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专题22.10 相似形章末十大题型总结（拔尖篇）（沪科版）
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专题22.10 相似形章末十大题型总结（拔尖篇）【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc32165" 【题型1 利用平行线分线段成比例进行求值或证明】 PAGEREF _Toc32165 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc24648" 【题型3 利用相似三角形的判定与结论求长度】 PAGEREF _Toc24648 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc9641" 【题型4 利用相似三角形的判定与结论求面积】 PAGEREF _Toc9641 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc11092" 【题型5 利用相似三角形的判定与结论求最值】 PAGEREF _Toc11092 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc32733" 【题型6 利用相似三角形的判定与结论解决规律探究问题】 PAGEREF _Toc32733 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc23768" 【题型7 利用相似三角形的判定与结论解决动态探究问题】 PAGEREF _Toc23768 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc21655" 【题型8 利用相似三角形的判定与结论解决多结论问题】 PAGEREF _Toc21655 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc9716" 【题型9 利用相似三角形的判定与结论解决新定义问题】 PAGEREF _Toc9716 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc6650" 【题型10 利用相似三角形的判定与结论在格点中作图】 PAGEREF _Toc6650 \h 12【题型1 利用平行线分线段成比例进行求值或证明】【例1】（2023秋·福建三明·九年级统考期中）请阅读以下材料，并完成相应的问题：角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则ABAC=BDCD．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过点C作CE∥DA．交BA的延长线于点E．…任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；(2)如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长．【变式1-1】（2023春·山西吕梁·九年级统考期末）如图，矩形ABCD中，2AB=BC=6，把△ADC沿着AD翻折得到△ADC'，连接BC'交AD于点E，点M是EC'的中点，点N是AC的中点，连接MN，则MN的长为 ． 【变式1-2】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，点P是▱ABCD内的一点，连接PA，PB，PC，PD，过点P作PE∥BC，PF∥AB，分别交AB、BC于点E、F，若S△PAD=1,S△PCD=2,S△PBC=4，则四边形PEBF的面积为 ． 【变式1-3】（2023春·广东·九年级专题练习）定义新概念：有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．(1)如图①，等腰直角四边形ABCD，AB=BC=4，∠ABC=90°．①若CD=3，AC⊥CD于点C，求AD的长；②若AD=DC，∠ADC=45°，求BD的长；(2)如图②，在矩形ABCD中AB=6，BC=15，点P是对角线BD上的一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，要使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．【题型2 利用相似三角形的判定与结论在格点中求值】【例2】（2023·安徽宿州·统考一模）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A、B、C、D均在格点上，连接AC、BD相交于点E，若小正方形的边长为1，则点E到AB的距离为 ．【变式2-1】（2023·山东烟台·统考一模）如图，在方格纸中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，则∠BAC+∠ACB的度数为（ ）A．30° B．45° C．60° D．75°【变式2-2】（2023春·江苏泰州·九年级统考期末）如图，点A、B、C、D、F在网格中的格点处，AF与BC相交于点E，设小正方形的边长为1，则阴影部分△DEF的面积等于 ． 【变式2-3】（2023秋·福建福州·九年级校联考期末）在正方形网格中，A、B、C、D均为格点，则∠BAC-∠DAE= ． 【题型3 利用相似三角形的判定与结论求长度】【例3】（2023·黑龙江绥化·校考三模）在▱ABCD中，AH⊥BD，垂足为H，∠ABD为锐角，且∠ABH=∠DAH，若AH=6，BD=5，则BC边长为 ．【变式3-1】（2023秋·上海·九年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）如图，在矩形ABCD中，已知AB=12，如果将矩形沿直线l翻折后，点B落在边CD的中点E处，直线l分别与边AB、BC交于点M、N，如果BN=6.5，那么AM的长为 ． 【变式3-2】（2023·河南郑州·校考三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A0,6，B-10,0，把△AOB绕点O按顺时针方向旋转，点A，B的对应点分别是A'，B'，连接AB'．当点B'在第二象限内，AB'⊥y轴时，点A的对应点A'的坐标为 ． 【变式3-3】（2023·安徽合肥·校联考模拟预测）等腰直角ΔABC与等腰直角ΔCDE的直角顶点C重合．DE与AC相交于F，CD的延长线交AB于G，连接BD． (1)如图1，求证：AC⋅CF=CE⋅CG；(2)如图2，B，D，E在同一条直线上，取AB的中点M，分别连接MC，ME，求证：MC=ME； (3)如图3，过A作BD的平行线，过B作AC的平行线，两线相交于H，且点H在CG的延长线上，若BC=2BH，求AHDE的值．【题型4 利用相似三角形的判定与结论求面积】【例4】（2023秋·安徽合肥·九年级校考期中）△ABC的边上有D、E、F三点，各点位置如图所示．若∠B=∠FAC，BD=AC，∠BDE=∠C，则根据图中标示的长度，求四边形ADEF与△ABC的面积比为何？（ ） A．1:3 B．1:4 C．2:5 D．3:8【变式4-1】（2023·浙江温州·校联考三模）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=kx+203过点A5,0，C2,a，与y轴交于点B．点D，E分别为线段OB，OA上的一点（不含端点），且CD⊥DE． (1)求k和a的值；(2)当∠AEC与△CDE中的一个角相等时，求线段OD的长；(3)如图2，连接BE交CD于点H，将点B绕点H逆时针旋转90°至点B'，若点B'到x轴的距离恰好等于OD的长，求△BDH的面积．【变式4-2】（2023春·上海静安·九年级统考期末）（1）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，AB=3，BC=7，∠B=60°．求证：四边形ABCD是等腰梯形；（2）若点M是直线AB上的一点，直线DM交直线BC于点N．①当点M在线段AB的延长线上时（如图2），设BM=x，DM=y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；②如果△AMD是等腰三角形，求△BMN的面积． 【变式4-3】（2023春·四川德阳·九年级统考期末）如图，已知F是△ABC内的一点，DF∥BC，EF∥AB，若四边形BDFE的面积为2，BD=13BA，BE=14BC，则△ABC的面积是（ ）．A．6 B．8 C．10 D．12【题型5 利用相似三角形的判定与结论求最值】【例5】（2023秋·四川成都·九年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，AB=6，E是AD上的一点，且AE=2，F，G是AB，CD上的动点，且BE=FG，BE⊥FG，连接EF，BG，当EF+FG+BG的值最小时，CG的长为 ． 【变式5-1】（2023秋·广东梅州·九年级校考期末）如图，直线l1∥l2∥l3，A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D．设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC=90°，BD=3，且mn=12，则m+n的最大值为 ．【变式5-2】（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，点D是等边△ABC边AB上的一动点(不与端点重合)，点D绕点C引顺时针方向旋转60∘得点E，所得的△CDE边DE与BC交于点F，则CFDE的最小值为 ． 【变式5-3】（2023春·吉林长春·九年级校考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线BC方向运动，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段CD方向运动．点P和点Q同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒(t>0)． (1)用含t的代数式表示线段CP的长；(2)当PQ与矩形的对角线平行时，求t的值；(3)若点M为DQ的中点，求以M、P、C为顶点的三角形与△ABC相似时t的值；(4)直接写出点B关于直线AP的对称点B'落在△ACD内部时t的取值范围．【题型6 利用相似三角形的判定与结论解决规律探究问题】【例6】（2023·山东德州·统考二模）如图，∠MON＝45°，正方形ABB1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，…，的顶点A，A1，A2，A3…，在射线OM上，顶点B，B1，B2，B3，B4，…，在射线ON上，连接AB2交A1B1于点D，连接A1B3交A2B2于点D1，连接A2B4交A3B3于点D2，连接B1D1交AB2于点E，连接B2D2交A1B3于点E1，…，按照这个规律进行下去，设四边形A1DED1的面积为S1，四边形A2D1E1D2的面积为S2，四边形A3D2E2D3的面积为S3，…若AB＝2则Sn等于（用含有正整数n的式子表示）（ ）A．22n+49 B．22n+43 C．22n+29 D．22n9【变式6-1】（2023·山东烟台·统考一模）如图，正方形ABCD的边长为1，以AB为底边在正方形ABCD内作等腰ΔABE，点E在CD边上，再在等腰ΔABE中作最大的正方形A1B1C1D1，···，按照此规律继续下去，则第2019个等腰三角形的底边长为（ ）A．122018 B．122019C．2(52)2018 D．2(52)2019【变式6-2】（2023秋·黑龙江绥化·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为(1,0)，点D的坐标为(0,2)，延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，正方形A2021B2021C2021C2020的面积为（ ）A．5322021 B．5942020 C．5944040 D．5324042【变式6-3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）如图，正方形A0B0C0A1的边长为1，正方形A1B1C1A2的边长为2，正方形A2B2C2A3的边长为4，正方形A3B3C3A4的边长为8…依次规律继续作正方形AnBnCnAn+1，且点A0，A1，A2，A3，…，An+1在同一条直线上，连接A0C1交，A1B1于点D1，连接A1C2，交A2B2于点D2，连接A2C3，交A3B3于点D3，…记四边形A0B0C0D1的面积为S1，四边形A1B1C1D2的面积为S2，四边形A2B2C2D3的面积为S3，…，四边形An-1Bn-1Cn-1Dn的面积为Sn，则S2022= ．【题型7 利用相似三角形的判定与结论解决动态探究问题】【例7】（2023·河南信阳·校考三模）如图，正方形ABCD中，AB=4，点P为射线AD上一个动点．连接BP，把△ABP沿BP折叠，当点A的对应点A'刚好落在线段BC的垂直平分线上时，AP的长为 ． 【变式7-1】（2023·四川泸州·泸县五中校考三模）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=12CE时，EP+BP= ． 【变式7-2】（2023春·山东淄博·九年级统考期中）如图，点A坐标为1,1，点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点）过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF，连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF，若以B，E，F为顶点的三角形与△OEF相似，则B的坐标是 ． 【变式7-3】（2023春·江西·九年级专题练习）在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，D是AB的中点，P是CD上的动点，若点P到△ABC的一边的距离为2，则CP的长为 ．【题型8 利用相似三角形的判定与结论解决多结论问题】【例8】（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,BC上的动点，且AF⊥DE，垂足为G，将△ABF沿AF翻折，得到△AMF,AM交DE于点P，对角线BD交AF于点H，连接HM,CM,DM,BM，下列结论正确的是：①AF=DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，则四边形BHMF是菱形；④当点E运动到AB的中点，tan∠BHF=22；⑤EP⋅DH=2AG⋅BH．（ ） A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤【变式8-1】（2023秋·江苏扬州·九年级校考期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AH⊥BC，M是AC中点，CN=2BN，BM交AN于O，BM交AH于I，若S△ABC=36，则下面结论：①∠CAH=∠ABC；②S△ABO=9；③AI=IH；④BO=MO；正确的是（ ）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【变式8-2】（2023春·山东东营·九年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC于点M，交CD于点F，过点D作DE∥BF交AC于点N．交AB于点E，连接FN，EM．有下列结论：①图中共有三个平行四边形；②当BD=2BC时，四边形DEBF是菱形；③BD⊥ME；④AD2=BD⋅CM．其中，正确结论的序号是（ ）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【变式8-3】（2023春·全国·九年级期末）如图，在▱ABCD中，∠BAD=60°，将▱ABCD绕顶点A逆时针旋转至▱AEFG，此时点D在AE上，连接AC、AF、CF、EB，线段EB分别交CD、AC于点H、K，则下列四个结论中：①∠CAF=60°；②△DEH是等边三角形；③2AD=3HK；④当AB=2AD时，4S△ACF=7S▱ABCD；正确的是（ ）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③【题型9 利用相似三角形的判定与结论解决新定义问题】【例9】（2023·浙江湖州·统考二模）定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形． (1)如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，连结BD，点E是BD的中点，连结AE，CE．①试判断四边形ABCE是否是双等腰四边形，并说明理由；②若∠AEC=90°，求∠ABC的度数；(2)如图2，点E是矩形ABCD内一点，点F是边CD上一点，四边形AEFD是双等腰四边形，且AD=DE．延长AE交BC于点G，连结FG．若AD=5，∠EFG=90°，CGFC=34，求AB的长．【变式9-1】（2023·福建莆田·校考模拟预测）定义：△ABC中，一个内角的度数为α，另一个内角的度数为β，若满足α+2β=90°，则称这个三角形为“智汇三角形”．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是BC上的一个动点，连接AD，若△ABD是“智汇三角形”，则CD的长是 ．【变式9-2】（2023·江苏苏州·苏州市胥江实验中学校校考二模）定义：如果三角形的两个α与β满足α-β=90°，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”． (1)若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠A>90°，∠B=20°，则∠C的度数为______；(2)如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，若AB=4，BC=5，点D是线段AB上的一点，若AD=94，判断△BCD是否是“奇妙互余三角形”，如果是，请说明理由；(3)如图2，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，AC=4，CD=5，∠BAC=90°，若∠ACD=2∠ABC，且△BCD是“奇妙互余三角形”，求BD的长．【变式9-3】（2023·江苏扬州·校考一模）定义：如果三角形中有两个角的差为90°，则称这个三角形为互融三角形，在 Rt△ABC 中，∠BAC= 90°，AB = 4 ，BC = 5 ，点D 是 BC 延长线上一点．若 △ABD 是“互融三角形”，则 CD 的长为 ．【题型10 利用相似三角形的判定与结论在格点中作图】【例10】（2023春·吉林长春·九年级校考期末）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作△ABC的中线BD．(2)在图②中，在AC边上找一点M，BC边上找一点N，连结MN，使得MN∥AB，且MN=12AB．(3)在图③，在AB边上找一点E，连结CE，使△BCE的面积为52．【变式10-1】（2023·浙江衢州·三模）如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上，请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论． (1)在图1中画一条线段垂直AB．(2)在图2中画一条线段交AB于点P，使AP:BP=3:2．【变式10-2】（2023春·湖北·九年级专题练习）如图是由小正方形组成的6×5网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图． (1)在图（1）中，先在BC上画点D，使AD平分∠BAC；再在AC上画点E，使DE=13AB；(2)在图（2）中，点P在AB上，先将线段BA绕B点逆时针旋转∠BAC的度数，画出对应线段BF，再在AC上画点Q，使AQ=BP．【变式10-3】（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形． (1)如图1，△ABC的顶点以及点O 均在格点上，画出△DEF，以O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°；(2)如图2，画出一个以DF为边，面积为6的矩形DFMN；(3)如图3，在网格中有一定角XOY和一定点P，请作一条线段AB，使点P为AB中点，且点A、B分别在OX、OY上．
专题22.10 相似形章末十大题型总结（拔尖篇）【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc32165" 【题型1 利用平行线分线段成比例进行求值或证明】 PAGEREF _Toc32165 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc24648" 【题型3 利用相似三角形的判定与结论求长度】 PAGEREF _Toc24648 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc9641" 【题型4 利用相似三角形的判定与结论求面积】 PAGEREF _Toc9641 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc11092" 【题型5 利用相似三角形的判定与结论求最值】 PAGEREF _Toc11092 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc32733" 【题型6 利用相似三角形的判定与结论解决规律探究问题】 PAGEREF _Toc32733 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc23768" 【题型7 利用相似三角形的判定与结论解决动态探究问题】 PAGEREF _Toc23768 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc21655" 【题型8 利用相似三角形的判定与结论解决多结论问题】 PAGEREF _Toc21655 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc9716" 【题型9 利用相似三角形的判定与结论解决新定义问题】 PAGEREF _Toc9716 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc6650" 【题型10 利用相似三角形的判定与结论在格点中作图】 PAGEREF _Toc6650 \h 12【题型1 利用平行线分线段成比例进行求值或证明】【例1】（2023秋·福建三明·九年级统考期中）请阅读以下材料，并完成相应的问题：角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则ABAC=BDCD．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过点C作CE∥DA．交BA的延长线于点E．…任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；(2)如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长．【变式1-1】（2023春·山西吕梁·九年级统考期末）如图，矩形ABCD中，2AB=BC=6，把△ADC沿着AD翻折得到△ADC'，连接BC'交AD于点E，点M是EC'的中点，点N是AC的中点，连接MN，则MN的长为 ． 【变式1-2】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，点P是▱ABCD内的一点，连接PA，PB，PC，PD，过点P作PE∥BC，PF∥AB，分别交AB、BC于点E、F，若S△PAD=1,S△PCD=2,S△PBC=4，则四边形PEBF的面积为 ． 【变式1-3】（2023春·广东·九年级专题练习）定义新概念：有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．(1)如图①，等腰直角四边形ABCD，AB=BC=4，∠ABC=90°．①若CD=3，AC⊥CD于点C，求AD的长；②若AD=DC，∠ADC=45°，求BD的长；(2)如图②，在矩形ABCD中AB=6，BC=15，点P是对角线BD上的一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，要使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．【题型2 利用相似三角形的判定与结论在格点中求值】【例2】（2023·安徽宿州·统考一模）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A、B、C、D均在格点上，连接AC、BD相交于点E，若小正方形的边长为1，则点E到AB的距离为 ．【变式2-1】（2023·山东烟台·统考一模）如图，在方格纸中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，则∠BAC+∠ACB的度数为（ ）A．30° B．45° C．60° D．75°【变式2-2】（2023春·江苏泰州·九年级统考期末）如图，点A、B、C、D、F在网格中的格点处，AF与BC相交于点E，设小正方形的边长为1，则阴影部分△DEF的面积等于 ． 【变式2-3】（2023秋·福建福州·九年级校联考期末）在正方形网格中，A、B、C、D均为格点，则∠BAC-∠DAE= ． 【题型3 利用相似三角形的判定与结论求长度】【例3】（2023·黑龙江绥化·校考三模）在▱ABCD中，AH⊥BD，垂足为H，∠ABD为锐角，且∠ABH=∠DAH，若AH=6，BD=5，则BC边长为 ．【变式3-1】（2023秋·上海·九年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）如图，在矩形ABCD中，已知AB=12，如果将矩形沿直线l翻折后，点B落在边CD的中点E处，直线l分别与边AB、BC交于点M、N，如果BN=6.5，那么AM的长为 ． 【变式3-2】（2023·河南郑州·校考三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A0,6，B-10,0，把△AOB绕点O按顺时针方向旋转，点A，B的对应点分别是A'，B'，连接AB'．当点B'在第二象限内，AB'⊥y轴时，点A的对应点A'的坐标为 ． 【变式3-3】（2023·安徽合肥·校联考模拟预测）等腰直角ΔABC与等腰直角ΔCDE的直角顶点C重合．DE与AC相交于F，CD的延长线交AB于G，连接BD． (1)如图1，求证：AC⋅CF=CE⋅CG；(2)如图2，B，D，E在同一条直线上，取AB的中点M，分别连接MC，ME，求证：MC=ME； (3)如图3，过A作BD的平行线，过B作AC的平行线，两线相交于H，且点H在CG的延长线上，若BC=2BH，求AHDE的值．【题型4 利用相似三角形的判定与结论求面积】【例4】（2023秋·安徽合肥·九年级校考期中）△ABC的边上有D、E、F三点，各点位置如图所示．若∠B=∠FAC，BD=AC，∠BDE=∠C，则根据图中标示的长度，求四边形ADEF与△ABC的面积比为何？（ ） A．1:3 B．1:4 C．2:5 D．3:8【变式4-1】（2023·浙江温州·校联考三模）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=kx+203过点A5,0，C2,a，与y轴交于点B．点D，E分别为线段OB，OA上的一点（不含端点），且CD⊥DE． (1)求k和a的值；(2)当∠AEC与△CDE中的一个角相等时，求线段OD的长；(3)如图2，连接BE交CD于点H，将点B绕点H逆时针旋转90°至点B'，若点B'到x轴的距离恰好等于OD的长，求△BDH的面积．【变式4-2】（2023春·上海静安·九年级统考期末）（1）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，AB=3，BC=7，∠B=60°．求证：四边形ABCD是等腰梯形；（2）若点M是直线AB上的一点，直线DM交直线BC于点N．①当点M在线段AB的延长线上时（如图2），设BM=x，DM=y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；②如果△AMD是等腰三角形，求△BMN的面积． 【变式4-3】（2023春·四川德阳·九年级统考期末）如图，已知F是△ABC内的一点，DF∥BC，EF∥AB，若四边形BDFE的面积为2，BD=13BA，BE=14BC，则△ABC的面积是（ ）．A．6 B．8 C．10 D．12【题型5 利用相似三角形的判定与结论求最值】【例5】（2023秋·四川成都·九年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，AB=6，E是AD上的一点，且AE=2，F，G是AB，CD上的动点，且BE=FG，BE⊥FG，连接EF，BG，当EF+FG+BG的值最小时，CG的长为 ． 【变式5-1】（2023秋·广东梅州·九年级校考期末）如图，直线l1∥l2∥l3，A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D．设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC=90°，BD=3，且mn=12，则m+n的最大值为 ．【变式5-2】（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，点D是等边△ABC边AB上的一动点(不与端点重合)，点D绕点C引顺时针方向旋转60∘得点E，所得的△CDE边DE与BC交于点F，则CFDE的最小值为 ． 【变式5-3】（2023春·吉林长春·九年级校考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线BC方向运动，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段CD方向运动．点P和点Q同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒(t>0)． (1)用含t的代数式表示线段CP的长；(2)当PQ与矩形的对角线平行时，求t的值；(3)若点M为DQ的中点，求以M、P、C为顶点的三角形与△ABC相似时t的值；(4)直接写出点B关于直线AP的对称点B'落在△ACD内部时t的取值范围．【题型6 利用相似三角形的判定与结论解决规律探究问题】【例6】（2023·山东德州·统考二模）如图，∠MON＝45°，正方形ABB1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，…，的顶点A，A1，A2，A3…，在射线OM上，顶点B，B1，B2，B3，B4，…，在射线ON上，连接AB2交A1B1于点D，连接A1B3交A2B2于点D1，连接A2B4交A3B3于点D2，连接B1D1交AB2于点E，连接B2D2交A1B3于点E1，…，按照这个规律进行下去，设四边形A1DED1的面积为S1，四边形A2D1E1D2的面积为S2，四边形A3D2E2D3的面积为S3，…若AB＝2则Sn等于（用含有正整数n的式子表示）（ ）A．22n+49 B．22n+43 C．22n+29 D．22n9【变式6-1】（2023·山东烟台·统考一模）如图，正方形ABCD的边长为1，以AB为底边在正方形ABCD内作等腰ΔABE，点E在CD边上，再在等腰ΔABE中作最大的正方形A1B1C1D1，···，按照此规律继续下去，则第2019个等腰三角形的底边长为（ ）A．122018 B．122019C．2(52)2018 D．2(52)2019【变式6-2】（2023秋·黑龙江绥化·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为(1,0)，点D的坐标为(0,2)，延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，正方形A2021B2021C2021C2020的面积为（ ）A．5322021 B．5942020 C．5944040 D．5324042【变式6-3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）如图，正方形A0B0C0A1的边长为1，正方形A1B1C1A2的边长为2，正方形A2B2C2A3的边长为4，正方形A3B3C3A4的边长为8…依次规律继续作正方形AnBnCnAn+1，且点A0，A1，A2，A3，…，An+1在同一条直线上，连接A0C1交，A1B1于点D1，连接A1C2，交A2B2于点D2，连接A2C3，交A3B3于点D3，…记四边形A0B0C0D1的面积为S1，四边形A1B1C1D2的面积为S2，四边形A2B2C2D3的面积为S3，…，四边形An-1Bn-1Cn-1Dn的面积为Sn，则S2022= ．【题型7 利用相似三角形的判定与结论解决动态探究问题】【例7】（2023·河南信阳·校考三模）如图，正方形ABCD中，AB=4，点P为射线AD上一个动点．连接BP，把△ABP沿BP折叠，当点A的对应点A'刚好落在线段BC的垂直平分线上时，AP的长为 ． 【变式7-1】（2023·四川泸州·泸县五中校考三模）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=12CE时，EP+BP= ． 【变式7-2】（2023春·山东淄博·九年级统考期中）如图，点A坐标为1,1，点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点）过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF，连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF，若以B，E，F为顶点的三角形与△OEF相似，则B的坐标是 ． 【变式7-3】（2023春·江西·九年级专题练习）在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，D是AB的中点，P是CD上的动点，若点P到△ABC的一边的距离为2，则CP的长为 ．【题型8 利用相似三角形的判定与结论解决多结论问题】【例8】（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,BC上的动点，且AF⊥DE，垂足为G，将△ABF沿AF翻折，得到△AMF,AM交DE于点P，对角线BD交AF于点H，连接HM,CM,DM,BM，下列结论正确的是：①AF=DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，则四边形BHMF是菱形；④当点E运动到AB的中点，tan∠BHF=22；⑤EP⋅DH=2AG⋅BH．（ ） A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤【变式8-1】（2023秋·江苏扬州·九年级校考期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AH⊥BC，M是AC中点，CN=2BN，BM交AN于O，BM交AH于I，若S△ABC=36，则下面结论：①∠CAH=∠ABC；②S△ABO=9；③AI=IH；④BO=MO；正确的是（ ）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【变式8-2】（2023春·山东东营·九年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC于点M，交CD于点F，过点D作DE∥BF交AC于点N．交AB于点E，连接FN，EM．有下列结论：①图中共有三个平行四边形；②当BD=2BC时，四边形DEBF是菱形；③BD⊥ME；④AD2=BD⋅CM．其中，正确结论的序号是（ ）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【变式8-3】（2023春·全国·九年级期末）如图，在▱ABCD中，∠BAD=60°，将▱ABCD绕顶点A逆时针旋转至▱AEFG，此时点D在AE上，连接AC、AF、CF、EB，线段EB分别交CD、AC于点H、K，则下列四个结论中：①∠CAF=60°；②△DEH是等边三角形；③2AD=3HK；④当AB=2AD时，4S△ACF=7S▱ABCD；正确的是（ ）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③【题型9 利用相似三角形的判定与结论解决新定义问题】【例9】（2023·浙江湖州·统考二模）定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形． (1)如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，连结BD，点E是BD的中点，连结AE，CE．①试判断四边形ABCE是否是双等腰四边形，并说明理由；②若∠AEC=90°，求∠ABC的度数；(2)如图2，点E是矩形ABCD内一点，点F是边CD上一点，四边形AEFD是双等腰四边形，且AD=DE．延长AE交BC于点G，连结FG．若AD=5，∠EFG=90°，CGFC=34，求AB的长．【变式9-1】（2023·福建莆田·校考模拟预测）定义：△ABC中，一个内角的度数为α，另一个内角的度数为β，若满足α+2β=90°，则称这个三角形为“智汇三角形”．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是BC上的一个动点，连接AD，若△ABD是“智汇三角形”，则CD的长是 ．【变式9-2】（2023·江苏苏州·苏州市胥江实验中学校校考二模）定义：如果三角形的两个α与β满足α-β=90°，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”． (1)若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠A>90°，∠B=20°，则∠C的度数为______；(2)如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，若AB=4，BC=5，点D是线段AB上的一点，若AD=94，判断△BCD是否是“奇妙互余三角形”，如果是，请说明理由；(3)如图2，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，AC=4，CD=5，∠BAC=90°，若∠ACD=2∠ABC，且△BCD是“奇妙互余三角形”，求BD的长．【变式9-3】（2023·江苏扬州·校考一模）定义：如果三角形中有两个角的差为90°，则称这个三角形为互融三角形，在 Rt△ABC 中，∠BAC= 90°，AB = 4 ，BC = 5 ，点D 是 BC 延长线上一点．若 △ABD 是“互融三角形”，则 CD 的长为 ．【题型10 利用相似三角形的判定与结论在格点中作图】【例10】（2023春·吉林长春·九年级校考期末）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作△ABC的中线BD．(2)在图②中，在AC边上找一点M，BC边上找一点N，连结MN，使得MN∥AB，且MN=12AB．(3)在图③，在AB边上找一点E，连结CE，使△BCE的面积为52．【变式10-1】（2023·浙江衢州·三模）如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上，请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论． (1)在图1中画一条线段垂直AB．(2)在图2中画一条线段交AB于点P，使AP:BP=3:2．【变式10-2】（2023春·湖北·九年级专题练习）如图是由小正方形组成的6×5网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图． (1)在图（1）中，先在BC上画点D，使AD平分∠BAC；再在AC上画点E，使DE=13AB；(2)在图（2）中，点P在AB上，先将线段BA绕B点逆时针旋转∠BAC的度数，画出对应线段BF，再在AC上画点Q，使AQ=BP．【变式10-3】（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形． (1)如图1，△ABC的顶点以及点O 均在格点上，画出△DEF，以O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°；(2)如图2，画出一个以DF为边，面积为6的矩形DFMN；(3)如图3，在网格中有一定角XOY和一定点P，请作一条线段AB，使点P为AB中点，且点A、B分别在OX、OY上．
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