高中物理人教版 (2019)必修 第二册2 重力势能学案及答案

第2节　重力势能

1．重力做的功

(1)重力做功的特点

①物体下降时重力做正功，势能减小；物体被举高时重力做负功，势能增大。

②物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。

(2)表达式：WG＝mgΔh＝mgh1－mgh2，其中h1、h2分别表示物体起点和终点的高度。

2．重力势能

(1)表达式：Ep＝mgh。

(2)是标量，其单位与功的单位相同，在国际单位制中都是焦耳。

(3)重力做的功与重力势能的关系：WG＝Ep1－Ep2，其中Ep1表示物体在初位置的重力势能，Ep2表示物体在末位置的重力势能。

①当物体由高处运动到低处时，重力做正功，重力势能减少，即WG>0，Ep1>Ep2；

②当物体由低处运动到高处时，重力做负功，重力势能增加，即WG<0，Ep1<Ep2。

(4)重力势能是地球与物体所组成的“系统”所共有的。

3．重力势能的相对性

(1)物体的重力势能总是相对于某一水平面来说的，这个水平面叫作参考平面。在这个水平面上，物体的重力势能取为0。通常选择地面为参考平面。选择不同的参考平面，物体重力势能的数值是不同的。

(2)对选定的参考平面而言，上方物体的高度是正值，重力势能也是正值；下方物体的高度是负值，重力势能也是负值。负值的重力势能，表示物体在这个位置具有的重力势能要比在参考平面上具有的重力势能小。

4．弹性势能

(1)定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫作弹性势能。

(2)大小

①弹性势能跟形变的大小有关系。例如，在弹性限度内，弹簧被拉伸或压缩的长度越长，弹簧的弹性势能就越大。

②另外，弹簧的弹性势能还跟弹簧的劲度系数有关。不同的弹簧发生同样大小的形变，劲度系数越大，弹簧的弹性势能就越大。

(3)势能也叫位能，与相互作用的物体的相对位置有关。重力势能是由地球和地面上物体的相对位置决定的，弹性势能是由发生弹性形变的物体各部分的相对位置决定的。

典型考点一　　　重力做的功

1.如图所示，若物体分别沿不同的路径Ⅰ和Ⅱ从A运动到B，则(　　)

A．沿路径Ⅰ重力所做的功最大

B．沿路径Ⅱ重力所做的功最大

C．沿路径Ⅰ和Ⅱ重力所做的功一样大

D．条件不足不能判断

答案　C

解析　物体分别沿不同的路径Ⅰ和Ⅱ从A运动到B，初、末位置相同，重力做功一样大，C正确。

2.某游客领着孩子游泰山时，孩子不小心将手中的皮球滑落，球从A点滚到了山脚下的B点，高度标记如图所示，已知球的重力为mg，则下列说法中正确的是(　　)

A．从A到B的曲线轨迹长度不知道，无法求出此过程重力做的功

B．从A到B过程中阻力大小不知道，无法求出此过程重力做的功

C．从A到B重力做功mg(H＋h)

D．从A到B重力做功mgH

答案　D

解析　重力对物体所做的功只与初、末位置的高度差有关，故从A到B重力做功为WG＝mgH，故选D。

典型考点二　　　对重力势能的理解

3．(多选)下列关于重力势能的说法中正确的是(　　)

A．重力势能是地球和物体共同具有的，而不是物体单独具有的

B．重力势能的大小是相对的

C．某个物体处于某个位置，重力势能的大小是唯一确定的

D．在地面上方的物体，它的重力势能一定不等于零

答案　AB

解析　物体的重力势能具有相对性和系统性。对于不同的零势能参考平面，同一个物体在同一个位置的重力势能是不相同的。物体的重力势能属于物体和地球组成的这个系统，而不只是物体单独具有。故A、B正确，C、D错误。

4．如图所示，桌面高为h，质量为m的小球从离桌面高H处自由落下，不计空气阻力，假设以桌面处为参考平面，则小球落到地面前瞬间的重力势能为(　　)

A．mgh   B．mgH

C．mg(h＋H)   D．－mgh

答案　D

解析　重力势能的大小是相对参考平面而言的，参考平面的选择不同，物体的高度就不同，重力势能的大小也不同。本题中已选定桌面为参考平面，则小球在最高点时的高度为H，小球在与桌面相平时的高度为零，小球在地面时的高度为－h，所以小球落到地面前的瞬间，它的重力势能为Ep＝－mgh，故选D。

典型考点三　　　重力做功与重力势能的关系

5.为了安全，跨河大桥通常建成拱形，如图所示，M、N为水平面上的两点，O点为拱桥的最高点，且最高点距离水平面的高度为h，一质量为m的卡车以恒定不变的速率由M经O到达N点。则(　　)

A．由于M、N在同一水平面上，则卡车在整个运动过程中重力始终不做功

B．卡车的重力势能先减小后增大，重力先做负功后做正功

C．卡车的重力势能先增大后减小，重力先做正功后做负功

D．卡车的重力势能先增大后减小，重力先做负功后做正功

答案　D

解析　由M到O的过程中，卡车向高处运动，重力势能增大，重力做负功，由O到N的过程中，卡车向低处运动，重力势能减小，重力做正功，D正确。

6．如图所示，质量为m的小球从曲面左侧上的A点滚下，经过最低点后滚到曲面右侧上的B点。已知A点距最低点的高度为h1，B点距最低点的高度为h2。求小球从A点滚到B点的过程中，重力做了多少功？小球的重力势能变化了多少？

答案　mg(h1－h2)　减少了mg(h1－h2)

解析　重力做的功为W＝mgΔh＝mg(h1－h2)

因为高度减小，重力做正功，所以重力势能减少，且减少的重力势能等于重力所做的功，故小球的重力势能减少了mg(h1－h2)。

典型考点四　　　非“质点”物体重力势能变化的求解

7．如图所示，一条长l＝2 m、质量分布均匀的铁链放在水平地面上，铁链质量为10 kg，拿住一端提起铁链直到铁链全部离开地面的瞬间，铁链重力做功为多少？铁链的重力势能变化了多少？(重力加速度g＝9.8 m/s2)

答案　－98 J　增加了98 J

解析　铁链从初状态到末状态，它的重心位置升高了h＝，因而铁链重力所做的功为：W＝－mg·＝－10×9.8× J＝－98 J

铁链的重力势能增加了98 J。

8．质量为m的均匀链条长为L，开始放在光滑的水平桌面上时，有的长度悬在桌边缘，如图所示，松手后，链条滑离桌面，问从开始到链条刚滑离桌面过程中重力势能变化了多少？(桌面离地面高度大于L)

答案　重力势能变化了－mgL

解析　解法一：链条从开始到刚滑离桌面过程中，相当于将开始桌面上的的链条移至末态的下端处，故重心下降了L，所以重力做功WG＝mg·L＝·mgL，重力势能变化ΔEp＝－WG＝－mgL。

解法二：以桌面为参考平面，开始时重力势能

Ep1＝－mg×＝－mgL

末态时重力势能

Ep2＝－mg×＝－

故重力势能变化

ΔEp＝Ep2－Ep1＝－mgL。

典型考点五　　　弹性势能

9．关于弹性势能，下列说法中正确的是(　　)

A．只要发生形变物体就具有弹性势能

B．弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关

C．当弹簧的弹力做正功时，弹性势能增加

D．弹性势能必须通过弹力做功来改变

答案　D

解析　只有发生弹性形变的物体才具有弹性势能，A错误；弹簧的弹性势能与形变量和劲度系数有关，B错误；弹性势能的变化总是与弹力做功相对应，当弹力做正功时，弹性势能减少，当弹力做负功时，弹性势能增加，C错误，D正确。

10．如图所示的几个运动过程中，物体的弹性势能增加的是(　　)

A．如图甲，撑杆跳高的运动员上升过程中，杆的弹性势能

B．如图乙，人拉长弹簧过程中，弹簧的弹性势能

C．如图丙，模型飞机用橡皮筋发射出去的过程中，橡皮筋的弹性势能

D．如图丁，小球被弹簧向上弹起的过程中，弹簧的弹性势能

答案　B

解析　A、C、D中弹力均做正功，所以弹性势能减小，B中弹簧的形变量增大，所以弹性势能增加，所以B正确。

1．(多选)下列物体中，具有弹性势能的是(　　)

A．被拉长的橡皮筋   B．在空中自由下落的小球

C．被拉细的铜丝   D．被弯曲的铜片

答案　AD

解析　被拉长的橡皮筋和被弯曲的铜片发生了弹性形变，故具有了弹性势能，故选A、D。

2．关于弹性势能和重力势能，下列说法中正确的是(　　)

A．弹簧的弹性势能大小只与弹簧的材料有关

B．在弹性限度内，弹簧的弹性势能大小与弹簧形变量有关

C．重力势能的变化量与参考平面的选取有关

D．当重力对物体做正功时，物体的重力势能一定增加

答案　B

解析　弹簧的弹性势能大小不仅与弹簧的材料有关，还与弹簧的形变量有关，故A错误，B正确；重力势能的变化量与参考平面的选取无关，故C错误；当重力对物体做正功时，物体的重力势能一定减小，故D错误。

3.如图所示，质量为m的小球从高为h处的斜面上的A点滚下经过水平面BC后，再滚上另一斜面，当它到达高的D点时，速度为0。在这个过程中，重力做功为(　　)

A.  B.  C．mgh  D．0

答案　B

解析　根据重力做功的公式，W＝mg(h1－h2)＝，故B正确。

4.如图所示，ACP和BDP是竖直平面内两个半径不同的半圆形光滑轨道，A、P、B三点位于同一水平面上，C和D分别为两轨道的最低点，将两个质量相同的小球分别从A和B两处同时无初速度释放，则(　　)

A．沿BDP光滑轨道运动的小球的重力势能永远为正值

B．两小球到达C点和D点时，重力做功相等

C．两小球到达C点和D点时，重力势能相等

D．两小球刚开始从A和B两处无初速度释放时，重力势能相等

答案　D

解析　不管选哪一平面为参考平面，A点和B点相对参考平面的竖直高度均相等，所以两小球重力势能相等，D正确；两小球到达C点和D点时，所处高度不相同，重力势能不相等，C错误；重力势能Ep＝mgh，具有相对性，如果选A、P、B三点所在水平面为参考平面，则两球在运动过程中的重力势能恒为负值，如果选C点所在水平面为参考平面，则两球在运动过程中的重力势能恒为正值，A错误；另外，重力做功跟路径无关，只取决于物体在初、末位置竖直方向的高度，两球所受重力相等，但从开始运动到到达C点和D点时竖直高度不等，所以，重力做功不相等，B错误。

5．一棵树上有一个质量为0.3 kg的熟透了的苹果P，该苹果从树上与A等高处先落到地面C最后滚入沟底D。已知AC、CD的高度差分别为2.2 m和3.0 m，以地面C为参考平面，A、B、C、D、E之间竖直距离如图所示。算出该苹果从A落下到D的过程中重力势能的减少量和在D处的重力势能分别是(g取10 m/s2)(　　)

A．15.6 J和9 J   B．9 J和－9 J

C．15.6 J和－9 J   D．15.6 J和－15.6 J

答案　C

解析　以地面C为参考平面，根据重力势能的计算公式得在D处的重力势能Ep＝mgh＝0.3×10×(－3.0) J＝－9 J，从A下落到D的过程中重力势能的减少量mgΔh＝0.3×10×(2.2＋3.0) J＝15.6 J，C正确。

6．(多选)质量为m的物体，由静止开始下落，由于空气阻力作用，下落的加速度为g，在物体下落h的过程中，下列说法正确的是(　　)

A．物体重力做的功为mgh

B．物体所受阻力做功为

C．物体重力势能减少了mgh

D．物体所受阻力做功为－

答案　ACD

解析　因物体的加速度为g，由牛顿第二定律可知mg－Ff＝ma，解得空气阻力Ff＝mg。重力做功WG＝mgh，阻力做功Wf＝－mgh，A、D正确，B错误；重力做功与重力势能变化的关系WG＝－ΔEp，重力做正功，故重力势能减少mgh，C正确。

7．在高处的某一点将三个质量相同的小球以相同的速率v0分别上抛、平抛、下抛，以下说法正确的是(　　)

A．从抛出到落地过程中，重力对它们所做的功都相等

B．从抛出到落地过程中，重力对它们做功的平均功率都相等

C．三个球落地时，重力的瞬时功率相同

D．如果考虑空气阻力，则从抛出到落地过程中，重力势能变化不相等

答案　A

解析　三个小球初末位置的高度差相同，由于重力做功与路径无关，只是与初末位置的高度差有关，所以重力做功都相等，A正确；三个球在空中运动的时间不一样，它们的时间关系是t上抛>t平抛>t下抛，而平均功率P＝，所以重力做功的平均功率不相等，B错误；落地时三个球的速率相等，但速度方向不同，设速度方向与竖直方向夹角为α，瞬时功率P瞬＝Fvcosα＝mgvcosα，上抛和下抛时α＝0，而平抛小球落地时α≠0，故瞬时功率不相等，C错误；重力势能的变化只与重力做功有关，重力做功相等，三个球的重力势能变化相等，故D错误。

8.将竖直悬挂的长为1 m、粗细均匀、质量为3 kg的直棒向左转60°角，如图所示，则重力做功为________(g取10 m/s2)。

答案　－7.5 J

解析　由题可知，直棒的重心位于棒的中点，向左转动过程中直棒的重心上升，重力做负功，W＝－mg·(1－cos60°)＝－7.5 J。

9．在离地面80 m处无初速度地释放一小球，小球质量为m＝200 g，不计空气阻力，g取10 m/s2，取释放点所在水平面为参考平面。求：

(1)在第2 s末小球的重力势能。

(2)在第3 s内重力所做的功和重力势能的变化。

答案　(1)－40 J　

(2)50 J　小球的重力势能减少了50 J

解析　(1)以释放点所在水平面为参考平面，在第2 s末小球所处的高度为h＝－gt2＝－×10×22 m＝－20 m

重力势能Ep＝mgh＝200×10－3×10×(－20) J＝－40 J

Ep<0，说明小球在参考平面的下方。

(2)在第3 s末小球所处的高度为

h′＝－gt′2＝－×10×32 m＝－45 m

第3 s内重力做的功为

W＝mg(h－h′)＝200×10－3×10×(－20＋45) J＝50 J

由重力做功与重力势能改变的关系可知，小球的重力势能减少了50 J。

10．如图所示，杆中点有一转轴O，两端分别固定质量为2m、m的小球a和b，当杆从水平位置转到竖直位置时，小球a和b构成的系统的重力势能如何变化，变化了多少？(重力加速度为g)

答案　小球a和b构成的系统重力势能减少，且减少了mgL

解析　重力对小球a做的功为W1＝2mgL

重力对小球b做的功为W2＝－mgL

则重力对由a、b组成的系统所做的总功为：

WG＝W1＋W2＝2mgL＋(－mgL)＝mgL

因为WG>0，所以系统的重力势能减少，减少了mgL。

11．在水平地面上铺n块砖，每块砖的质量均为m，厚度均为h，如图所示。现将砖一块一块地竖直叠放起来，砖的重力势能增加多少？

答案　n(n－1)mgh

解析　取n块砖的整体为研究对象，平放时重心的高度h1＝，选取地面为参考平面，其相应的重力势能为Ep1＝；n块砖被竖直叠放后的重心高度h2＝，其相应的重力势能为Ep2＝nmg·＝，故ΔEp＝Ep2－Ep1＝－＝n(n－1)mgh。

12.如图所示，有一连通器，左右两管A、B的横截面积均为S，内盛密度为ρ的液体，开始时两管内的液面高度差为h，若打开底部中央的阀门K，液体开始流动，最终两液面相平，在这一过程中，液体的重力势能变化了多少？是增加了还是减少了？

答案　－h2ρgS　减少了

解析　由于A、B两管横截面积相等，液体的体积不变，所以B管中液面下降的高度和A管中液面上升的高度相同，液面最终静止在初始状态A管液面上方h处。

因为物体的重力势能变化与过程无关，只与初、末状态的位置有关，所以可以将过程简化，视为将B管中上方h高的液柱移动到A管中液面上方，达到液体最终静止的状态，而其他的液体的位置没有变化，对应的重力势能也没有变化，全部液体重力势能的变化，就是B管上部h长的液柱重力势能的减少量。不难看出，B管中重力势能变化的部分液柱其重心的高度变化了Δh＝－h，它的重力为mg＝hSρg，所以全部液体重力势能变化了ΔEp＝mgΔh＝－hSρg×h＝－h2ρgS，负号表示重力势能减少了。