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高中物理人教版 (2019)必修 第二册4 机械能守恒定律学案及答案
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这是一份高中物理人教版 (2019)必修 第二册4 机械能守恒定律学案及答案，共25页。
1．多物体组成的系统机械能守恒问题
(1)多个物体组成的系统，就单个物体而言，机械能一般不守恒，但就系统而言机械能往往是守恒的。
(2)关联物体注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)机械能守恒定律表达式的选取技巧
①当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式Ek1＋Ep1＝eq \(□,\s\up3(01))Ek2＋Ep2或ΔEk＝eq \(□,\s\up3(02))－ΔEp来求解。
②当研究对象为两个物体组成的系统时：
a．若两个物体的势能都在减小(或增加)，动能都在增加(或减小)，可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp来求解。
b．若A物体的动能和势能都在增加(或减少)，B物体的动能和势能都在减少(或增加)，可优先考虑用表达式ΔEA＝eq \(□,\s\up3(03))－ΔEB来求解。
(4)机械能守恒定律的研究对象是几个相互作用的物体组成的系统时，在应用机械能守恒定律分析系统的运动状态的变化及能量的变化时，经常出现下面三种情况：
①系统内两个物体直接接触或通过弹簧连接。这类连接体问题应注意各物体间不同能量形式的转化关系。
②系统内两个物体通过轻绳连接。如果和外界不存在摩擦力做功等问题时，只有机械能在两物体之间相互转移，两物体组成的系统机械能守恒。解决此类问题的关键是在绳的方向上两物体速度大小相等。
③系统内两个物体通过轻杆连接。轻杆连接的两物体绕固定转轴转动时，两物体转动的角速度相等。
2．链条类(或液柱类)物体的机械能守恒问题
链条类(或液柱类)物体机械能守恒问题的分析关键是分析重心位置，进而确定物体重力势能的变化，解题要注意两个问题：一是参考平面的选取；二是链条(或液注)的每一段重心的位置变化和重力势能变化。
3．利用机械能守恒定律分析多过程问题
机械能守恒定律多与其他知识相结合进行综合命题，一般为多过程问题，难度较大。解答此类题目时一定要注意机械能守恒的条件，分析在哪个过程中机械能守恒，然后列式求解，不能盲目应用机械能守恒定律。
典型考点一 多物体组成的系统机械能守恒问题
1．(多选)如图所示，在两个质量分别为m和2m的小球a和b之间，用一根轻质细杆连接，两小球可绕过轻杆中心的水平轴无摩擦转动，现让轻杆处于水平方向放置，静止释放小球后，b球向下转动，a球向上转动，在转过90°的过程中，以下说法正确的是( )
A．b球的重力势能减少，动能减少
B．a球的重力势能增大，动能增大
C．a球和b球的机械能总和保持不变
D．a球和b球的机械能总和不断减小
答案 BC
解析 在b球向下、a球向上转动过程中，两球均在加速转动，两球动能均增加，同时b球重力势能减小，a球重力势能增大，A错误，B正确；a、b两球组成的系统只有重力和系统内弹力做功，系统机械能守恒，C正确，D错误。
2．如图所示的滑轮光滑轻质，物体A、B分别系在轻绳两端并跨过定滑轮，物体A的质量M1＝2 kg，物体B的质量M2＝1 kg，物体A离地高度为H＝0.5 m。物体A与物体B从静止开始释放，取g＝10 m/s2，物体A由静止下落0.3 m时的速度为( )
A.eq \r(2) m/s B．3 m/s C．2 m/s D．1 m/s
答案 A
解析 对A、B组成的系统运用机械能守恒定律得，(M1－M2)gh＝eq \f(1,2)(M1＋M2)v2，代入数据解得v＝eq \r(2) m/s，故A正确，B、C、D错误。
3．(多选)如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则( )
A．a落地前，轻杆对b一直做正功
B．a落地时速度大小为eq \r(2gh)
C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
答案 BD
解析 设a沿杆方向的分速度与a竖直方向的合速度夹角为θ，则因沿杆方向a、b的分速度相等，可写出等式：vacsθ＝vbsinθ，a滑到最低点时，θ＝90°，所以b的速度为0，又因b的初速度也为0，可知此过程中b的动能先增大后减小，所以轻杆对b先做正功后做负功，A错误；a、b所组成的系统机械能守恒，所以当a滑到地面时，有eq \f(1,2)mveq \\al(2,a)＋0＝mgh，解得va＝eq \r(2gh)，B正确；轻杆落地前，当a的机械能最小时，b的动能最大，此时轻杆对a、b无作用力，故C错误，D正确。
4．(多选)如图所示，一轻质弹簧固定在光滑杆的下端，弹簧的中心轴线与杆重合，杆与水平面间的夹角始终为60°，质量为m的小球套在杆上，从距离弹簧上端O点2x0的A点静止释放，将弹簧压至最低点B，压缩量为x0，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．小球从接触弹簧到将弹簧压至最低点B的过程中，其加速度一直减小
B．小球运动过程中最大动能可能为mgx0
C．弹簧劲度系数大于eq \f(\r(3)mg,2x0)
D．弹簧最大弹性势能为eq \f(3\r(3),2)mgx0
答案 CD
解析 小球从接触弹簧到将弹簧压至最低点B的过程中，弹簧对小球的弹力逐渐增大，开始时弹簧的弹力小于小球的重力沿杆向下的分力，小球做加速运动，随着弹力的增大，合力减小，加速度减小，直到弹簧的弹力等于小球的重力沿杆向下的分力时加速度为0，然后，弹簧的弹力大于小球的重力沿杆向下的分力，随着弹力的增大，合力沿杆向上增大，则加速度增大，所以小球的加速度先减小后增大，A错误；小球滑到O点时的动能为Ek＝2mgx0sin60°＝eq \r(3)mgx0，小球的合力为零时动能最大，此时弹簧处于压缩状态，位置在O点下方，所以小球运动过程中最大动能大于eq \r(3)mgx0，不可能为mgx0，B错误；在速度最大的位置有mgsin60°＝kx，得k＝eq \f(\r(3)mg,2x)，因为x＜x0，所以k＞eq \f(\r(3)mg,2x0)，C正确；小球从A到B的过程，对小球和弹簧组成的系统，由机械能守恒定律得：弹簧最大弹性势能Epm＝mg·3x0sin60°＝eq \f(3\r(3),2)mgx0，D正确。
5. 如图所示，半径为r、质量不计的圆盘，盘面与地面垂直，圆心处有一垂直于盘面的水平固定轴O。在盘的最右边缘固定一个质量为m的小球A，在O点的正下方离O点eq \f(r,2)处固定一个质量也为m的小球B，放开圆盘让其自由转动，不计空气阻力，重力加速度为g，问A球转到最低点时，其速度是多大？
答案 eq \f(2,5)eq \r(5gr)
解析 选取初始时A球所在水平面为参考平面，则初始时系统的总机械能为E1＝－mg·eq \f(r,2)
当A球转到最低点时，设其速度为vA，B球的速度为vB，则A、B组成的系统的总机械能为
E2＝－mgr＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)
由于A、B两球的角速度相同，设A球在最低点时的角速度为ω，则vA＝ωr，
vB＝ω·eq \f(r,2)，可知vB＝eq \f(vA,2)
根据机械能守恒定律得E1＝E2
可解得vA＝eq \f(2,5)eq \r(5gr)
即A球转到最低点时其速度vA＝eq \f(2,5)eq \r(5gr)。
6. 如图所示，有一轻质杆可绕O点在竖直平面内自由转动，在杆的另一端和中点各固定一个质量均为m的小球A、B，杆长为L。开始时，杆静止在水平位置，求无初速度释放后杆转到竖直位置时，A、B两小球的速度各是多少？(重力加速度为g)
答案 vA＝eq \f(2\r(15gL),5) vB＝eq \f(\r(15gL),5)
解析 把A、B两小球和杆看成一个系统，杆对A、B两小球的弹力为系统的内力，对系统而言，只有重力做功，系统的机械能守恒。
以A球在最低点时所在的平面为参考平面，则
初状态：
系统的动能为Ek1＝0，重力势能为Ep1＝2mgL
末状态(即杆到竖直位置)：
系统的动能为Ek2＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)，
重力势能为Ep2＝mg·eq \f(L,2)
由机械能守恒定律得2mgL＝eq \f(1,2)mgL＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)
又因为在自由转动过程中A、B两球的角速度相同，则vA＝2vB
联立解得vA＝eq \f(2\r(15gL),5)，vB＝eq \f(\r(15gL),5)。
7．如图所示，质量均为m的物体A和B，通过轻绳跨过定滑轮相连。斜面光滑，倾角为θ，不计绳子和滑轮之间的摩擦，重力加速度为g。开始时A物体离地的高度为h，B物体位于斜面的底端，用手托住A物体，使A、B两物体均静止。现将手撤去。
(1)求A物体将要落地时的速度为多大？
(2)A物体落地后，B物体由于惯性将继续沿斜面向上运动，则B物体在斜面上到达的最高点离地的高度为多大？
答案 (1)eq \r(gh1－sinθ) (2)eq \f(h1＋sinθ,2)
解析 (1)撤去手后，A、B两物体同时运动，并且速率相等，由于两物体构成的系统只有重力做功，故系统的机械能守恒。
设A物体将要落地时的速度大小为v，
由机械能守恒定律得mgh－mghsinθ＝eq \f(1,2)(m＋m)v2，
解得v＝eq \r(gh1－sinθ)。
(2)A物体落地后，B物体由于惯性将继续沿斜面向上运动，此时绳子对其没有拉力，对B物体而言，只有重力做功，故机械能守恒。
设其到达的最高点离地高度为H，
由机械能守恒定律得eq \f(1,2)mv2＝mg(H－hsinθ)，
解得H＝eq \f(h1＋sinθ,2)。
典型考点二 质量分布均匀的链条类(或液柱类)物体的机械能守恒问题
8. 如图所示，粗细均匀的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为(不计液体内能的变化)( )
A.eq \r(\f(gh,8)) B.eq \r(\f(gh,6)) C.eq \r(\f(gh,4)) D.eq \r(\f(gh,2))
答案 A
解析 在液柱流动过程中除受重力作用外，还受大气压力作用，但在液体流动过程中，右侧大气压力做的正功等于左侧大气压力做的负功，所以满足机械能守恒条件。以原来左侧液面处为重力势能的参考平面，则由机械能守恒定律得(设高h的液柱质量为m)，mg·eq \f(h,2)＝mg·eq \f(h,4)＋eq \f(1,2)(4m)v2，解得v＝eq \r(\f(gh,8))，A正确。
9．如图所示，有一条长为L的均匀金属链条，一半长度在光滑斜面上，斜面倾角为θ，另一半长度沿竖直方向下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，求链条刚好全部滑出斜面时的速度是多大？
答案 eq \f(\r(gL3－sinθ),2)
解析 设斜面最高点所在水平面为参考平面，链条总质量为m，
开始时左半部分的重力势能Ep1＝－eq \f(m,2)g·eq \f(L,4)sinθ，
右半部分的重力势能Ep2＝－eq \f(m,2)g·eq \f(L,4)，
机械能E1＝Ep1＋Ep2＝－eq \f(m,8)gL(1＋sinθ)。
当链条刚好全部滑出斜面时，重力势能Ep＝－mg·eq \f(L,2)，
动能Ek＝eq \f(1,2)mv2，
机械能E2＝Ep＋Ek＝－eq \f(mg,2)L＋eq \f(1,2)mv2。
由机械能守恒定律可得E1＝E2，
所以－eq \f(mgL,8)(1＋sinθ)＝－eq \f(mgL,2)＋eq \f(1,2)mv2，
整理得v＝eq \f(\r(gL3－sinθ),2)。
典型考点三 利用机械能守恒定律分析多过程问题
10．(多选)如图所示，A、B、C、D四选项图中的小球以及小球所在的左侧斜面完全相同，现从同一高度h处由静止释放小球，使之进入右侧不同的轨道：除去底部一小段圆弧，A图中的轨道是一段斜面，高度大于h；B图中的轨道与A图中的轨道相比只是短了一些，且斜面高度小于h；C图中的轨道是一个内径略大于小球直径的管道，其上部为竖直管，下部为与斜面相连的圆弧，管的高度大于h；D图中是个半圆形轨道，其直径等于h。如果不计任何摩擦阻力和拐弯处的能量损失，则四个选项图中小球进入右侧轨道后能到达h高度的是( )
答案 AC
解析 对A、C两图，小球到右侧最高点的速度可以为零，由机械能守恒定律可得，小球进入右侧轨道后能到达的高度仍为h，故A、C正确；B图右侧轨道最大高度小于h，小球到轨道最上端后做斜抛运动，小球到达最高点时仍有水平速度，因此，小球能到达的最大高度小于h，B错误；D图右侧为圆形轨道，若小球能通过最高点，则必须具有一定速度，因此，小球沿轨道不可能到达h高度，D错误。
11．如图是为了检验某种防护罩承受冲击能力的装置的一部分，M为半径为R＝1.0 m、固定于竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，轨道上端切线水平，M的下端相切处放置竖直向上的弹簧枪，可发射速度不同的质量m＝0.01 kg的小钢珠。假设某次发射的钢珠沿轨道内侧恰好能经过M的上端点水平飞出，取g＝10 m/s2，弹簧枪的长度不计，则发射该钢珠前，弹簧的弹性势能为( )
A．0.10 J B．0.15 J C．0.20 J D．0.25 J
答案 B
解析 小钢珠恰好经过M的上端点时有mg＝meq \f(v2,R)，所以v＝eq \r(gR)＝eq \r(10) m/s。全过程中，小钢珠与弹簧组成的系统机械能守恒，根据机械能守恒定律得Ep＝mgR＋eq \f(1,2)mv2＝0.15 J，B正确。
12．如图，把一根内壁光滑的细圆管弯成eq \f(3,4)圆周形状，且竖直放置，管口A竖直向上，管口B水平向左，一小球从管口A的正上方h1高处自由落下，经细管恰能到达细管最高点B处。若小球从A管口正上方h2高处自由落下，进入A管口运动到B点后又从空中飞落进A口，则h1∶h2为( )
A．1∶2 B．2∶3 C．4∶5 D．5∶6
答案 C
解析 当小球从管口A的正上方h1高处自由落下，到达细管最高点B处时的速度为零，则根据机械能守恒定律有(取管口A所在水平面为参考平面)，mgh1＝mgR，解得h1＝R；当从A管口正上方h2高处自由落下时，根据平抛运动规律有R＝vBt，R＝eq \f(1,2)gt2，解得vB＝ eq \r(\f(gR,2))，根据机械能守恒定律有mgh2＝mgR＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)，解得h2＝eq \f(5R,4)，故h1∶h2＝4∶5，C正确。
13. 如图，光滑水平面AB与竖直面内的光滑半圆形固定轨道在B点相切，半圆形轨道半径为R＝2.5 m，一个质量m＝0.5 kg的小物块压缩弹簧，静止在A处，释放小物块，小物块离开弹簧后经B点进入轨道，经过C点时对轨道的压力为其重力的3倍。取g＝10 m/s2。求：
(1)小物块经过C点时速度的大小；
(2)弹簧对小物块的弹力做的功。
答案 (1)10 m/s (2)50 J
解析 (1)在C点，有：N＋mg＝meq \f(v\\al(2,C),R)，N＝3mg，
解得：vC＝2eq \r(Rg)＝10 m/s。
(2)从A到C，设弹簧弹力对小物块做的功为W，
由机械能守恒定律有：W＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,C)＋2mgR，
代入数据解得：W＝50 J。
14．如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段倾斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R。一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg(g为重力加速度)。求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围。
答案 eq \f(5,2)R≤h≤5R
解析 以轨道最低点所在水平面为参考平面，设物块在圆形轨道最高点的速度为v，由机械能守恒定律得
mgh＝2mgR＋eq \f(1,2)mv2①
物块在圆形轨道最高点受的力为重力mg、轨道的压力N。重力与压力的合力提供向心力，有
mg＋N＝meq \f(v2,R)②
物块能通过最高点的条件是
N≥0③
由②③式得v≥eq \r(gR)④
由①④式得h≥eq \f(5,2)R⑤
按题的要求，N≤5mg，由②式得v≤eq \r(6Rg)⑥
由①⑥式得h≤5R⑦
h的取值范围是eq \f(5,2)R≤h≤5R。
1. (多选)如图所示，一质量为m的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O点处，将小球拉至A处，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，它运动到O点正下方B点时与A点间的竖直高度差为h，速度为v，则( )
A．由A到B重力做的功等于mgh
B．由A到B重力势能减少eq \f(1,2)mv2
C．由A到B弹簧弹力做功为－mgh
D．小球到达位置B时弹簧的弹性势能为mgh－eq \f(1,2)mv2
答案 AD
解析 重力做功只与初末位置的高度差有关，则由A至B重力做功为mgh，故A正确；由A至B重力做功为mgh，则重力势能减少mgh，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，设小球在B处时弹簧的弹性势能为Ep，由机械能守恒定律有mgh＝Ep＋eq \f(1,2)mv2，故mgh>eq \f(1,2)mv2，Ep＝mgh－eq \f(1,2)mv2，弹簧弹力做功W弹＝－ΔEp＝－Ep＝eq \f(1,2)mv2－mgh，故B、C错误，D正确。
2．(多选)如图所示，质量均为m的a、b两球固定在轻杆的两端，杆可绕水平轴O在竖直面内无摩擦转动，已知两球距轴O的距离L1>L2，现在由水平位置静止释放，在a下降过程中( )
A．a、b两球角速度相等
B．a、b两球向心加速度相等
C．杆对a、b两球都不做功
D．a、b两球机械能之和保持不变
答案 AD
解析 因为a、b两球围绕同一个固定轴转动，所以角速度相等，A正确。a＝ω2r，半径不同，向心加速度不同，B错误。a球和b球组成的系统机械能守恒，D正确。b球的动能和势能都增加，故杆对b球做正功，对a做负功，C错误。
3. (多选)如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架。在A处固定质量为2m的小球甲，B处固定质量为m的小球乙，支架悬挂在O点，可绕O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动。开始时OB竖直，放手后开始运动。在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是( )
A．甲球到达最低点时速度为零
B．甲球机械能减少量等于乙球机械能增加量
C．乙球向左摆动所能达到的最高位置应高于甲球开始运动时的高度
D．当支架从左至右回摆时，甲球一定能回到起始高度
答案 BCD
解析 甲球和乙球组成的系统机械能守恒，可判断只有A错误。
4．如图所示，地面上竖直放一根轻弹簧，其下端和地面固定连接，一物体从弹簧正上方距弹簧一定高度处自由下落，则( )
A．物体和弹簧接触时，物体的动能最大
B．物体从接触弹簧至离开弹簧的过程中，物体的动能和弹簧弹性势能的和不断增加
C．物体从接触弹簧至离开弹簧的过程中，物体的动能和弹簧弹性势能的和先增加后减少
D．物体在反弹阶段动能一直增加，直到物体脱离弹簧为止
答案 C
解析 物体在下落过程中，只受重力和弹簧弹力作用，总的机械能是守恒的；物体和弹簧接触后，受重力和向上的弹力作用，物体下落阶段，先是重力大于弹力，然后是弹力大于重力，故物体先加速后减速，动能先增加后减少，即物体和弹簧接触时，物体的动能未达到最大，A错误。同理，物体在反弹阶段，未脱离弹簧时，动能先增加后减少，D错误。物体从接触弹簧至离开弹簧的过程中，先下落后上升，物体的重力势能先减少后增加，由于物体和弹簧组成的系统机械能守恒，所以物体的动能和弹簧弹性势能的和先增加后减少，故C正确，B错误。
5．如图，一轻弹簧左端固定在长木块B的左端，右端与小木块A连接，且A、B及B与地面间接触面光滑。开始时，A和B均静止，现同时对A、B施加等大反向的水平恒力F1和F2。在两物体开始运动以后的整个运动过程中，对A、B和弹簧组成的系统(整个过程中弹簧形变不超过其弹性限度)，下列说法正确的是( )
A．由于F1、F2等大反向，故系统机械能守恒
B．F1、F2分别对A、B做正功，故系统机械能不断增加
C．当弹簧弹力大小与F1、F2大小相等时，系统机械能最大
D．系统机械能最大时，两物体动能都为零
答案 D
解析 当弹簧弹力大小与F1、F2大小相等时，A和B受力平衡，加速度为零，此时速度达到最大值，故各自的动能最大。由于F1、F2先对系统做正功，当两物体速度减为零时，此时系统机械能最大；之后由于弹簧的弹力大于F1、F2，两物体再加速相向运动，F1、F2对系统做负功，系统机械能开始减少，只有D正确。
6．如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上横截面半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是( )
A．2R B.eq \f(5R,3) C.eq \f(4R,3) D.eq \f(2R,3)
答案 C
解析 设A、B的质量分别为2m、m，当A落到地面上时，B恰好运动到与圆柱轴心等高处，以A、B整体为研究对象，则A、B组成的系统机械能守恒，故有2mgR－mgR＝eq \f(1,2)(2m＋m)v2，A落到地面上以后，B以速度v竖直上抛，又上升的高度为h′＝eq \f(v2,2g)，解得h′＝eq \f(1,3)R，故B上升的总高度为R＋h′＝eq \f(4,3)R，故C正确。
7．(多选)由光滑细管组成的轨道如图所示，其中AB段和BC段是半径为R的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内。一质量为m的小球，从距离水平地面高为H的管口D处由静止释放，最后能够从A端水平抛出落到地面上。下列说法正确的是( )
A．小球落到地面时相对于A点的水平位移大小为2eq \r(RH－2R2)
B．小球落到地面时相对于A点的水平位移大小为2eq \r(2RH－4R2)
C．小球能从细管A端水平抛出的条件是H>2R
D．小球能从细管A端水平抛出的最小高度Hmin＝eq \f(5,2)R
答案 BC
解析 因为轨道光滑，所以小球从D点运动到A点的过程中机械能守恒，以地面为参考平面，根据机械能守恒定律有mgH＝mg(R＋R)＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)，解得vA＝eq \r(2gH－2R)，从A端水平抛出到落到地面上，根据平抛运动规律有2R＝eq \f(1,2)gt2，水平位移x＝vAt＝eq \r(2gH－2R)·eq \r(\f(4R,g))＝2eq \r(2RH－4R2)，故A错误，B正确；因为小球能从细管A端水平抛出的条件是vA>0，所以要求H>2R，故C正确，D错误。
8. 如图所示，物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧，物体A、B的质量都为m，开始时细绳伸直，用手托着物体A，使弹簧处于原长且A离地面的高度为h，物体B静止在地面上。放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物体B对地面恰好无压力，则下列说法中正确的是( )
A．弹簧的劲度系数为eq \f(mg,h)
B．此时弹簧的弹性势能等于mgh＋eq \f(1,2)mv2
C．此时物体B的速度大小也为v
D．此时物体A的加速度大小为g，方向竖直向上
答案 A
解析 由题可知，此时弹簧所受的拉力大小等于B的重力大小，即F＝mg，弹簧伸长的长度为x＝h，由F＝kx得k＝eq \f(mg,h)，故A正确；A与弹簧组成的系统机械能守恒，则有mgh＝eq \f(1,2)mv2＋Ep，则弹簧的弹性势能Ep＝mgh－eq \f(1,2)mv2，故B错误；物体B对地面恰好无压力，此时B的速度恰好为零，故C错误；根据牛顿第二定律，对A有F－mg＝ma，F＝mg，得a＝0，故D错误。
9．(多选)如图所示，小球沿水平面通过O点进入半径为R的半圆弧轨道后恰能通过最高点P，然后落回水平面，不计一切阻力。下列说法正确的是( )
A．小球落地点离O点的水平距离为2R
B．小球落地时的动能为eq \f(5mgR,2)
C．小球运动到半圆弧最高点P时向心力恰好为零
D．若将半圆弧轨道上部的eq \f(1,4)圆弧截去，其他条件不变，则小球能达到的最大高度比P点高0.5R
答案 ABD
解析 小球恰能通过P点，则在P点时重力提供向心力，大小为mg，C错误；由题意知，在P点时mg＝meq \f(v2,R)，故小球经P点时的速度大小v＝eq \r(gR)，由2R＝eq \f(1,2)gt2、x＝vt得小球落地点离O点的水平距离为2R，A正确；根据机械能守恒得2mgR＝Ek－eq \f(1,2)mv2，解得小球落地时的动能Ek＝2mgR＋eq \f(1,2)mv2＝eq \f(5,2)mgR，B正确；由mgh＝eq \f(5,2)mgR，轨道上部的eq \f(1,4)圆弧截去后小球能达到的最大高度h＝2.5R，比P点高0.5R，D正确。
10．如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球A和B，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L，先将杆竖直靠放在竖直墙上，轻轻拨动小球B，使小球B在水平面上由静止开始向右滑动，当小球A沿墙下滑距离为eq \f(L,2)时，下列说法正确的是(不计一切摩擦)( )
A．杆对小球A做功为eq \f(1,2)mgL
B．小球A和B的速度都为eq \f(1,2)eq \r(gL)
C．小球A、B的速度分别为eq \f(1,2)eq \r(3gL)和eq \f(1,2)eq \r(gL)
D．杆与小球A和B组成的系统机械能减少了eq \f(1,2)mgL
答案 C
解析 当小球A沿墙下滑距离为eq \f(1,2)L时，设此时A球的速度为vA，B球的速度为vB。根据机械能守恒定律得：mgeq \f(L,2)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)，两球沿杆方向上的速度相等，则有：
vAcs60°＝vBcs30°，联立两式解得：vA＝eq \f(1,2)eq \r(3gL)，vB＝eq \f(1,2)eq \r(gL)。对A使用动能定理有：mgeq \f(L,2)＋W杆＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)－0，代入A的速度，解得W杆＝－eq \f(1,8)mgL，故A错误；由以上分析得：vA＝eq \f(1,2)eq \r(3gL)，vB＝eq \f(1,2)eq \r(gL)，故B错误，C正确；对于杆与小球A和B组成的系统而言，运动过程中只有重力做功，故系统机械能守恒，D错误。
11．(多选)质量为M、长度为l的小车静止在光滑的水平面上，质量为m的小物块(可视为质点)放在小车的最左端。现用一水平恒力F作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动。物块和小车之间的摩擦力为F1。物块滑到小车的最右端时，小车运动的距离为x。在这个过程中，以下结论正确的是( )
A．物块到达小车最右端时，具有的动能为(F－F1)l
B．物块到达小车最右端时，小车具有的动能为F1x
C．摩擦力对物块所做的功为－F1(l＋x)
D．物块和小车增加的机械能为Fx
答案 BC
解析 由动能定理得，对小物块有：(F－F1)(l＋x)＝Ek1，A错误；对小车有F1x＝Ek2，B正确；摩擦力对物块所做的功为－F1(l＋x)，C正确；小物块和小车增加的机械能为ΔE＝Ek1＋Ek2＝Fl＋Fx－F1l，D错误。
12．杂技演员甲的质量为M＝80 kg，乙的质量为m＝60 kg。跳板轴间光滑，质量不计。甲、乙一起表演节目，如图所示。开始时，乙站在B端，A端离地面1 m，且OA＝OB。甲先从离地面H＝6 m的高处自由跳下落在A端。当A端落地时，乙在B端恰好被弹起。假设甲碰到A端时，由于甲的技艺高超，没有能量损失。分析过程假定甲、乙可看作质点。(取g＝10 m/s2)问：
(1)当A端落地时，甲、乙两人速度大小各为多少？
(2)若乙在B端的上升可以看成是竖直方向，则乙离开B端还能被弹起多高？
答案 (1)2eq \r(15) m/s 2eq \r(15) m/s (2)3 m
解析 (1)甲跳下直到B端弹起到最高点的过程中，甲、乙组成的系统机械能守恒，以地面为参考平面，由机械能守恒定律有：MgH＝eq \f(1,2)Mveq \\al(2,甲)＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,乙)＋mgh
而v甲＝v乙，h＝1 m
联立可解得v甲＝v乙＝2eq \r(15) m/s。
(2)乙上升到最高点的过程中，机械能守恒，有：
eq \f(1,2)mveq \\al(2,乙)＝mgh1，解得h1＝3 m。
13．如图所示，若将质量为m的小球拉到绳与水平方向成θ＝30°角的位置A处由静止释放，重力加速度为g，求小球到达最低点C时绳对小球的拉力是多大？
答案 eq \f(7,2)mg
解析 小球先做自由落体运动，到绳与水平方向再次成θ＝30°角时，绳被拉直，然后小球做圆周运动，如图所示，绳被拉直时小球下降的高度为L，设此时小球的速度为v1，
根据自由落体运动的规律有
v1＝eq \r(2gL)①
将v1分解为沿绳方向的速度v∥和垂直于绳方向的速度v⊥，当绳绷直的瞬间，v∥变为0
v⊥＝v1csθ＝eq \f(\r(6gL),2)②
绳绷直后，小球在竖直平面内做圆周运动，设小球到达最低点C时的速度为v2，以最低点C所在水平面为参考平面，由机械能守恒定律有
eq \f(1,2)mveq \\al(2,2)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,⊥)＋mgL(1－cs60°)③
设在C点绳对小球的拉力为F，
根据牛顿第二定律有F－mg＝meq \f(v\\al(2,2),L)④
联立②③④式解得F＝eq \f(7,2)mg。
14．长为L的均匀链条，放在光滑的水平桌面上，且使其长度的eq \f(1,4)垂在桌边，如图所示，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，取桌面为参考平面。
(1)开始时两部分链条重力势能之和为多少？
(2)刚离开桌面时，整个链条重力势能为多少？
(3)链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为多大？
答案 (1)－eq \f(mgL,32) (2)－eq \f(mgL,2) (3)eq \f(1,4)eq \r(15gL)
解析 (1)开始时链条的重力势能
Ep1＝eq \f(mg,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(L,8)))＝－eq \f(mgL,32)①
(2)刚滑离桌面时，链条的重力势能
Ep2＝mg×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(L,2)))＝－eq \f(mgL,2)②
(3)设链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为v，
根据机械能守恒定律
Ep1＋0＝Ep2＋eq \f(1,2)mv2③
联立①②③式得v＝eq \f(1,4)eq \r(15gL)。
15. 如图所示，跨过同一高度处的定滑轮的细线连接着质量相同的物体A和B，A套在光滑水平杆上，定滑轮离水平杆的高度h＝0.2 m，开始时让连着A的细线与水平杆的夹角θ1＝37°，由静止释放B，当细线与水平杆的夹角θ2＝53°时，A的速度为多大？在以后的运动过程中，A所获得的最大速度为多大？(设B不会碰到水平杆，sin37°＝0.6，sin53°＝0.8，g取10 m/s2)
答案 1.11 m/s 1.63 m/s
解析 设A、B的质量均为m，绳与水平杆夹角θ2＝53°时，A的速度为vA，B的速度为vB，此过程中B下降的高度为h1，由机械能守恒定律有
mgh1＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)
其中h1＝eq \f(h,sinθ1)－eq \f(h,sinθ2)，vAcsθ2＝vB
解得vA≈1.11 m/s
当θ3＝90°时，A的速度最大，设为vAm，此时B的速度为零，设此过程中B下降的高度为h2，由机械能守恒定律有
mgh2＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,Am)，其中h2＝eq \f(h,sinθ1)－h
解得vAm≈1.63 m/s。
16．如图所示，半径为R的光滑半圆弧轨道与高为10R的光滑斜轨道放在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡。在水平轨道上，轻质弹簧被a、b两小球挤压，处于静止状态，同时释放两个小球，a球恰好能通过圆弧轨道的最高点A，b球恰好能到达斜轨道的最高点B。已知a球质量为m1，b球质量为m2，重力加速度为g，求：
(1)a球离开弹簧时的速度大小va；
(2)b球离开弹簧时的速度大小vb；
(3)释放小球前弹簧的弹性势能Ep。
答案 (1)eq \r(5gR) (2)2eq \r(5gR)
(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)m1＋10m2))gR
解析 (1)由a球恰好能通过A点知m1g＝m1eq \f(v\\al(2,A),R)
a球从弹出到运动到A点，由机械能守恒定律有
eq \f(1,2)m1veq \\al(2,a)－eq \f(1,2)m1veq \\al(2,A)＝m1g·2R，得va＝eq \r(5gR)。
(2)对于b球，从弹出到运动到B点，由机械能守恒定律有
eq \f(1,2)m2veq \\al(2,b)＝m2g·10R，得vb＝eq \r(20gR)＝2eq \r(5gR)。
(3)由机械能守恒定律得
Ep＝eq \f(1,2)m1veq \\al(2,a)＋eq \f(1,2)m2veq \\al(2,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)m1＋10m2))gR。
17. 如图所示，竖直平面内的eq \f(3,4)圆弧形光滑管道的内径略大于小球直径，管道中心线到圆心的距离为R，A端与圆心O等高，AD为水平面，B点在O点的正下方，小球自A点正上方由静止释放，自由下落至A点时进入管道，从上端口飞出后落在C点，当小球到达B点时，管壁对小球的弹力大小是小球重力大小的9倍。求：
(1)释放点距A点的竖直高度；
(2)落点C与A点的水平距离。
答案 (1)3R (2)(2eq \r(2)－1)R
解析 (1)设小球到达B点的速度为v1，因为到达B点时，管壁对小球的弹力大小是小球重力大小的9倍，
所以有9mg－mg＝eq \f(mv\\al(2,1),R)。
设B点所在水平面为参考平面，由机械能守恒定律得
mg(h＋R)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)，
解得h＝3R。
(2)设小球到达最高点的速度为v2，落点C与A点的水平距离为x。
由机械能守恒定律得eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,2)＋mg·2R，
由平抛运动的规律得R＝eq \f(1,2)gt2，R＋x＝v2t，
解得x＝(2eq \r(2)－1)R。
18．如图所示，ABC和DEF是在同一竖直平面内的两条光滑轨道，其中ABC的末端水平，DEF是半径为r＝0.4 m的半圆形轨道，其直径DF沿竖直方向，C、D可看作重合。现有一可视为质点的小球从轨道ABC上距C点高为H的地方由静止释放。
(1)若要使小球经C处水平进入轨道DEF且能沿轨道运动，H至少要有多高？
(2)若小球静止释放处离C点的高度h小于(1)中H的最小值，小球可击中与圆心等高的E点，求h。(取g＝10 m/s2)
答案 (1)0.2 m (2)0.1 m
解析 (1)小球从ABC轨道下滑，机械能守恒，设到达C点时的速度大小为v，则：mgH＝eq \f(1,2)mv2①
小球能在竖直平面内做圆周运动，在圆周最高点必须满足：
mg≤eq \f(mv2,r)②
联立①②并代入数据得：H≥0.2 m。
(2)若h竖直方向：r＝eq \f(1,2)gt2③
水平方向：r＝vxt④
由机械能守恒定律有：mgh＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,x)⑤
联立③④⑤并代入数据得h＝0.1 m。
1．多物体组成的系统机械能守恒问题
(1)多个物体组成的系统，就单个物体而言，机械能一般不守恒，但就系统而言机械能往往是守恒的。
(2)关联物体注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)机械能守恒定律表达式的选取技巧
①当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式Ek1＋Ep1＝eq \(□,\s\up3(01))Ek2＋Ep2或ΔEk＝eq \(□,\s\up3(02))－ΔEp来求解。
②当研究对象为两个物体组成的系统时：
a．若两个物体的势能都在减小(或增加)，动能都在增加(或减小)，可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp来求解。
b．若A物体的动能和势能都在增加(或减少)，B物体的动能和势能都在减少(或增加)，可优先考虑用表达式ΔEA＝eq \(□,\s\up3(03))－ΔEB来求解。
(4)机械能守恒定律的研究对象是几个相互作用的物体组成的系统时，在应用机械能守恒定律分析系统的运动状态的变化及能量的变化时，经常出现下面三种情况：
①系统内两个物体直接接触或通过弹簧连接。这类连接体问题应注意各物体间不同能量形式的转化关系。
②系统内两个物体通过轻绳连接。如果和外界不存在摩擦力做功等问题时，只有机械能在两物体之间相互转移，两物体组成的系统机械能守恒。解决此类问题的关键是在绳的方向上两物体速度大小相等。
③系统内两个物体通过轻杆连接。轻杆连接的两物体绕固定转轴转动时，两物体转动的角速度相等。
2．链条类(或液柱类)物体的机械能守恒问题
链条类(或液柱类)物体机械能守恒问题的分析关键是分析重心位置，进而确定物体重力势能的变化，解题要注意两个问题：一是参考平面的选取；二是链条(或液注)的每一段重心的位置变化和重力势能变化。
3．利用机械能守恒定律分析多过程问题
机械能守恒定律多与其他知识相结合进行综合命题，一般为多过程问题，难度较大。解答此类题目时一定要注意机械能守恒的条件，分析在哪个过程中机械能守恒，然后列式求解，不能盲目应用机械能守恒定律。
典型考点一 多物体组成的系统机械能守恒问题
1．(多选)如图所示，在两个质量分别为m和2m的小球a和b之间，用一根轻质细杆连接，两小球可绕过轻杆中心的水平轴无摩擦转动，现让轻杆处于水平方向放置，静止释放小球后，b球向下转动，a球向上转动，在转过90°的过程中，以下说法正确的是( )
A．b球的重力势能减少，动能减少
B．a球的重力势能增大，动能增大
C．a球和b球的机械能总和保持不变
D．a球和b球的机械能总和不断减小
答案 BC
解析 在b球向下、a球向上转动过程中，两球均在加速转动，两球动能均增加，同时b球重力势能减小，a球重力势能增大，A错误，B正确；a、b两球组成的系统只有重力和系统内弹力做功，系统机械能守恒，C正确，D错误。
2．如图所示的滑轮光滑轻质，物体A、B分别系在轻绳两端并跨过定滑轮，物体A的质量M1＝2 kg，物体B的质量M2＝1 kg，物体A离地高度为H＝0.5 m。物体A与物体B从静止开始释放，取g＝10 m/s2，物体A由静止下落0.3 m时的速度为( )
A.eq \r(2) m/s B．3 m/s C．2 m/s D．1 m/s
答案 A
解析 对A、B组成的系统运用机械能守恒定律得，(M1－M2)gh＝eq \f(1,2)(M1＋M2)v2，代入数据解得v＝eq \r(2) m/s，故A正确，B、C、D错误。
3．(多选)如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则( )
A．a落地前，轻杆对b一直做正功
B．a落地时速度大小为eq \r(2gh)
C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
答案 BD
解析 设a沿杆方向的分速度与a竖直方向的合速度夹角为θ，则因沿杆方向a、b的分速度相等，可写出等式：vacsθ＝vbsinθ，a滑到最低点时，θ＝90°，所以b的速度为0，又因b的初速度也为0，可知此过程中b的动能先增大后减小，所以轻杆对b先做正功后做负功，A错误；a、b所组成的系统机械能守恒，所以当a滑到地面时，有eq \f(1,2)mveq \\al(2,a)＋0＝mgh，解得va＝eq \r(2gh)，B正确；轻杆落地前，当a的机械能最小时，b的动能最大，此时轻杆对a、b无作用力，故C错误，D正确。
4．(多选)如图所示，一轻质弹簧固定在光滑杆的下端，弹簧的中心轴线与杆重合，杆与水平面间的夹角始终为60°，质量为m的小球套在杆上，从距离弹簧上端O点2x0的A点静止释放，将弹簧压至最低点B，压缩量为x0，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．小球从接触弹簧到将弹簧压至最低点B的过程中，其加速度一直减小
B．小球运动过程中最大动能可能为mgx0
C．弹簧劲度系数大于eq \f(\r(3)mg,2x0)
D．弹簧最大弹性势能为eq \f(3\r(3),2)mgx0
答案 CD
解析 小球从接触弹簧到将弹簧压至最低点B的过程中，弹簧对小球的弹力逐渐增大，开始时弹簧的弹力小于小球的重力沿杆向下的分力，小球做加速运动，随着弹力的增大，合力减小，加速度减小，直到弹簧的弹力等于小球的重力沿杆向下的分力时加速度为0，然后，弹簧的弹力大于小球的重力沿杆向下的分力，随着弹力的增大，合力沿杆向上增大，则加速度增大，所以小球的加速度先减小后增大，A错误；小球滑到O点时的动能为Ek＝2mgx0sin60°＝eq \r(3)mgx0，小球的合力为零时动能最大，此时弹簧处于压缩状态，位置在O点下方，所以小球运动过程中最大动能大于eq \r(3)mgx0，不可能为mgx0，B错误；在速度最大的位置有mgsin60°＝kx，得k＝eq \f(\r(3)mg,2x)，因为x＜x0，所以k＞eq \f(\r(3)mg,2x0)，C正确；小球从A到B的过程，对小球和弹簧组成的系统，由机械能守恒定律得：弹簧最大弹性势能Epm＝mg·3x0sin60°＝eq \f(3\r(3),2)mgx0，D正确。
5. 如图所示，半径为r、质量不计的圆盘，盘面与地面垂直，圆心处有一垂直于盘面的水平固定轴O。在盘的最右边缘固定一个质量为m的小球A，在O点的正下方离O点eq \f(r,2)处固定一个质量也为m的小球B，放开圆盘让其自由转动，不计空气阻力，重力加速度为g，问A球转到最低点时，其速度是多大？
答案 eq \f(2,5)eq \r(5gr)
解析 选取初始时A球所在水平面为参考平面，则初始时系统的总机械能为E1＝－mg·eq \f(r,2)
当A球转到最低点时，设其速度为vA，B球的速度为vB，则A、B组成的系统的总机械能为
E2＝－mgr＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)
由于A、B两球的角速度相同，设A球在最低点时的角速度为ω，则vA＝ωr，
vB＝ω·eq \f(r,2)，可知vB＝eq \f(vA,2)
根据机械能守恒定律得E1＝E2
可解得vA＝eq \f(2,5)eq \r(5gr)
即A球转到最低点时其速度vA＝eq \f(2,5)eq \r(5gr)。
6. 如图所示，有一轻质杆可绕O点在竖直平面内自由转动，在杆的另一端和中点各固定一个质量均为m的小球A、B，杆长为L。开始时，杆静止在水平位置，求无初速度释放后杆转到竖直位置时，A、B两小球的速度各是多少？(重力加速度为g)
答案 vA＝eq \f(2\r(15gL),5) vB＝eq \f(\r(15gL),5)
解析 把A、B两小球和杆看成一个系统，杆对A、B两小球的弹力为系统的内力，对系统而言，只有重力做功，系统的机械能守恒。
以A球在最低点时所在的平面为参考平面，则
初状态：
系统的动能为Ek1＝0，重力势能为Ep1＝2mgL
末状态(即杆到竖直位置)：
系统的动能为Ek2＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)，
重力势能为Ep2＝mg·eq \f(L,2)
由机械能守恒定律得2mgL＝eq \f(1,2)mgL＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)
又因为在自由转动过程中A、B两球的角速度相同，则vA＝2vB
联立解得vA＝eq \f(2\r(15gL),5)，vB＝eq \f(\r(15gL),5)。
7．如图所示，质量均为m的物体A和B，通过轻绳跨过定滑轮相连。斜面光滑，倾角为θ，不计绳子和滑轮之间的摩擦，重力加速度为g。开始时A物体离地的高度为h，B物体位于斜面的底端，用手托住A物体，使A、B两物体均静止。现将手撤去。
(1)求A物体将要落地时的速度为多大？
(2)A物体落地后，B物体由于惯性将继续沿斜面向上运动，则B物体在斜面上到达的最高点离地的高度为多大？
答案 (1)eq \r(gh1－sinθ) (2)eq \f(h1＋sinθ,2)
解析 (1)撤去手后，A、B两物体同时运动，并且速率相等，由于两物体构成的系统只有重力做功，故系统的机械能守恒。
设A物体将要落地时的速度大小为v，
由机械能守恒定律得mgh－mghsinθ＝eq \f(1,2)(m＋m)v2，
解得v＝eq \r(gh1－sinθ)。
(2)A物体落地后，B物体由于惯性将继续沿斜面向上运动，此时绳子对其没有拉力，对B物体而言，只有重力做功，故机械能守恒。
设其到达的最高点离地高度为H，
由机械能守恒定律得eq \f(1,2)mv2＝mg(H－hsinθ)，
解得H＝eq \f(h1＋sinθ,2)。
典型考点二 质量分布均匀的链条类(或液柱类)物体的机械能守恒问题
8. 如图所示，粗细均匀的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为(不计液体内能的变化)( )
A.eq \r(\f(gh,8)) B.eq \r(\f(gh,6)) C.eq \r(\f(gh,4)) D.eq \r(\f(gh,2))
答案 A
解析 在液柱流动过程中除受重力作用外，还受大气压力作用，但在液体流动过程中，右侧大气压力做的正功等于左侧大气压力做的负功，所以满足机械能守恒条件。以原来左侧液面处为重力势能的参考平面，则由机械能守恒定律得(设高h的液柱质量为m)，mg·eq \f(h,2)＝mg·eq \f(h,4)＋eq \f(1,2)(4m)v2，解得v＝eq \r(\f(gh,8))，A正确。
9．如图所示，有一条长为L的均匀金属链条，一半长度在光滑斜面上，斜面倾角为θ，另一半长度沿竖直方向下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，求链条刚好全部滑出斜面时的速度是多大？
答案 eq \f(\r(gL3－sinθ),2)
解析 设斜面最高点所在水平面为参考平面，链条总质量为m，
开始时左半部分的重力势能Ep1＝－eq \f(m,2)g·eq \f(L,4)sinθ，
右半部分的重力势能Ep2＝－eq \f(m,2)g·eq \f(L,4)，
机械能E1＝Ep1＋Ep2＝－eq \f(m,8)gL(1＋sinθ)。
当链条刚好全部滑出斜面时，重力势能Ep＝－mg·eq \f(L,2)，
动能Ek＝eq \f(1,2)mv2，
机械能E2＝Ep＋Ek＝－eq \f(mg,2)L＋eq \f(1,2)mv2。
由机械能守恒定律可得E1＝E2，
所以－eq \f(mgL,8)(1＋sinθ)＝－eq \f(mgL,2)＋eq \f(1,2)mv2，
整理得v＝eq \f(\r(gL3－sinθ),2)。
典型考点三 利用机械能守恒定律分析多过程问题
10．(多选)如图所示，A、B、C、D四选项图中的小球以及小球所在的左侧斜面完全相同，现从同一高度h处由静止释放小球，使之进入右侧不同的轨道：除去底部一小段圆弧，A图中的轨道是一段斜面，高度大于h；B图中的轨道与A图中的轨道相比只是短了一些，且斜面高度小于h；C图中的轨道是一个内径略大于小球直径的管道，其上部为竖直管，下部为与斜面相连的圆弧，管的高度大于h；D图中是个半圆形轨道，其直径等于h。如果不计任何摩擦阻力和拐弯处的能量损失，则四个选项图中小球进入右侧轨道后能到达h高度的是( )
答案 AC
解析 对A、C两图，小球到右侧最高点的速度可以为零，由机械能守恒定律可得，小球进入右侧轨道后能到达的高度仍为h，故A、C正确；B图右侧轨道最大高度小于h，小球到轨道最上端后做斜抛运动，小球到达最高点时仍有水平速度，因此，小球能到达的最大高度小于h，B错误；D图右侧为圆形轨道，若小球能通过最高点，则必须具有一定速度，因此，小球沿轨道不可能到达h高度，D错误。
11．如图是为了检验某种防护罩承受冲击能力的装置的一部分，M为半径为R＝1.0 m、固定于竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，轨道上端切线水平，M的下端相切处放置竖直向上的弹簧枪，可发射速度不同的质量m＝0.01 kg的小钢珠。假设某次发射的钢珠沿轨道内侧恰好能经过M的上端点水平飞出，取g＝10 m/s2，弹簧枪的长度不计，则发射该钢珠前，弹簧的弹性势能为( )
A．0.10 J B．0.15 J C．0.20 J D．0.25 J
答案 B
解析 小钢珠恰好经过M的上端点时有mg＝meq \f(v2,R)，所以v＝eq \r(gR)＝eq \r(10) m/s。全过程中，小钢珠与弹簧组成的系统机械能守恒，根据机械能守恒定律得Ep＝mgR＋eq \f(1,2)mv2＝0.15 J，B正确。
12．如图，把一根内壁光滑的细圆管弯成eq \f(3,4)圆周形状，且竖直放置，管口A竖直向上，管口B水平向左，一小球从管口A的正上方h1高处自由落下，经细管恰能到达细管最高点B处。若小球从A管口正上方h2高处自由落下，进入A管口运动到B点后又从空中飞落进A口，则h1∶h2为( )
A．1∶2 B．2∶3 C．4∶5 D．5∶6
答案 C
解析 当小球从管口A的正上方h1高处自由落下，到达细管最高点B处时的速度为零，则根据机械能守恒定律有(取管口A所在水平面为参考平面)，mgh1＝mgR，解得h1＝R；当从A管口正上方h2高处自由落下时，根据平抛运动规律有R＝vBt，R＝eq \f(1,2)gt2，解得vB＝ eq \r(\f(gR,2))，根据机械能守恒定律有mgh2＝mgR＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)，解得h2＝eq \f(5R,4)，故h1∶h2＝4∶5，C正确。
13. 如图，光滑水平面AB与竖直面内的光滑半圆形固定轨道在B点相切，半圆形轨道半径为R＝2.5 m，一个质量m＝0.5 kg的小物块压缩弹簧，静止在A处，释放小物块，小物块离开弹簧后经B点进入轨道，经过C点时对轨道的压力为其重力的3倍。取g＝10 m/s2。求：
(1)小物块经过C点时速度的大小；
(2)弹簧对小物块的弹力做的功。
答案 (1)10 m/s (2)50 J
解析 (1)在C点，有：N＋mg＝meq \f(v\\al(2,C),R)，N＝3mg，
解得：vC＝2eq \r(Rg)＝10 m/s。
(2)从A到C，设弹簧弹力对小物块做的功为W，
由机械能守恒定律有：W＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,C)＋2mgR，
代入数据解得：W＝50 J。
14．如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段倾斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R。一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg(g为重力加速度)。求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围。
答案 eq \f(5,2)R≤h≤5R
解析 以轨道最低点所在水平面为参考平面，设物块在圆形轨道最高点的速度为v，由机械能守恒定律得
mgh＝2mgR＋eq \f(1,2)mv2①
物块在圆形轨道最高点受的力为重力mg、轨道的压力N。重力与压力的合力提供向心力，有
mg＋N＝meq \f(v2,R)②
物块能通过最高点的条件是
N≥0③
由②③式得v≥eq \r(gR)④
由①④式得h≥eq \f(5,2)R⑤
按题的要求，N≤5mg，由②式得v≤eq \r(6Rg)⑥
由①⑥式得h≤5R⑦
h的取值范围是eq \f(5,2)R≤h≤5R。
1. (多选)如图所示，一质量为m的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O点处，将小球拉至A处，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，它运动到O点正下方B点时与A点间的竖直高度差为h，速度为v，则( )
A．由A到B重力做的功等于mgh
B．由A到B重力势能减少eq \f(1,2)mv2
C．由A到B弹簧弹力做功为－mgh
D．小球到达位置B时弹簧的弹性势能为mgh－eq \f(1,2)mv2
答案 AD
解析 重力做功只与初末位置的高度差有关，则由A至B重力做功为mgh，故A正确；由A至B重力做功为mgh，则重力势能减少mgh，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，设小球在B处时弹簧的弹性势能为Ep，由机械能守恒定律有mgh＝Ep＋eq \f(1,2)mv2，故mgh>eq \f(1,2)mv2，Ep＝mgh－eq \f(1,2)mv2，弹簧弹力做功W弹＝－ΔEp＝－Ep＝eq \f(1,2)mv2－mgh，故B、C错误，D正确。
2．(多选)如图所示，质量均为m的a、b两球固定在轻杆的两端，杆可绕水平轴O在竖直面内无摩擦转动，已知两球距轴O的距离L1>L2，现在由水平位置静止释放，在a下降过程中( )
A．a、b两球角速度相等
B．a、b两球向心加速度相等
C．杆对a、b两球都不做功
D．a、b两球机械能之和保持不变
答案 AD
解析 因为a、b两球围绕同一个固定轴转动，所以角速度相等，A正确。a＝ω2r，半径不同，向心加速度不同，B错误。a球和b球组成的系统机械能守恒，D正确。b球的动能和势能都增加，故杆对b球做正功，对a做负功，C错误。
3. (多选)如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架。在A处固定质量为2m的小球甲，B处固定质量为m的小球乙，支架悬挂在O点，可绕O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动。开始时OB竖直，放手后开始运动。在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是( )
A．甲球到达最低点时速度为零
B．甲球机械能减少量等于乙球机械能增加量
C．乙球向左摆动所能达到的最高位置应高于甲球开始运动时的高度
D．当支架从左至右回摆时，甲球一定能回到起始高度
答案 BCD
解析 甲球和乙球组成的系统机械能守恒，可判断只有A错误。
4．如图所示，地面上竖直放一根轻弹簧，其下端和地面固定连接，一物体从弹簧正上方距弹簧一定高度处自由下落，则( )
A．物体和弹簧接触时，物体的动能最大
B．物体从接触弹簧至离开弹簧的过程中，物体的动能和弹簧弹性势能的和不断增加
C．物体从接触弹簧至离开弹簧的过程中，物体的动能和弹簧弹性势能的和先增加后减少
D．物体在反弹阶段动能一直增加，直到物体脱离弹簧为止
答案 C
解析 物体在下落过程中，只受重力和弹簧弹力作用，总的机械能是守恒的；物体和弹簧接触后，受重力和向上的弹力作用，物体下落阶段，先是重力大于弹力，然后是弹力大于重力，故物体先加速后减速，动能先增加后减少，即物体和弹簧接触时，物体的动能未达到最大，A错误。同理，物体在反弹阶段，未脱离弹簧时，动能先增加后减少，D错误。物体从接触弹簧至离开弹簧的过程中，先下落后上升，物体的重力势能先减少后增加，由于物体和弹簧组成的系统机械能守恒，所以物体的动能和弹簧弹性势能的和先增加后减少，故C正确，B错误。
5．如图，一轻弹簧左端固定在长木块B的左端，右端与小木块A连接，且A、B及B与地面间接触面光滑。开始时，A和B均静止，现同时对A、B施加等大反向的水平恒力F1和F2。在两物体开始运动以后的整个运动过程中，对A、B和弹簧组成的系统(整个过程中弹簧形变不超过其弹性限度)，下列说法正确的是( )
A．由于F1、F2等大反向，故系统机械能守恒
B．F1、F2分别对A、B做正功，故系统机械能不断增加
C．当弹簧弹力大小与F1、F2大小相等时，系统机械能最大
D．系统机械能最大时，两物体动能都为零
答案 D
解析 当弹簧弹力大小与F1、F2大小相等时，A和B受力平衡，加速度为零，此时速度达到最大值，故各自的动能最大。由于F1、F2先对系统做正功，当两物体速度减为零时，此时系统机械能最大；之后由于弹簧的弹力大于F1、F2，两物体再加速相向运动，F1、F2对系统做负功，系统机械能开始减少，只有D正确。
6．如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上横截面半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是( )
A．2R B.eq \f(5R,3) C.eq \f(4R,3) D.eq \f(2R,3)
答案 C
解析 设A、B的质量分别为2m、m，当A落到地面上时，B恰好运动到与圆柱轴心等高处，以A、B整体为研究对象，则A、B组成的系统机械能守恒，故有2mgR－mgR＝eq \f(1,2)(2m＋m)v2，A落到地面上以后，B以速度v竖直上抛，又上升的高度为h′＝eq \f(v2,2g)，解得h′＝eq \f(1,3)R，故B上升的总高度为R＋h′＝eq \f(4,3)R，故C正确。
7．(多选)由光滑细管组成的轨道如图所示，其中AB段和BC段是半径为R的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内。一质量为m的小球，从距离水平地面高为H的管口D处由静止释放，最后能够从A端水平抛出落到地面上。下列说法正确的是( )
A．小球落到地面时相对于A点的水平位移大小为2eq \r(RH－2R2)
B．小球落到地面时相对于A点的水平位移大小为2eq \r(2RH－4R2)
C．小球能从细管A端水平抛出的条件是H>2R
D．小球能从细管A端水平抛出的最小高度Hmin＝eq \f(5,2)R
答案 BC
解析 因为轨道光滑，所以小球从D点运动到A点的过程中机械能守恒，以地面为参考平面，根据机械能守恒定律有mgH＝mg(R＋R)＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)，解得vA＝eq \r(2gH－2R)，从A端水平抛出到落到地面上，根据平抛运动规律有2R＝eq \f(1,2)gt2，水平位移x＝vAt＝eq \r(2gH－2R)·eq \r(\f(4R,g))＝2eq \r(2RH－4R2)，故A错误，B正确；因为小球能从细管A端水平抛出的条件是vA>0，所以要求H>2R，故C正确，D错误。
8. 如图所示，物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧，物体A、B的质量都为m，开始时细绳伸直，用手托着物体A，使弹簧处于原长且A离地面的高度为h，物体B静止在地面上。放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物体B对地面恰好无压力，则下列说法中正确的是( )
A．弹簧的劲度系数为eq \f(mg,h)
B．此时弹簧的弹性势能等于mgh＋eq \f(1,2)mv2
C．此时物体B的速度大小也为v
D．此时物体A的加速度大小为g，方向竖直向上
答案 A
解析 由题可知，此时弹簧所受的拉力大小等于B的重力大小，即F＝mg，弹簧伸长的长度为x＝h，由F＝kx得k＝eq \f(mg,h)，故A正确；A与弹簧组成的系统机械能守恒，则有mgh＝eq \f(1,2)mv2＋Ep，则弹簧的弹性势能Ep＝mgh－eq \f(1,2)mv2，故B错误；物体B对地面恰好无压力，此时B的速度恰好为零，故C错误；根据牛顿第二定律，对A有F－mg＝ma，F＝mg，得a＝0，故D错误。
9．(多选)如图所示，小球沿水平面通过O点进入半径为R的半圆弧轨道后恰能通过最高点P，然后落回水平面，不计一切阻力。下列说法正确的是( )
A．小球落地点离O点的水平距离为2R
B．小球落地时的动能为eq \f(5mgR,2)
C．小球运动到半圆弧最高点P时向心力恰好为零
D．若将半圆弧轨道上部的eq \f(1,4)圆弧截去，其他条件不变，则小球能达到的最大高度比P点高0.5R
答案 ABD
解析 小球恰能通过P点，则在P点时重力提供向心力，大小为mg，C错误；由题意知，在P点时mg＝meq \f(v2,R)，故小球经P点时的速度大小v＝eq \r(gR)，由2R＝eq \f(1,2)gt2、x＝vt得小球落地点离O点的水平距离为2R，A正确；根据机械能守恒得2mgR＝Ek－eq \f(1,2)mv2，解得小球落地时的动能Ek＝2mgR＋eq \f(1,2)mv2＝eq \f(5,2)mgR，B正确；由mgh＝eq \f(5,2)mgR，轨道上部的eq \f(1,4)圆弧截去后小球能达到的最大高度h＝2.5R，比P点高0.5R，D正确。
10．如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球A和B，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L，先将杆竖直靠放在竖直墙上，轻轻拨动小球B，使小球B在水平面上由静止开始向右滑动，当小球A沿墙下滑距离为eq \f(L,2)时，下列说法正确的是(不计一切摩擦)( )
A．杆对小球A做功为eq \f(1,2)mgL
B．小球A和B的速度都为eq \f(1,2)eq \r(gL)
C．小球A、B的速度分别为eq \f(1,2)eq \r(3gL)和eq \f(1,2)eq \r(gL)
D．杆与小球A和B组成的系统机械能减少了eq \f(1,2)mgL
答案 C
解析 当小球A沿墙下滑距离为eq \f(1,2)L时，设此时A球的速度为vA，B球的速度为vB。根据机械能守恒定律得：mgeq \f(L,2)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)，两球沿杆方向上的速度相等，则有：
vAcs60°＝vBcs30°，联立两式解得：vA＝eq \f(1,2)eq \r(3gL)，vB＝eq \f(1,2)eq \r(gL)。对A使用动能定理有：mgeq \f(L,2)＋W杆＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)－0，代入A的速度，解得W杆＝－eq \f(1,8)mgL，故A错误；由以上分析得：vA＝eq \f(1,2)eq \r(3gL)，vB＝eq \f(1,2)eq \r(gL)，故B错误，C正确；对于杆与小球A和B组成的系统而言，运动过程中只有重力做功，故系统机械能守恒，D错误。
11．(多选)质量为M、长度为l的小车静止在光滑的水平面上，质量为m的小物块(可视为质点)放在小车的最左端。现用一水平恒力F作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动。物块和小车之间的摩擦力为F1。物块滑到小车的最右端时，小车运动的距离为x。在这个过程中，以下结论正确的是( )
A．物块到达小车最右端时，具有的动能为(F－F1)l
B．物块到达小车最右端时，小车具有的动能为F1x
C．摩擦力对物块所做的功为－F1(l＋x)
D．物块和小车增加的机械能为Fx
答案 BC
解析 由动能定理得，对小物块有：(F－F1)(l＋x)＝Ek1，A错误；对小车有F1x＝Ek2，B正确；摩擦力对物块所做的功为－F1(l＋x)，C正确；小物块和小车增加的机械能为ΔE＝Ek1＋Ek2＝Fl＋Fx－F1l，D错误。
12．杂技演员甲的质量为M＝80 kg，乙的质量为m＝60 kg。跳板轴间光滑，质量不计。甲、乙一起表演节目，如图所示。开始时，乙站在B端，A端离地面1 m，且OA＝OB。甲先从离地面H＝6 m的高处自由跳下落在A端。当A端落地时，乙在B端恰好被弹起。假设甲碰到A端时，由于甲的技艺高超，没有能量损失。分析过程假定甲、乙可看作质点。(取g＝10 m/s2)问：
(1)当A端落地时，甲、乙两人速度大小各为多少？
(2)若乙在B端的上升可以看成是竖直方向，则乙离开B端还能被弹起多高？
答案 (1)2eq \r(15) m/s 2eq \r(15) m/s (2)3 m
解析 (1)甲跳下直到B端弹起到最高点的过程中，甲、乙组成的系统机械能守恒，以地面为参考平面，由机械能守恒定律有：MgH＝eq \f(1,2)Mveq \\al(2,甲)＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,乙)＋mgh
而v甲＝v乙，h＝1 m
联立可解得v甲＝v乙＝2eq \r(15) m/s。
(2)乙上升到最高点的过程中，机械能守恒，有：
eq \f(1,2)mveq \\al(2,乙)＝mgh1，解得h1＝3 m。
13．如图所示，若将质量为m的小球拉到绳与水平方向成θ＝30°角的位置A处由静止释放，重力加速度为g，求小球到达最低点C时绳对小球的拉力是多大？
答案 eq \f(7,2)mg
解析 小球先做自由落体运动，到绳与水平方向再次成θ＝30°角时，绳被拉直，然后小球做圆周运动，如图所示，绳被拉直时小球下降的高度为L，设此时小球的速度为v1，
根据自由落体运动的规律有
v1＝eq \r(2gL)①
将v1分解为沿绳方向的速度v∥和垂直于绳方向的速度v⊥，当绳绷直的瞬间，v∥变为0
v⊥＝v1csθ＝eq \f(\r(6gL),2)②
绳绷直后，小球在竖直平面内做圆周运动，设小球到达最低点C时的速度为v2，以最低点C所在水平面为参考平面，由机械能守恒定律有
eq \f(1,2)mveq \\al(2,2)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,⊥)＋mgL(1－cs60°)③
设在C点绳对小球的拉力为F，
根据牛顿第二定律有F－mg＝meq \f(v\\al(2,2),L)④
联立②③④式解得F＝eq \f(7,2)mg。
14．长为L的均匀链条，放在光滑的水平桌面上，且使其长度的eq \f(1,4)垂在桌边，如图所示，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，取桌面为参考平面。
(1)开始时两部分链条重力势能之和为多少？
(2)刚离开桌面时，整个链条重力势能为多少？
(3)链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为多大？
答案 (1)－eq \f(mgL,32) (2)－eq \f(mgL,2) (3)eq \f(1,4)eq \r(15gL)
解析 (1)开始时链条的重力势能
Ep1＝eq \f(mg,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(L,8)))＝－eq \f(mgL,32)①
(2)刚滑离桌面时，链条的重力势能
Ep2＝mg×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(L,2)))＝－eq \f(mgL,2)②
(3)设链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为v，
根据机械能守恒定律
Ep1＋0＝Ep2＋eq \f(1,2)mv2③
联立①②③式得v＝eq \f(1,4)eq \r(15gL)。
15. 如图所示，跨过同一高度处的定滑轮的细线连接着质量相同的物体A和B，A套在光滑水平杆上，定滑轮离水平杆的高度h＝0.2 m，开始时让连着A的细线与水平杆的夹角θ1＝37°，由静止释放B，当细线与水平杆的夹角θ2＝53°时，A的速度为多大？在以后的运动过程中，A所获得的最大速度为多大？(设B不会碰到水平杆，sin37°＝0.6，sin53°＝0.8，g取10 m/s2)
答案 1.11 m/s 1.63 m/s
解析 设A、B的质量均为m，绳与水平杆夹角θ2＝53°时，A的速度为vA，B的速度为vB，此过程中B下降的高度为h1，由机械能守恒定律有
mgh1＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)
其中h1＝eq \f(h,sinθ1)－eq \f(h,sinθ2)，vAcsθ2＝vB
解得vA≈1.11 m/s
当θ3＝90°时，A的速度最大，设为vAm，此时B的速度为零，设此过程中B下降的高度为h2，由机械能守恒定律有
mgh2＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,Am)，其中h2＝eq \f(h,sinθ1)－h
解得vAm≈1.63 m/s。
16．如图所示，半径为R的光滑半圆弧轨道与高为10R的光滑斜轨道放在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡。在水平轨道上，轻质弹簧被a、b两小球挤压，处于静止状态，同时释放两个小球，a球恰好能通过圆弧轨道的最高点A，b球恰好能到达斜轨道的最高点B。已知a球质量为m1，b球质量为m2，重力加速度为g，求：
(1)a球离开弹簧时的速度大小va；
(2)b球离开弹簧时的速度大小vb；
(3)释放小球前弹簧的弹性势能Ep。
答案 (1)eq \r(5gR) (2)2eq \r(5gR)
(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)m1＋10m2))gR
解析 (1)由a球恰好能通过A点知m1g＝m1eq \f(v\\al(2,A),R)
a球从弹出到运动到A点，由机械能守恒定律有
eq \f(1,2)m1veq \\al(2,a)－eq \f(1,2)m1veq \\al(2,A)＝m1g·2R，得va＝eq \r(5gR)。
(2)对于b球，从弹出到运动到B点，由机械能守恒定律有
eq \f(1,2)m2veq \\al(2,b)＝m2g·10R，得vb＝eq \r(20gR)＝2eq \r(5gR)。
(3)由机械能守恒定律得
Ep＝eq \f(1,2)m1veq \\al(2,a)＋eq \f(1,2)m2veq \\al(2,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)m1＋10m2))gR。
17. 如图所示，竖直平面内的eq \f(3,4)圆弧形光滑管道的内径略大于小球直径，管道中心线到圆心的距离为R，A端与圆心O等高，AD为水平面，B点在O点的正下方，小球自A点正上方由静止释放，自由下落至A点时进入管道，从上端口飞出后落在C点，当小球到达B点时，管壁对小球的弹力大小是小球重力大小的9倍。求：
(1)释放点距A点的竖直高度；
(2)落点C与A点的水平距离。
答案 (1)3R (2)(2eq \r(2)－1)R
解析 (1)设小球到达B点的速度为v1，因为到达B点时，管壁对小球的弹力大小是小球重力大小的9倍，
所以有9mg－mg＝eq \f(mv\\al(2,1),R)。
设B点所在水平面为参考平面，由机械能守恒定律得
mg(h＋R)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)，
解得h＝3R。
(2)设小球到达最高点的速度为v2，落点C与A点的水平距离为x。
由机械能守恒定律得eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,2)＋mg·2R，
由平抛运动的规律得R＝eq \f(1,2)gt2，R＋x＝v2t，
解得x＝(2eq \r(2)－1)R。
18．如图所示，ABC和DEF是在同一竖直平面内的两条光滑轨道，其中ABC的末端水平，DEF是半径为r＝0.4 m的半圆形轨道，其直径DF沿竖直方向，C、D可看作重合。现有一可视为质点的小球从轨道ABC上距C点高为H的地方由静止释放。
(1)若要使小球经C处水平进入轨道DEF且能沿轨道运动，H至少要有多高？
(2)若小球静止释放处离C点的高度h小于(1)中H的最小值，小球可击中与圆心等高的E点，求h。(取g＝10 m/s2)
答案 (1)0.2 m (2)0.1 m
解析 (1)小球从ABC轨道下滑，机械能守恒，设到达C点时的速度大小为v，则：mgH＝eq \f(1,2)mv2①
小球能在竖直平面内做圆周运动，在圆周最高点必须满足：
mg≤eq \f(mv2,r)②
联立①②并代入数据得：H≥0.2 m。
(2)若h
水平方向：r＝vxt④
由机械能守恒定律有：mgh＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,x)⑤
联立③④⑤并代入数据得h＝0.1 m。
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