2021-2022学年广东省深圳市龙华区万安学校八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年广东省深圳市龙华区万安学校八年级（下）期末数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 若，则下列不等式正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 一个关于的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列因式分解正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 若分式的值为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下列说法中错误的是(    )

A. 四边相等的四边形是菱形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形
C. 菱形的对角线互相垂直且相等 D. 正方形的邻边相等

7. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点逆时针旋转到的位置，使得，则为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做个，甲做个所用的时间与乙做个所用的时间相等，设甲每小时做个零件，下列方程正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，，，在中，，，，相交于点，有下列四个结论：；平分；；其中，正确的结论有(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，等腰中，，，点是底边的中点，以、为圆心，大于的长度为半径分别画圆弧相交于两点、，若直线上有一个动点，则线段的最小值为(    )

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共7小题，共28分）

11. 因式分解：______．
12. 若关于的不等式可化为，则的取值范围是______．
13. 如图，在等腰三角形中，，垂直平分，已知，则______

14. 若关于的分式方程有增根，则的值为______．
15. 如图，已知函数与函数的图象交于点，根据图象可知不等式的解集是______ ．

16. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，分别是线段，的中点．若厘米，的周长是厘米，则______厘米．
17. 如图是的角平分线，于，点，分别是，上的点，且，与的面积分别是和，则的面积是______．

三．解答题（本题共8小题，共50分）

18. 解分式方程：．
19. 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
20. 先化简，再求值：，其中满足方程．
21. 在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、、都是格点．
    将向左平移个单位得到，请画出；
    将绕点按逆时针方向旋转得到，请画出．
     

22. 如图，在中，、分别是、的中点，是延长线上的点，且
    图中的平行四边形有哪几个？请选择其中一个说明理由；
    若的面积是，求四边形的面积．

23. 某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵元，用元购买乙种树苗的棵数恰好与用元购买甲种树苗的棵数相同．
    求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？
    在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
24. 在中，，点在边上，且，是射线上的一个动点不与点重合，且，在射线上截取，连接．
    当点在线段上时，
    若点与点重合，请根据题意补全图，并直接写出线段与的数量关系为______；
    如图，若点不与点重合，请证明；
    当点在线段的延长线上时，用等式表示线段，，之间的数量关系直接写出结果，不需要证明．
     

25. 已知两个共一个顶点的等腰直角和等腰直角，，连接，是的中点，连接、
    如图，当与在同一直线上时，求证：；
    如图，若，，求，的长；
    如图，当时，求证：．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质，尤其是性质：不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．将原不等式两边分别都减、都除以、都乘以、都乘以，根据不等式的基本性质逐一判断即可得．

【解答】
解：、将两边都减得：，此选项错误；
B、将两边都除以得：，此选项正确；
C、将两边都乘以得：，此选项错误；
D、将两边都乘以，得：，此选项错误；
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：一个关于的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，
则该不等式组的解集是．
故选：．
根据不等式组的解集是同大取大，可得答案．
本题考查了不等式组的解集，不等式组的解集是同大取大．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故此选项错误；
B、无法因式分解，故此选项错误；
C、，正确；
D、无法因式分解，故此选项错误；
故选：．
分别利用公式法以及提取公因式法分解因式进而判断得出即可．
此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：依题意得且，
解得．
故选：．
分式的值为零：分子等于零但分母不等于零．
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可．
 

6.【答案】 

【解析】解：、四边相等的四边形是菱形，
选项A不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，
选项B不符合题意；
C.菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，
选项C符合题意；
D、正方形的四条边相等，
正方形的邻边相等，
选项D不符合题意；
故选：．
根据正方形的性质、菱形的判定与性质、矩形的判定对各个选项分别判断，即可得出结论．
本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、菱形的判定与性质以及矩形的判定等知识；熟练掌握正方形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
又、为对应点，点为旋转中心，
，即为等腰三角形，
．
故选：．
旋转中心为点，与，与分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角，，再利用平行线的性质得，把问题转化到等腰中，根据内角和定理求．
本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：设甲每小时做个零件，可得：，
故选：．
设甲每小时做个零件，根据甲做个所用的时间与乙做个所用的时间相等得出方程解答即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：和都是等腰直角三角形，
，
，
，
和不一定相等，
与不确定相等；
故错误，
，
，即，
在和中，
，
≌，
，
故正确；
过点作于，于，如图，
≌，
，
平分，所以正确．
，
而，，
，
，所以正确；
故正确的结论为．
故选：．
由等腰直角三角形的性质得出，由和不一定相等，则可得出错误；先证明≌得到，则可对进行判断；过点作于，于，如图，利用全等三角形对应边上的高相等得到，则根据角平分线的性质定理的逆定理可对进行判断．利用三角形内角和证明，则可对进行判断．
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．证明≌是解决问题的关键．也考查了等腰直角三角形的性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接、，如图，
由作法得垂直平分，
，
，
当且仅当、、共线时取等号，
的最小值为，
，点为的中点，
，
在中，，，
，
的最小值为．
故选：．
连接、，如图，利用基本作图可判断垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，由于当且仅当、、共线时取等号，所以的最小值为，接着利用等腰三角形的性质得到，然后利用勾股定理计算出即可．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质和最短路径问题．
 

11.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为．
先提取公因式，再利用平方差公式进行分解．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，注意分解因式要彻底．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
依据不等式的性质解答即可．
【解答】
解：不等式可化为，
，
解得：．
故答案为．  

13.【答案】 

【解析】解：垂直平分，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据线段垂直平分线求出，推出，根据三角形内角和定理和等腰三角形性质求出，即可得出答案．
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形内角和定理的应用，能正确运用定理求出各个角的度数是解此题的关键，难度适中．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤：
确定增根的值；
化分式方程为整式方程；
把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为的根．有增根，最简公分母，所以增根是，把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值．
【解答】
解：方程两边都乘，得
，
原方程的增根为，
把代入整式方程，得．
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．观察函数图象得到当时，的图象位于的下方，即．
【解答】
解：观察图象知当时，的图象位于的下方，
根据图象可知不等式的解集是，
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】解：▱的对角线，相交于点，
点是、的中点，
厘米，
厘米，
的周长是厘米，
厘米，
▱的对角线，相交于点，点，分别是线段，的中点，
厘米，
故答案为：．
根据平行四边形的性质可知，，结合厘米，的周长是厘米，求出的长，利用三角形中位线定理求出的长．
本题主要考查了三角形中位线定理以及平行四边形的性质的知识，解答本题的关键是求出的长，此题难度不大．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，

是的角平分线，，，
，
在和中，
，
≌，
，
同理≌，
，
，
故答案为：．
过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明≌，根据全等三角形的面积相等可得，然后根据求解即可得出答案．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键．
 

18.【答案】解：




，
检验：当时，，
是原方程的增根，原方程无解． 

【解析】此题主要考查了解分式方程，根据解分式方程的一般步骤进行解答并验根即可．
 

19.【答案】解：解不等式，得．
解不等式，得．
所以不等式组的解集是．
在数轴上可表示为：． 

【解析】本题考查不等式组的解法，首先把两条不等式的解集分别解出来，再根据大大取大，小小取小，比大的小比小的大取中间，比大的大比小的小无解的原则，把不等式的解集用一条式子表示出来．
本题考查不等式组的解法和在数轴上的表示法，如果是表示大于或小于号的点要用空心，如果是表示大于等于或小于等于号的点用实心．
 

20.【答案】解：原式


，
，
，
原式． 

【解析】先把分式化简后，再整体代入法代入求出分式的值
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
 

21.【答案】解：所作图形如图所示；

所作图形如图所示． 

【解析】把、、三点分别向左平移个单位长度，即可得到三个顶点的对应点，然后顺次连接三点即可；
连接并延长，然后截取，则就是的对应点，同样可以作出、的对应点，然后顺次连接即可．
本题考查了利用平移变换和旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
 

22.【答案】图中的平行四边形有：平行四边形，平行四边形，
理由是：为的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
为的中点，
，
，，
四边形是平行四边形．

由知四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
，
平行四边形的面积是． 

【解析】由为的中点，可得，再由条件 可得四边形是平行四边形；
根据等底等高的三角形面积相等可得平行四边形对角线分成的四个小三角形面积相等可得的面积和的面积都等于的面积为，从而可得四边形的面积为．
此题主要考查了平行四边形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的判定定理，掌握平行四边形对角线分成的四个小三角形面积相等．
 

23.【答案】解：设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元，依题意有
，
解得：．
经检验，是原方程的解，
．
答：甲种树苗每棵的价格是元，乙种树苗每棵的价格是元．
设他们可购买棵乙种树苗，依题意有
，
解得，
为整数，
最大为．
答：他们最多可购买棵乙种树苗． 

【解析】可设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元，根据等量关系：用元购买乙种树苗的棵数恰好与用元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可；
可设他们可购买棵乙种树苗，根据不等关系：再次购买两种树苗的总费用不超过元，列出不等式求解即可．
考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系和不等关系是解决问题的关键
 

24.【答案】解：
证明：在上截取，连接，
，，
是等边三角形．
同理，也是等边三角形．                                                                                      
，
，．
又，
，
在与中，，
≌，
，
；     
                                                                                                                                                                                                           

如图，连接，
由知，，，
；
，
如图，连接，

由知，，，
；
． 

【解析】

解：如图，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在与中，，
≌，
；
故答案为：；

见答案
见答案

【分析】如图，根据已知条件得到是等边三角形，由等边三角形的性质得到，，由邻补角的性质得到，推出≌，根据全等三角形的性质即可得到结论；证明：在上截取，连接，得到是等边三角形．同理，也是等边三角形．求得，通过≌，得到，根据线段的和差即可得到结论；
如图，连接，由知，，，根据线段的和差和等量代换即可得到结论；如图，连接，由知，，，根据线段的和差和等量代换即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．  

25.【答案】证明：如图，延长交于点，

，

，且，
≌
，
在等腰直角和等腰直角中，，，


，且


由可知：，
，，
，且
是等腰直角三角形，，且
，
如图，延长交于点，连接，延长与交于点，连接，

是等腰直角三角形
，，


，
，点为中点，
．
同理可得：，．
在与中，

≌，
，
． 

【解析】由“”可证≌，可得，可得，可得，可得结论；
由题意可得，可得是等腰直角三角形，，由等腰直角三角形的性质可求，的长；
延长交于点，连接，延长与交于点，连接，推出、是两条中位线：，；然后证明≌，得到，从而证明；
本题是三角形综合题，考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．