重庆市第一中学校2020-2021学年八年级下学期期中数学试卷(word版含答案)

这是一份重庆市第一中学校2020-2021学年八年级下学期期中数学试卷(word版含答案)，共36页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年重庆一中八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．根据下表中的对应值：
x
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
x2+3x﹣2
﹣1.01
﹣0.64
﹣0.25
0.16
0.59
判断方程x2+3x﹣2＝0的一个解的范围是（　　）
A．0.3＜x＜0.4 B．0.4＜x＜0.5 C．0.5＜x＜0.6 D．0.6＜x＜0.7
3．下列式子从左到右是因式分解的是（　　）
A．x2+2x＝x2（1+） B．x2+4x+1＝（x+1）2
C．a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b） D．m2+mn+2＝m（m+n）+2
4．顺次连接平行四边形四边中点所组成的图形是（　　）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
5．某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．下列命题是真命题的是（　　）
A．对角线相等的平行四边形为菱形
B．对角线垂直的四边形为菱形
C．对角线相等且垂直的四边形为正方形
D．对角线相等的菱形为正方形
7．数学老师在课堂上给同学们布置了10个填空题作为课堂练习，并将全班同学的答题情况绘制成条形统计图．由图可知，全班同学答对题数的中位数为（　　）

A．7 B．8 C．8.5 D．9
8．程大位《直指算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，依题意列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，第①个图形中有1个正方形，按照如图所示的方式连接对边中点得到第②个图形，图中共有5个正方形；连接第②个图形中右下角正方形的对边中点得到第③个图形，图中共有9个正方形；按照同样的规律得到第④个图形、第⑤个图形…，则第⑦个图形中共有（　　）个正方形．

A．21 B．25 C．29 D．32
10．2021年4月18日，重庆市第一中学校举行建校90周年庆祝大会，新老校友齐聚一堂，共话母校数十载发展变化，表达对母校的感激之情．小乔与小王是重庆一中的同班校友，相约前往一中参加活动．他们同时从家里出发前往一中正门（一中正门恰好在小乔家与小王家之间，且三个地点在同一直线上，小王先到达一中正门后原地等待小乔，两人会和时小乔发现手机遗忘在家里，于是立即以原来的速度返回家，取完手机（寻找手机的时间忽略不计）小乔立即调头以和同速度前往一中正门，直至与小王会和．小乔和小王之间的距离y（米）与小乔从家出发的时间x（分钟）之间的函数关系图可能是（　　）
A． B．
C． D．
11．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE平分∠BAC，BE＝CF，P为线段AC上的动点，记PD+PF的最小值为m，若正方形边长为，则m2的值为（　　）

A．6﹣4 B．8﹣4 C．8+4 D．6+4
12．已知关于x的不等式组无解，关于y的分式方程﹣＝有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（　　）
A．6 B．9 C．10 D．13
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
13．分式有意义时，x的取值范围为　 　．
14．如图，菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，BE⊥AB，则BE＝　 　．

15．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围是　 　．
16．如图，延长矩形ABCD的边AD至点E，使DE＝AC，连接BE交AC于F，若∠BFC＝117°，则∠E＝　 　°．

17．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∠BAC＝45°，AB＝2，E为AC上一点，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落DC上的点F处，连接BF，则BF的长是　 　．

18．重庆云阳巴阳镇精准化发展枇杷产业切实带动低收入农户增收，成为一大“亮点”﹣﹣“万亩枇杷，醉美巴阳”成为了重庆云阳的一大名片．今年5月又是一个丰收季，全镇枇杷种植面积达1万余亩，种植了“普通”“白肉”、“大五星”三个品种的枇杷，其中6000亩用于村民集体采摘，其余部分用于游客自助采摘．这6000亩中种植“白肉”枇杷的面积是“普通”枇杷面积的2倍，“大五星”枇杷面积不超过“白肉”枇杷面积的1.2倍，种植“白肉”的面积不超过2300亩，现在正值采摘季节，若干村民进行采摘，每人每天可以采摘“普通”枇杷1.8亩，或“白肉”枇杷1.2亩，或“大五星”枇杷2亩，这6000亩枇杷预计20天采摘完，则需要村民 　 　人参与采摘．
三．解答题（共78分）
19（1）用公式法解一元二次方程：2x2﹣x＝2x+1；
（2）解分式方程：﹣＝．
20（1）因式分解：m3n﹣6m2n+9mn；
（2）化简：÷（﹣x+2）．
21如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，连接AC、BD．
（1）用基本尺规作图：作∠ACB的角平分线CM，交DA的延长线于点E，交BD于F（保留画图的痕迹，不写作法）；
（2）若F是BD的中点，AD＝4，AC＝3，求BC的长．

22在一次函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程，今天我们一起来探究一个高次函数y＝ax3+bx（a、b为常数，且a≠0）．
①列表；
x
…
﹣2
﹣
﹣1
﹣
0



2
…
y
…
﹣2

2

0
﹣
﹣2
﹣
2
…
②描点；
③连线．
根据以上过程，按要求完成下列问题．
（1）根据表格提供的数据求该函数的解析式；
（2）根据表格完成描点连线，将该函数图象补充完整，并根据图象写出该函数的一条性质：　　；
（3）根据函数图象直接写出不等式ax3+bx≥x的解集．

23. 3月12日是植树节，重庆市第一实验中学开展了“我与自然﹣﹣一实农场”的活动：初一、初二年级以班级为单位，各开辟了一块菜园种植蔬菜，初二某班学生经商量计划买番茄苗和茄子苗共100株，经了解茄子苗的单价是番茄苗单价的，若花80元购进番茄苗，则购买茄子苗需要90元．
（1）求番茄苗和茄子苗的单价；
（2）班长在购买菜苗时了解到，在当前种植条件下，番茄的成活率为75%，一株番茄苗大约能结8个番茄，茄子的存活率为90%，一株茄子苗大约能结5个茄子，班长决定再多购买番茄和茄子苗共20株，但是不能超过预算210元，且番茄苗的总数量不低于茄子苗总数量的，班长最终应该如何购买，才能使所结的果实数量最多．
24对于一个三位正整数（各位数字均不为0），若满足十位数字是个位数字与百位数字之和，则称该三位正整数为“夹心数”．将“夹心数”m的百位、个位数字交换位置，得到另一个“夹心数”m′，记F（m）＝，T（m）＝．
例如：m＝792，m′＝297．
F（m）＝＝5，T（m）＝＝9．
（1）计算F（693）＝　　；T（561）＝　　．
（2）对“夹心数”m，令s＝9T2（m）﹣4F2（m），当s＝36时，求m的值；
（3）若“夹心数”m满足2F（m）与2T（m）均为完全平方数，求m的值．
25直线l1：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，C是l1上一点，且横坐标为3，将l1绕C点顺时针旋转90°到l2，l2与x轴、y轴分别交D、E两点．
（1）求直线l2的解析式；
（2）如图1，在线段AC上，有一动点P，过P点作PQ∥y轴，交l2于点Q，连接AQ，当△APQ面积与△ADQ面积之比为1：3时，求P点的坐标；
（3）如图2，连接AE，将线段AE沿直线AB方向平移，记AE平移后的线段为A1E1，直线A1E1在平移过程中与x轴交于点M，坐标平面内是否存在一点N，使得以O、A1、N、M为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

26已知，在▱ABCD中，E为AB上一点，且DE＝2AD，作∠ADE的平分线交AB于点F．
（1）如图1，当E与B重合时，连接FC交BD于点G，若FC⊥CD，AF＝3，求线段CF的长．
（2）如图2，当CE⊥AB时，过点F作FH⊥BC于点H，交EC于点M．若G为FD中点，CE＝2AF，求证：CD﹣3AG＝EM．
（3）如图3，在（1）的条件下，M为线段FC上一点，且CM＝，P为线段CD上的一个动点，将线段MP绕着点M逆时针旋转30°得到线段MP′，连接FP′，直接写出FP′的最小值．



参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判定即可得出答案．
【解答】解：A．∵是轴对称图形，不是中心对称图形∴A选项不符合题意；
B．∵即是轴对称图形，又是中心对称图形，∴B选项符合题意；
C．∵既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，∴C选项不符合题意；
D．∵是轴对称图形，不是中心对称图形，∴D选项不符合题意．
故选：B．
2．根据下表中的对应值：
x
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
x2+3x﹣2
﹣1.01
﹣0.64
﹣0.25
0.16
0.59
判断方程x2+3x﹣2＝0的一个解的范围是（　　）
A．0.3＜x＜0.4 B．0.4＜x＜0.5 C．0.5＜x＜0.6 D．0.6＜x＜0.7
【分析】根据x2+3x﹣2的符号可以判断方程x2+3x﹣2＝0的近似解．
【解答】解：当x＝0.5时，x2+3x﹣2＝﹣0.25＜0，
当x＝0.6时，x2+3x﹣2＝0.16＞0，
∴x2+3x﹣2＝0的一个解的范围是0.5＜x＜0.6，
故选：C．
3．下列式子从左到右是因式分解的是（　　）
A．x2+2x＝x2（1+） B．x2+4x+1＝（x+1）2
C．a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b） D．m2+mn+2＝m（m+n）+2
【分析】根据因式分解的定义：把多项式分解成几个整式相乘的形式．即可作出判断．
【解答】解：A．等式右边不是几个整式相乘的形式，不是因式分解，故此选项不合题意；
B．x2+4x+1≠（x+1）2，故此选项不合题意；
C．a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b），是因式分解，故此选项符合题意；
D．m2+mn+2＝m（m+n）+2，等式右边不是几个整式相乘的形式，不是因式分解，故此选项不合题意．
故选：C．
4．顺次连接平行四边形四边中点所组成的图形是（　　）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【分析】根据题意和三角形中位线定理证明EF∥HG，EF＝HG，根据平行四边形的判定定理证明结论．
【解答】解：∵E、F分别为AB、BC的中点，
∴EF∥AC，EF＝AC，
∵G、H分别为CD、DA的中点，
∴HG∥AC，HG＝AC，
∴EF∥HG，EF＝HG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
故选：A．

5．某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】利用多边形内角和公式和外角和定理，列出方程即可解决问题．
【解答】解：根据题意，得：（n﹣2）×180＝360×3，解得n＝8．
故选：D．
6．下列命题是真命题的是（　　）
A．对角线相等的平行四边形为菱形
B．对角线垂直的四边形为菱形
C．对角线相等且垂直的四边形为正方形
D．对角线相等的菱形为正方形
【分析】根据菱形、正方形的判定判断即可．
【解答】解：A、对角线垂直的平行四边形为菱形，原命题是假命题；
B、对角线垂直的平行四边形为菱形，原命题是假命题；
C、对角线平分、相等且垂直的四边形为正方形，原命题是假命题；
D、对角线相等的菱形为正方形，是真命题；
故选：D．
7．数学老师在课堂上给同学们布置了10个填空题作为课堂练习，并将全班同学的答题情况绘制成条形统计图．由图可知，全班同学答对题数的中位数为（　　）

A．7 B．8 C．8.5 D．9
【分析】从条形统计图中读出数据，然后根据中位数的定义求解．
【解答】解：∵这组数据共有5+15+18+7＝45（个），故中位数是按从小到大排列后第23个数为中位数．而这组数据的第23个数据为9．
∴这组数据的中位数是9．
故选：D．
8．程大位《直指算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，依题意列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由大小和尚共100人，可得出方程x+y＝100，由“大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，且正好分完100个馒头”，可得出方程3x+y＝100，联立两方程即可得出结论．
【解答】解：依题意得：．
故选：D．
9．如图，第①个图形中有1个正方形，按照如图所示的方式连接对边中点得到第②个图形，图中共有5个正方形；连接第②个图形中右下角正方形的对边中点得到第③个图形，图中共有9个正方形；按照同样的规律得到第④个图形、第⑤个图形…，则第⑦个图形中共有（　　）个正方形．

A．21 B．25 C．29 D．32
【分析】由第1个图形可得5个正方形，第2个图形可得9个正方形，第3个图形可得13个正方形，可得规律：第n个图形可得（4n+1）个正方形；
【解答】解：第①个图有正方形的个数为1，
第②个图有正方形的个数为1+4＝1+4×1＝5，
第③个图有正方形的个数为1+4+4＝1+4×2＝9，
第④个图有正方形的个数为1+4+4+4＝1+4×3＝13，
.....．
则第n个图有正方形的个数为：1+4×（n﹣1）＝1+4n﹣4＝4n﹣3，
∴第⑦个图有正方形的个数为：4×7﹣3＝25．
故选：B．
10．2021年4月18日，重庆市第一中学校举行建校90周年庆祝大会，新老校友齐聚一堂，共话母校数十载发展变化，表达对母校的感激之情．小乔与小王是重庆一中的同班校友，相约前往一中参加活动．他们同时从家里出发前往一中正门（一中正门恰好在小乔家与小王家之间，且三个地点在同一直线上，小王先到达一中正门后原地等待小乔，两人会和时小乔发现手机遗忘在家里，于是立即以原来的速度返回家，取完手机（寻找手机的时间忽略不计）小乔立即调头以和同速度前往一中正门，直至与小王会和．小乔和小王之间的距离y（米）与小乔从家出发的时间x（分钟）之间的函数关系图可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据小乔和小王之间的距离随出发时间的变化而变化的情况进行判断即可．
【解答】解：小王先到达一中正门后原地等待小乔，小乔和小王之间的距离在减小，
两人会和时小乔发现手机遗忘在家里，于是立即以原来的速度返回家，两人之间的距离在增加，
取完手机，小乔立即调头以和同速度前往一中正门，直至与小王会和，两人的距离在减小，
故选：C．
11．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE平分∠BAC，BE＝CF，P为线段AC上的动点，记PD+PF的最小值为m，若正方形边长为，则m2的值为（　　）

A．6﹣4 B．8﹣4 C．8+4 D．6+4
【分析】过E作EH⊥AC交于点H，由B点与D点关于AC对称，确定PD+PF的最小值即为BF，由AE平分∠BAC，可得BE＝EH，AB＝AH，在Rt△EHC中，∠HCE＝45°，则HC＝EH，求出AC＝2，设BE＝x，则EH＝x，HC＝2﹣，则可求x＝2﹣，进而求出CF＝2﹣，在Rt△BCF中，BF2＝2+＝8﹣4，即可求m2＝8﹣4．
【解答】解：过E作EH⊥AC交于点H，
∵正方形ABCD，
∴B点与D点关于AC对称，
∴PD+PF的最小值即为BF，
∵AE平分∠BAC，
∴BE＝EH，
又∵∠ABE＝∠AHE＝90°，
∴Rt△ABE≌Rt△AHE（HL），
∴AB＝AH，
在Rt△EHC中，∠HCE＝45°，
∴HC＝EH，
∵正方形边长为，
∴AC＝2，
设BE＝x，则EH＝x，HC＝2﹣，
∴x＝2﹣，
∵BE＝CF，
∴CF＝2﹣，
在Rt△BCF中，BF2＝2+＝8﹣4，
∴m2＝8﹣4，
故选：B．

12．已知关于x的不等式组无解，关于y的分式方程﹣＝有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（　　）
A．6 B．9 C．10 D．13
【分析】先求解二元一次不等式组无解可得a≥3，再解分式方程得y＝2﹣，且y≠0，y≠2，求得a＝3或a＝6．
【解答】解：，
由①得，x≤5，
由②得，x＞2a﹣1，
∵不等式组无解，
∴2a﹣1≥5，
∴a≥3，
﹣＝，
方程的两边同时乘y（y﹣2），
得，a（y﹣2）﹣2y＝﹣8，
整理得，（a﹣2）y＝2a﹣8，
∵方程有整数解，
∴y＝＝2﹣，
∴a﹣2＝±1，a﹣2＝±2，a﹣2＝±4，
∴a＝3或a＝1或a＝4或a＝0或a＝6或a＝﹣2，
∵a≥3，
∴a＝3或a＝4或a＝6，
∵y≠0，y≠2，
∴a≠4，
∴所有a的和为9，
故选：B．
二．填空题（共6小题）
13．分式有意义时，x的取值范围为　x≠﹣4　．
【分析】直接利用分式有意义的条件是分母不等于零，即可得出答案．
【解答】解：分式有意义，则x+4≠0，
解得：x≠﹣4．
故答案为：x≠﹣4．
14．如图，菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，BE⊥AB，则BE＝　4.8　．

【分析】根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”可以求得该菱形的面积．菱形的面积还等于底乘以高，先根据勾股定理求出AD，即可求得BE的长度．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，

∴AC⊥OD，OA＝AC＝4，OD＝BD＝3，
由勾股定理得到：，
∵AC•BD＝AD•BE，
∴BE＝4.8．
故答案为：4.8．
15．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围是　k≥﹣1且k≠0　．
【分析】先根据一元二次方程的定义及根的判别式列出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，
∴，
解得k≥﹣1且k≠0．
故答案为：k≥﹣1且k≠0．
16．如图，延长矩形ABCD的边AD至点E，使DE＝AC，连接BE交AC于F，若∠BFC＝117°，则∠E＝　21　°．

【分析】连接BD，根据矩形的性质得出AC＝BD，进而利用三角形外角性质和内角和定理解答即可
【解答】解：连接BD，

在矩形ABCD中，AC＝BD，OA＝OB，
∵DE＝AC，
∴DE＝BD，
∴∠E＝∠DBE，
∴∠DAC＝∠BDA＝∠E+∠DBE＝2∠E，
∴∠AFE+∠DAC+∠E＝∠BFC+2∠E+∠E＝180°，
即117°+3∠E＝180°，
∴∠E＝21°，
故答案为：21．
17．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∠BAC＝45°，AB＝2，E为AC上一点，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落DC上的点F处，连接BF，则BF的长是　2　．

【分析】如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝120°，∠BCA＝75°，DF＝4，E为AC上一点，将△ADE沿着DE翻折，点A恰好落在CD上的F点处，连接BF，则BF长度为
【解答】解：如图，连接AF，作CM⊥AB于点M，
∴∠AMC＝∠BMC＝90°，
∵∠ADC＝∠ABC＝60°，∠BAC＝45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，
∵∠ADC＝∠ABC＝60°，∠BAC＝45°，
∴AM＝CM，∴∠DAB＝120°，∠BCA＝75°，
∴∠CAD＝∠BCA＝75°，
∵△ADE沿着DE翻折，点A恰好落在CD上的F点处，
∴AD＝FD，AE＝EF，
∴△ADF是等边三角形，
∴∠EAF＝∠CAD﹣∠DAF＝75°﹣60°＝15°，
∴∠EAF＝∠EFA＝15°，
∵AD＝FD＝4，AD＝BC，
∴BC＝4，∠BCM＝30°，
∴BM＝2，
∴CM＝2，
∵∠CAB＝45°，
∴AM＝CM＝2，
∴AC＝AM＝2，
∵∠AFD＝60°，
∴∠AFC＝120°，
∵∠BCD＝120°，
∴∠AFC＝∠BCF＝120°，
∵BC＝AD，AD＝AF，
∴AF＝BC，
在△AFC和△BCF中，
，
∴△AFC≌△BCF（SAS），
∴AC＝BF＝2．
故答案为：2．

18．重庆云阳巴阳镇精准化发展枇杷产业切实带动低收入农户增收，成为一大“亮点”﹣﹣“万亩枇杷，醉美巴阳”成为了重庆云阳的一大名片．今年5月又是一个丰收季，全镇枇杷种植面积达1万余亩，种植了“普通”“白肉”、“大五星”三个品种的枇杷，其中6000亩用于村民集体采摘，其余部分用于游客自助采摘．这6000亩中种植“白肉”枇杷的面积是“普通”枇杷面积的2倍，“大五星”枇杷面积不超过“白肉”枇杷面积的1.2倍，种植“白肉”的面积不超过2300亩，现在正值采摘季节，若干村民进行采摘，每人每天可以采摘“普通”枇杷1.8亩，或“白肉”枇杷1.2亩，或“大五星”枇杷2亩，这6000亩枇杷预计20天采摘完，则需要村民 　191　人参与采摘．
【分析】设种植普通枇杷的面积为x母，需要y人采摘，则种植“白肉”枇杷的面积为2x亩，“大五星”枇杷面积为（6000﹣3x）亩，利用题中的数量关系得到关于x的不等式组，求得x的取值范围；利用6000亩枇杷预计20天采摘完，得出方程，最后取整数解即可．
【解答】解：设种植普通枇杷的面积为x母，需要y人采摘，
则种植“白肉”枇杷的面积为2x亩，“大五星”枇杷面积为（6000﹣3x）亩，
由题意得：
，
解得：≤x≤1150．
∵这6000亩枇杷预计20天采摘完，
∴．
整理得：y＝x+150．
∵y为正整数，
∴x为正整数．
∵≤x≤1150，
∴≤≤．
∴x＝41．
∴y＝41+150＝191．
故答案为：191．
三．解答题
19（1）用公式法解一元二次方程：2x2﹣x＝2x+1；
（2）解分式方程：﹣＝．
【考点】解一元二次方程﹣公式法；解分式方程．
【专题】分式方程及应用；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝，x2＝．
（2）无解．
【分析】（1）移项，化成一般式，再利用公式法求解即可．
（2）方程两边都乘以最简公分母（x+1）（x﹣1），把分式方程化为整式方程，然后求解即可，最后进行检验．
【解答】解：（1）2x2﹣x＝2x+1，
2x2﹣3x﹣1＝0，
∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝9﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
（2）方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）得，
2（x+1）﹣3（x﹣1）＝x+3，
2x+2﹣3x+3＝x+3，
﹣2x＝﹣2，
解得x＝1，
检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
∴x＝1是原方程的增根，
故原分式方程的无解．
20（1）因式分解：m3n﹣6m2n+9mn；
（2）化简：÷（﹣x+2）．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用；分式的混合运算．
【专题】整式；分式；运算能力．
【答案】（1）mn（m﹣3）2．
（2）．
【分析】（1）根据提取公因式法以及完全平方公式即可求出答案．
（2）根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝mn（m2﹣6mn+9）
＝mn（m﹣3）2．
（2）原式＝÷
＝÷
＝•
＝．
21如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，连接AC、BD．
（1）用基本尺规作图：作∠ACB的角平分线CM，交DA的延长线于点E，交BD于F（保留画图的痕迹，不写作法）；
（2）若F是BD的中点，AD＝4，AC＝3，求BC的长．

【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；作图—基本作图．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）7．
【分析】（1）利用基本作图，作出∠ACB的平分线即可；
（2）先证明∠ACE＝∠AEC得到AE＝AC＝3，再证明△BCF≌△DEF，所以BC＝DE．
【解答】解：（1）如图，CM为所作；

（2）∵CM平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACE，
∵AD∥BC，
∴∠AEC＝∠BCE，
∴∠ACE＝∠AEC，
∴AE＝AC＝3，
∵F是BD的中点，
∴BF＝AF，
在△BCF和△DEF中，
，
∴△BCF≌△DEF（AAS），
∴BC＝DE＝4+3＝7．
22在一次函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程，今天我们一起来探究一个高次函数y＝ax3+bx（a、b为常数，且a≠0）．
①列表；
x
…
﹣2
﹣
﹣1
﹣
0



2
…
y
…
﹣2

2

0
﹣
﹣2
﹣
2
…
②描点；
③连线．
根据以上过程，按要求完成下列问题．
（1）根据表格提供的数据求该函数的解析式；
（2）根据表格完成描点连线，将该函数图象补充完整，并根据图象写出该函数的一条性质：　　；
（3）根据函数图象直接写出不等式ax3+bx≥x的解集．

【考点】一次函数的图象；一次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次不等式．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】（1）y＝x3﹣3x；
（2）函数的图象关于原点对称．
（3）﹣2≤x≤0或x≥2．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；
（2）描点，连线作出函数图象，然后分析函数增减性；
（3）结合函数图象，利用两个函数图象的交点确定不等式的解集．
【解答】解：（1）将（﹣2，﹣2），（﹣1，2）代入y＝ax3+bx中，
得：，
解得：，
∴函数的解析式为y＝x3﹣3x；
（2）描点，连线，作出函数图象如图：

该函数的性质：函数的图象关于原点对称，
故答案为函数的图象关于原点对称．
（3）由函数图象可知，不等式ax3+bx≥x的解集为﹣2≤x≤0或x≥2．
23. 3月12日是植树节，重庆市第一实验中学开展了“我与自然﹣﹣一实农场”的活动：初一、初二年级以班级为单位，各开辟了一块菜园种植蔬菜，初二某班学生经商量计划买番茄苗和茄子苗共100株，经了解茄子苗的单价是番茄苗单价的，若花80元购进番茄苗，则购买茄子苗需要90元．
（1）求番茄苗和茄子苗的单价；
（2）班长在购买菜苗时了解到，在当前种植条件下，番茄的成活率为75%，一株番茄苗大约能结8个番茄，茄子的存活率为90%，一株茄子苗大约能结5个茄子，班长决定再多购买番茄和茄子苗共20株，但是不能超过预算210元，且番茄苗的总数量不低于茄子苗总数量的，班长最终应该如何购买，才能使所结的果实数量最多．
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的应用．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式(组)及应用；一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）番茄苗的单价为2元，茄子苗的单价为元；
（2）当购买番茄苗60株，茄子苗60株时，所结的果实数量最多．
【分析】（1）设番茄苗的单价为x元，茄子苗的单价为x元，利用数量＝总价÷单价，结合计划买番茄苗和茄子苗共100株，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用数量＝总价÷单价，可分别求出原计划购进番茄苗和茄子苗的数量，设再多购买番茄苗m株，则购进番茄苗的总数量为（40+m）株，购进茄子苗的总数量为（80﹣m）株，根据“购买总费用不超过210元，且番茄苗的总数量不低于茄子苗总数量的”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，设所结的果实数量为w个，利用所结果实的总数量＝每株所结果实数量×成活率×种植数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设番茄苗的单价为x元，茄子苗的单价为x元，
依题意得：+＝100，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意，
∴x＝×2＝．
答：番茄苗的单价为2元，茄子苗的单价为元．
（2）原计划购进番茄苗80÷2＝40（株），
原计划购进茄子苗90÷＝60（株）．
设再多购买番茄苗m株，则购进番茄苗的总数量为（40+m）株，购进茄子苗的总数量为60+（20﹣m）＝（80﹣m）株，
依题意得：，
解得：≤m≤20．
设所结的果实数量为w个，则w＝8×75%（40+m）+5×90%（80﹣m）＝m+600．
∵＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝20时，w取得最大值，此时40+m＝40+20＝60，80﹣m＝80﹣20＝60．
答：当购买番茄苗60株，茄子苗60株时，所结的果实数量最多．
24对于一个三位正整数（各位数字均不为0），若满足十位数字是个位数字与百位数字之和，则称该三位正整数为“夹心数”．将“夹心数”m的百位、个位数字交换位置，得到另一个“夹心数”m′，记F（m）＝，T（m）＝．
例如：m＝792，m′＝297．
F（m）＝＝5，T（m）＝＝9．
（1）计算F（693）＝　　；T（561）＝　　．
（2）对“夹心数”m，令s＝9T2（m）﹣4F2（m），当s＝36时，求m的值；
（3）若“夹心数”m满足2F（m）与2T（m）均为完全平方数，求m的值．
【考点】完全平方数．
【专题】整式；数据分析观念．
【答案】（1）3，6；（2）121；（3）583．
【分析】（1）由题意将m值代入即可求解；
（2）设三位数m的百位为a，个位数为b，根据题意可知a、b为小于十的正整数，则十位数为a+b，三位数m可表示为100a+10（a+b）+b＝110a+11b，则m'＝110b+11a，进而求解；
（3）因为2F（m），2T（m）均为完全平方数，即2（a﹣b），2（a+b）为完全平方数，可知完全平方数为偶数，可能为4、16、36、64、100等，则（a﹣b），（a+b）可能为2、8、18、50等，进而求解．
【解答】解：（1）由题意得：F（693）＝＝3；T（561）＝；
故答案为3，6；

（2）设三位数m的百位为a，个位数为b，根据题意可知a、b为小于十的正整数，
则十位数为a+b，
三位数m可表示为100a+10（a+b）+b＝110a+11b，
则m'＝110b+11a，
∴F（m）＝；T（m）＝，
s＝9（a+b）2﹣4（a﹣b）2＝5a2+26ab+5b2＝36，
∵a、b均为小于10的正整数，所以a＝b＝1，m＝121；

（3）因为2F（m），2T（m）均为完全平方数，
即2（a﹣b），2（a+b）为完全平方数，可知完全平方数为偶数，可能为4、16、36、64、100等，则（a﹣b），（a+b）可能为2、8、18、50等，
因为0＜a，b＜9，所以（a﹣b），（a+b）只可能为2，8，
可得a﹣b＝2；a+b＝8，
所以a＝5，b＝3，
可得m＝583．
25直线l1：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，C是l1上一点，且横坐标为3，将l1绕C点顺时针旋转90°到l2，l2与x轴、y轴分别交D、E两点．
（1）求直线l2的解析式；
（2）如图1，在线段AC上，有一动点P，过P点作PQ∥y轴，交l2于点Q，连接AQ，当△APQ面积与△ADQ面积之比为1：3时，求P点的坐标；
（3）如图2，连接AE，将线段AE沿直线AB方向平移，记AE平移后的线段为A1E1，直线A1E1在平移过程中与x轴交于点M，坐标平面内是否存在一点N，使得以O、A1、N、M为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】一次函数综合题．
【专题】存在型；分类讨论；函数思想；待定系数法；运算能力；推理能力．
【答案】（1）直线l2的表达式为；
（2）点P（4，）；
（3）当N的坐标为N1（，），，时，使得以点O，A1，N，M为顶点的四边形是菱形．
【分析】（1）利用含30°角的直角三角形的边角关系求得点C，D的坐标，再利用待定系数法求直线l2的表达式；
（2）设点P的坐标为P（a，），用含a的代数式表示点P和点Q的坐标，PQ的长及△APQ，△ADQ的面积，根据S△ADQ＝3S△APQ，建立方程，求得a的值，可得P的坐标；
（3）分A1M为菱形的对角线或者边进行分类，画出图形，利用勾股定理和函数的基本方法来解决问题，注意运算的准确性．
【解答】解：（1）如图1，在直线l1上，令y＝0，．
解得x＝6，
∴点A的坐标为（6，0），B（0，）．
∴∠OAB＝30°．
∵点C在直线l1上，且x＝3，
∴C（3，），
过点C作CH⊥x轴于点H，
∵直线l1⊥l2，
∴∠CDA＝60°．
在Rt△CDH中，CH＝，DH＝1，
∴OD＝2，则D（2，0）．
设直线l2的表达式为y2＝kx+b，将点C（3，），D（2，0）代入得
，
解得：．
∴直线l2的表达式为．

（2）如图2，
设点P（a，），
∴点Q（a，），
且a＞3，点Q在点P的上．
延长QP交x轴于点G，
∵PQ∥y轴，
∴QG⊥x轴．
∴AD＝4，QG＝，
AG＝6﹣a，
∴
＝．

＝
＝．

＝
＝．
∵S△ADQ＝3S△APQ，

∴．
化简得：a2﹣8a+16＝0，
解得a＝4．
∴点P（4，）．

（3）坐标平面内存在点N，使得以点O，A1，N，M为顶点的四边形是菱形．
据待定系数法得AE的表达式为．
∵AE∥A1M，设直线A1M的表达式为．
可得直线A1M与直线l1的交点A（，），M（，0），
情况一：
如图3，当OM＝OA′时，A1M为菱形的对角线，NO垂直平分A1M，
此时设点N（m，n），
可得，
即 ①
∵，
，
化简得：
，
解方程得：（不合题意，舍去）．
代入①得．

如图4，当OA1为对角线时，同情况一的求解方式可得

即②
∵OM＝ON，
∴．
，
，
，．
代入②得，
，
．

∴当N的坐标为N1（，），，时，使得以点O，A1，N，M为顶点的四边形是菱形．
26已知，在▱ABCD中，E为AB上一点，且DE＝2AD，作∠ADE的平分线交AB于点F．
（1）如图1，当E与B重合时，连接FC交BD于点G，若FC⊥CD，AF＝3，求线段CF的长．
（2）如图2，当CE⊥AB时，过点F作FH⊥BC于点H，交EC于点M．若G为FD中点，CE＝2AF，求证：CD﹣3AG＝EM．
（3）如图3，在（1）的条件下，M为线段FC上一点，且CM＝，P为线段CD上的一个动点，将线段MP绕着点M逆时针旋转30°得到线段MP′，连接FP′，直接写出FP′的最小值．

【考点】四边形综合题．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】（1）3；（2）见解析；（3）3+3．
【分析】设AC与FD交于S，由DE＝2AD，四边形ABCD为平行四边形，可得AD＝OD，由FD平分∠AOB，可得DF⊥AO，且AS＝OS＝，可证△AFC∽△ASF，，解得AC＝6，根据勾股定理得＝＝3；
（2）取DE中点R，连接GR，AR交DF于N，过E作ET∥DF交AD延长线于T，由FD平分∠ADE可得＝，可求EF＝2AF，由三角形中位线可得GR∥AE，DR＝＝AD，可证△AFN≌△RNG（AAS），可得EM＝EB，CD＝AB＝AE+EB＝3AG+EM即可．
（3）过M作MF顺时针旋转30°得到MF'，则MF＝MF'，延长PF交AB于v，先证△FMP'≌△F'MP（SAS）可得FP'＝F'P，当F'P⊥CD时，F'P最短，，，可求∠VFF'＝90°﹣75°＝15°，构造直角三角形由，可列方程2x+x＝，解得：x＝2，＝3+．
【解答】解：（1）设AC与FD交于S，
∵DE＝2AD，四边形ABCD为平行四边形，
∴DE＝BD＝2OD，AO＝CO，
∴AD＝OD，
∴FD平分∠AOB，
∴∠ADF＝∠ODF，
∴DF⊥AO，且AS＝OS＝，
∴∠ASF＝90°，
∵FC⊥CD，AB∥CD，
∴FC⊥AB，
∴∠AFC＝∠ASF＝90°，∠FAC＝∠SAF，
∴△AFC∽△ASF，
∴，即，
解得：AC＝6，
∴＝＝3，
（2）取DE中点R，连接GR，AR交DF于N，过E作ET∥DF交AD延长线于T，

∵FD平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠EDF，∠T＝∠ADF，∠DFT＝∠EDF，
∴∠T＝∠DET，
∴DE＝DT＝2AD，
∴＝，
∴EF＝2AF，
∵G为FD的中点，R为ED的中点，
∴GR∥AE，DR＝＝AD，
∵∠ADF＝∠EDF，
∴DN⊥AR，且AN＝RN，AG＝RG，
∵GR∥AF，
∴∠AFN＝∠RGN，
在△ANF和△RNG中，
，
∴△AFN≌△RNG（AAS），
∴AF＝RG＝AG，
∴AE＝3AG，EF＝2AG，
又∵CE⊥AB，FH⊥BC，
∴∠FEM＝∠CEB＝∠FHB＝90°，
∴∠EFM＝∠ECB，
∵EC＝2AG＝EF，
在△FEM与△CEB中，
，
∴△FEM≌△CEB（ASA），
∴EM＝EB，
∴CD＝AB＝AE+EB＝3AG+EM，
∴CD﹣3AG＝EM，
（3）过M作MF顺时针旋转30°得到MF'，则MF＝MF'，延长PF交AB于V，

∵∠FMF'+∠FMP'＝∠PMP'+∠FMP'，
∴∠FMP'＝∠F'MP，
在△FMP'和F'MP中，
，
∴△FMP'≌△F'MP，（SAS）
∴FP'＝F'P，
当F'P⊥CD时，F'P最短，
∵CF＝，CM＝，
∴，
∴，
∵∠FMF'＝30°，F'M＝FM，
∴∠F'FM＝，
∴∠VFF'＝90°﹣75°＝15°，
在FV上取点U使FU＝UF'，
∴∠UFF'＝∠FF'U＝15°，
∴∠VUF'＝∠UFF'+FF'U＝30°，
设VF'＝x，
∴＝，
∵，
∴2x+x＝，
解得：x＝2，
∴＝3+