2022-2023学年湘教版（2019）必修二第四章 立体几何初步 单元测试卷

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第四章 立体几何初步 单元测试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(共32分)1、(4分)已知圆锥的顶点为S ，两条母线为SA,SB ，若 的面积为 与圆锥的底面所成的角为 ，则圆锥的体积为(   )
A.  B.  C.  D. 2、(4分)棱长都是1的三棱锥的表面积为(   )A.  B.  C.  D. 3、(4分)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(   )A. B. C. D.4、(4分)已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（    ）A. B. C. D.5、(4分)如图，三棱锥的四个面都为直角三角形，平面ABC,，，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上,现在球O内任取一点，则该点取自三棱锥内的概率为(   )

A. B. C. D.6、(4分)在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为(   )A. B.2 C. D.47、(4分)已知正三棱柱的所有顶点都在球O的球面上，且该正三棱柱的底面边长为2，体积为3，则球O的表面积为(   )A. B. C. D.8、(4分)在正方体中，过A，C，D的平面与过的平面的位置关系是(   )A.相交但不垂直  B.相交成60°角C.互相垂直  D.互相平行二、多项选择题(共24分)9、(6分)把一张长为4宽为3的矩形白纸卷成圆柱（缝隙忽略不计），圆柱的体积是（   ）A. B. C. D.10、(6分)在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当平面EFGH时，下面结论正确的是(   )A.E，F，G，H一定是各边的中点B.G，H一定是CD，DA的中点C.，且D.四边形EFGH是平行四边形或梯形11、(6分)已知两个完全一样的四棱锥，它们的侧棱长都等于，底面都是边长为2的正方形.下列结论成立的是(   )A.将这两个四棱锥的底面完全重合，在得到的八面体中，有6对平行棱B.将这两个四棱锥的底面完全重合，得到的八面体的所有顶点都在半径为的球上C.将这两个四棱锥的一个侧面完全重合，得到的几何体共有7个面D.将这两个四棱锥的一个侧面完全重合，这两个四棱锥的底面互相垂直12、(6分)一棱长等于1且体积为1的长方体的顶点都在同一球的球面上，则该球的体积可能是（   ）A.  B.  C.  D. 三、填空题(共16分)13、(4分)已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点P,Q,若线段PQ的最小值为,则正方体的棱长为_________；正方体的外接球的表面积为_______.14、(4分)三棱锥的顶点均在球O的球面上，且，，，则三棱锥体积的最大值为__________.15、(4分)已知圆锥的表面积等于,其侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的体积为  .16、(4分)三棱锥的底面是边长为3的正三角形，面PAB垂直底面ABC，且，则三棱锥体积的最大值是_______.四、解答题(共28分)17、(14分)如图，在三棱柱中，，平面平面.证明：平面平面.18、(14分)图1是由矩形ADEB、和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.(1)证明图2中的A，C，G，D四点共面，且平面平面BCGE.(2)求图2中的四边形ACGD的面积.
参考答案1、答案：B解析：2、答案：A解析：由题意可知三棱锥是正四面体,它的表面积就是四个三角形的面积,求出一个三角形的面积即可求解本题.
由题意可知三棱锥是正四面体,各个三角形的边长为,三棱锥的表面积就是四个全等三角形的面积,所以 ,故可知表面积为A.3、答案：C解析：如图，由已知得该棱台的高为（m），所以该棱台的体积.故选C.4、答案：A解析：设圆锥的底面半径为 ，高为 ，母线为，
因为其表面积为 ，
所以 ，
即
又因为它的侧面展开图是一个半圆，
所以 ，
即
所以 ，
所以此圆锥的体积为.
故选: A5、答案：D解析：根据题意，可以将三棱锥补全为长方体，其中长方体的底面是边长为1的正方形，高为.设三棱锥外接球的半径为R，所以三棱锥外接球的直径为长方体的体对角线，即，所以.由于三棱锥的体积，三棱锥外接球的体积，所以在球O内任取一点，该点取自三棱锥内的概率.6、答案：A解析：7、答案：C解析：8、答案：C解析：9、答案：CD解析：若底面周长为，则，，圆柱体积.若底面周长为，则，，圆柱体积.故选：CD10、答案：CD解析：由平面EFGH和线面平行的性质定理，得，，则，且，且，所以四边形EFGH是平行四边形或梯形.故选CD.11、答案：ACD解析：画出图形，可以得到八面体中，有6对平行棱，所以选项A正确；如图，设AC的中点为O，计算得到，B错误；如图，分别设四棱锥的底面正方形ABCD的边AB与CD的中点为G，H，分别连接PG，PH，GH，得到的几何体共有7个面，所以选项C正确；证明平面平面ABFE，D正确.12、答案：BCD解析：设长方体的另外两条棱长分别为x，y，则，长方体的对角线长，，，.当且仅当时等号成立，，.结合选项可得，BCD正确，A错误.故选：BCD.13、答案：4   解析： 14、答案：2解析：15、答案： 解析： 则 16、答案：解析：17、答案：见解析.解析：在三棱柱中，四边形为平行四边形，因为，所以四边形为菱形，所以，又平面平面，且平面平面平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.18、答案：(1)见解析.(2)面积为4.解析：(1)由已知得，所以，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面.由已知得，故平面BCGE.又因为平面ABC，所以平面平面BCGE.(2)取CG的中点M，连接EM，DM.因为平面BCGE，所以平面BCGE，故.由已知，四边形BCGE是菱形且得，故平面DEM.因此.在中，，故.所以四边形ACGD的面积为4.