河南省新乡市长垣县2021-2022学年下学期八年级期末数学试卷(word版含答案)

这是一份河南省新乡市长垣县2021-2022学年下学期八年级期末数学试卷(word版含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省新乡市长垣县八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）要使有意义，则x必须满足的条件是（　　）
A．x≥2 B．x≤2 C．x＞2 D．x＜2
2．（3分）下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（　　）
A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．，2，
3．（3分）“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现，某班48名同学的视力检查数据如表：
视力
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
人数
2
3
6
9
12
8
5
3
则视力的众数是（　　）
A．4.5 B．4.6 C．4.7 D．4.8
4．（3分）下列式子中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）某公司招聘员工一名，某应聘者进行了三项素质测试，其中创新能力为70分，综合知识为80分，语言表达为90分，如果将这三项成绩按5：3：2计入总成绩，则他的总成绩为（　　）
A．77分 B．78分 C．79分 D．80分
6．（3分）关于矩形的性质，以下说法不正确的是（　　）
A．四个角都是直角 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
7．（3分）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）关于直线y＝3x﹣3，下列说法不正确的是（　　）
A．不经过第二象限 B．y随x的增大而增大
C．与y轴交于点（0，﹣3） D．与x轴交于点（﹣1，0）
9．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC的长为4，则正方形ABCD的面积为（　　）

A．4 B．8 C．12 D．16
10．（3分）如图1，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，在边AB，BC上沿A→B→C的方向，以1cm/s的速度匀速运动到点C，△APC的面积S（cm2）随运动时间t（s）变化的函数图象如图2所示，则AB的长是（　　）

A．cm B．3cm C．4cm D．6cm
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）某运动队要从两名队员中选取一名参加大赛，为此对甲乙这两名队员进行了五次测试，测试成绩如图所示，成绩更稳定的是 　 　．

12．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为CD边中点，已知BC＝6cm，则OE的长为　 　cm．

13．（3分）已知直角三角形的两边长为3和4，则直角三角形的面积为　 　．
14．（3分）如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为　 　．

15．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠DAB＝60°，点E是对角线AC上一个动点，点F是边AB上一个动点，连接EF，EB，则EB+EF的最小值为 　 　．

三、解答题（本题共8个小题，满分75分）
16．（10分）计算：
（1）；
（2）．
17．（9分）如图，在△ABD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，BC＝12，DC＝13，求四边形ABCD的面积．

18．（9分）2021年7月，教育部印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，明确要求初中生课外作业完成时间不超过90分钟．为了了解学生每天完成课外作业时间，某校数学兴趣小组决定对本校学生每天完成课外作业所用时间进行调查，他们随机抽取本校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果分为A，B，C，D四个等级，列表如下：
等级
A
B
C
D
每天完成课外作业时间（分钟）
t≤70
70＜t≤80
80＜t≤90
t＞90

根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）在本次调查中，C等级学生人数占被调查人数的百分比为 　 　；
（2）求D等级的学生数，并将条形统计图补充完整；
（3）学生每天完成课外作业时间的中位数落在 　 　等级；
（4）请对该校学生每天完成课外作业时间作出评价，并提出一条合理化建议．
19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），四边形ABCD是正方形．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）求点D的坐标．

20．（9分）人教版初中数学教科书八年级下册第53页告诉我们直角三角形的一个性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，我们一起来探究这条性质的证明过程：
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：．证明：延长CD至点E，使
DE＝CD，连结AE、BE．
（1）请你根据以上提示，结合图形，写出完整的证明过程；
（2）定理应用：如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，连接BD，点M为BD的中点，CM的延长线交AB于点F，连接EC、EM．
求证：△CME为等腰三角形．

21．（9分）冰墩墩（BingDwenDwen），是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：

A款玩偶
B款玩偶
进货价（元/个）
20
15
销售价（元/个）
28
20
（1）第一次小冬550元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个．
（2）第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
22．（10分）在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E和点F分别是射线BA和射线AD上的点（不与A，B重合），且∠ECF＝60°．
（1）问题初现
如图1，当点E和点F分别在线段BA和线段AD上（不与端点重合）时，线段BC，BE，DF之间的数量关系是 　 　．
（2）深入探究
如图2，当点E和点F分别在线段BA和线段AD的延长线上（不与端点重合）时，线段BC，BE，DF之间有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）拓展应用
在（2）的条件下，若BC⊥CE，且BC＝4，请直接写出DF的长．


23．（10分）某班“数学兴趣小组”在学习“勾股定理”章节的内容后，遇到这样的问题．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝6，CB＝8，点D是边CB上的一个动点，连接
AD．若△ABD是等腰三角形，求线段CD的长．
（1）小美利用刚学过的勾股定理，用方程很容易做出了解答，请你帮小美写出解答过程；
（2）小聪在学习了一次函数这一章节的内容后，他尝试利用函数的方法探究并解决该问题，下面是他的探究过程，请你补充完整．
①首先根据点D在边BC上的不同位置，画出相应图形，测量出线段CD、AD的长度，得出下面的表格：
CD
0
1
2
3
4
5
6
7
8
AD
6
6.1
6.3
6.7
7.2
7.8
8.5
9.2
a
表格中a的值为 　 　；
②然后将CD的长作为自变量x（0≤x≤8），AD的长作为x的函数，记为y，在下面平面直角坐标系中画出了函数y关于x的图象．

写出该函数的一条性质 　 　；
③小聪分析不用测量BD的值，因为CD与BD满足关系式：　 　；
④继续在平面直角坐标系画出小聪所需的函数图象，并结合图形直接写出：当△ABD为等腰三角形时，线段CD的长度的近似值（精确到0.1）．


2021-2022学年河南省新乡市长垣县八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）要使有意义，则x必须满足的条件是（　　）
A．x≥2 B．x≤2 C．x＞2 D．x＜2
【分析】根据二次根式有意义的条件可得2﹣x≥0，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得：2﹣x≥0，
解得：x≤2，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
2．（3分）下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（　　）
A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．，2，
【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
【解答】解：A、∵32+42＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
∴能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵62+82＝100，，102＝100，
∴62+82＝102，
∴能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵52+122＝169，132＝169，
∴52+122＝132，
∴能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵（）2+22＝7，（）2＝5，
∴（）2+22≠（）2，
∴不能构成直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3．（3分）“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现，某班48名同学的视力检查数据如表：
视力
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
人数
2
3
6
9
12
8
5
3
则视力的众数是（　　）
A．4.5 B．4.6 C．4.7 D．4.8
【分析】根据众数的定义求解即可．
【解答】解：由表知，视力为4.7的人数最多，有12人，
所以视力的众数为4.7，
故选：C．
【点评】本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
4．（3分）下列式子中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义，即可解答．
【解答】解：A、＝2，故A不符合题意；
B、＝＝，故B不符合题意；
C、＝，故C不符合题意；
D、是最简二次根式，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
5．（3分）某公司招聘员工一名，某应聘者进行了三项素质测试，其中创新能力为70分，综合知识为80分，语言表达为90分，如果将这三项成绩按5：3：2计入总成绩，则他的总成绩为（　　）
A．77分 B．78分 C．79分 D．80分
【分析】利用加权平均数的计算方法进行计算即可得出答案．
【解答】解：70×+80×+90×＝77（分），
故选：A．
【点评】考查平均数、加权平均数的意义和计算方法，掌握计算方法是正确解答的关键．
6．（3分）关于矩形的性质，以下说法不正确的是（　　）
A．四个角都是直角 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
【分析】根据矩形的性质逐一进行判断即可．
【解答】解：矩形是轴对称图形，四个角都是直角，对角线相等，故A，B，D都对，不符合题意，
而菱形是对角线互相垂直，矩形不具有，故C错误，符合题意，
故选：C．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
7．（3分）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘除运算法则分别计算，进而得出答案．
【解答】解：A．÷＝，故此选项符合题意；
B．5﹣2＝3，故此选项不合题意；
C．2×3＝6，故此选项不合题意；
D．+无法合并，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
8．（3分）关于直线y＝3x﹣3，下列说法不正确的是（　　）
A．不经过第二象限 B．y随x的增大而增大
C．与y轴交于点（0，﹣3） D．与x轴交于点（﹣1，0）
【分析】利用一次函数图象的性质解答即可．
【解答】解：A、k＝3＞0，b＝﹣3＜0，经过第一、三、四象限，不经过第二象限，该说法正确，故该选项不符合题意；
B、k＝3＞0，所以y随x的增大而增大，该说法正确，故该选项不符合题意；
C、令x＝0，得y＝﹣3，所以与y轴交于点（0，﹣3），该说法正确，故该选项不符合题意；
D、令y＝0，解得x＝1，所以与x轴交于点（1，0），不是（﹣1，0），该说法错误，故该选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一次函数图象，正确把握一次函数图象的性质是解题关键．
9．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC的长为4，则正方形ABCD的面积为（　　）

A．4 B．8 C．12 D．16
【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AC＝4，
∴AC＝BD＝4，
∴正方形ABCD的面积×42＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的面积的两种求法是解题的关键．
10．（3分）如图1，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，在边AB，BC上沿A→B→C的方向，以1cm/s的速度匀速运动到点C，△APC的面积S（cm2）随运动时间t（s）变化的函数图象如图2所示，则AB的长是（　　）

A．cm B．3cm C．4cm D．6cm
【分析】由图2可知，AB＝acm，BC＝4cm，当点P到达点B时，△APC的面积为6cm2，可得出等式•a•4＝6，求出a的值，即线段AB的长．
【解答】解：由图2可知，AB＝acm，BC＝4 cm，当点P到达点B时，△APC的面积为6cm2，
∴•AB•BC＝6，即•a•4＝6，
解得a＝3 cm．
即AB的长为3cm．
故选：B．
【点评】本题主要考查动点问题中三角形的面积，函数图象与点的运动相结合，注意转折点，即表示面积发生改变的点的含义是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）某运动队要从两名队员中选取一名参加大赛，为此对甲乙这两名队员进行了五次测试，测试成绩如图所示，成绩更稳定的是 　甲　．

【分析】由统计图可知，甲选手测试成绩的波动幅度小，成绩更加稳定．
【解答】解：由图知，甲选手测试成绩的波动幅度小，成绩更加稳定，
故答案为：甲．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
12．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为CD边中点，已知BC＝6cm，则OE的长为　3　cm．

【分析】先说明OE是△BCD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解．
【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OB＝OD，
∵点E是CD的中点，
∴CE＝DE，
∴OE是△BCD的中位线，
∵BC＝6cm，
∴OE＝BC＝×6＝3cm．
故答案为：3．
【点评】本题运用了平行四边形的对角线互相平分这一性质和三角形的中位线定理．
13．（3分）已知直角三角形的两边长为3和4，则直角三角形的面积为　或6　．
【分析】分为两种情况：①斜边AB＝4，②直角边AC＝4，再求出答案即可．
【解答】解：△ABC中，∠C＝90°，

分为两种情况：
①当斜边AB＝4，BC＝3时，由勾股定理得：AC＝＝＝，
△ABC的面积是＝×3＝；
②当BC＝3，AC＝4时，△ABC的面积是＝＝6，
所以直角三角形的面积为或6，
故答案为：或6．
【点评】本题考查了直角三角形的面积和勾股定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
14．（3分）如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为　x≥1.5　．

【分析】首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式2x≥ax+4的解集即可．
【解答】解：∵函数y＝2x过点A（m，3），
∴2m＝3，
解得：m＝1.5，
∴A（1.5，3），
∴不等式2x≥ax+4的解集为x≥1.5．
故答案为：x≥1.5
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出A点坐标．
15．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠DAB＝60°，点E是对角线AC上一个动点，点F是边AB上一个动点，连接EF，EB，则EB+EF的最小值为 　2　．

【分析】连接DE、DF．当D、E、F在同一直线上且DF⊥AB时，EB+EF最短．
【解答】解：连接DE、DF．
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE＝BE，
∴EB+EF＝ED+EF，
当D、E、F在同一直线上且DF⊥AB时，EB+EF最短．
∵AB＝4，∠DAB＝60°，∠AFD＝90°，
∴∠ADF＝30°，
∴AF＝AD＝2，
∴DF＝＝＝2，
即EB+EF的最小值为2．
故答案为：2．

【点评】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，熟练运用菱形性质、直角三角形的性质是解题的关键．
三、解答题（本题共8个小题，满分75分）
16．（10分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
（2）先算乘法，再算加减，即可解答．
【解答】解：（1）
＝3﹣2+
＝；
（2）
＝5﹣1+﹣
＝4+6﹣9
＝1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17．（9分）如图，在△ABD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，BC＝12，DC＝13，求四边形ABCD的面积．

【分析】根据勾股定理的逆定理，判断出△ABD和△DBC是直角三角形，然后根据三角形面积公式求出两个三角形的面积，将其相加即可得到四边形ABCD的面积．
【解答】解：∵在△ABD中，∠A是直角，AB＝3，AD＝4，
∴BD＝＝＝5，………………………………3分
又∵在△BCD中，BC＝12，DC＝13，
∴BC2+BD2＝DC2，………………………………5分
∴△BCD是直角三角形，∠CBD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BDC………………………………7分
＝AD•AB+BD•BC
＝×4×3+×5×12
＝6+30
＝36．………………………………9分
【点评】此题将求四边形面积的问题转化为求两个直角三角形面积和的问题，既考查了对勾股定理逆定理的掌握情况，又体现了转化思想在解题时的应用．
18．（9分）2021年7月，教育部印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，明确要求初中生课外作业完成时间不超过90分钟．为了了解学生每天完成课外作业时间，某校数学兴趣小组决定对本校学生每天完成课外作业所用时间进行调查，他们随机抽取本校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果分为A，B，C，D四个等级，列表如下：
等级
A
B
C
D
每天完成课外作业时间（分钟）
t≤70
70＜t≤80
80＜t≤90
t＞90

根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）在本次调查中，C等级学生人数占被调查人数的百分比为 　30%　；
（2）求D等级的学生数，并将条形统计图补充完整；
（3）学生每天完成课外作业时间的中位数落在 　C　等级；
（4）请对该校学生每天完成课外作业时间作出评价，并提出一条合理化建议．
【分析】（1）根据A类的人数和所占的百分比求出总人数，再用C等级人数除以总人数即可得出答案；
（2）用总人数减去其他人数求出D的人数，从而补全统计图；
（3）根据中位数的定义可得答案；
（4）根据统计图反应的问题回答即可．
【解答】解：（1）本次抽样调查共抽取学生20÷10%＝200（名），
∴C等级学生人数占被调查人数的百分比为×100%＝30%，
故答案为：30%；
（2）D级人数：200﹣20﹣40﹣60＝80（人），
补全图形如图所示，

（3）共有200名学生，前三个等级的人数和为20+40+60＝120，
∴学生每天完成课外作业时间的中位数落在C等级，
故答案为：C；
（4）该校部分学生每天完成课外作业时间没有达到意见要求．
建议：①该校各学科授课教师要提高教学效率；②教师要有效地引导学生高效学习，基于学情布置作业，作业要量少而精．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），四边形ABCD是正方形．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）求点D的坐标．

【分析】（1）利用待定系数法即可求出直线AB的函数解析式；
（2）过点D作DE⊥x轴于点E，证明△OAB≌△EDA，即可求得AE和DE的长，则D的坐标即可求得．
【解答】解：（1）设直线AB的函数解析式为y＝kx+b，
把A（4，0），B（0，3）代入，
得，解得，
故直线AB的函数解析式为y＝﹣x+3；

（2）如图，过点D作DE⊥x轴于点E，
∵正方形ABCD中，∠BAD＝90°，
∴∠DAE+∠OAB＝90°，
又∵直角△OAB中，∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠DAE＝∠ABO．
在△OAB和△EDA中，
，
∴△OAB≌△EDA（AAS），
∴AE＝OB＝3，DE＝OA＝4，
∴OE＝4+3＝7，
∴点D的坐标为（7，4）．

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，难度适中．
20．（9分）人教版初中数学教科书八年级下册第53页告诉我们直角三角形的一个性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，我们一起来探究这条性质的证明过程：
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：．证明：延长CD至点E，使
DE＝CD，连结AE、BE．
（1）请你根据以上提示，结合图形，写出完整的证明过程；
（2）定理应用：如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，连接BD，点M为BD的中点，CM的延长线交AB于点F，连接EC、EM．
求证：△CME为等腰三角形．

【分析】（1）通过证明全等证明四边形ACBE是矩形，再由矩形对角线的性质即可证明；
（2）利用（1）的结论即可证明．
【解答】证明：（1）延长CD至点E，使DE＝CD，连结AE、BE，
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∵∠ADE＝∠BDE，
∴△ADE≌△BDC（SAS），
∴AE＝BC，
同理△ADC≌△BDE（SAS），
∴AC＝BE，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形ACBE是矩形，
∴AB＝CE，
∴CD＝AB；
（2）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点M为BD的中点，
∴CM＝BD，
∵DE⊥AB，
∴△BDE是直角三角形，
∴EM＝BD，
∴EM＝CM，
∴△CME为等腰三角形．

【点评】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握矩形的判定及性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．
21．（9分）冰墩墩（BingDwenDwen），是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：

A款玩偶
B款玩偶
进货价（元/个）
20
15
销售价（元/个）
28
20
（1）第一次小冬550元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个．
（2）第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可；
（2）根据题意，可以写出利润与购进A中玩偶数量的函数关系式，再根据网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，可以得到A中玩偶数量的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少．
【解答】解：（1）设购进A款玩偶x个，则购进B款玩偶（30﹣x）个，
由题意可得：20x+15（30﹣x）＝550，
解得x＝20，
∴30﹣x＝10，
答：购进A款玩偶20个，则购进B款玩偶10个；
（2）设购进A款玩偶a个，则购进B款玩偶（30﹣a）个，利润为w元，
由题意可得：w＝（28﹣20）a+（20﹣15）（30﹣a）＝3a+150，
∴w随a的增大而增大，
∵网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，
∴a≤（30﹣a），
解得a≤10，
∴当a＝10时，w取得最大值，此时w＝180，30﹣a＝20，
答：购进A款玩偶10个，购进B款玩偶20个时才能获得最大利润，最大利润是180元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．
22．（10分）在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E和点F分别是射线BA和射线AD上的点（不与A，B重合），且∠ECF＝60°．
（1）问题初现
如图1，当点E和点F分别在线段BA和线段AD上（不与端点重合）时，线段BC，BE，DF之间的数量关系是 　BC＝BE+DF　．
（2）深入探究
如图2，当点E和点F分别在线段BA和线段AD的延长线上（不与端点重合）时，线段BC，BE，DF之间有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）拓展应用
在（2）的条件下，若BC⊥CE，且BC＝4，请直接写出DF的长．


【分析】（1）利用菱形的性质，等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质解答即可；
（2）利用（1）中的方法，利用全等三角形的判定与性质解答即可；
（3）利用含30°角的直角三角形的性质和（2）的结论解答即可．
【解答】解：（1）线段BC，BE，DF之间的数量关系是：BC＝BE+DF，理由：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D＝60°，
∴△ABC和△ADC为等边三角形，
∴∠BCA＝∠ACD＝60°，AC＝AB＝CD．
∴∠ACF+∠DCF＝60°．
∵∠ECF＝60°，
∴∠ACF+∠ACE＝60°，
∴∠ACE＝∠DCF．
在△ACE和△DCF中，
，
∴△ACE≌△DCF（ASA）．
∴AE＝DF．
∵BC＝AB＝BE+AE，
∴BC＝BE+DF．
故答案为：BC＝BE+DF；
（2）当点E和点F分别在线段BA和线段AD的延长线上（不与端点重合）时，
线段BC，BE，DF之间的数量关系为：BC＝BE﹣DF，理由：
连接AC，如图，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠ADC＝60°，
∴△ABC和△ADC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACD＝60°，AC＝AB＝CD．
∴∠ACE+∠DCE＝60°．
∵∠ECF＝60°，
∴∠ACE+∠DCE＝60°，
∴∠ACE＝∠DCF．
∵∠EAC＝180°﹣∠BAC＝120°，∠FDC＝180°﹣∠ADC＝120°，
∴∠EAC＝∠FDC．
在△ACE和△DCF中，
，
∴△ACE≌△DCF（ASA）．
∴AE＝DF．
∵BC＝AB＝BE﹣AE，
∴BC＝BE﹣DF．
（3）DF＝4，理由：
若BC⊥CE，
∵∠B＝60°，
∴∠BEC＝30°，
∴BE＝2BC＝8．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝4．
由（2）知：BC＝BE﹣DF，
∴DF＝BE﹣BC＝8﹣4＝4．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，准确找出图中的全等三角形是解题的关键．
23．（10分）某班“数学兴趣小组”在学习“勾股定理”章节的内容后，遇到这样的问题．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝6，CB＝8，点D是边CB上的一个动点，连接
AD．若△ABD是等腰三角形，求线段CD的长．
（1）小美利用刚学过的勾股定理，用方程很容易做出了解答，请你帮小美写出解答过程；
（2）小聪在学习了一次函数这一章节的内容后，他尝试利用函数的方法探究并解决该问题，下面是他的探究过程，请你补充完整．
①首先根据点D在边BC上的不同位置，画出相应图形，测量出线段CD、AD的长度，得出下面的表格：
CD
0
1
2
3
4
5
6
7
8
AD
6
6.1
6.3
6.7
7.2
7.8
8.5
9.2
a
表格中a的值为 　10　；
②然后将CD的长作为自变量x（0≤x≤8），AD的长作为x的函数，记为y，在下面平面直角坐标系中画出了函数y关于x的图象．

写出该函数的一条性质 　y随x的增大而增大　；
③小聪分析不用测量BD的值，因为CD与BD满足关系式：　CD+BD＝8　；
④继续在平面直角坐标系画出小聪所需的函数图象，并结合图形直接写出：当△ABD为等腰三角形时，线段CD的长度的近似值（精确到0.1）．

【分析】（1）设CD＝x，则AD＝BD＝8﹣x．利用勾股定理，可得：62+x2＝（8﹣x）2．解得：x＝．
（2）①当CD＝8时，点D与点B重合，AD＝AB＝10；
②由图象可直接得到y随x的增大而增大；
③由图形可直接得到CD+BD＝8；
③在坐标系中画出y＝﹣x+8，当CD＝BD时找到CD的值．
【解答】解：（1）∵△ABD为等腰三角形时，
∴AD＝BD，
设CD＝x，则BD＝8﹣x，
∴AD＝BD＝8﹣x．
在直角三角形ACD中，利用勾股定理，可得：62+x2＝（8﹣x）2．
解得：x＝．
所以当△ABD为等腰三角形时，CD的长为．
（2）①当CD＝8时，点D与点B重合，AD＝AB＝10；
故答案为：10．
②由图象可直接得到y随x的增大而增大；
故答案为：y随x的增大而增大；
③由图形可直接得到CD+BD＝8；
故答案为：CD+BD＝8；
（3）由上可知，CD与BD的关系为：y＝﹣x+8，在图中画出图象如下所示，

当△ABD为等腰三角形时，线段CD的长度的近似值1.8．
【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，等腰三角形的判断和性质以及勾股定理的应用，题目以几何动点问题为背景，考查了函数思想和数形结合思想．