高二数学：6.2《直线和平面平行的判定与性质》教案（湘教版必修三）

直线和平面平行的判定与性质1

教育目标：1．直线和平面平行的定义． 2．直线和平面的三种位置关系及相应的图形画法与记法． 3．直线和平面平行的判定．

教学重点、难点、疑点及解决方法

1．教学重点：直线与平面的位置关系；直线与平面平行的判定定理． 2．教学难点：掌握直线与平面平行的判定定理的证明及应用． 3．教学疑点：除直线在平面内的情形外，空间的直线和平面，不平行就相交，课本中用记号a≮α统一表示a‖α，a∩α=A两种情形，统称直线a在平面α外．

教与学过程设计

（一）直线和平面的位置关系．

师：前面我们已经研究了空间两条直线的位置关系，今天我们开始研究空间直线和平面的位置关系．直线和平面的位置关系有几种呢？我们来观察：黑板上的一条直线在黑板面内；两墙面的相交线和地面只相交于一点；墙面和天花板的相交线和地面没有公共点，等等．如果把这些实物作出抽象，如把“墙面”、“天花板”等想象成“水平的平面”，把“相交线”等想象成“水平的直线”，那么上面这些关系其实就是直线和平面的位置关系，有几种，分别是什么？

生：直线和平面的位置关系有三种：直线在平面内；直线和平面相交；直线和平面平行

师：什么是直线和平面平行？

生：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行．

师：直线和平面的位置关系是否只有这三种？为什么？

生：只有这三种情况，这可以从直线和平面有无公共点来进一步验证：若直线和平面没有公共点，说明直线和平面平行；若直线和平面有且只有一个公共点，说明直线和平面相交；若直线和平面有两个或两个以上的公共点，根据公理1，说明这条直线在平面内．

师：为了与“直线在平面内”区别，我们把直线和平面相交或平行的情况统称为“直线在平面外”，归纳如下：

直线在平面内——有无数个公共点．

师：如何画出表示直线和平面的三种位置关系的图形呢？

生：直线a在平面α内，应把直线a画在表示平面α的平行四边形内，直线不要超出表示平面的平行四边形的各条边；直线a与平面α相交，交点到水平线这一段是不可见的，注意画成虚线或不画；直线a与平面α平行，直线要与表示平面的平行四边形的一组对边平行．如图1-57：

注意，如图1-58画法就不明显我们不提倡这种画法．

下面请同学们完成P.19．练习1．

1．观察图中的吊桥，说出立柱和桥面、水面，铁轨和桥面、水面的位置关系：（图见课本）

答：立柱和桥面、水面都相交；铁轨在桥面内，铁轨与水面平行．

（二）直线和平面平行的判定

师：直线和平面平行的判定不仅可以根据定义，一般用反证法，还有以下的方法．我们先来观察：门框的对边是平行的，如图1-59，a∥b，当门扇绕着一边a转动时，另一边b始终与门扇不会有公共点，即b平行于门扇．由此我们得到：

直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．

求证：a∥α．

师提示：要证明直线与平面平行，只有根据定义，用反证法，并结合空间直线和平面的位置关系来证明．

∴ a∥α或 a∩α＝A．下面证明a∩α＝A不可能．假设a∩α＝A

∵a∥b，

在平面α内过点A作直线c∥b．根据公理4，a∥c．这和a∩c＝A矛盾，所以a∩α＝A不可能．

∴a∥α．

师：从上面的判定定理可以知道，今后要证明一条直线和一个平面平行，只要在这个平面内找出一条直线和已知直线平行，就可断定这条已知直线必和这个平面平行，即可由线线平行推得线面平行．

下面请同学们完成例题和练习．

（三）练习

例1　 空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面．

已知：空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点．

求证：EF∥平面BCD．

师提示：根据直线与平面平行的判定定理，要证明EF∥平面BCD，只要在平面BCD内找一直线与EF平行即可，很明显原平面BCD内的直线BD∥EF．

证明：连结BD．

性，这三个条件是证明直线和平面平行的条件，缺一不可．

练习（P.22练习1、2．）

1．使一块矩形木板ABCD的一边AB紧靠桌面α，并绕AB转动，AB的对边CD在各个位置时，是不是都和桌面α平行？为什么？（模型演示

答：不是．

2．长方体的各个面都是矩形，说明长方体每一个面的各边及对角线为什么都和相对的面平行？（模型演示）

答：因为长方体每一个面的对边及对角线都和相对的面内的对应部分平行，所以，它们都和相对的面平行．

（四）总结

这节课我们学习了直线和平面的三种位置关系及直线和平面平行的两种判定方法．学习直线和平面平行的判定定理，关键是要会把线面平行转化为线线平行来解题．

直线和平面平行的判定与性质2

教育目标：直线和平面平行的性质定理．

教学重点、难点、疑点及解决方法

1．教学重点：直线和平面平行的性质定理． 2．教学难点：直线和平面平行的性质定理的证明及应用．

教与学过程设计

（一）复习直线和平面的位置关系及直线和平面平行的判定

师：直线和平面的位置关系有哪几种？

生：有三种位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行．直线与平面相交或平行统称为直线在平面外．

直线在平面内，说明直线与平面有无数个公共点；直线与平面相交，说明直线与平面只有1个公共点；直线与平面平行，说明直线与平面没有公共点．

师：直线和平面的判定方法有哪几种？

生：两种．

第一种根据定义来判定，一般用反证法．

第二种根据判定定理来判定：只要在平面内找出一条直线和已知直α，a∥b，则a∥α．

（二）直线和平面平行的性质

师：命题“若直线a平行于平面α，则直线a平行于平面α内的一切直线．”对吗？（幻灯显示）

生：不对．师：为什么不对？

平行的所有直线（为b′，b″）都与a平行（有无数条），否则，都与a是异面直线．

师：在上面的论述中，平面α内的直线b满足什么条件时，可以与直线a平行呢？我们有下面的性质．

直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．

求证：a∥b．

证明：（一）反证法．假设直线a不平行于直线b．

 ∴ 直线a与直线b相交，假设交点为O，则a∩b＝O．

∴a∩α＝O，这与“a∥α”矛盾．∴a∥b．

（二）直接证法

∵a∥α，∴a与α没有公共点． ∴a与b没有公共点． a和b同在平面β内，又没有公共点，

∴a∥b．

下面请同学们完成例题与练习．

（三）练习

例2　 有一块木料如图1-65，已知棱BC平行于面A′C′．要经过木料表面A′B′C′D′ 内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？所画的线和面AC有什么关系？

解：（1）∵BC∥面A′C′，面BC′经过BC和面A′C′交于B′C′，∴BC∥B′C′．

经过点P，在面A′C′上画线段EF∥B′C′，由公理4，得：EF∥BC．

的线．

（2）∵EF∥BC，根据判定定理，则EF∥面AC；BE、CF显然都和面AC相交．

总结：解题时，应用直线和平面平行的性质定理，要注意把线面平行转化为线线平行．

练习：（P．22中练习3）

在例题的图中，如果AD∥BC，BC∥面A′C′，那么，AD和面BC′、面BF、面A′C′都有怎样的位置关系．为什么？

∥面BC′．同理AD∥面BF．

又因为BC∥面A′C′，过BC的面EC与面A′C′交于EF，