物理必修 第二册4 机械能守恒定律优质导学案

机械能守恒定律

重力势能

一、重力做功

1. 重力做功的表达式：WG＝mgh（或WG＝mgΔh），h指初位置与末位置的高度差。

2. 重力做功的特点：物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。

二、重力势能

1. 重力势能

（1）定义：物体由于被举高而具有的能。

（2）公式：Ep＝mgh，式中h是物体重心到参考平面的高度。

注意：重力做功表达式WG＝mgh中的“h”指的是初位置与末位置的高度差。

（3）单位：焦耳；符号：J。

2. 重力做功与重力势能之间的关系：WG＝－ΔEp=Ep1－Ep2。

三、重力势能的“四性”

1. 相对性：

Ep＝mgh中的h是物体重心相对参考平面的高度。参考平面选择不同，则物体的高度h不同，重力势能的大小也就不同。重力势能是标量，只有大小没有方向，但有正负之分，正、负表示大小。当物体在参考平面上方时，Ep为正值，在参考平面下方时，Ep为负值。重力势能的正负表示比零势能大还是比零势能小。

2. 系统性：重力是地球与物体相互吸引产生的，所以重力势能是地球与物体所组成的“系统”所共有的，平时所说的“物体”的重力势能只是一种简化说法。

3. 参考平面选择的任意性：参考平面可任意选择，但是一般以地面或是物体运动时所达到的最低点为参考平面。

4. 重力势能变化的绝对性：重力势能的变化与参考平面的选取无关，它的变化量是绝对的。

5. 重力做功与重力势能的比较

四、弹性势能

1. 定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫做弹性势能。

2. 弹性势能的性质：

（1）系统性：弹性势能是整个系统所具有的。

（2）相对性：弹性势能的大小与选取的参考平面位置有关。对于弹簧，一般规定弹簧处于原长时的势能为零。

（3）对于同一弹簧，从自然长度伸长和压缩相同长度时弹性势能相同。

3. 弹力做功与弹性势能变化的关系：

（1）弹力做正功时，弹性势能减少，弹力做负功时，弹性势能增加，并且弹力做多少功，弹性势能就变化多少。

（2）表达式：W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2。

（3）弹簧适用范围：在弹簧的弹性限度内。

注意：弹力做功和重力做功一样，也和路径无关，弹性势能的变化只与弹力做功有关。

如图所示，在水平地面上平铺n块砖，每块砖的质量为m，厚度为h，如将砖一块一块地叠放起来，至少需要做多少功？

解：把n块砖从平铺状态变为依次叠放，所做的功至少要能满足重力势能的增加量，以地面为零势能面，对系统有：

平铺状态系统重力势能为：＝（nm）g          ①

依次叠放后系统重力势能为：＝（nm）g       ②               

联解①②得：。

1. 重力做功的表达式：WG＝mgh（或WG＝mgΔh），h指初位置与末位置的高度差。

2. 重力势能：

（1）表达式：Ep＝mgh，式中h是物体重心到参考平面的高度。

（2）重力做功与重力势能变化的关系：：WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp

（3）重力势能的“四性”

3. 弹性势能

（1）弹性势能性质：系统性和相对性

（2）弹力做功与弹性势能变化的关系：

弹力做正功时，弹性势能减少，弹力做负功时，弹性势能增加，并且弹力做多少功，弹性势能就变化多少；表达式：W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2。

（答题时间：30分钟）

1. 如图所示，某物块分别沿三条不同的轨道由离地面高h的A点滑到同一水平面上，轨道1、2是光滑的，轨道3是粗糙的，则（　　）

A. 沿轨道1滑下重力做的功多

B. 沿轨道2滑下重力做的功多

C. 沿轨道3滑下重力做的功多

D. 沿三条轨道滑下重力做的功一样多

2. 关于重力势能，下列说法正确的是（　　）

A. 重力势能是地球和物体共同具有的，而不是物体单独具有的

B. 处在同一高度的物体，具有的重力势能相同

C. 重力势能是标量，不可能有正、负值

D. 浮在海面上的小船的重力势能一定为零

3. 一棵树上有一个质量为0. 3 kg的熟透了的苹果P，该苹果从树上A先落到地面C最后滚入沟底D。A、B、C、D、E面之间竖直距离如图所示。以地面C为零势能面，g取10 m/s2，则该苹果从A落下到D的过程中重力势能的减少量和在D处的重力势能分别是（　　）

A. 15. 6 J和9 J 

B. 9 J和－9 J

C. 15. 6 J和－9 J 

D. 15. 6 J和－15. 6 J

4. 如图所示，质量为60 kg的某运动员在做俯卧撑运动，运动过程中可将她的身体视为一根直棒。已知重心在c点，其垂线与脚、两手连线中点间的距离Oa、Ob分别为0. 9 m和0. 6 m。若她在1 min内做了30个俯卧撑，每次肩部上升的距离均为0. 4 m，则她在1 min内克服重力做的功和相应的功率约为（　　）

A. 430 J，7 W   B. 4 300 J，70 W

C. 720 J，12 W   D. 7 200 J，120 W

5. 如图所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端接连着一轻弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F作用下物体处于静止状态，当撤去力F后，物体将向右运动，在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是（　　）

A. 弹簧的弹性势能逐渐减少

B. 物体的机械能不变

C. 弹簧的弹性势能先增加后减少

D. 弹簧的弹性势能先减少后增加

6. 如图所示，质量为m的小球从高为h处的斜面上的A点滚下经过水平面BC后，再滚上另一斜面，当它到达的D点时，速度为零，在这个过程中，重力做功为（　　）

A.    B.

C. mgh   D. 0

7. 在离地80 m处无初速度释放一小球，小球质量为m＝200 g，不计空气阻力，g取10 m/s2，取最高点所在水平面为零势能参考平面。求：

（1）在第2 s末小球的重力势能；

（2）前3 s内重力所做的功及重力势能的变化。

8. 如图所示，质量为m的小球，用一长为l的细线悬于O点，将悬线拉直成水平状态，并给小球一个竖直向下的速度让小球向下运动，O点正下方D处有一钉子，小球运动到B处时会以D为圆心做圆周运动，并经过C点，若已知OD＝l，则小球由A点运动到C点的过程中，重力做功为多少？重力势能减少了多少？

1. 答案：D

解析：重力做功的多少只与初、末位置的高度差有关，与路径无关，D选项正确。

2. 答案：A

解析：重力势能具有系统性，重力势能是物体与地球共有的，故A正确；重力势能等于mgh，其中h是相对于参考平面的高度，参考平面不同，h不同，另外质量也不一定相同，故处在同一高度的物体，其重力势能不一定相同，选项B错误；重力势能是标量，但有正负，负号表示物体在参考平面的下方，故C错误；零势能面的选取是任意的，并不一定选择海平面为零势能面，故浮在海面上的小船的重力势能不一定为零，选项D错误。

3. 答案：C

解析：以地面C为零势能面，根据重力势能的计算公式得D处的重力势能Ep＝mgh＝0. 3×10×（－3. 0） J＝－9 J。从A落下到D的过程中重力势能的减少量ΔEp＝mgΔh＝0. 3×10×（0. 7＋1. 5＋3. 0） J＝15. 6 J，故选C。

4. 答案：B

解析：设每次俯卧撑中，运动员重心变化的高度为h，由几何关系可得，＝，即h＝0. 24 m。一次俯卧撑中，克服重力做功W＝mgh＝60×9. 8×0. 24 J＝141. 12 J，所以1 min内克服重力做的总功为W总＝NW＝4 233. 6 J，功率P＝＝70. 56 W，故选B。

5. 答案：D

解析：开始时弹簧处于压缩状态，撤去力F后，物体先向右加速运动后向右减速运动，所以物体的机械能先增大后减小，所以B错，弹簧先恢复原长后又逐渐伸长，所以弹簧的弹性势能先减少后增加，D对，A、C错。

6. 答案：B

解析：解法一　分段法。

小球由A→B，重力做正功W1＝mgh

小球由B→C，重力做功为0，

小球由C→D，重力做负功W2＝－mg·

故小球由A→D全过程中重力做功

WG＝W1＋W2＝mg＝mgh，B正确。

解法二　全过程法。

全过程，小球的高度差h1－h2＝h，故WG＝mgh。故选B。

7. 答案：（1）－40 J　（2）90 J　减少了90 J

解析：（1）在第2 s末小球下落的高度为：

h＝gt2＝×10×22 m＝20 m

重力势能为：

Ep＝－mgh＝－0. 2×10×20 J＝－40 J。

（2）在前3 s内小球下落的高度为

h′＝gt′2＝×10×32 m＝45 m。

3 s内重力做功为：

WG＝mgh′＝0. 2×10×45 J＝90 J

WG>0，所以小球的重力势能减少，且减少了90 J。

8. 答案：mgl　mgl

解析：从A点运动到C点，小球下落的高度为h＝l，

故重力做功WG＝mgh＝mgl，

重力势能的变化量ΔEp＝－WG＝－mgl

负号表示小球的重力势能减少了。

动能定理

一、动能

1. 定义：物体由于运动而具有的能。

2. 表达式：Ek＝mv2。

3. 单位：与功的单位相同，国际单位为焦耳，符号为J。

4. 动能的性质

（1）相对性：动能具有相对性，参考系不同，速度就不同，所以动能也不等。一般无特殊说明，均是以地面为参考系。

（2）标矢性：动能是标量，只有大小没有方向（动能仅与速度的大小有关，与速度的方向无关），动能恒为正值。

注意：动能永远是正的，但是动能的变化量可以为负值。

（3）瞬时性：动能是状态量，是表征物体运动状态的物理量，它与物体某一时刻的运动状态相对应。物体的运动状态一旦确定了，物体的动能就被确定了。

注意：速度变化时，动能不一定变；但是动能变化时，速度一定变。

二、动能定理

1. 内容：力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。

2. 表达式：W＝Ek2－Ek1＝mv22－mv12。

3. 推导过程：设质量为m的物体在光滑的水平面上运动，在与运动方向相同的恒力F的作用下发生了一段位移x，速度从v1增大到v2，根据牛顿第二定律有F＝ma

由可得，，

代入W＝Fx可得

4. 适用条件：既适用于恒力做功，也适用于变力做功；既适用于直线运动，也适用于曲线运动。

1. 质量为m的物体在水平力F的作用下由静止开始在光滑地面上运动，前进一段距离之后速度大小为v，再前进一段距离使物体的速度增大为2v，则（　　）

A. 第二过程的速度增量等于第一过程的速度增量

B. 第二过程的动能增量是第一过程动能增量的3倍

C. 第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做的功

D. 第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做功的2倍

【答案】AB

【解析】由题意知，两个过程中速度增量均为v，A正确；由动能定理知：第一个过程合外力做功为W1＝mv2，第二个过程合外力做功为W2＝m（2v）2－mv2＝mv2，合外力做的功即为动能的增加量，即，故B正确，C、D错误。

2. 如图所示，物体在距离斜面底端5 m处由静止开始下滑，然后滑上与斜面平滑连接的水平面，若物体与斜面及水平面的动摩擦因数均为0. 4，斜面倾角为37°。求物体能在水平面上滑行的距离。（sin 37°＝0. 6，cos 37°＝0. 8）

【答案】3. 5 m

【解析】对物体在斜面上和水平面上受力分析如图所示。

方法一　分过程列方程：设物体滑到斜面底端时的速度为v，物体下滑阶段

FN1＝mgcos 37°，

故Ff1＝μFN1＝μmgcos 37°。

由动能定理得：

mgsin 37°·l1－μmgcos 37°·l1＝mv2－0

设物体在水平面上滑行的距离为l2，

摩擦力Ff2＝μFN2＝μmg

由动能定理得：

－μmgl2＝0－mv2

联立以上各式可得l2＝3. 5 m。

方法二　全过程列方程：

mgl1sin 37°－μmgcos 37°·l1－μmgl2＝0

得：l2＝3. 5 m。

一列车的质量是5. 0×105 kg，在平直的轨道上以额定功率3 000 kW加速行驶，当速率由10 m/s加速到所能达到的最大速率30 m/s时，共用了2 min，设列车所受阻力恒定，则：

（1）列车所受的阻力多大？

（2）这段时间内列车前进的距离是多少？

【答案】（1）1. 0×105 N　（2）1 600 m

【解析】（1）列车以额定功率加速行驶时，其加速度在减小，当加速度减小到零时，速度最大，此时有P＝Fv＝Ffvmax

所以列车受到的阻力Ff＝＝1. 0×105 N

（2）这段时间牵引力做功WF＝Pt，设列车前进的距离为s，则由动能定理得Pt－Ffs＝mv max2－mv02

代入数值解得s＝1 600 m。

1. 动能

（1）表达式：Ek＝mv2。

（2）动能的性质：相对性、标矢性、瞬时性。

注意：（1）动能永远是正的，但是动能的变化量可以为负值。

（2）速度变化时，动能不一定变；但是动能变化时，速度一定变。

2. 动能定理

（1）表达式：W＝Ek2－Ek1＝mv22－mv12。

注意：W指合外力做的功。

（2）适用条件：既适用于恒力做功，也适用于变力做功；既适用于直线运动，也适用于曲线运动。

（答题时间：30分钟）

1. 关于动能的理解，下列说法正确的是（　　）

A. 一般情况下，Ek＝mv2中的v是相对于地面的速度

B. 动能的大小由物体的质量和速率决定，与物体的运动方向无关

C. 物体以相同的速率向东和向西运动，动能的大小相等、方向相反

D. 当物体以不变的速率做曲线运动时其动能不断变化

2. 如图，某同学用绳子拉动木箱，使它从静止开始沿粗糙水平路面运动至具有某一速度，木箱获得的动能一定（　　）

A. 小于拉力所做的功

B. 等于拉力所做的功

C. 等于克服摩擦力所做的功

D. 大于克服摩擦力所做的功

3. 一辆汽车以v1＝6 m/s的速度沿水平路面行驶时，急刹车后能滑行x1＝3. 6 m，如果以v2＝8 m/s的速度行驶，在同样的路面上急刹车后滑行的距离x2应为（　　）

A. 6. 4 m   B. 5. 6 m

C. 7. 2 m   D. 10. 8 m

4. 如图所示，质量为0. 1 kg的小物块在粗糙水平桌面上滑行4 m后以3. 0 m/s的速度飞离桌面，最终落在水平地面上，已知物块与桌面间的动摩擦因数为0. 5，桌面高0. 45 m，若不计空气阻力，取g＝10 m/s2，则（　　）

A. 小物块的初速度是5 m/s

B. 小物块的水平射程为1. 2 m

C. 小物块在桌面上克服摩擦力做8 J的功

D. 小物块落地时的动能为0. 9 J

5. 甲、乙两个质量相同的物体，用相同的力F分别拉着它们在水平面上从静止开始运动相同的距离s。如图4所示，甲在光滑面上，乙在粗糙面上，则下列关于力F对甲、乙两物体做的功和甲、乙两物体获得的动能的说法中正确的是（　　）

A. 力F对甲物体做功多

B. 力F对甲、乙两个物体做的功一样多

C. 甲物体获得的动能比乙小

D. 甲、乙两个物体获得的动能相同

6. 半径R＝1 m的圆弧轨道下端与一光滑水平轨道连接，水平轨道离地面高度h＝1 m，如图所示，有一质量m＝1. 0 kg的小滑块自圆轨道最高点A由静止开始滑下，经过水平轨道末端B时速度为4 m/s，滑块最终落在地面上，g取10 m/s2，试求：

（1）不计空气阻力，滑块落在地面上时速度的大小；

（2）滑块在轨道上滑行时克服摩擦力做的功。

1. 答案：AB

解析：动能是标量，由物体的质量和速率决定，与物体的运动方向无关。动能具有相对性，无特别说明，一般指相对于地面的动能。选A、B。

2. 答案：A

解析：由题意知，W拉－W阻＝ΔEk，则W拉>ΔEk，A项正确，B项错误；W阻与ΔEk的大小关系不确定，C、D项错误。

3. 答案：A

解析：急刹车后，车只受摩擦力的作用，且两种情况下摩擦力的大小是相同的，汽车的末速度皆为零，故：

－Fx1＝0－mv12①

－Fx2＝0－mv22②

②式除以①式得＝

x2＝x1＝2×3. 6 m＝6. 4 m。

4. 答案：D

解析：由－μmgx＝mv2－mv02

得：v0＝7 m/s，Wf＝μmgx＝2 J，A、C错误。

由h＝gt2，x＝vt得x＝0. 9 m，B项错误。

由mgh＝Ek－mv2得，落地时Ek＝0. 9 J，D正确。

5. 答案：B

解析：由功的公式W＝Flcos α＝Fs可知，两种情况下力F对甲、乙两个物体做的功一样多，A错误，B正确；根据动能定理，对甲有Fs＝Ek1，对乙有Fs－Ffs＝Ek2，可知Ek1＞Ek2，即甲物体获得的动能比乙大，C，D错误。

6. 答案：（1）6 m/s　（2）2 J

解析：（1）从B点到地面这一过程，只有重力做功，根据动能定理有mgh＝mv2－mvB2，

代入数据解得v＝6 m/s。

（2）设滑块在轨道上滑行时克服摩擦力做的功为Wf，对A到B这一过程运用动能定理有mgR－Wf＝mvB2－0，

解得Wf＝2 J。