年底每户年均纯收入能达到1.32万元，由已知可得每户的平均收入为：f(x)=4x(3-15x)+(100-4x)(1+x20)100，由此能求出当从事包装、销售的户数为16，20，24，28，32，36户时能达到每户平均纯收入1.32万元．(2)由已知可得：至2020年底，种植户每户平均收入为1×(1+x20)3，由题意得：x≥20(31.6-1)，由此能示出至少抽出16户从事包装、销售工作．本题考查从事包装、销售的户数的求法，考查函数在生产生活中的应用等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．