2021-2022学年湖北省部分重点中学高一（下）联考数学试卷（5月份）（Word解析版）

这是一份2021-2022学年湖北省部分重点中学高一（下）联考数学试卷（5月份）（Word解析版），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省部分重点中学高一（下）联考数学试卷（5月份） 题号一二三四总分得分       一、单选题（本大题共8小题，共40分）(    )A.  B.  C.  D. 若，表示直线，表示平面，下面推论中正确的个数为(    )
，，则；
，，则；
，，则．A.  B.  C.  D. 如图，在中，点是线段上靠近的三等分点，则(    )
 A.  B.  C.  D. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为的菱形，且，则原平面图形的周长为(    )
A.  B.  C.  D. 小明有一卷纸，纸非常的薄且紧紧缠绕着一个圆柱体轴心卷成一卷，它的整体外貌如图，纸卷的直径为，轴的直径为，当小明用掉的纸后，则剩下的这卷纸的直径最接近于(    )
 A.  B.  C.  D. 如图，已知圆柱的底面半径和母线长均为，，分别为圆、圆上的点，若，则异面直线，所成的角为(    )A.
B.
C.
D. 如图，等腰三角形中，，，为上一点，且，将沿翻折至平面平面，连接，则点到平面的距离为(    )
A.  B.  C.  D. 小说三体中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，由强相互作用力材料制成，被形容为“像一滴圣母的眼泪”小刘是三体的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的水滴如图，由线段，和优弧围成，其中连线竖直，，与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为，则(    )
A.  B.  C.  D.  二、多选题（本大题共4小题，共20分）下列说法不正确的是(    )A. 圆心和圆上两点可以确定一个平面
B. 平行于同一条直线的两个不同平面平行
C. 若两条平行直线中的一条与已知直线垂直，则另一条也与已知直线垂直
D. 两个平面垂直，过其中一个平面内一点作交线的垂线，则此垂线必垂直另一平面已知为虚数单位，下列命题中正确的是(    )A.
B. 若复数的模是，实部为，则 
C. 若复数，则，
D. 若，，则的充要条件是函数对任意，总有，当时，，，则下列命题中正确的是(    )A. 是偶函数
B. 是上的减函数
C. 在上的最小值为
D. 若，则实数的取值范围为已知正方体的棱长为，为线段的中点，，其中，，则下列选项正确的是(    )A. 时，
B. 时，的最小值为
C. 时，直线与面的交点轨迹长度为
D. 时，正方体被平面截的图形最大面积是 三、填空题（本大题共4小题，共20分）已知函数是函数且的反函数，且的图象过点，则______．已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为______．在中，角、、所对的边分别为、、，，的平分线交于点，且，则的最小值为______．在梯形中，，，为的中点，将沿直线翻折成，当三棱锥的体积最大时，过点的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为______． 四、解答题（本大题共6小题，共70分）已知函数是指数函数．
求的解析式；
若，求的取值范围．在，，且，，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．
在中，角，，所对的边分别，，，已知______．
求角的大小；
若是的中点，，求面积的最大值．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点．
求证：平面；
求三棱锥的体积．
自新冠疫情暴发以来，直播电商迅猛发展，以信息流为代表的各大社交平台也相继入场，平台用短视频和直播的形式，激发起用户情感与场景的共鸣，让用户在大脑中不知不觉间自我说服，然后引起消费行动．某厂家往年不与直播平台合作时，每年都举行多次大型线下促销活动．经测算，只进行线下促销活动时总促销费用为万元．为响应当地政府防疫政策，决定采用线上直播促销线下同时进行的促销模式，与某直播平台达成一个为期年的合作协议，直播费用单位：万元只与年的总直播时长单位：小时成正比，比例系数为已知与直播平台合作后该厂家每年所需的线下促销费单位：万元与总直播时长单位：小时之间的关系为为常数记该厂家线上促销费用与年线下促销费用之和为单位：万元．
写出关于的函数关系式；
该厂家直播时长为多少时，可使最小？并求出的最小值．已知为坐标原点，、，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．已知函数．，
求的伴随向量，并求．
关于的方程在内恒有两个不相等实数解，求实数的取值范围．
将函数图象上每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把整个图象向左平移个单位长度得到函数的图象，已知，，在函数的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．如图，在五面体中，平面平面，，，且，．
求证：平面平面；
线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值等于，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由，
故选：．
根据的高次幂的规律计算即可．
本题考查了的高次幂的计算规律，是基础题．
 2.【答案】 【解析】解：，可知垂直平面内的任意直线，，在取，可知，所以；所以正确．
，，则也可能；所以不正确；
，，则也可能所以不正确．
故选：．
利用直线与平面垂直以及平行的判断定理或性质定理判断命题的真假即可．
本题考查直线与平面位置关系的应用，直线与平面位置关系的判断，是中档题．
 3.【答案】 【解析】解：点是线段上靠近的三等分点，
，
故选：．
利用平面向量的线性运算，平面向量基本定理求解即可．
本题考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：根据题意，把直观图还原出原平面图形，如图所示；
其中：，，，
则，
故原平面图形的周长为，
故选：．
根据题意，把直观图还原出原平面图形，由此分析可得答案．
本题考查平面图形的直观图，涉及斜二测画法，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：设小明用掉的纸后，剩下的这卷纸的直径为，卷纸高为，
则由题可知，
解得，所以剩下的这卷纸的直径最接近于．
故选：．
设出剩下的这卷纸的直径，根据体积关系即可求出．
本题考查了圆柱的体积计算，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：设过的母线为，连接，
则，，
四边形为平行四边形，
，
为异面直线，所成的角或其补角，
，，，
又，
，
异面直线，所成的角为，

故选：．
设过的母线为，连接，则或，再分类讨论求解．
本题考查异面直线所成的角，考查学生的运算能力，属于中档题．
 7.【答案】 【解析】解：由已知可得，，
，，
对的中点，，且，
平面平面，平面平面，，
平面，，
，，平面，
是点到平面的距离．
故选：．
由直角三角形和等腰直角三角形的性质求出，，的长，根据面面垂直以及线面垂直的判定得出平面，从而得到就是点到平面的距离．
本题考查线面垂直的判定与性质、点到平面的距离的求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 8.【答案】 【解析】解：设优弧的圆心为，半径为，连接，，，如图所示：

易知“水滴”的水平宽度为，竖直高度为，
则由题意知，解得，
与圆弧相切于点，则，
所以在中，，
由对称性可知，，则，
所以．
故选：．
设优弧的圆心为，半径为，连接，，，如图，进而可得“水滴”的水平宽度为，竖直高度为，根据题意求得，由切线的性质和正弦函数的定义可得，结合圆的对称性和二倍角的余弦公式即可得出结果．
本题主要考查三角形中的几何计算，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】解：若圆心和直径的两个端点共线，则不能确定平面，故A错误；
平行于同一条直线的两个不同平面还可能相交，故B错误；
若两条直线中的一条与已知直线垂直，
由平行线的性质可知另一条也与已知直线垂直，故C正确；
若两个平面垂直，过其中一个平面内一点作交线的垂线，
则由面面垂直的性质定理得此垂线必垂直另一平面，错误，故D错误．
故选：．
利用平面的性质和空间中的线面关系进行求解．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．
 10.【答案】 【解析】解：，设，，则，，A正确，
，设，，复数的模是，实部为，
，，则，B错误，
，虚数不能比较大小，能比较大小的一定为实数，，，C正确，
，当，时，满足，但不成立，D错误，
故选：．
利用复数的求模公式和四则运算判断，利用虚数不能比较大小判断，利用复数的代数表示法判断．
本题考查了复数的代数表示法，复数的求模公式和运算，是中档题．
 11.【答案】 【解析】解：取，，则，解得，，则．
即，函数是奇函数，所以选项A错误；
令，，且，则，因为当时，，所以．
则．
即，函数是上的增函数，所以选项B错误；
因为函数是上的增函数，所以函数在上的最小值为，
，，．
故，在上的最小值为，所以选项C正确；
，即，因为函数是上的增函数，
所以，所以，所以实数的取值范围为，所以选项D正确．
故选：．
函数是奇函数，所以选项A错误；
函数是上的增函数，所以选项B错误；
在上的最小值为，所以选项C正确；
实数的取值范围，所以选项D正确．
本题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】解：取中点，的中点，连接，，，则，
因为
所以，即点在线段上，
因为为线段的中点，则，故，
所以，由于，
所以，
又平面，平面，
所以，
因为，所以平面，
因为平面，
所以，A正确；

选项，在上取点，使得，在上取点，
使得，
因为
所以点在线段上，
将平面与平面沿着展开到同一平面内，如图，
连接交于点，即三点共线时，取得最小值，
其中由勾股定理得：，所以，
所以，故B正确；

选项，时，
由向量共线定理的推论可得：点在线段上，
连接，，交于点，交于点，连接，
则线段即为直线与面的交点轨迹，
其中三角形是等边三角形，，
由三角形相似可知：，而，所以，
同理可得：，所以三角形是等边三角形，所以，
直线与面的交点轨迹长度为错误；

由选项的分析可知，：点在线段上，
连接，相交于点，当位于线段上时，连接并延长交于点，
连接，则平面截正方体所得图形为三角形，
则当与重合时，与重合，此时截面三角形面积最大，
面积为，
当位于线段上时，如图，连接并延长，交于点，
过点做交于点，连接，
则四边形即为平面截正方体所得的截面，
设，则由平行性质可知：，
则，所以四边形为等腰梯形，
其中，设梯形的高为，则，
则截面面积为，
如图所示，直角三角形，直角边，
在上取一点，连接，
则三角形的面积即为，
显然当时，面积取得最大值，最大面积为，
因为，所以时，正方体被平面截的图形最大面积是，D正确．

故选：．
选项，作出辅助线，得到点在线段上，证明线面垂直，得到线线垂直；
选项，作出辅助线，将两平面展开为同一平面内，利用两点之间线段最短，得到的最小值，求出答案；
选项，作出辅助线，找到直线与面的交点轨迹，求出长度；
选项，作出辅助线，分位于线段上和线段上，分别求出截面的最大面积，比较得到结果．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：由题意可知，又的图象过点，得，得，
故答案为：．
由题意可知，将定点代入即可．
本题考查了指数函数反函数相关知识，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：，
为的中点，
的外接圆圆心为，
，
，
，
为正三角形，，
向量在向量上的投影向量为．
故答案为：．
根据已知条件，先求出为的中点，再结合三角形外接圆的性质，以及投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的求解，考查转化能力，属于中档题．
 15.【答案】 【解析】解：由题意得：，
可得：，
可得：，
得
，
当且仅当，即时取等号，
故答案为：．
根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式的代换进行求解即可．
本题考查基本不等式的应用，利用的代换结合基本不等式是解决本题的关键，属基础题．
 16.【答案】 【解析】解：由题得，因为，，
因为，，所以是外接圆的圆心，外接圆的半径为，
当三棱锥的体积最大时，由于底面的面积是定值，所以此时到底面的高最大，
即此时平面平面，即平面，
如图，设球心为，在平面内作，垂足为，因为，所以，所以平面，
所以过点的平面截三棱锥的外接球所得最小截面就是过的外接圆，所以截面面积的最小值为．

故答案为：．
当三棱锥的体积最大时，此时到底面的高最大，即此时平面平面，即平面，设球心为，在平面内作，垂足为，证明平面即得解．
本题考查了球的截面的性质及运算，属于中档题．
 17.【答案】解：函数是指数函数，
，且，
，
，
，即，
又在上单调递增，
，得，
故的取值范围为 【解析】根据指数函数的定义前面系数为可求．
利用指数函数单调性可解．
本题考查了指数函数的定义以及性质，属于基础题．
 18.【答案】解：若选择条件，由正弦定理得，
，
，
，，，
又，；
若选条件，由，且，得，
由正弦定理得，
，，
，
，
又，
，，即；
若选条件，由正弦定理得，
由余弦定理得，
，．
在中，由余弦定理知，，
在中，由余弦定理知，，
在中，由余弦定理知，
，，化简得，
由得，，当且仅当时，等号成立，
面积，即面积的最大值为． 【解析】对条件逐项分析，运用正弦定理或余弦定理即可求出；
在的基础上，根据与互补，运用余弦定理可以找出与之间的关系，再利用基本不等式即可．
本题考查了正余弦定理以及三角形面积的最值问题，属于中档题．
 19.【答案】证明：连接交于，连接，

因为为的中点，又为的中点，
则是的中位线，所，
又因为面，且平面，
所以平面．
解：在正方体中，棱长为，
则，
所以三棱锥的体积为． 【解析】连接交于，连接，利用中位线定理及线面平行判定定理即得；
由题可得，然后利用棱锥体积公式即得．
本题考查了线面平行的证明以及三棱锥体积的计算，属于中档题．
 20.【答案】解：由题意可得，当时，，解得，
故该厂家线上促销费用与年线下促销费用之和为．
，
当且仅当，即时，等号成立，
故该厂家直播时长为时，可使最小，的最小值为万元． 【解析】根据已知条件，先求出，再计算该厂家线上促销费用与年线下促销费用之和，即可求解．
根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式的公式是解本题的关键，属于基础题．
 21.【答案】解：
，
，．
关于的方程在内恒有两个不相等实数解，
的图象与直线在内恒有两个不同的交点，
的图象如图，

由图可知，即的取值范围是．
依题意可得，
，的中点为，
假设在函数的图象上存在一点，使得，
则点在以为直径的圆上，该圆的圆心为，半径为，
，即，
，，
，又，
，，
，，，
综上所述：在函数的图象上存在一点，使得，且． 【解析】利用两角差的余弦公式和诱导公式化简，再根据伴随向量的定义可得伴随向量，利用模长公式可求出其模长；
转化为的图象与直线在内恒有两个不同的交点，作出函数的图象，根据图象可得结果；
假设存在符合题意的，则点在以为直径的圆上，该圆的圆心为，半径为，根据两点间的距离公式列式可得，根据以及，可得，进一步可求出点的坐标．
本题考查考查三角函数的图象和性质的运算，考查正弦型曲线的性质、向量运算、圆的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 22.【答案】解法一：证明：如图，设中点为，过作，
因为，所以，

又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，所以，
又，故、、三条直线两两垂直，
如图建立空间直角坐标系，
依题意可得，，，，，
设平面的法向量，
则有取，
取平面的法向量，
因为，所以平面平面．
解：设，则，，
设平面的法向量，
则有取．
，，易知二面角的大小与向量、的夹角大小一致，
所以，，化简得，解得或舍，
所以．
所以线段上存在一点，使得二面角的余弦值等于，此时．
解法二：证明：设，的中点分别为，，连接，，，
因为，分别为，的中点，所以，且，

又因为，且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为是中点，且，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
所以平面，又因为平面，所以平面平面．
解：过作垂直于，垂足为，过作，垂足为，连接，
故即二面角的平面角，
因为，故，所以，
又，故BE，从而为等腰直角三角形，
设，则，故，
所以．
在中可求得，所以，
令，化简得，解得或舍，
所以，
所以线段上存在一点，使得二面角的余弦值等于，
此时． 【解析】解法一：设中点为，过作，推导出、、三条直线两两垂直，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，由法向量的数量积为即可证得平面平面；
设，求出平面的法向量，由二面角的大小与向量、的夹角大小一致，从而可得关于的方程，可求出的值，即可求得的值．
解法二：设，的中点分别为，，连接，，，推出四边形为平行四边形，从而可得，利用面面垂直的性质定理可得平面，可得平面，从而证得平面平面；
过作垂直于，垂足为，过作，垂足为，连接，可得即二面角的平面角，设，求出，结合已知可求得的值，从而可求得的值．
本题主要考查面面垂直的判定，二面角的求法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．