知识点48 几何最值2018--2

这是一份知识点48 几何最值2018--2，共28页。试卷主要包含了 ．，5x，OG=AB=2，， 三点，顶点为D．等内容，欢迎下载使用。
二、填空题
1. （2018江苏苏州，18，3分）如图，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°．M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M，N之问的距离最短为 （结果保留根号）．

【答案】
【解析】 本题解答时要连接MP，PN，利用菱形的性质，得出△PMN为直角三角形，然后利用勾股定理，求出用PA的长来表示的MN的长，最后利用二次函数的性质求出MN的最小值.
连接PM，PN，∵四边形APCD，PBFE是菱形，
∴PA=PC，∵AM=MC，∴PM⊥AC，同理PN⊥BE.
∴∠CPM+∠CPN=゜，
∵∠DAP=60゜，∴∠CAP==∠NPB=30゜，
设AP=x，则PB=8-x，∴PM=，PN= ，

∴MN，
∴当x=6时，MN有最小值，最小值为.

三、解答题
1. （2018广东省，25） 已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如题图1，连接BC.
（1）填空：∠OBC=_______60
°；
（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；
（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？

【思路分析】（1）由旋转的性质可以证明△OBC是等边三角形，从而可得∠OBC的度数；（2）求出△AOC的面积，利用三角形的面积公式计算即可；（3）分三种情形讨论求解即可解决问题：①当0＜x≤时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E，利用面积公式表示出△OMN的面积（y值）；②当＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．作MH⊥OB于H，利用∠CBO=60°表示出MH，再利用面积公式表示出△OMN的面积（y值）；
③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G，易求OG，再利用面积公式表示出△OMN的面积（y值），最后分别求出三种情况下面积最大值，从而求出整个运动过程中y的最大值．

【解题过程】解：（1）由旋转性质可知：OB=OC，∠BOC=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBC=60°．
故答案为60．

（2）如图1中，

∵OB=4，∠ABO=30°，
∴OA=OB=2，AB=OA=2，
∴S△AOC=•OA•AB=×2×2=2，
∵△BOC是等边三角形，
∴∠OBC=60°，∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°，
∴AC==2，
∴OP=．

（3）①当0＜x≤时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E．则NE=ON•sin60°=x，

∴S△OMN=•OM•NE=×1.5x×x，∴y=x2．
∴x=时，y有最大值，最大值=．

②当＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．

作MH⊥OB于H．则BM=8﹣1.5x，MH=BM•sin60°=（8﹣1.5x），
∴y=×ON×MH=﹣x2+2x．
当x=时，y取最大值，∴y＜，

③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G．

MN=12﹣2.5x，OG=AB=2，
∴y=•MN•OG=12﹣x，
当x=4时，y有最大值，最大值=2，
综上所述，y有最大值，最大值为．

【知识点】图形的旋转；解直角三角形；函数的最值

2. （2018广西柳州市，26，10分）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(，0)，B两点(点B在点A的左侧)，与y轴交于点C，且OB＝3OA＝OC，∠OAC的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线的一个动点，过点P作PF⊥x轴垂足为F，交直线AD于点H.
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P的横坐标为m，当FH＝HP时，求m的值；
(3)当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，HC为半径作⊙H，点Q为⊙H上的一个动点，求AQ＋EQ的最小值.

第26题图

【思路分析】(1)根据题意，先求出点B、C的坐标，运用待定系数求出抛物线的解析式；
(2)用点m表示出FH和PF的长，再由FH＝HP列关于m的方程求解；
(3)连接AH，以AH为边构造相似三角形，将AQ转化为某一个固定点的线段，再由三点共线计算出AQ＋EQ的最小值.
【解题过程】
(1)∵OB＝3OA＝OC，A(，0)，
∴点B、C的坐标分别为(－3，0)，(－3，0).
设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－)，代入点C的坐标，得：
－3＝a·3·(－)，解得：a＝.
故该抛物线的解析式为y＝(x＋3)(x－)＝x2＋x－3. ………………3分
(2)在Rt△AOC中，由tan∠OAC＝＝，
∴∠OAC＝60°.
又∵AH是∠FAC的平分线，
∴∠FAH＝30°，则AF＝FH.
由点P的横坐标为m，则它的纵坐标为m2＋m－3.
∴AF＝－m，PF＝3－m2－m.
∴FH＝AF＝(－m).
∵FH＝HP，则PF＝2FH，
∴(－m)＝m2＋m－3.
解得：m＝(舍去)或m＝－.
故m的值为－. ………………6分
(3)连接CH.
∵AF＝AC＝2，∠FAH＝∠CAH，AF＝AF，
∴△AHF≌△AHC(SAS)，
∴FH＝CH＝2.
故⊙H的半径为1.
在HA上截取HM＝，则AM＝4－＝.
∵＝，＝，
∴＝，且∠QHM＝∠AHQ，
∴△QHM∽△AHQ，
∴＝，则AQ＝MQ,
∴AQ＋QE＝QM＋QE. ………………9分
∵点E、M是定点，故当点M、Q、E共线时，QM＋QE的值最小，即最小值为线段ME的长.
在Rt△AEM中，由勾股定理可知：ME＝＝＝.
… ……………10分
【知识点】二次函数与几何综合题
3. （2018四川乐山，1，3） 在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=.
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P从点B出发，沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动为t秒.
①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

【思路分析】本题是代数几何综合题，以平面直角坐标系为背景，考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，，方程组的解法，几何图形面积的表示，相似三角形的判定与性质，分类讨论思想，三角形的面积的最值问题，综合性强，难度大，解题的关键是需要学生有良好的运算能力及分析问题和解决问题的能力，还得富有耐心．（1）利用A、B、C三点的坐标确定二次函数的解析式．（2）利用题目的已知条件表示出相关线段的长，①中利用三角函数值探索出∠PAQ=∠ACD，再根据题目中的要求使得△ADC与△PQA相似，进行分类讨论得到对应线段成比例，列出关于t 的方程求解即可；②直接利用三角形的面积公式列出△APQ与△CAQ的面积之和与时间t之间的函数关系式，再将所得的二次函数的解析式配方确定最值即可得到答案.
【解题过程】解：（1）∵OA=1，OB=4，∴A（1，0），B（-4，0）， 1分
设所示抛物线的解析式为，
∵C （0，）在抛物线上，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为或。
（2）存在t，使得△ADC与△PQA相似，其理由如下：
①在Rt△AOC中，OA=1，，
则，
又∵，
∴∠OAD=∠ACO，
∵直线l的解析式为
，∴D（0，），
又∵C（0，），
∴CD=
由AC2=OC2+OA2，得.
在△AQP中，AP=AB-PB=5-2t，AQ=t，
由∠PAQ=∠ACD，
要使△ADC与△PQA相似，
只需或，
则有或，
解得，，
∵t1＜2.5，t2＜2.5，
∴存在或， 使得△APQ与△PQA相似。
②存在t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大，其理由如下：
作PF⊥AQ于点F，CN⊥AQ于点N，
如图6所示，
在△APF中，，
在△AOD中，由AD2=OD2+OA2，得。
在△ADC中，由，
∴，
∴
∴当时，△APQ与△CAQ的面积之和最大.

图6
【知识点】二次函数 ；勾股定理；三角形相似的判定与性质；三角形面积；待定系数法；转化思想；数形结合思想；分类讨论思想

4. （2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号24，分值14）如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（-4,0），与y轴交于点C，抛物线y=-x²+bx+c经过点A，C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值；
（3）如图2所示，M是线段OA上的一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N.
①若以C，P，N为顶点的三角形与△APM相似，则△CPN的面积为_________;
②若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
注：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（）


【思路分析】(1)根据一次函数求出c的值，再将A（-4,0）和c值代入抛物线解析式求得b值，进而得出抛物线解析式;
(2)先作对称确定最小值的情况，进而求出答案.
（3）①根据直角与对顶角找出两种相似的情况，进而得出△CPN的面积；②根据菱形的判定定理作出菱形，进而得出D点坐标.
【解题过程】解：（1）将A（-4,0）代入y=x+c，得c=4.
将A（-4,0）和c=4代入y=-x²+bx+c，得b=-3.
∴抛物线的解析式为y=-x²-3x+4.
（2）如图所示，作点C关于抛物线的对称轴直线l的对称点C’，连接OC交直线l于点E，连接CE，此时CE+OE的值最小.


∵抛物线额对称轴为x=，
则C’C=3，在Rt△C’CO中，由勾股定理，得OC’==5.
∴CE+OE的最小值为5.
（3）①∵抛物线解析式为y=-x²-3x+4，
∴A（-4,0），B（1,0），C（0,4），△APM为等腰直角三角形.
设M为（a，0），则N（a，-a²-3a+4），P(a，a+4).
当△AMP∽△CNP时，则，得，解得a=-4（舍）或a=-3或a=0（舍）.
∴CN=3,PN=3.
∴△CPN的面积为=.
当△AMP∽△NCP时，则,得，
解得a=0（舍）或a=-2.
∴CN==CP=2.
∴△CPN的面积为=4.
故答案为或4.
②存在. (,),(,-),
（-4,3）, （，）.
理由如下：
当点P是线段MN的中点，则-a²-3a+4=2（a+4），
解得a=-4（舍），或a=-1.
∴M（-1,0），P（-1,3），N（-1,6）.
设F(f，f+4)，过点M作AC的平行线，则此直线的解析式为
y=x+1.
∵PM=3，当PM为菱形的边时，作PF=PM，过F作FD平行PM，交AC平行线于点D，
∴D（f，f+1）.
∴3²=2（f+1）²，解得f=.
则(,),(,-).
∵PM=AM=3,
∴当点F与点A重合时，过点F在x轴上方作DF∥PM，且DF=PM，连接DP，可得出四边形DPMF为菱形.
∴点D的坐标为（-4,3）.
当PM为菱形的对角线时，作PM的垂直平分线，交直线AC于点F，作点F关于PM的对称点D，连接MF,MD,PD,此时四边形DMFP为菱形.
∴将代入直线AC的解析式可得，点F的坐标为（-，）.
∵直线PM为x=-1，
∴点D的坐标为（，）.
综上所述， (,),(,-),
（-4,3）, （，）.
【知识点】待定系数法，二次函数图象的性质，两点之间线段最短，对称图形的性质，勾股定理.
5. （2018湖南省怀化市，24，14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）请在轴上找一点M，使BDM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）试探究：在抛物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【思路分析】（1）利用待定系数法求二函数和直线的解析式；
（2）根据轴对称确定最短路线问题，连接，与对称轴轴的交点即为所求的点M，然后求出直线的的解析式，再求解即可．
（3）可分两种情况（以C为直角顶点，以A为直角顶点）讨论，然后根据两直线垂直的斜率的性质求出P点所在直线的解析式，根据直线和抛物线的解析式联立求出点P的坐标．
【解题过程】（1）把点A（-1，0）和B（3，0）代入抛物线中，可得：，：
-得：，所以．然后把代入可得：．
　　　　　　把和代入，得出抛物线解析式：
因为抛物线与轴相交，令，则，所以，点C的坐标为（0，3），
设直线AC的解析式为，
　　　　　　则，解得．
所以，直线AC的解析式为；
（2）过点D作轴于点F，使,则为点关于轴的对称点．连接交轴于点M，则点M为所求，
过点D作轴于点F，，D点为抛物线的顶点，
根据抛物线顶点公式（）可得D点的坐标（1，4），则的坐标为（-1，4）
B点的坐标为（3，0）．
　　　　　　　设直线的解析式为，把B（3，0）和（-1，4）两点代入解析式中可得：
即，则直线的解析式为，令可得，则点M的坐标为（0，3）．
　　　　（3）存在．
当是以点为C直角顶点时，如图，过点C作CP垂直于AC于C点，交抛物线于点P，C
点坐标为（0，3），则可得直线CP的解析式为．
　　　　　直线CP与抛物线交于P点，联立解析式得：，则，P点坐标即P（）
当是以点A为直角顶点时，如图，过点A作AP垂直于AC于A点，交抛物线于点P，A
点坐标为（-1，0），则可得直线AP的解析式为．
　　　　　直线AP与抛物线交于P点，联立解析式得：，则，P点坐标即P（）　　　　　　　
【知识点】二次函数综合题
6.（2018贵州省毕节市，27，16分）如图,以D为顶点的抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C,直线BC的表达式为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在直线BC上有一点P，使PO＋PA的值最小,求点P的坐标；
(3)在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由．

【思路分析】（1）先根据直线BC的表达式为求出点B和点C的坐标，然后将点B和点C的坐标分别代入即可求出抛物线的解析式；（2）如图（1），过点O作OE⊥BC于点E，延长OE，使E＝OE，则BC是线段O的垂直平分线，连接A交BC于点P，则PA＋PO＝PA＋P＝A，此时PA＋PO的值最小，且最小值为A，求出直线A的函数关系式，和直线的BC关系式联立即可求出此时点P的坐标；（3）先证明△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°，则由题意可得∠ACQ＝90°或∠AQC＝90°，若∠ACQ＝90°，则△BCD∽△ACQ或△BCD∽△QCA，根据相似三角形的性质即可求出点Q的坐标；若∠AQC＝90°，通过分析可知点Q与点O重合，从而得出点Q的坐标．
【解题过程】解：（1）当x＝0时，y＝3，∴点C的坐标为（0，3），当y＝0时，－x＋3＝0，x＝3，∴点B的坐标为（3，0），将点B（3，0）和点C（0，3）分别代入得， ，解得，∴抛物线的解析式为；
（2）当y＝0时，＝0，解得x＝3或x＝－1，∴点A的坐标为（－1，0），如图（1），过点O作OE⊥BC于点E，延长OE，使E＝OE，则BC是线段O的垂直平分线，即点O与点关于直线BC对称，过点作F⊥y轴于点F，∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴OB＝OC＝3，∴∠OBE＝45°，则在Rt△OEB中，∵∠OBE＝45°，OB＝3，∴OE＝OB·sin45°＝3×＝，∴OE＝E＝，
∴O＝2OE＝，∴F＝OF＝O·sin45°＝×＝3，∴点的坐标为（3，3），故点B与点F重合，连接A交BC于点P，则PA＋PO＝PA＋P＝A，此时PA＋PO的值最小，且最小值为A＝＝5，设直线A的关系式为，将点A（－1，0），（3，3）分别代入得：，解得：，∴直线A的解析式为：，联立，解得：，此时点P的坐标为（，）；
（3）由得，故顶点D的坐标为（1，4），又∵点C的坐标为（0，3），点B的坐标为（3，0），∴BC2＝＝18，BD2＝＝20，CD2＝＝2，
∴BD2＝BC2＋CD2，∴△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°，由函数图象可知，∠CAQ＜90°，故分以下两种情况讨论：
①如图（2），若∠ACQ＝90°，则△BCD∽△ACQ或△BCD∽△QCA，设点Q的坐标为（a，0），则AC2＝＝10，AQ＝，故AQ 2＝，∵BC＝，CD＝，∴，当△BCD∽△ACQ时，，则 ，即，＝90，解得a＝－1＋或a＝－1－，故点Q的坐标为（－1＋，0）或（－1－，0）；当△BCD∽△QCA时，，则 ，即，，解得a＝－1＋或a＝－1－，故点Q的坐标为（－1＋，0）或（－1－，0）；
②如图（3），若∠AQC＝90°，∵点C的坐标为（0，3），点A的坐标为（－1，0），∴OA＝1，OC＝3，∴，又∵BC＝，CD＝，∴，∴此时点Q与点O重合，∴点Q的坐标为（0，0）；
综上所述，点Q的坐标为（－1＋，0）或（－1－，0）或（－1＋，0）或（－1－，0）或（0，0）．
【知识点】二次函数关系式；顶点式；一次函数；两点间距离公式；勾股定理；解一元二次方程；二次根式的化简；相似三角形的性质；特殊角的三角函数值的应用


7. （2018湖南娄底，26，10）如图，抛物线与两坐标轴相交于点，是抛物线的顶点， 是线段的中点.

(1)求抛物线的解析式，并写出点的坐标;
(2) 是抛物线上的动点；
①当时，求的面积的最大值；
②当时，求点的坐标.
【思路分析】
（1）已知与x轴交点坐标，可用交点式求函数表达式
（2）①通过构造新二次函数求面积的最值
②先通过几何作图，做出符合要求的点F，再求坐标。
【解题过程】
解：（1） 与x轴交点为A（-1,0），B（3,0）
设表达式为
与y轴交与C（0，3）
，解得
表达式为，D（1,4）
（2）①过F作，交BD与H，

由题意，F是线段BD上方抛物线上的动点，FH把分成两个都以FH为底的三角形，
它们高的和为2

设直线BD的表达式为
经过B（3,0），D（1,4）
解得


，开口向下，有最大值
当时，最大为1。

② 分类讨论：

Ⅰ、过点E作，与抛物线交点为所求


设的表达式为
过E（1,0）
t=2，y=-2x+2
联立直线和抛物线表达式
得到 ，解得（舍）
此时
Ⅱ、作直线关于x轴对称的直线，与抛物线的交点之一为所求
和关于x轴对称
的表达式为
联立直线和抛物线表达式
得到 ，解得（舍）
此时
综上所述：F的坐标为或
【知识点】二次函数图象与性质、利用二次函数求最值、角度相等存在性问题
8. （2018内蒙古通辽，26，12分）如图，抛物线y＝ax2＋bx－5与坐标轴交于A（－1，0），B（5，0），C（0，－5）三点，顶点为D．
（1）请直接写出抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）连接BC与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点（点P不与B、C两点重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．
①是否存在点P，使四边形PEDF为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
②过点F作FH⊥BC于点H，求△PFH周长的最大值．

【思路分析】（1）把A、B的坐标代入y＝ax2＋bx－5得到关于a、b的二元一次方程组，解得a、b即可写出抛物线的解析式，通过配方，求出顶点坐标；
（2）①先求BC的解析式，由于P点的横坐标为m，可由解析式确定含参数m的P的坐标以及E的坐标，由图形和坐标的关系确定m的值，进而得到P的坐标；
②通过证明△PFH∽△BCO，再利用相似比的性质解决问题．
【解题过程】（1）y＝x2－4x－5，D（2，－9）
（2）①存在．
设直线BC的函数解析式为y＝kx＋b（k≠0）
把B（5，0），C（0，－5）分别代入，得，解得
∴直线BC的解析式为y＝x－5．
当x＝m时，y＝m－5，∴P（m，m－5）
当x＝2时，y＝2－5＝－3，∴E（2，－3）
∵PF∥DE∥y轴，∴F点的横坐标为m，此时它的纵坐标为：m2－4m－5
∴F（m，m2－4m－5）
∴PF＝（m－5）－（m2－4m－5）＝－m2＋5m．
∵E（2，－3），D（2，－9）
∴DE＝－3－（－9）＝6
连接DF，如答图

∵PF∥DE，
∴当PF＝DE时，四边形PEDF为平行四边形，
即－m2＋5m＝6，解得m1＝2（舍）或m2＝3
当m＝3时，y＝3－5＝－2，此时P（3，－2）
∴存在点P（3，－2），使四边形PEDF是平行四边形．
②由题意可得：在Rt△BOC中，OB＝OC＝5，
∴BC＝＝5
∴C△BOC＝OB＋OC＋BC＝10＋5
∵PF∥DE∥y轴，
∴∠FPE＝∠DEC＝∠OCB，
∵PH⊥BC，
∴∠FHP＝∠BOC＝90°
∴△PFH∽△BCO，
∴＝，即C△PFH＝(－m2＋5m)＝（＋1）（－m2＋5m）
∵0＜m＜5，
∴当m＝－＝时，C△PHF最大＝．

9.（2018广西南宁，26，10）如图，抛物线y＝ax2﹣5ax＋c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC＝BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM＝BN，连接MN，AM，AN．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；
（3）试求出AM＋AN的最小值．

【思路分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；利用等腰三角形的性质得B（3，0），然后计算自变量为3所对应的二次函数值可得到D点坐标；
（2）利用勾股定理计算出BC＝5，设M（0，m），则BN＝4﹣m，CN＝5﹣（4﹣m）＝m＋1，由于∠MCN＝∠OCB，根据相似三角形的判定方法，当＝时，△CMN∽△COB，于是有∠CMN＝∠COB＝90°，即＝；当＝时，△CMN∽△CBO，于是有∠CNM＝ ∠COB＝90°，即 ＝ ，然后分别求出m的值即可得到M点的坐标；
（3）连接DN，AD，如图，先证明△ACM≌△DBN，则AM＝DN，所以AM＋AN＝DN＋AN，利用三角形三边的关系得到DN＋AN≥AD（当且仅当点A、N、D共线时取等号），然后计算出AD即可．
【解答过程】（1）把A（﹣3，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣5ax＋c得，解得，
∴抛物线解析式为y＝－x2＋x＋4；
∵AC＝BC，CO⊥AB，
∴OB＝OA＝3，
∴B（3，0），
∵BD⊥x轴交抛物线于点D，
∴D点的横坐标为3，
当x＝3时，y＝－×9＋×3＋4＝5，
∴D点坐标为（3，5）；
（2）在Rt△OBC中，BC＝＝＝5，
设M（0，m），则BN＝4﹣m，CN＝5﹣（4﹣m）＝m＋1，
∵∠MCN＝∠OCB，
∴当＝时，△CMN∽△COB，则∠CMN＝∠COB＝90°，即＝，解得m＝，此时M点坐标为（0，）；
当＝时，△CMN∽△CBO，则∠CNM＝∠COB＝90°，即 ＝ ，解得m＝，此时M点坐标为（0，）；
综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，）；
（3）连接DN，AD，如图，
∵AC＝BC，CO⊥AB，
∴OC平分∠ACB，
∴∠ACO＝∠BCO，
∵BD∥OC，
∴∠BCO＝∠DBC，
∵DB＝BC＝AC＝5，CM＝BN，
∴△ACM≌△DBN，
∴AM＝DN，
∴AM＋AN＝DN＋AN，
而DN＋AN≥AD（当且仅当点A、N、D共线时取等号），
∴DN＋AN的最小值＝＝，
∴AM＋AN的最小值为．



10. （2018辽宁省抚顺市，题号26，分值14）如图，抛物线和直线y=x+1交于A，B两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点C 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）.以PQ为边作矩形PQNM，使点N在x=3上.
①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；
②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上.

【思路分析】(1)由题意可知，A，B两点在直线y=x+1上，已知A的纵坐标为0，B的横坐标为3，求出A（-1,0），B（3,4），代入抛物线解析式求出b，c的值即可;
（2）①作PE⊥x轴于点E，∵矩形PQNM，∴∠PQN=90°，∠PQE+∠NQC=90°，∴∠PEQ=∠QCN=90°，∠PQE=∠QNC，∴Rt△PQE∽Rt△QNC，即,由题可知，AP=t，直线AB的斜率为1，∴∠BAC=45°，即AE=PE=t，点P的坐标为（t-1，t），∵CQ=2t，∴点Q的坐标为（3-2t，0），根据坐标上两点间的距离公式可求出PQ的长为，∴由，得，即NQ=2，NC=2（4-3t）=8-6t，∴N（3,8-6t），由矩形面积公式，得=2×，整理，得S=，由二次函数图象的性质可知，当t=时，S最小，此时S=；
②∵点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，AB=3÷sin45°=3，∴t≤3，∵AC=4，∴0＜t≤2，∴t≤2，当点Q与点A重合时，t=2，此时矩形PQNM的顶点落在抛物向上；∵点N在直线x=3上，∴若N在抛物线上时，此时N与B重合，∵N(3,8-6t，
)，B（3,4），∴8-6t=4，解得t=；∵矩形PQNM，∴线段MN可以看成是线段AQ通过平移得到的，已知，P（t-1，t），Q(3-2t，0)，N（3,8-t），∴M的坐标为（3t-1,8-5t），当点M在抛物线上时，8-5t=-（3t-1）²+3（3t-1）+4，解得t=或t=.
【解题过程】解：（1）由题可知，A，B两点在直线y=x+1上，已知A的纵坐标为0，B的横坐标为3，∴A（-1,0），B（3,4）.
将A（-1,0），B（3,4）代入抛物线中，
得解得
∴抛物线的解析式为.
（2）①作PE⊥x轴于点E，
∵矩形PQNM，
∴∠PQN=90°，∠PQE+∠NQC=90°.∴∠PEQ=∠QCN=90°，∠PQE=
∠QNC.
∴Rt△PQE∽Rt△QNC，即.
由题可知，AP=t，直线AB的斜率为1，
∴∠BAC=45°，即AE=PE=t.
∴点P的坐标为（t-1，t）.
∵CQ=2t，
∴点Q的坐标为（3-2t，0）.
根据坐标上两点间的距离公式可求出PQ的长为.
∴由，得，即
NQ=2.
NC=2（4-3t）=8-6t.∴N（3,8-6t）.
由矩形面积公式，得=2×，整理，得S=.
由二次函数图象的性质可知，当t=时，S最小，此时S=.
（3）当t=2或t= t=或t=时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上.理由如下：
∵点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止
运动，AB=3÷sin45°=3，
∴t≤3.
∵AC=4，
∴0t≤2.
∴＜t≤2.
当点Q与点A重合时，t=2，此时矩形PQNM的顶点落在抛物向上；
∵点N在直线x=3上，
∴若N在抛物线上时，此时N与B重合.
∵N(3,8-6t)，B（3,4），
∴8-6t=4，解得t=.
∵矩形PQNM，
∴线段MN可以看成是线段AQ通过平移得到的.
已知，P（t-1，t），Q(3-2t，0)，N（3,8-t），
∴M的坐标为（3t-1,8-5t）.
当点M在抛物线上时，有8-5t=-（3t-1）²+3（3t-1）+4，
解得t=或t=.
【知识点】待定系数法，二次函数图象的性质，三角函数的应用，平移的性质，两坐标点之间的距离公式，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程.