2023年高考数学一轮复习课时规范练29等差数列含解析北师大版文

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课时规范练29　等差数列基础巩固组1.(2021山西临汾三模)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若4+a1=a2+a5,则S11=(　　)A.28 B.34 C.40 D.44答案:D解析:因为a6+a1=a2+a5,由4+a1=a2+a5,可得a6=4,所以S11==11a6=44.2.(2021黑龙江铁人中学高三月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,其中S2=3,S4=15,则S6=(　　)A.9 B.18 C.27 D.36答案:D解析:根据等差数列的性质,S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,所以3,12,S6-15成等差数列,进而得到3+S6-15=24,所以S6=36.3.已知一个有穷等差数列{an},前4项的和是40,最后4项的和是80,所有项的和是210,则此数列的项数为(　　)A.12 B.14 C.16 D.18答案:B解析:由题意知a1+a2+a3+a4=40,an+an-1+an-2+an-3=80,两式相加可得a1+an=30.所以Sn==210,所以n=14.4.(2021山西吕梁一模)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a3=3a1,a2=3a1-1,则数列的前10项和为(　　)A B.55 C D.65答案:C解析:设等差数列{an}的公差为d,则所以a1=1,d=1,所以Sn=n+,所以,所以,所以是以1为首项,为公差的等差数列,数列的前10项和T10=10+5.(2021浙江湖州模拟)已知m和2n的等差中项是8,2m和n的等差中项是10,则m和n的等差中项是　　　　　. 答案:6解析:由题意得∴3(m+n)=20+16=36,∴m+n=12,=6.6.(2021河北沧州三模)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若S4=2S3-2,2a5-a6=7,则S8=　　　　　　. 答案:64解析:设{an}的公差为d.因为所以解得所以S8=8a1+d=8×1+2=64.7.已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn,且Sk=110.(1)求a及k的值;(2)设数列{bn}的通项公式bn=,证明:数列{bn}是等差数列,并求其前n项和Tn.解:(1)设该等差数列为{an},则a1=a,a2=4,a3=3a,所以a+3a=8,得a1=a=2,公差d=4-2=2,所以Sk=ka1+d=2k+2=k2+k,由Sk=110,得k2+k-110=0,解得k=10或k=-11(舍去),故a=2,k=10.(2)由(1)得Sn=n2+n,则bn==n+1,故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,b1=1+1=2,所以数列{bn}是首项为2,公差为1的等差数列,所以Tn=综合提升组8.(2021广西南宁模拟)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,且a2=20,S7=98,若Sm<0,则m的最小值为(　　)A.16 B.17 C.18 D.19答案:B解析:设等差数列{an}的公差为d,因为S7==7a4=98,所以a4=14,又a2=20,所以a4-a2=2d=-6,解得d=-3,所以an=a2+(n-2)×(-3)=26-3n,a1=23,Sm=,由Sm<0得m>又m∈N+,故m的最小值为17.9.(2021中央民族大学附属中学高三月考)等差数列{an}的前n项和为Sn,若任意n∈N+,Sn≤S7,则数列{an}的通项公式可能是(　　)A.an=3n-15 B.an=17-3nC.an=n-7 D.an=15-2n答案:D解析:由题意可知,任意n∈N+,Sn≤S7,则数列{Sn}的最大项为S7.对于A选项,an=3n-15为递增数列,{Sn}无最大项,A选项不满足条件;对于B选项,由an=17-3n≥0,可得n,故数列{Sn}中S5最大,B选项不满足条件;对于C选项,an=n-7为递增数列,{Sn}无最大项,C选项不满足条件;对于D选项,由an=15-2n≥0,可得n,故数列{Sn}中S7最大,D选项满足条件.10.(2021浙江绍兴一模)已知等差数列{an}的各项均为正数且公差不为零,其前n项和为Sn,则(　　)A.数列不可能是等差数列B.数列不可能是等差数列C.数列不可能是等差数列D.数列不可能是等差数列答案:D解析:由题可知Sn=na1+,an=a1+(n-1)d,其中a1>0,d>0.对A,=a1+d,所以数列是公差为的等差数列,故A错;对B,d=,当a1=时,,所以数列可能是等差数列,故B错;对C,,当a1=d时,,所以数列可能是等差数列,故C错;不可能转化为关于n的一次函数形式,故数列不可能是等差数列,故D正确.11.(2021广东深圳实验学校高三月考)已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对于任意的正整数n,都有,则=(　　)A.3 B.6 C D答案:B解析:数列{an},{bn}均为等差数列,由等差数列的性质得=2=2=2=2=6.12.(2021广东珠海二模)已知等差数列{an}满足a1=-1,a4=2a2+a3.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=cos,求数列{bn}的前40项和S40.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则a4=a1+3d,2a2+a3=3a1+4d,由a1=-1,a4=2a2+a3,则a1+3d=3a1+4d,得d=2,所以an=-1+2(n-1)=2n-3.(2)bn=cos,当n为奇数时,cos=0,bn=0;当n为偶数时,若n=4k+2,k∈N,bn=-,若n=4k+4,k∈N,bn=,所以S40=()+()+()+…+()+()=2d(a2+a4+a6+a8+…+a40)=420a2+2d=3120.创新应用组13.(2021江苏南京师大附中高三月考)一百零八塔,位于宁夏吴忠青铜峡市,是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群,该塔群随山势凿石分阶而建,依山势自上而下,第一阶1座,第二阶3座,第三阶3座,第四阶5座,第五阶5座,从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5,公差为2的等差数列,总计108座,故名一百零八塔.则该塔的阶数是(　　)A.10 B.11 C.12 D.13答案:C解析:由第一阶1座,第二阶3座,第三阶3座,第四阶5座,则前四阶共12座,则从第五阶后共有108-12=96(座).设第五阶塔的数目为a1,则a1=5,设从第五阶开始自上而下,每一层的塔的数目为an,由从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5,公差为2的等差数列,所以Sn=na1+2=n2+4n,令Sn=n2+4n=96,解得n=8或n=-12(舍去),所以该塔的阶数是4+8=12.14.(2021河南名校联盟4月联考)在一个有限数列的每相邻两项之间插入这两项的等差中项,从而形成一个新的数列,我们把这样的操作称为该数列的一次扩充.如数列1,9,扩充一次后得到1,5,9,扩充两次后得到1,3,5,7,9,以此类推.设数列1,3,t(t为常数)扩充n次后所得所有项的和记为Sn,则Sn=　　　　　　　. 答案:(2n+1)-3解析:扩充n次后所得数列为1,…,2,…,3,…,,…,t,因此从1到3是等差数列,项数为2n+1,且中间项为2;从3到t也是等差数列,项数为2n+1,且中间项为根据等差数列的性质可得Sn=2(2n+1)+(2n+1)-3=(2n+1)-3.