沪科版九年级上册第22章 相似形综合与测试单元测试当堂达标检测题

这是一份沪科版九年级上册第22章 相似形综合与测试单元测试当堂达标检测题，共39页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，AD=4DE，连接BE并延长交AC于点F，则AF：FC的值是( )
A. 3：2
B. 4：3
C. 2：1
D. 2：3
如图，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，E是BC的中点，AD // BC，AE // DC，EF⊥CD于点F.下列结论错误的是( )
A. 四边形AECD的周长是20B. △ABC∽△FEC
C. ∠B+∠ACD=90°D. EF的长为245
如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG=32S△FGH；④AG+DF=FG.则下列结论正确的有( )
A. ①②④B. ①③④C. ②③④D. ①②③
如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE=45°，连接EF、BF，则下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC>DE；④BE2+DC2=DE2 ，其中正确的有个．( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
如图，在正方形ABCD中，AB=12，点E、G分别为边BC、AB的中点，连接AE、BD，AE与BD相交于点F，连接FG，则FG的长为( )
A. 6B. 35C. 25D. 4
如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AF与DE交与点G.则下列结论中：①AF⊥DE；②AD=BG；③GE+GF=2GC；④S△AGB=2S四边形ECFG.其中正确的是( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：
①BE=2AE；
②△DFP～△BPH；
③△PFD～△PDB；
④DP2=PH⋅PC．
其中正确的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
如图，在平面直角坐标系中，以A(0,2)为位似中心，在y轴右侧作△ABC放大2倍后的位似图形ΔAB′C′，若C的对应点C′的坐标为(m,n)，则点C的坐标为( )
A. (−12m,−12n+3)B. (−12m,−12n−3)
C. (−12m,−12n+2)D. (−12m,−12n−2)
如图，正方形A1B1C1D1可看成是以O为位似中心将正方形ABCD放大一倍得到的图形(正方形ABCD的边长放大到原来的3倍)，由正方形ABCD到正方形A1B1C1D1，我们称之作了一次变换，再将正方形A1B1C1D1作一次变换就得到正方形A2B2C2D2，⋯，依此下去，作了2019次变换后得到正方形A2019B2019C2019D2019，若正方形ABCD的面积是1，则正方形A2019B2019C2019D2019的面积是( )
A. 32018B. 32019C. 34038D. 34040
如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(−1,0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，且△A′B′C与△ABC的位似比为2︰1.设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是
A. −12a
B. −12(a+1)
C. −12(a−1)
D. −12(a+3)
如图①，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图②是此时的示意图，则图②中水面高度为( )
A. 245B. 325C. 123417D. 203417
如图，一个斜边长为6cm的红色直角三角形纸片，一个斜边长为10cm的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是( )
A. 30cm2B. 40cm2C. 50cm2D. 60cm2
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
两个数4+3与4−3的比例中项是______．
如图，在△ABC纸板中，AC=8，BC=4，AB=10，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是______．
如图，平面直角坐标系中有正方形ABCD和正方形EFGH，若点A和点E的坐标分别为(−2,3)，(1,−1)，则两个正方形的位似中心的坐标是___．
《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是______步．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
在△ABC中，已知D是BC边的中点，G是△ABC的重心，过G点的直线分别交AB、AC于点E、F．
(1)如图1，当EF//BC时，求证：BEAE+CFAF=1；
(2)如图2，当EF和BC不平行，且点E、F分别在线段AB、AC上时，(1)中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
(3)如图3，当点E在AB的延长线上或点F在AC的延长线上时，(1)中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
已知a、b、c均为非零的实数，且满足a+b−cc=a−b+cb=−a+b+ca，求(a+b)(b+c)(c+a)abc的值．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．
(1)经过几秒△PCQ的面积为△ACB的面积的13？
(2)经过几秒，△PCQ与△ACB相似？
如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F.设CEEB=λ(λ>0)．
(1)若AB=2，λ=1，求线段CF的长．
(2)连接EG，若EG⊥AF，
①求证：点G为CD边的中点．
②求λ的值．
定义：如果一个三角形中有一个角是另一个角的2倍，那么我们称这样的三角形为倍角三角形.根据上述定义可知倍角三角形中有一个角是另一个角的2倍，所以我们就可以通过作出其中的2倍角的角平分线，得出一对相似三角形，再利用我们学过的相似三角形的性质解决相关问题.请通过这种方法解答下列问题：
(1)如图1，△ABC中，AD是角平分线，且AB2=BD⋅BC，求证：△ABC是倍角三角形;
(2)如图2，已知△ABC是倍角三角形，且∠A=2∠C，AB=8，BC=10，求AC的长;
(3)如图3，已知△ABC中，∠A=3∠C，AB=8，BC=10，求AC的长．
如图，矩形ABCD中，AD=4cm，AB=8cm，点P从点A出发在边AB上向点B匀速运动，同时点Q从点A出发在边AD上向点D匀速运动，速度都是1cm/s，运动时间是ts(0AB，EF>FC，
∴△ABC与△FEC不相似，故B选项错误，符合题意．
故选B．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定，三角形的面积．
①由折叠可知∠1=∠2，∠3=∠4，即可得∠EBG=45∘；
②由ABDE≠AGDF，可知②错误；
③通过计算S△ABG与S△FGH即可得结论；
④通过计算AG+DF=5，而FG=5，故④正确．
【解答】
解：如图
∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的
点F处，
∴∠1=∠2，
∵△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，
∴∠3=∠4，
∴∠2+∠3=12∠ABC=45∘，
即∠EBG=45∘，
所以 ①正确;
∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，
∴∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10，
在Rt△ABF中，
∵AB=6，BF=10，
∴AF=102−62=8，
∴DF=AD−AF=10−8=2，
设EF=x，则CE=x，
DE=CD−CE=6−x，
在Rt△DEF中，
∵DE2+DF2=EF2，
∴(6−x)2+22=x2
解得x=103，
∴ED=83，
HF=BF−BH=10−6=4，
设AG=y，则GH=y，GF=8−y，
在Rt△HGF中，
∵GH2+HF2=GF2，
∴y2+42=(8−y)2，
解得y=3，
∴AG=GH=3，GF=5，
∵∠A=∠D，ABDE=683=94，AGDF=32，
∴ABDE≠AGDF，
∴△ABG与△DEF不相似，所以 ②错误;
∵S△ABG=12⋅6⋅3=9，S△FGH=12⋅GH⋅HF=12×3×4=6，
∴S△ABG=32S△FGH，所以 ③正确;
∵AG+DF=3+2=5，而GF=5，
∴AG+DF=GF，所以 ④正确。
∴ ① ③ ④正确。
故选B．
4.【答案】C
【解析】解：①∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，
∴∠FAE=∠DAF−∠DAE=45°．
在△AED与△AEF中，
AD=AF∠DAE=∠FAE=45°AE=AE，
∴△AED≌△AEF(SAS)，①正确；
②∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABE=∠C=45°．
∵点D、E为BC边上的两点，∠DAE=45°，
∴AD与AE不一定相等，∠AED与∠ADE不一定相等，
∵∠AED=45°+∠BAE，∠ADE=45°+∠CAD，
∴∠BAE与∠CAD不一定相等，
∴△ABE与△ACD不一定相似，②错误；
③∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAC−∠BAD=∠DAF−∠BAD，即∠CAD=∠BAF．
在△ACD与△ABF中，
AC=AB∠CAD=∠BAFAD=AF，
∴△ACD≌△ABF(SAS)，
∴CD=BF，
由①知△AED≌△AEF，
∴DE=EF．
在△BEF中，∵BE+BF>EF，
∴BE+DC>DE，③正确；
④由③知△ACD≌△ABF，
∴∠C=∠ABF=45°，
∵∠ABE=45°，
∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°．
在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE2+BF2=EF2，
∵BF=DC，EF=DE，
∴BE2+DC2=DE2，④正确．
所以正确的结论有①③④．
故选：C．
根据∠DAF=90°，∠DAE=45°，得出∠FAE=45°，利用SAS证明△AED≌△AEF，判定①正确；
如果△ABE∽△ACD，那么∠BAE=∠CAD，由∠ABE=∠C=45°，则∠AED=∠ADE，AD=AE，而由已知不能得出此条件，判定②错误；
先由∠BAC=∠DAF=90°，得出∠CAD=∠BAF，再利用SAS证明△ACD≌△ABF，得出CD=BF，又①知DE=EF，那么在△BEF中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BF>EF，等量代换后判定③正确；
先由△ACD≌△ABF，得出∠C=∠ABF=45°，进而得出∠EBF=90°，然后在Rt△BEF中，运用勾股定理得出BE2+BF2=EF2，等量代换后判定④正确．
本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质，三角形三边关系定理，相似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，有一定难度．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，过G作GH⊥AE于H，结合正方形的性质证明△BEF∽△DAF可得AF=23AE，利用勾股定理可求解AF=45，通过证明△AGH∽△AEB，列比例式可求解AH=1255，即可求解HF的长，再结合勾股定理可求解GF的长．
【解答】
解：过G作GH⊥AE于H，
∵在正方形ABCD中，AB=12，BC//AD，∠ABC=90°，
∴BC=AB=AD=12，△BEF∽△DAF，
∴BE:AD=EF:AF，
∵点E、G分别为边BC、AB的中点，
∴BE=12BC=6，AG=12AB=6，
∴EF:AF=BE:AD=6:12=1:2，
∴AF=23AE，
∵AE=AB2+BE2=122+62=65，
∴AF=45，
∵∠AHG=∠ABE=90°，∠GAH=∠EAB，
∴△AGH∽△AEB，
∴AH:AB=AG:AE，即AH：12=6：65，
解得AH=1255，
∴HF=AF−AH=45−1255=855，
∵GH2=AG2−AH2=GF2−HF2，
∴62−12552=GF2−8552，
解得GF=25，
故选C．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，比例的性质，直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．
根据正方形性质得出AD=BC=DC；EC=DF=12BC；∠ADF=∠DCE，证△ADF≌△DCE(SAS)，推出∠AFD=∠DEC，求出∠DGF=90°即可判断①；过B作BH//DE交AD于H，交AF于M，求出BH是AG的垂直平分线，推出是等腰三角形，即可判断②；延长DE至M，使得EM=GF，连接CM，证△CEM≌△CFG，推出CM=CG，∠ECM=∠GCF，求出△MCG是等腰直角三角形，即可判断③；过G点作TL//AD，交AB于T，交DC于L，则GL⊥AB，GL⊥DC，证得△DGF∽△DCE，利用相似三角形的性质求出S△DEC，S△AGB，S四边形ECFG，即可判断④．
【解答】
解：∵正方形ABCD，E，F均为中点
∴AD=BC=DC，EC=DF=12BC
∵在△ADF和△DCE中，
AD=DC∠ADF=∠DCEDF=CE
∴△ADF≌△DCE(SAS)
∴∠AFD=∠DEC
∵∠DEC+∠CDE=90°
∴∠AFD+∠CDE=90°=∠DGF
∴AF⊥DE，故①正确
如图1，过点B作BH//DE交AD于H，交AF于K，
∵AF⊥DE，BH//DE，E是BC的中点
∴BH⊥AG，H为AD的中点
∴BH是AG的垂直平分线
∴BG=AB=AD，故②正确
如图2，延长DE至M，使得EM=GF，连接CM，
∵∠AFD=∠DEC
∴∠CEM=∠CFG
又∵E，F分别为BC，DC的中点
∴CF=CE
∵在△CEM和△CFG中，
CE=CF∠CEM=∠CFGEM=FG
∴△CEM≌△CFG(SAS)
∴CM=CG，∠ECM=∠GCF
∵∠GCF+∠BCG=90°
∴∠ECM+∠BCG=∠MCG=90°
∴△MCG为等腰直角三角形
∴GM=GE+EM=GE+GF=2GC
故③正确
如图3，过G点作TL//AD，交AB于T，交DC于L，则GL⊥AB，GL⊥DC，
设EC=x，则DC=2x，DF=x，由勾股定理得DE=5x
由DE⊥GF，易证得△DGF∽△DCE
∴DEDF=GFEC=5xx
∴S△DECS△DGF=(51)2=51
∴S△DGF=15S△DEC
∴S四边形ECFG=S△DEC−S△DGF=45S△DEC
∵S△DEC=12⋅2x⋅x=x2
∴S四边形ECFG=45x2，S△DGF=15x2
∵DF=x
∴GL=15x212x=25x
∴TG=2x−25x=85x
∴S△AGB=12⋅AB⋅TG=12⋅2x⋅85x=85x2
∴S△AGB=2S四边形ECFG
故④正确，
故选：D．
7.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠CBA=90°，
∵△BCP是等边三角形，
∴∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
∴∠ABE=30°，
∴BE=2AE，故①正确，
∵AD//BC，
∴∠DFP=∠BCP=∠BPH=60°，
∵∠PHB=∠PCB+∠CBH=60°+45°=105°，
又∵CD=CP，∠PCD=30°，
∴∠CPD=∠CDP=75°，
∴∠DPF=105°，
∴∠PHB=∠DPF，
∴△DFP∽△BPH，故②正确，
∵∠DPB=60°+75°=135°≠∠DPF，
∴△PFD与△PDB不相似，故③错误，
∵∠PDH=∠PDC−∠CDH=75°−45°=30°，
∴∠PDH∠PCD，
∵∠DPH=∠CPD，
∴△PDH∽△PCD，
∴PDPC=PHPD，
∴PD2=PH⋅PC，故④正确，
故选：C．
①正确．利用直角三角形30度角的性质即可解决问题．
②正确，根据两角相等两个三角形相似即可判断．
③错误．通过计算证明∠DPB≠∠DPF，即可判断．
④正确．利用相似三角形的性质即可证明．
本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
过点A作x轴的平行线DD′，作CD⊥DD′于D，作C′D′⊥DD′于D′，设C(x,y)，分别表示出CD，AD，C′D′，AD′的长，根据位似比为1：2得CDC′D′=ADAD′=12，即y−22−n=−xm=12，计算即可．
本题考查的是位似变换有关知识，添加辅助线构建直角三角形根据位似比求解是本题解题的关键．
【解答】
解：过点A作x轴的平行线DD′，作CD⊥DD′于D，作C′D′⊥DD′于D′，
设C(x,y)，则CD=y−2、AD=−x，C′D′=2−n，AD′=m，
∵△ABC与△AB′C′的位似比为1：2，
∴CDC′D′=ADAD′=12，
即y−22−n=−xm=12，解得：x=−12m，y=−12n+3，
∴点C的坐标为(−12m,−12n+3)．
故选A．
9.【答案】C
【解析】略
10.【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查了位似变换的性质，根据已知得出FO=a，CF=a+1，CE=12(a+1)，是解决问题的关键．根据位似变换的性质得出△ABC的边长放大到原来的2倍，FO=a，CF=a+1，CE=12(a+1)，进而得出点B的横坐标．
【解答】
解：∵点C的坐标是(−1,0).以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．
点B的对应点B′的横坐标是a，
∴FO=a，CF=a+1，
∴CE=12(a+1)，
∴点B的横坐标是：−12(a+1)−1=−12(a+3)．
故选D．
11.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查相似三角形的应用、勾股定理、长方体的体积、梯形的面积的计算方法等；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键．
设DE=x，则AD=8−x，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD，过点C作CF⊥BG于F，由△CDE∽△CBF得出的比例线段求得结果即可．
【解答】
解：过点C作CF⊥BG于F，如图所示：
设DE=x，则AD=8−x，
根据题意得：12(8−x+8)×3×3=3×3×6，
解得：x=4，
∴DE=4，
∵∠E=90°，
由勾股定理得：CD=DE2+CE2=42+32=5，
∵∠BCE=∠DCF=90°，
∴∠DCE=∠BCF，
∵∠DEC=∠BFC=90°，
∴△CDE∽△CBF，
∴CECF=CDCB，
即3CF=58，
∴CF=245．
故选：A．
12.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，熟记相似三角形的性质并求出直角三角形的两直角边的关系是解题的关键，也是本题的难点．
证明△ADF∽△DBE，推出DFBE=ADDB=106=53，推出DEEB=53，证明△BAC∽△BDE，推出ACBC=DEEB=53，设BE=3a，则DE=5a，推出BC=3a+5a=8a，AC=8a×53=403a，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，构建方程求出a2的值即可解决问题．
【解答】
解：如图，
∵正方形的边DF//CB，
∴∠B=∠ADF，
∵∠AFD=∠DEB=90°，
∴△ADF∽△DBE，
∴DFBE=ADDB=106=53，
∵DF=DE
∴DEEB=53，
∵DE//AC，
∴△BAC∽△BDE，
∴ACBC=DEEB=53，
设BE=3a，则DE=5a，
∴BC=3a+5a=8a，
AC=8a×53=403a，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即(403a)2+(8a)2=(10+6)2，
解得a2=1817，
红、蓝两张纸片的面积之和=12×403a×8a−(5a)2，
=1603a2−25a2，
=853a2，
=853×1817，
=30(cm2).
故选：A．
13.【答案】±13
【解析】
【分析】
本题考查了比例线段，理解比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项．根据比例的基本性质进行计算．设它们的比例中项是x，根据比例的基本性质得出x2=(4+3)(4−3)，再进行计算即可．
【解答】
解：设它们的比例中项是x，则x2=(4+3)(4−3)，
解得x=±13．
故答案为±13．
14.【答案】6≤AP1，即可得出结论．
此题是相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、三角形重心定理、平行线分线段成比例定理等知识；本题综合性强，熟练掌握三角形的重心定理和平行线分线段成比例定理，证明三角形相似是解题的关键．
18.【答案】解：当a+b+c≠0时，
利用比例的性质化简已知等式得：a+b−cc=a−b+cb=−a+b+ca=a+b−c+a−b+c−a+b+ca+b+c=a+b+ca+b+c=1，
即a+b−c=c，a−b+c=b，−a+b+c=a，
整理得：a+b=2c，a+c=2b，b+c=2a，
此时原式=8abcabc=8；
当a+b+c=0时，可得：a+b=−c，a+c=−b，b+c=−a，
则原式=−1．
综上可知，(a+b)(b+c)(c+a)abc的值为8或−1．
【解析】此题考查了比例的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
已知等式利用比例的性质化简表示出a+b，a+c，b+c，代入原式计算即可得到结果．
19.【答案】解：(1)设经过x秒△PCQ的面积为△ACB的面积的13，
由题意得：PC=2xm，CQ=(6−x)m，
则12×2x(6−x)=13×12×8×6，
解得：x=2或x=4．
则经过2秒或4秒，△PCQ的面积为△ACB的面积的13；
(2)设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似．
当△PCQ与△ACB相似时，则有CPCA=CQCB或CPCB=CQCA，
所以2t8=6−t6，或2t6=6−t8，
解得t=125，或t=1811．
因此，经过125秒或1811秒，△OCQ与△ACB相似；
【解析】(1)分别表示出线段PC和线段CQ的长后利用S△PCQ=13S△ABC列出方程求解；
(2)设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似，当△PCQ与△ACB相似时，可知∠CPQ=∠A或∠CPQ=∠B，则有CPCA=CQCB或CPCB=CQCA，分别代入可得到关于t的方程，可求得t的值；
本题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点是相似三角形的判定与性质，三角形的面积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
20.【答案】解：(1)∵在正方形ABCD中，AD//BC，
∴∠DAG=∠F，
又∵AG平分∠DAE，
∴∠DAG=∠EAG，
∴∠EAG=∠F，
∴EA=EF，
∵AB=2，∠B=90°，点E为BC的中点，
∴BE=EC=1，
∴AE=AB2+BE2=5，
∴EF=5，
∴CF=EF−EC=5−1；
(2)①证明：∵EA=EF，EG⊥AF，
∴AG=FG，
在△ADG和△FCG中
∠D=∠GCF∠AGD=∠FGCAG=FG，
∴△ADG≌△FCG(AAS)，
∴DG=CG，
即点G为CD的中点；
②设CD=2a，则CG=a，
由①知，CF=DA=2a，
∵EG⊥AF，∠GCF=90°，
∴∠EGC+∠CGF=90°，∠F+∠CGF=90°，∠ECG=∠GCF=90°，
∴∠EGC=∠F，
∴△EGC∽△GFC，
∴ECGC=GCFC，
∵GC=a，FC=2a，
∴GCFC=12，
∴ECGC=12，
∴EC=12a，BE=BC−EC=2a−12a=32a，
∴λ=CEEB=12a32a=13．
【解析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
(1)根据AB=2，λ=1，可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到AE的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF的长，从而可以得到线段CF的长；
(2)①要证明点G为CD边的中点，只要证明△ADG≌△FGC即可，然后根据题目中的条件，可以得到△ADG≌△FGC的条件，从而可以证明结论成立；
②根据题意和三角形相似，可以得到CE和EB的比值，从而可以得到λ的值．
21.【答案】(1)证明∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAC=2∠BAD，
∵AB2=BD⋅BC，
∴ABBC=BDAB，
∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBA，
∴∠BAD=∠C，
∴∠BAC=2∠C，
∴△ABC是倍角三角形;
(2)解：如图
作△ABC的角平分线AD，则∠BAC=2∠BAD=2∠CAD，
∵∠BAC=2∠C，
∴∠BAD=∠C，
∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBA，
∴AB2=BD⋅BC，
∴BD=6.4，CD=3.6，
∵∠CAD=∠C，
∴AD=CD=3.6，
∵ADAC=BDAB，
∴3.6AC=6.48，
∴AC=4.5；
(3)解：过点A作∠BAC的三等分角，AD，AE分别交BC于点D，E，
则∠BAC=3∠BAD=3∠DAE=3∠CAE，
∵∠BAC=3∠C，
∴∠BAD=∠C，
∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBA，
∴AB2=BD⋅BC，
∴BD=6.4，
∴CD=3.6，
∵∠BAE=∠BEA=2∠C，
∴BE=AB=8，
∴CE=2，DE=1.6，
∵∠CAE=∠C，
∴AE=CE=2，
∵∠DAE=∠C，∠ADC=∠EDA，
∴△ADE∽CDA，
∴AD2=DE⋅CD=1.6×3.6，
∴AD=2.4，
∵AEAC=DEAD，
∴2AC=1.62.4，
∴AC=3．
【解析】本题考查的是角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，新定义有关知识．
(1)根据角平分线的定义得出∠BAC=2∠BAD，利用AB2=BD⋅BC得出ABBC=BDAB，结合∠B=∠B得出△ABD∽△CBA，最后解答即可；
(2)根据相似三角形的判定得出△ABD∽△CBA，得出AB2=BD⋅BC，然后再进行计算即可；
(3)先证明△ABD∽△CBA得到AB2=BD⋅BC，得出AE=CE=2，然后再证明△ADE∽CDA，结合AEAC=DEAD即可解答
22.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠DAB=90°，
∵点P，点Q速度都是1cm/s，
∴AP=AQ，
∴∠APQ=∠AQP=45°，
∵PE⊥AB，
∴∠APE=90°，
∴∠QPE=45°，
∵点Q关于PE的对称点是F，
∴∠QPE=∠FPE=45°，
∴∠BPN=180°−∠APQ−∠QPE−∠FPE=45°，
∵∠DAB=∠APE=90°，
∴AD//PE，
∴△BPE∽△BAD，
∴PEDA=BPBA，
∵AP=AQ=t，
∴BP=BA−AP=8−t，
∴PE4=8−t8，
∴PE=8−t2，
(2)如图②，连接FQ，
∵AP=AQ=t，
∴DQ=4−t，
∵点Q关于PE的对称点是F，
∴QF=2t，QF⊥PE，且AB⊥PE，
∴QF//AB，
∴△DQF∽△DAB，
∴DQAD=QFAB，
∴4−t4=2t8，
∴t=2；
(3)①PMPB的值是定值．
如图③，过点M作MH⊥AB于点H，设MH=a，
∵∠BPN=45°，MH⊥BP，
∴∠MPH=∠PMH=45°，
∴PH=MH=a，
∴PM=2a，
∵MH⊥AB，AD⊥AB，
∴MH//AD，
∴△BMH∽△BDA，
∴MHAD=BHAB，
∴a4=BH8，
∴BH=2a，，
∴BP=PH+BH=3a，
∴PMPB=2a3a=23．
②∵AP=t=AQ，AB=8，
∴PB=8−t，PQ=2t，
∵PE//AD，
∴△BPE∽△BAD，
∴PEPB=ADAB=12，
由①可知：PH=MH=8−t3，PMPB=23，
∴PM=23PB=23(8−t)，
∵以点P，Q，E为顶点的三角形与△PMB相似，且∠QPE=∠MPB=45°，
∴PQPM=PEPB或PQPB=PEPM；
若PQPM=PEPB时，且PEPB=ADAB=12，
∴PQPM=12，
∴PM=2PQ，
∴23(8−t)=22t，
∴t=87；
若PQPB=PEPM时，
∴PQ⋅PM=PB⋅PE，且PEPB=ADAB=12，
∴2t×23(8−t)=(8−t)×12(8−t)，
∴t=247，
综上所述：当t=87或247时，以点P，Q，E为顶点的三角形与△PMB相似，
【解析】(1)由题意可得∠APQ=∠AQP=45°，由轴对称的性质可得∠QPE=∠FPE=45°，即可求解；
(2)通过证明△DQF∽△DAB，可得DQAD=QFAB，可求t的值；
(3)①过点M作MH⊥AB于点H，设MH=a，由等腰直角三角形可得PM=2a，由相似三角形的性质可得HB=2a，即可求解；
②分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求t的值．
本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
23.【答案】解：△DEF如图所示，F的坐标为(−4,−1)或(4,7)．

【解析】见答案
24.【答案】解：(1)如图．
(2)△ABC与△A′B′C′的位似比为1：2．
(3)如图．

【解析】略
25.【答案】解：(1)如图
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，又直线m垂直于AD，
∴AD垂直平分EF，
∴EF=2EH，BD=12BC=5，
当t=3时，DH=6，又AD=8
∴AH=8−6=2，
∵EF//BC，
∴△AEH∽△ABD，
∴AHAD=EHBD，
∴28=EH5，
∴EH=54，
∴EF=2×54=52；
(2)如图
由(1)知EF//BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴EFBC=AHAD ，
即EF10=8−2t8，
解得EF=10−5t2，
S△PEF=12EF·DH
=1210−52t·2t
=−52t2+10t
=−52(t−2)2+10(0