2021-2022学年广东省深圳市龙华区七年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年广东省深圳市龙华区七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 北京年冬奥会的举办，再次点亮了北京这座千年古都．在下列北京建筑的简笔画图案中，是轴对称图形的是(    )

A. 国家体育场
B. 国家游泳中心
C. 天安门
D. 国家大剧院

2. 空气的密度是，这个数用小数表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列运算中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 如图所示，下列条件中能说明的是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 如图，这是一个平分角的仪器，，，将点放在一个角的顶点，使、分别与这个角的两边重合，可证≌，从而得到就是这个角的平分线．其中证明≌的数学依据是(    )

A.
B.
C.
D.

6. 下列说法中，正确的是(    )

A. 成语“心想事成”描述的事件为必然事件
B. 某彩票的中奖概率是，那么如果买张彩票一定会有张中奖
C. 小明做次掷图钉的试验，发现有次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
D. 小乐做了次掷均匀硬币的试验，结果有次正面朝上，次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是

7. 如图，已知，现将一直角放入图中，其中，交于点，交于点若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 下列说法中，正确的是(    )

A. 同位角相等
B. 三角形的三条高线交于一点
C. 两边及一角分别相等的两个三角形全等
D. 线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等

9. 聪聪周末从家出发，步行去公园游玩的行程如图所示，记他所行走的路程为米，离开家的时间为分钟．下列图象中，能近似刻画与之间关系的是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 如图，在中，，、分别为边、上的点，与相交于点，，则下列结论：≌；；连接，则所在的直线为的对称轴：若，则四边形的面积与的面积相等．其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共28分）

11. 计算：______．
12. 有张完全一样的卡片除数字外，分别写有，，，，这五个数字，将他们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，抽到写有的数字是偶数的概率为______．
13. 已知等腰三角形两边长分别为、则它的周长是______．
14. 如图所示的计算程序中，与之间的函数关系式是______．
15. 已知，，则______．
16. 如图，在中，，，和分别是它的高和角平分线，则的度数为______

17. 如图，在等边中，为边上一点，为边延长线上的点，连接交边于点，，若，的面积为，则的面积为______．

三、解答题（本大题共8小题，共62分）

18. 计算：．
19. 先化简、再求值：，其中．
20. 如图，点是线段的垂直平分线上的点，，连接、，当点的位置发生变化时，的面积也会随着高的长度的变化而变化．
    在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量．
    记的面积为，的长是，则与之间的关系式是______．
    当高的长度由变化到时，的面积由______变化到______．
    当为等腰直角三角形时，的面积为______．

21. 如图是可以自由转动的三个转盘，请根据下列情形回答问题：
    
    转动转盘，当转盘停止转动时，指针落在红色区域的概率是______．
    转动转盘，当转盘停止转动时，指针落在红色区域的概率是______．
    请设计转盘：转盘已被分成了个相同的扇形，转动转盘，当转盘停止转动时，指针落在白色区域的概率为，落在红色区域的概率为，落在黄色区域的概率为注：无需涂色，在扇形中填写“红”、“白”、“黄”即可．
22. 如图，点、在上，，，，求证：请将下面的证明过程补充完整：
    证明：已知，
    ______
    已知，
    __________________
    即．
    在与中，
    ，(    )
    ≌______
    ____________
    ______

23. 如图，直线与、相交于点、，且．
    尺规作图：过点作的角平分线交直线于点保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明；
    若，求的度数；
    为直线上任意一点，若点到直线的距离为，则的最小值为______．

24. 在学习整式的乘除时，对于整式乘法公式的验证，我们经常采用“算两次”的思想．现在有两张大小不一的正方形卡片，边长分别为、，小明同学通过用它们进行不同的拼接，验证了两个常见的整式乘法公式，具体拼接方法如下：
    
    若拼接方法如图所示，阴影部分的面积可以表示为______，还可以表示为______，用这两次算面积的结果可以验证哪个等式？______．
    若拼接方法如图所示，阴影部分的面积可以表示为______，还可以表示为______，用这两次算面积的结果可以验证哪个等式？______．
    拓展应用：
    
    若拼接方法如图所示，且，，则与的面积之和为______．
    若拼接方法如图所示，且，，则与的面积之差为______．
25. 【问题背景】
    如图，在等边中，、分别为边、上任意一点，连接、，与相交于点，且．
    请直接写出线段与之间的数量关系：______；______．
    【推广探究】
    如图，在等边中，、分别为边、上的点，且，过点作交于点，过点作交于点，与交于点．
    ______；
    求证：．
    【深入探究】
    如图，在“推广探究”的条件下，令四边形的周长为，四边形的周长为，，，，则______请用含有、的代数式表示．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A，，不是轴对称图形，选项C是轴对称图形，
故选：．
根据轴对称图形的定义判断即可．
本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解轴对称图形的定义，属于中考常考题型．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法表示较小的数，还原为原来的数，需要把的小数点向左移动位得到原数．
本题主要考查了科学记数法的表示方法，关键是掌握将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把的小数点向左移动位所得到的数．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，去括号与添括号法则进行计算，逐一判断，即可解答．
本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，去括号与添括号，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、当时，与不属于同位角，不能判定，故A不符合题意；
B、当时，与属于同位角，能判定，故B符合题意；
C、当时，与属于同旁内角，能判定，故C不符合题意；
D、当时，不能判定，故D不符合题意；
故选：．
利用平行线的判定定理对各选项进行分析即可．
本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件并灵活运用．
 

5.【答案】 

【解析】解：在和中，
，
≌．
故选：．
利用证明≌，可得答案．
本题主要考查了全等三角形的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理，但、，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
 

6.【答案】 

【解析】解：、成语“心想事成”描述的事件为随机事件，故A不符合题意；
B、某彩票的中奖概率是，那么如果买张彩票不一定会有张中奖，故B不符合题意；
C、小明做次掷图钉的试验，发现有次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是，是错误的，故C不符合题意；
D、小乐做了次掷均匀硬币的试验，结果有次正面朝上，次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是，故D符合题意；
故选：．
根据概率的意义，模拟实验，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答．
本题考查了概率的意义，模拟实验，随机事件，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：延长交于，
是的外角，
，
，
，
故选：．
延长交于，根据三角形的外角性质求出，再根据平行线的性质解答即可．
本题考查的是平行线的性质、三角形的外角性质，掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、同位角不一定相等，故本选项说法错误，不符合题意；
B、钝角三角形的三条高线不相交，但是它们所在的直线相交于三角形外的一点，故本选项说法错误，不符合题意；
C、两边及一角分别相等的两个三角形不一定全等，故本选项说法错误，不符合题意；
D、线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，故本选项说法正确，符合题意；
故选：．
根据同位角定义判断；根据三角形的高的定义判断；根据全等三角形的判定定理判断；根据线段垂直平分线的性质判断．
本题考查了全等三角形的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理，但、，无法证明三角形全等，也考查了同位角，三角形的高，线段垂直平分线的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：开始出发时，他所行走的路程从米开始增加，故选项B、不合题意；
步行到达公园游玩的过程中，他所行走的路程不变，在公园回家过程中，路程随时间的增加而增大，故选项A不合题意，选项C符合题意．
故选：．
根据所走的路程随时间的增加而变化情况可得答案．
本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：在和中，
，
≌，故正确；
，
，
，
，
，故正确；
点在的垂直平分线上，
，
点在的垂直平分线上，
直线是的垂直平分线，
即所在的直线为的对称轴，故正确；
若，则，
在和中，
，
≌，
，
，故正确．
故选：．
可利用证明；由全等三角形的性质及等腰三角形的性质可得，进而可证明；利用线段垂直平分的判定可得是的垂直平分线，进而可判定；利用三角形的中线的性质可得，再证明≌可得，进而可证明．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，三角形的面积，等腰三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
原式利用平方差公式计算即可得到结果．
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：所有数字之和为，
所有数字之和为，
所有数字之和为，
所有数字之和为，
所有数字之和为，
张卡片写有数字为偶数的有个，
所以写有的数字是偶数．
先计算张卡片上数字之和，再根据概率公式进行计算即可得出答案．
本题主要考查了概率公式，熟练掌握概率公式的计算方法进行求解是解决本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：等腰三角形的两条边长分别为、，
由三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长不可能为，只能为，
等腰三角形的周长．
故答案为：．
先根据已知条件和三角形三边关系定理可知，等腰三角形的腰长不可能为，只能为，再根据周长公式即可求得等腰三角形的周长．
此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形三边关系等知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题．要求学生熟练掌握．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据图示可知，与之间的函数关系为：，
故答案为：．
根据计算程序的图示列出函数解析式即可．
本题考查了列函数解析式，正确理解图示是解答此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，


，
故答案为：．
分别根据幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则解答即可．
本题主要考查了幂的乘方以及同底数幂的乘除法，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：在中，，，
．
平分，
．
在中，，，
．
．
故答案为：．
在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，结合平分可求出的度数，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，再利用即可求出的度数．
本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，利用三角形内角和定理以及角平分线的定义，求出及的度数是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：过点作，交于点，

，，
，，
≌，
，，
为等边三角形，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
的面积为，
的面积为．
故答案为：．
过点作，交于点，利用全等三角形的判定与性质可得，，然后由等边三角形的判定与性质及三角形的面积公式可得答案．
此题考查的是等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．
 

18.【答案】解：原式

． 

【解析】直接根据有关幂的运算法则进行计算，从而得出答案．
本题考查了零指数幂，负整数指数幂，同底数幂的除法等，熟记“一个非零数的零次幂等于，一个非零数的负整数指数幂等于它正整数指数幂的倒数”是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式


，
当，时，
原式

． 

【解析】原式中括号里利用完全平方公式，多项式乘多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
 

20.【答案】高  的面积         

【解析】解：由题意得：在这个变化过程中，高是自变量，的面积是因变量．
故答案为：高；的面积；
由题意得：，
故答案为：；
当时，，
当时，，
故答案为：，；
当为等腰直角三角形时，则，
，
的面积为：
故答案为：．
根据变量的定义进行分析即可；
利用三角形的面积公式进行求解即可；
把相应的值代入中的关系式进行运算即可；
当为等腰直角三角形时，则有，由勾股定理可求得的值，从而可求的面积．
本题主要考查勾股定理，线段的垂直平分线的性质，解答的关键是对相应的知识的掌握与灵活运用．
 

21.【答案】  

【解析】解：红色区域的圆心角度数，
当转盘停止转动时，指针落在红色区域的概率是，
故答案为：；
红色区域的圆心角度数为，
当转盘停止转动时，指针落在红色区域的概率是，
故答案为：；
当转盘停止转动时，指针落在白色区域的概率为，落在红色区域的概率为，落在黄色区域的概率为时，
转盘各个区域颜色如图所示：
．
红色区域的圆心角度数，根据概率公式计算即可；
红色区域的圆心角度数为，根据概率公式计算即可；
根据各个颜色的概率，确定各个颜色的扇形个数即可．
本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率为且．
 

22.【答案】两直线平行，同位角相等      等式的性质      全等三角形的对应角相等  同位角相等，两直线平行 

【解析】证明：已知，
两直线平行，同位角相等，
已知，
等式的性质，
即，
在与中，
，
≌，
全等三角形的对应角相等，
同位角相等，两直线平行，
故答案为：两直线平行，同位角相等；；；等式的性质；；；；全等三角形的对应角相等；同位角相等，两直线平行．
根据平行线的性质得到，利用证明≌，根据全等三角形的性质得到，即可判定．
此题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明≌是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：如图．

，
，，
平分，
，
．
过点作于点，于点．

根据“垂线段最短”可知，当，两点重合时，有最小值，
点到直线的距离为，
，
由角平分线的性质可知，，
，
的最小值为．
故答案为：．
根据角平分线的作图步骤作图即可．
结合角平分线和平行线的性质求解即可．
过点作于点，于点根据“垂线段最短”可知，当，两点重合时，有最小值，由角平分线的性质可知，，进而可得出答案．
本题考查尺规作图、平行线的性质、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质和平行线的性质是解答本题的关键．
 

24.【答案】               

【解析】解：阴影部分面积为：，
还可以表示为：，
则有：；
故答案为：；；；
阴影部分面积为：，
还可以表示为：，
则有：；
故答案为：；；；
阴影部分面积为：




，
，，
原式

；
即与的面积之和为．
故答案为：；
，
，
与的面积之差为：，
，，
原式
．
故答案为：．
分别用不同的方法表示出阴影部分的面积，从而可求解；
分别用不同的方法表示出阴影部分的面积，从而可求解；
所求的面积可看成是两个正方形的面积之和减去两个三角形的面积之和；
分别表示出的面积，的面积，再相减即可．
本题主要考查完全平方公式的几何背景，平方差公式的几何背景，解答的关键结合图形分析清楚所求的面积可看作是规则图形的和还是差．
 

25.【答案】       

【解析】【问题背景】解：如图中，
是等边三角形，
，，
在和中，
，
≌．
，
．
故答案为：；；
【推广探究】解：，，
，，
在中，，
在中，，
，
，
，
故答案为：．
证明：，，
且，
，
，
，
在和中：
，
≌，
．
【深入探究】
解：，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【问题背景】根据证明≌，利用全等三角形的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题．
【推广探究】如图，三角形内角和定理可知，，，因为，所以；
结合图可知，，由平行的性质可知，，则，由及可知，易证≌，由此可得结论．
【深入探究】由，，可得，由，可得，所以．
本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．