2021-2022学年湖南省张家界市高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年湖南省张家界市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 复数的虚部是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 能反映一组数据的离散程度的是(    )

A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差

3. 在掷一枚硬币的试验中，共掷了次，“正面朝上”的频率为，则“正面朝下”的次数为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知向量，，则与(    )

A. 平行且同向 B. 平行且反向 C. 垂直 D. 不垂直也不平行

5. 下列说法不正确的是(    )

A. 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B. 过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直
C. 过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直
D. 过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行

6. 已知与均为单位向量，且与的夹角为，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．已知在阳马中，侧棱底面，且，则直线与平面所成角的正弦值等于(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在梯形中，，，，，，若，是线段上的动点，且，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 下列关于向量的命题中为真命题的是(    )

A. 若，则
B.
C. 若，，则
D.

10. 为了尽快消除疫情影响，恢复旅游业的正常增长，某市相关部门，收集并整理了年月至年月期间月接待游客量单位：万人的数据，绘制了下面的折线图．
    
    根据该折线图，下列结论中正确的是(    )

A. 月接待游客量逐月增加
B. 年接待游客量逐年增加
C. 各年的月接待游客量高峰期大致在，月份
D. 各年月至月的月接待游客量相对月至月，波动性更小，变化比较平稳

11. 从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是(    )

A. 个球都是红球的概率为 B. 个球不都是红球的概率为
C. 至少有个红球的概率为 D. 个球中恰有个红球的概率为

12. 如图，在正方体中，是棱的中点，在侧面上运动，且满足平面则下列命题中正确的有(    )

A. 侧面上存在点，使得
B. 直线与直线所成角可能为
C. 三棱锥的体积为定值
D. 设正方体棱长为，则过点，，的平面截正方体所得的截面面积最大值为

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. ______．
14. 某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：

视频率为概率，如果这名运动员只射击一次，则他命中的环数小于环的概率为______．

15. 如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现．设圆柱的体积与球的体积之比为，圆柱的表面积与球的表面积之比为，则______．

16. 已知锐角的内角，，的对边分别为，，，，，则______；面积的取值范围为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知向量，向量．
    当时，求实数的值；
    当时，求向量与向量的夹角．
18. 已知复数在复平面内对应的点为．
    若，求为的共轭复数；
    若点在直线上，求．
19. 在中，角，，，所对的边分别为，，，已知，，．
    求的值；
    求的值．
20. 设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为，，现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取名运动员组队参加比赛．
    求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
    将抽取的名运动员进行编号，编号分别为，，，，，现从这名运动员中随机抽取人参加双打比赛．
       用所给编号列出所有可能的结果；
       设为事件“编号为和的两名运动员中至少有人被抽到”，求事件发生的概率．
21. 某市工会组织举行“红心向党”职工歌咏比赛，分初赛、复赛和决赛三个环节，初赛全市职工踊跃参与，通过各单位的初选，最终有名选手进入复赛，经统计，其年龄的频率分布直方图如图所示．
    求直方图中的值，并估计复赛选手年龄的平均值同一组中的数据用该区间的中点值作代表，结果保留一位小数；
    根据频率分布直方图估计复赛选手年龄的第百分位数；
    决赛由名专业评审、名媒体评审和名大众评审分别打分，打分均采用分制．已知某选手专业得分的平均数和方差分别为，，媒体得分的平均数和方差分别为，，大众得分的平均数和方差分别为，，将这名评审的平均分作为最终得分，请估计该选手的最终得分和方差结果保留三位小数．
    附：方差．

22. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．
    证明：平面；
    若为棱上一点，满足，求三棱锥的侧面与底面所成二面角的余弦值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由复数的概念可知，的虚部是．
故选：．
根据已知条件，结合虚部的定义，即可求解．
本题主要考查虚部的定义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：众数代表一组数据的一般水平，
平均数表示一组数据的集合趋势，
中位数可将数值集合划分为相等的上下两部分，
方差能反映一组数据的离散程度，
综上，能反映一组数据的离散程度的是方差．
故选：．
利用众数、平均数、中位数、方差的定义及意义直接求解．
本题考查方差的概念，考查基础知识、基本概率，考查基本定义的掌握程度，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意，共掷了次，“正面朝上”的频率为，
则正面朝上的次数为次，
所以正面朝下的次数为次．
故选：．
利用频率的定义，求出正面朝上的次数，从而得到正面朝下的次数．
本题考查了频率的理解与应用，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意可知，，即平行且反向．
故选：．
由两个向量的坐标得到他们之间的倍数关系，进而判断答案．
本题考查了向量坐标的数乘运算，共线向量基本定理，向量数乘的几何意义，考查了计算能力，属于容易题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故正确；
B.因为过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直，故正确；
C.因为过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直，故正确；
D.因为过平面外一点，有无数条直线与这个平面平行，故错误．
故选：．
根据题意，结合面面平行的性质、线面平行的判定以及线面的垂直的推论，即可得到正确选项．
本题考查了线线、线面平行、垂直的判定，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：与均为单位向量，且与的夹角为，
，，
．
故选：．
根据已知条件求得，，，再结合向量模的公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积公式，以及向量模公式，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，在正方形中，连接交于，则，连接．
因为平面，平面，所以，
而，则平面，
所以是直线与平面所成的角．

因为，由题意知，所以，
由题意得，所以，
即直线与平面所成角的正弦值为．
故选：．
先找到直线在平面上的射影，进而根据线面角的定义求得答案．
本题考查线面垂直的判定与性质、线面角的定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，以点为原点，边所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
因为，，，，，
所以，，，，
所以，，
设，则，其中，
所以，，
则，
所以当时，取得最小值为，
故选：．
以点为原点，边所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据条件可得，设，得到，且，利用向量坐标运算表示得到是关于的二次函数，利用二次函数的性质即可求得最小值．
本题考查平面向量数量积的运算性质，涉及二次函数的最值求解，数形结合思想，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：易知，，D正确，对，两个向量的模相等，但两个向量的方向不一定相同，则A错误．
故选：．
由平面向量的概念及加法运算即可判断答案．
本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量的定义，向量加法的几何意义，考查了计算能力，属于容易题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由年月至年月期间月接待游客量的折线图得：
在中，很明显有月份游客量在下降，故A错误；
在中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故B正确；
在中，各年的月接待游客量高峰期都在，月，故C正确；
在中，各年月至月的月接待游客量相对于月至月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确．
故选：．
根据年月至年月期间月接待游客量的折线图逐一判断．
本题考查了根据折线图获取信息，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：设“从甲袋中摸出一个红球”为事件，从“乙袋中摸出一个红球”为事件，
则，，
对于选项，个球都是红球为，其概率为，故A选项正确，
对于选项，“个球不都是红球”是“个球都是红球”的对立事件，其概率为，故B选项错误，
对于选项，个球至少有一个红球的概率为，故C选项正确，
对于选项，个球中恰有个红球的概率为，故D选项正确．
故选：．
设“从甲袋中摸出一个红球”为事件，从“乙袋中摸出一个红球”为事件，则，，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解．
本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：分别取，的中点，，连接，，、，


则，又，，，
则平面平面，
则当点落在线段上时，平面，则平面，
即满足题意的点在侧面上的轨迹为线段．
对于：在正方体中，有平面，
又平面
所以时，平面，所以，故A正确；
对于：，
直线与直线所成角为或其补角，
当点在线段上运动变化到端点或时，直线与直线所成角取得最小值，
此时直线与直线所成角为或，
又，，
，故B错误；
对于：由平行关系可知三棱锥的体积即三棱锥的体积，
因为，
所以到平面的距离不变，又为定值，三棱锥的体积为定值，即三棱锥的体积，故C正确；
对于：正方体棱长为，当为与交点时，
过点，，的平面交于的中点，连接，、、，


过点，，的平面截正方体所得截面为菱形，
又菱形对角线，
则截面的面积为，故D错误．
故选：．
先依据题给条件求得点在侧面上的轨迹为线段，当点为时，判断选项；求得直线与直线所成角最小值，判断选项；结合的运动轨迹，根据线面平行的性质，判断选项；举特例否定选项．
本题考查异面直线的夹角，几何体体积，截面积的计算，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用虚数单位的运算性质化简求值．
本题考查了虚数单位的运算性质，是基础的会考题型．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意，小于环的概率为．
故答案为：．
由概率的加法公式即可求得答案．
本题考查概率的求法，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意可设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，
则，，
．
故答案为：．
设球的半径为，可得圆柱的底面半径和高，然后求出球和圆柱的体积与表面积，作比得答案．
本题考查旋转体体积与表面积的求法，考查运算求解能力，是基础题．
 

16.【答案】  

【解析】解：，
，由正弦定理可得，
，
，
，
，即，
易知，而该三角形是锐角三角形，则，
，
，
，
，即该三角形面积的取值范围是．
故答案为：；．
由正弦定理进行边化角，然后结合诱导公式和二倍角公式，即可求解，根据题意求出的范围，然后通过正弦定理和面积公式，并结合两角和与差的正弦公式，即可求解面积的取值范围．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：向量，向量，，
，解得．
当时，，
设向量与向量的夹角为，，
则，． 

【解析】由平面向量垂直的坐标运算，即可求得答案．
由平面向量夹角的坐标运算，即可求得答案．
本题考查了向量垂直的性质，以及向量的夹角公式，属于基础题．
 

18.【答案】解：若，则，
由，可得；
由点在直线上，得，即，
解得：或，可得或．
或． 

【解析】把代入，再由复数的乘法运算即可求得答案；
由题意可知，解出，再由复数模的计算公式求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．
 

19.【答案】解：在中，由正弦定理，
故；
在中，由余弦定理，
整理得，
解得舍去． 

【解析】直接利用正弦定理的应用求出的值；
利用余弦定理和一元二次方程的解法的应用求出结果．
本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

20.【答案】解：根据题意，甲、乙、丙三个乒乓球协会一共有人，
从中抽取人，则甲乒乓球协会应当抽取人，
乙乒乓球协会应当抽取人，
丙乒乓球协会应当抽取人，
则应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为，，；
根据题意，将抽取的名运动员进行编号，编号分别为，，，，，．
从名运动员中随机抽取人参加双打比赛的所有可能结果为
，，，，，
，，，，，
，，，，，共种；
编号为和的两名运动员中至少有人被抽到的所有可能结果为，，，，，
，，，，共种．
因此，事件发生的概率． 

【解析】本题考查古典概型及其概率公式，涉及分层抽样方法，注意列举事件的可能结果要做到不重不漏．
由题意计算三个乒乓球协会全部人数，即可得抽取比例，进而计算可得相应的人数；
列举可得从名运动员中随机抽取名的所有结果共种；事件包含上述个，由概率公式可得．
 

21.【答案】解：由题意，，解得，
岁；
通过计算知第百分位数落在区间内，设为，
则，解得，即第百分位数为；
由，
设该名选手最终的平均分为，最终方差为，
则分，
，
估计该选手最终得分为，其得分方差为． 

【解析】根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为，得到方程，即可求出，再根据平均数公式计算可得；
根据百分位数计算规则计算可得；
根据平均数、方差公式计算可得．
本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
 

22.【答案】证明：取的中点，连接，，则，且，
又，且，，且，四边形是平行四边形，，
平面，平面，
平面；

解：为棱上靠近点的四等分点，理由如下：
分别取，中点，，连接，，
易知四边形为正方形，连接，交于点，则，
又，，，，底面，，
，平面，，
过作于点，连接，
底面，，
，平面，，即为所求二面角的平面角，
易知：，设与交于点，则∽，，
易得：，，
设点到的距离为，在中，由得：，
由得：，
在中，，，
三棱锥的侧面与底面所成二面角的余弦值为． 

【解析】取的中点，进而证明，然后根据线面平行的判定定理证明问题；
先根据二面角平面角的定义作出所求二面角的平面角，进而结合“等体积法”求出相应的线段长度，最后求得答案．
本题考查了线面平行的证明和二面角的计算，属于中档题．