浙江省温州市2022年中考数学试卷解析版

这是一份浙江省温州市2022年中考数学试卷解析版，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

浙江省温州市2022年中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．计算 9+（-3） 的结果是（　　）
A．6 B．-6 C．3 D．-3
【答案】A
【知识点】有理数的加法
【解析】【解答】解：9+（-3）=9-3=6.
故答案为：5.
【分析】利用绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，用较大的绝对值减去较小的绝对值，进行计算.
2．某物体如图所示，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：此图形的主视图为 .
故答案为：D.
【分析】主视图就是从几何体的正面所看到的平面图形，观察几何体可得答案.
3．某校参加课外兴趣小组的学生人数统计图如图所示。若信息技术小组有60人，则劳动实线小组有（　　）
A．75人 B．90人 C．108人 D．150人
【答案】B
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图
【解析】【解答】解：由题意得，
本次参加课外兴趣小组的人数为：60÷20％=300；
∴劳动实线小组的人数为：300×30％=90人.
故答案为：B.
【分析】利用信息技术小组的人数÷信息技术小组的人数所占的百分比，列式计算求出本次参加课外兴趣小组的人数；再用本次参加课外兴趣小组的人数×劳动实线小组的人数所占的百分比，列式计算求出劳动实线小组的人数.
4．化简 （-a）3·（-b） 的结果是（　　）
A．-3ab B．3ab C．-a3b D．a3b
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；幂的乘方
【解析】【解答】解：原式=-a3（-b）=a3b.
故答案为：D.
【分析】利用单项式乘以单项式的法则进行计算，可求出结果.
5．9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数，现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率为（　　）
A． 19 B．29 C．49 D．59
【答案】C
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵1-9一共9个自然数，是偶数的有4个，
∴ P（正面的数是偶数的）=49.
故答案为：C.
【分析】由题意可知一共有9种结果数，是偶数的有4种情况，再利用概率公式可求出从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率.
6．若关于x的方程x2+6x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是（　　）
A．36 B．-36 C．9 D．-9
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于x的方程x2+6x+c=0有两个相等的实数根 ，
∴△=b2-4ac=0
∴36-4c=0
解之：c=9.
故答案为：C.
【分析】由已知关于x的方程 x2+6x+c=0 有两个相等的实数根 ，可得到b2-4ac=0，由此可得到关于c的方程，解方程求出c的值.
7．小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟，下列选项中的图象，能近似刻画s与t之间关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：∵他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟，
∴C，D不符合题意；
∵小聪在凉亭信息10分钟，
∴A符合题意，B不符合题意；
故答案为：A.
【分析】抓住已知条件：他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟，可排除C，D选项；再根据小聪在凉亭信息10分钟，可排除选项B，即可得到符合题意的选项.
8．如图， AB、AC是 ⊙O 的两条弦， OD⊥AB于点D， OE⊥AC 于点E，连结 OB、OC．若 ∠DOE=130° ，则 ∠BOC 的度数为（　　）
A．95° B．100° C．105° D．130°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ADO=∠AEO=90°，
∴∠A=180°-∠DOE=180°-130°=50°，
∴∠BOC=2∠A=2×50°=100°.
故答案为：B.
【分析】利用垂直的定义和四边形的内角和为180°，可求出∠A的度数；再利用一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍，可求出∠BOC的度数.
9．已知点 A（a，2）、B（b，2）、C（c，7）都在抛物线 y=(x−1)2−2 上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（　　）
A．若 c<0 ，则 a C．若 c>0 ，则 a0 ，则 a 【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝（x−1）2−2，a＞0
∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，
当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵点A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在抛物线y＝（x−1）2−2上，点A在点B左侧，
∴a＜b
若c＜0，则c＜a＜b，故A、B均不符合题意；
若c＞0，则a＜b＜c，故C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用抛物线的解析式可得到抛物线的对称轴，利用二次函数的增减性，可知当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，利用点A在点B左侧，可确定出a＜b；再分情况讨论：若c＜0；若c＞0；可得到符合题意的选项.
10．如图，在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90° ，以其三边为边向外作正方形，连结 CF ，作 GM⊥CF 于点M， BJ⊥GM 于点J， AK⊥BJ 于点K，交 CF 于点L．若正方形 ABGF 与正方形 JKLM 的面积之比为5， CE=10+2 ，则 CH 的长为（　　）
A．5 B．3+52 C．22 D．10
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点C作CN⊥AB于点N，

设正方形JKLM的边长为m，面积为m2，则正方形ABGF的面积为5m2，边长为5m
∴AF=FG=AB=5m，∠AFL+∠GFM=90°，
∵GM⊥FL，AK⊥BJ，
∴∠ALF=∠FMG=90°，∠GFM+∠MGF=90°，
∴∠AFL=∠MGF，
在△AFL和△MGF中
∠ALF=∠FMG∠AFL=∠MGFAF=FG
∴△AFL≌△MGF（AAS）
∴AL=FM，
设AL=FM=x，则FL=FM+ML=x+m
在Rt△AFL中
AL2+FL2=AF2，
∴x2+（x+m）2=（5m）2，
解之：x=m，x=-2m（舍去）；
∴AL=FM=m，FL=2m，
∵tan∠AFL=APAF=ALFL=12=AP5m
解之：AP=52m
∴FP=5m22+5m2=52m
BP=AB=AP=5m-52m=52m
∴BP=AP，
∴点P为AB的中点；
∴CP=12AB=5m2
∵CN∥AF
∴△CPN∽△APF，
∴CPPF=CNAF即5m252m=CN5m2
解之：CN=m，PN=12CN=12m
∴AN=AP+PN=5+12m
∴tan∠BAC=BCAC=CNAN=m5+12m=25+1
∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形，
∴△AEC∽△BCH
∴BCAC=CHCE=25+1=CH10+2，
解之：CH=22.
故答案为：C.
【分析】过点C作CN⊥AB于点N，利用正方形ABGF和正方形JKLM的面积之比为5，设正方形JKLM的边长为m，面积为m2，则正方形ABGF的面积为5m2，边长为5m，可得到AF，FG，AB的长，利用AAS证明△AFL≌△MGF，可得到AL=FM，设AL=FM=x，可表示出FL的长；在Rt△AFL中，利用勾股定理可得到x=m，可得到AL=FM=m，FL=2m，利用锐角三角函数的定义，可表示出AP的长，利用勾股定理表示出PF的长，即可得到BP的长，可证得点P是AB的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可表示出CP的长；再证明△CPN∽△APF，利用相似三角形的对应边成比例可表示出CN，PN的长，从而可得到AN的长；再利用直角三角形和相似三角形的判定和性质，可求出CH的长.
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．分解因式：m2-n2= 　 　．
【答案】（m+n）（m-n）
【知识点】因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】解：m2-n2=（m+n）（m-n）.
故答案为：（m+n）（m-n）.
【分析】观察此多项式的特点：含有两项，都能写成平方形式，两项符号相反，因此利用平方差公式分解因式.
12．某校5个小组在一次拉树活动中植树株数的统计图如图所示，则平均每组植树　 　株．
【答案】5
【知识点】条形统计图；加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：x=4×2+3+7×25=5.
故答案为：5.
【分析】利用加权平均数个数进行计算，可求出结果.
13．计算： x2+xyxy+xy−x2xy=　 　．
【答案】2
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：原式=x2+xy+xy-x2xy=2..
故答案为：2.
【分析】利用同分母分式相加，分母不变，把分子相加，然后化简即可.
14．若扇形的圆心角为 120° ，半径为 32 ，则它的弧长为　 　．
【答案】π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵扇形的圆心角为120°，半径为 32 ，
∴它的弧长为 120π×32180=π.
故答案为：π.
【分析】利用弧长公式：nπR180，代入计算可求出它的弧长.
15．如图，在菱形ABCD中， AB=1，∠BAD=60°．在其内部作形状、大小都相同的菱形 AENH 和菱形 CGMF ，使点E，F，G，H分别在边 AB、BC、CD、DA 上，点M，N在对角线 AC 上．若 AE=3BE，则 MN 的长为　 　．
【答案】32
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接DB交AC于点O，作MI⊥AB于点I，作FJ⊥AB交AB的延长线于点J，

∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝1，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝1，∠BAC＝30°，AC⊥BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=BD=1
∴OD＝12BD=12，
∴AO＝AD2−DO2＝12−(12)2＝32
∴AC＝2AO＝3，
∵AE＝3BE，
∴AE＝34，BE＝14，
∵菱形AENH和菱形CGMF大小相同，
∴BE＝BF＝14，∠FBJ＝60°，
∴FJ＝MI=BF•sin60°＝14×32＝38，
∴AM＝CN=MIsin30°＝3812＝34，
∴MN＝AC−AM−CN＝3-34-34=32.
故答案为：32.
【分析】连接DB交AC于点O，作MI⊥AB于点I，作FJ⊥AB交AB的延长线于点J，利用菱形的性质和∠BAD＝60°，可求出∠BAC的度数，同时可证得△ABD是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出DO的长；利用勾股定理求出AO的长，从而可求出AC的长；利用AE=3BE，可得到AE，BE，BF的长；利用解直角三角形求出FJ，MI，AM，CN的长；然后根据MN=AC-CN，代入计算求出MN的长.
16．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地而上的点M在旋转中心O的正下方。某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片 OA、OB ，此时各叶片影子在点M右侧成线段 CD ，测得MC=8.5m，CD=13m，垂直于地面的木棒 EF 与影子 FG 的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于　 　米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于　 　米．
【答案】10；10+13
【知识点】勾股定理；相似三角形的应用；解直角三角形
【解析】【解答】解：设AC与OM交于点H，过点C作CN⊥BD于N，

∵HC∥EG，
∴∠HCM＝∠EGF，
∵∠CMH＝∠EFG＝90°，
∴△HMC∽△EFG，
∴HMCM＝EFFG＝23，
∴HM8.5＝23
∴HM＝173，
∵BD∥EG，
∴∠BDC＝∠EGF，
∴tan∠BDC＝tan∠EGF，
∴CNDN＝EFFG＝23，
设CN＝2x，DN＝3x，则CD＝13x=13，
解之：x=13，
∴AB＝CN＝213，
∴OA＝OB＝12AB＝13，
在Rt△AHO中，∠AHO＝∠CHM=∠DCN，
∴sin∠AHO＝AOOH=DNCD＝3x13x=13HO，
解之：OH＝133，
∴OM＝OH＋HM＝133＋173＝10，
以点O为圆心，OA的长为半径作圆，当OB与OM共线时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度等于OB+OM=（10+13）米．
故答案为：10，（10+13）.
【分析】设AC与OM交于点H，过点C作CN⊥BD于N，利用平行线的性质可证得∠HCM＝∠EGF，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△HMC∽△EFG，利用相似三角形的对应边成比例可求出HM的长；利用平行线的性质可得到∠BDC＝∠EGF，从而可推出tan∠BDC＝tan∠EGF，可得到CN与DN的比值，设CN＝2x，DN＝3x，利用勾股定理表示出CD的长，利用CD的长建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AB，OA的长；在Rt△AHO中，∠AHO＝∠CHM，利用锐角三角函数的定义可求出OH的长，根据OM=OH+HM，代入计算求出MO的长；以点O为圆心，OA的长为半径作圆，当OB与OM共线时，叶片外端离地面的高度最大，然后求出其最大高度.
三、解答题（本题有8小题，共80分．）
17．
（1）计算： 9+(−3)2+3−2−|−19| ．
（2）解不等式 9x−2≤7x+3 ，并把解表示在数轴上．
【答案】（1）解：原式 =3+9+19−19=12
（2）解：移项，得 9x−7x≤3+2 ．
合并同类项，得 2x≤5 ．
两边都除以2，得 x≤52 ．
这个不等式的解表示在数轴上如图所示．
【知识点】实数的运算；解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）先算乘方和开方运算，同时化简绝对值，然后利用有理数的加减法法则进行计算.
（2）先移项（移项变号），再合并，将x的系数化为1；然后将不等式的解集在数轴上表示出来.
18．如图，在 2×6 的方格纸中，已知格点P，请按要求画格点图形（顶点均在格点上）．
注：图1，图2在答题纸上．
（1）在图1中画一个锐角三角形，使P为其中一边的中点，再画出该三角形向右平移2个单位后的图形．
（2）在图2中画一个以P为一个顶点的钝角三角形，使三边长都不相等，再画出该三角形绕点P旋转 180° 后的图形．
【答案】（1）解：画法不唯一，如图1或图2等．
（2）解：画法不唯一，如图3或图4等．
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）先按要求画一个锐角三角形，再利用平移的性质将此三角形向右平移两个单位，画出平移后的三角形.
（2）先按要求画一个钝角三角形，再利用旋转的性质将此三角形绕着点P旋转180°，画出旋转后的三角形.
19．为了解某校400名学生在校午餐所需的时间，抽查了20名学生在校午餐所花的时间，由图示分组信息得：A，C，B，B，C，C，C，A，B，C，C，C，D，B，C，C，C，E，C，C．
分组信息
A组： 5 B组： 10 C组： 15 D组： 20 E组： 25 注：x（分钟）为午餐时间!
某校被抽查的20名学生在校午餐所花时间的频数表
组别
划记
频数
A

2
B

4
C
▲
▲
D
▲
▲
E
▲
▲
合计
20
（1）请填写频数表，并估计这400名学生午餐所花时间在C组的人数．
（2）在既考虑学生午餐用时需求，又考虑食堂运行效率的情况下，校方准备在15分钟，20分钟，25分钟，30分钟中选择一个作为午餐时间，你认为应选择几分钟为宜？说明理由．
【答案】（1）解：频数表填写如表所示。
某校被袖查的20名学生在校午餐所花时间的频数表
组别
划记
频数
A

2
B

4
C
正正
12
D
—
1
E
—
1
合计
20
1220×400=240 （名）．
答：这400名学生午餐所花时间在C组的有240名．
（2）解：评分参考：
A等级：合理选择，完整说理．
①选择25分钟，有19人能按时完成用餐，占比95%，可以鼓励最后一位同学适当加快用餐速度，有利于食堂提高运行效率．
②选择20分钟，有18人能按时完成用餐，占比90%，可以鼓励最后两位同学适当加快用餐速度或采用合理照顾如优先用餐等方式，以满足学生午餐用时需求，又提高食堂的运行效率．
B等级：合理选择但理由不全面或选择不适当但有一定理由．
选择25分钟或选择20分钟，但理由不全面．
选择30分钟，能说明所有学生都能完成用餐，但未考虑食堂的运行效率．
C等级：只选择不说理或选择不适当，说理片面．
选择25分钟或选择20分钟或选择30分钟，未作说理或理由不合理；
选择15分钟，只考虑食堂的运行效率，未考虑全体学生午餐用时需求等因素．
D等级：选择15分钟而未作合理说理或未作答．
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表
【解析】【分析】（1）利用400×学生午餐所花时间在C组的人数所占的百分比，列式计算可求出这400名学生午餐所花时间在C组的人数；利用已知分组信息补全频数表.
（2）对每组数据的频数进行分析，分别从在15分钟，20分钟，25分钟，30分钟中选择一个作为午餐时间进行分析，可得答案.
20．如图， BD 是 △ABC的角平分线， DE∥BC ，交 AB 于点E．
（1）求证： ∠EBD=∠EDB ．
（2）当AB=AC时，请判断 CD 与ED的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵BD 是 △ABC 的角平分线，
∴∠CBD=∠EBD ．
∵DE∥BC ，
∴∠CBD=∠EDB ，
∴∠EBD=∠EDB ．
（2）解： CD=ED ．理由如下：
∵AB=AC ，
∴∠C=∠ABC ．
∵DE∥BC ，
∴∠ADE=∠C，∠AED=∠ABC ，
∴∠ADE=∠AED ，
∴AD=AE ，
∴AC−AD=AB−AE ，即 CD=BE ．
由（1）得 ∠EBD=∠EDB ，
∴BE=ED ，
∴CD=ED
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可证得∠CBD=∠EBD，利用平行线的性质去证明∠EBD=∠EDB.
（2）利用等边对等角可证得∠C=∠ABC，利用平行线的性质可得到∠ADE=∠C，∠AED=∠ABC，从而可推出∠ADE=∠AED；利用等角对等边可知AE=AD，由此可证得DC=BE；再利用等角对等边可推出BE=ED，即可证得结论.
21．已知反比例函数 y=kx(k≠0) 的图象的一支如图所示，它经过点 （3，-2）．
（1）求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．
（2）求当 y≤5，且y≠0时自变量x的取值范围．
【答案】（1）解：把点 (3，−2) 代入表达式 y=kx(k≠0) ，
得 −2=k3 ，
∴k=−6 ，
∴反比例函数的表达式是 y=−6x ．
反比例函数图象的另一支如图所示．
（2）解：当 y=5 时， 5=−6x ，
解得 x=−65 ．
由图象可知，当 y≤5 ，且 y≠0 时，
自变量x的取值范围是 x≤−65 或 x>0 ．
【知识点】反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将点（3，-2）代入反比例函数解析式求出k的值，可得到反比例函数解析式；再利用描点法画出反比例函数的另一支图象.
（2）将y=5代入函数解析式求出对应的x的值；观察函数图象可得到当y≤5且y≠0时的x的取值范围.
22．如图，在△ABC 中， AD⊥BC于点D、E、F分别是AC、AB 的中点，O是 DF 的中点， EO 的延长线交线段 BD 于点G，连结 DE、EF、FG．
（1）求证：四边形 DEFG 是平行四边形．
（2）当AD=5，tan∠EDC=52=时，求 FG 的长．
【答案】（1）证明：∵E，F分别是 AC，AB 的中点，
∴EF∥BC ，
∴∠FEO=∠DGO，∠EFO=∠GDO ．
∵O是 DF 的中点，
∴FO=DO ，
∴△EFO≌△GDO(AAS) ，
∴EF=GD ，
∴四边形 DEFG 是平行四边形．
（2）解：∵AD⊥BC ，E是 AC 中点，
∴DE=12AC=EC ，∴∠EDC=∠C ，
∴tanC=tan∠EDC=52 ，∴ADDC=52 ．
∵AD=5 ，∴CD=2 ．
∴DE=12AC=12AD2+CD2=1252+22=292 ．
由 ▱DEFG 得 FG=DE=292 ．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；解直角三角形；三角形全等的判定（AAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用已知可知EF是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可证得EF∥BC；再利用平行线的性质可证得∠FEO=∠DGO，∠EFO=∠GDO，利用线段中点的定义可证得FO=DO；利用AAS可证得△EFO≌△GDO，利用全等三角形的对应边相等，可证得EF=GD；然后利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
（2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得DE=EC，利用等边对等角可证得∠EDC=∠C；利用锐角三角形的定义可求出CD的长；利用勾股定理求出AC的长，即可得到DE的长；然后利用平行四边形的对边相等，可求出FG的长.
23．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1
图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽 20m ，拱顶离水面 5m ．据调查，该河段水位在此基础上再涨 1.8m 达到最高．

素材2
为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂 40cm 长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于 1m ；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为 1.6m ；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．

问题解决
任务1
确定桥拱形状
在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2
探究悬挂范围
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3
拟定设计方案
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
【答案】解：【任务1】
以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，
则顶点为 (0，0) ，且经过点 (10，−5) ．
设该抛物线函数表达式为 y=ax3(a≠0) ，
则 −5=100a ，∴a=−120 ，
∴该抛物线的函数表达式是 y=−120x2 ．
【任务2】
∵水位再上涨 1.8m 达到最高，灯笼底部距离水面至少 1m ，灯笼长 0.4m ，
∴悬挂点的纵坐标 y≥−5+1.8+1+0.4=−1.8 ，
∴悬挂点的纵坐标的最小值是 −1.8 ．
当 y=−1.8 时， −1.8=−120x2 ，解得 x1=6 或 x2=−6 ，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是 −6≤x≤6 ．
【任务3】有两种设计方案．
方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼．
∵−6≤x≤6 ，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为 1.6m ，
∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则 1.6×4>6 ，
若顶点一侧挂3盏灯笼，则 1.6×3<6 ，
∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是-4.8．
方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为 0.8m ，
∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则 0.8+1.6×(5−1)>6 ，
若顶点一侧挂4盏灯笼，则 0.8+1.6×(4−1)<6 ，
∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是-5.6．
注：以下为几种常见建系方法所得出的任务答案．
方法
任务1
任务2
任务3
建立坐标系
函数表达式
最小值
取值范围
灯笼数量
横坐标
一

y=−120x2+x
3.2
4≤x≤16
7
5.2
8
4.4
二

y=−120x2+5
3.2
−6≤x≤6
7
-4.8
8
-5.6
三

y=−120x2−x
3.2
−16≤x≤−4
7
-14.8
8
-15.6
【知识点】二次函数的最值；坐标与图形变化﹣对称；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】【任务1】以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，可得到抛物线的顶点坐标及抛物线经过点（10，-5），利用待定系数法求出抛物线的解析式.
【任务2】根据水位再上涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面至少1m，灯笼长0.4m ，可得到悬挂点的纵坐标的最小值，将其最小值代入函数解析式，可得到对应的x的值，即可得到悬挂点的横坐标的取值范围.
【任务3】方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼．利用x的取值范围可知相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，可得到顶点一侧最多可挂3盏灯笼；再利用挂满灯笼后成轴对称分布，可得到一共可挂7盏灯笼，由此可得到最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标；方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为0.8m， 可得到顶点一侧最多可挂4盏灯笼，利用对称性可知共可挂8盏灯笼，由此可得到最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标.
24．如图1， AB 为半圆O的直径，C为 BA 延长线上一点， CD 切半圆于点D， BE⊥CD ，交 CD 延长线于点E，交半圆于点F，已知BC=5，BE=3．点P，Q分别在线段 AB、BE上（不与端点重合），且满足 APBQ=54 ．设BQ=x，CP=y．
（1）求半圆O的半径．
（2）求y关于x的函数表达式．
（3）如图2，过点P作 PR⊥CE 于点R，连结 PQ、RQ．
①当 △PQR 为直角三角形时，求x的值．
②作点F关于 QR 的对称点 F' ，当点 F'落在 BC上时，求 CF′BF′ 的值．
【答案】（1）解：如图1，连结 OD ．设半圆O的半径为r．
∵CD 切半圆O于点D，∴OD⊥CD ．
∵BE⊥CD ，∴OD∥BE ，
∴△COD∽△CBE ，
∴ODBE=COCB ，即 r3=5−r5 ，
∴r=158 ，即半圆O的半径是 158
（2）解：由（1）得： CA=CB−AB=5−2×158=54 ．
∵APBQ=54，BQ=x ，∴AP=54x ．
∵CP=AP+AC ，∴y=54x+54
（3）解：①显然 ∠PRQ<90° ，所以分两种情况．
ⅰ）当 ∠RPQ=90° 时，如图2．
∵PR⊥CE ，∴∠ERP=90° ．
∵∠E=90° ，∴四边形 RPQE 为矩形，
∴PR=QE ．
∵PR=PC⋅sinC=35y=34x+34 ，
∴34x+34=3−x ，∴x=97 ．
ⅱ）当 ∠PQR=90° 时，过点P作 PH⊥BE 于点H，如图3，
则四边形 PHER 是矩形，∴PH=RE，EH=PR ．
∵CB=5，BE=3 ，∴CE=52−32=4 ．
∵CR=CP⋅cosC=45y=x+1 ，
∴PH=RE=3−x=EQ ，
∴∠EQR=∠ERQ=45° ，
∴∠PQH=45°=∠QPH ，∴HQ=HP=3−x ，
由 EH=PR 得： (3−x)+(3−x)=34x+34 ，∴x=2111 ．
综上所述，x的值是 97 或 2111 ．
②如图4，连结 AF，QF′ ，由对称可知 QF=QF′，∠F′QR=∠EQR=45° ，
∴∠BQF′=90° ，
∴QF=QF′=BQ⋅tanB=43x ．
∵AB 是半圆O的直径，∴∠AFB=90° ，
∴BF=AB⋅cosB=94 ，
∴43x+x=94 ，∴x=2728 ，
∴CF′BF′=BC−BF′BF′=BCBF′−1=3x−1=199 ．
或利用 QF′∥CE 得： CF′BF′=EQQB=3−xx=3x−1=199
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OD，设圆的半径为r，利用切线的性质可证得OD⊥CD，结合已知可证得OD∥CD，可推出△COD∽△CBE，利用相似三角形的对应边成比例可建立关于r的方程，解方程求出r的值.
（2）利用CA=CB-AB，代入计算求出CA的长；利用APBQ=54，可表示出AP的长；根据CP=AP+AC，可得到y与x之间的函数解析式.
（3）①由题意可知∠PRQ＜90°，分两种情况讨论：当∠RPQ=90°时，易证四边形RPQE是矩形，利用矩形的性质可证得PR=QE，利用解直角三角形可表示出PR的长；然后利用PR=QE，可得到关于x的方程，解方程求出x的值；当∠PQR=90°时，过点P作PH⊥BE于点H，易证四边形PHER是矩形，利用矩形的性质可证得PH=RE，EH=PR；利用勾股定理求出CE的长，利用解直角三角形求出CR的长；从而可表示出PH，RE的长及HQ的长；由EH=PR可得到关于x的方程，解方程求出x的值；②连接AF，QF′，利用对称可知QF=QF′，∠F′QR=∠EQR=45°，利用解直角三角形表示出QF的长，利用直径所对的圆周角是直角，可得到∠AFB=90°，利用解直角三角形表示出BF的长，可得到关于x的方程，解方程求出x的值；再求出CF'BF'=199；由QF′∥CE，可得对应线段成比例，即可求出CF′BF′的值.