知识点03 实数的运算（含二次根式 三角函数特殊值的运算）2018--2

这是一份知识点03 实数的运算（含二次根式 三角函数特殊值的运算）2018--2，共22页。试卷主要包含了 计算的结果等于， 下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 计算的结果等于（ ）
A. 5 B. C. 9 D.
【答案】C
【解析】分析：根据有理数的乘方运算进行计算．
详解：（-3）2=9，
故选C．
点睛：本题考查了有理数的乘方，比较简单，注意负号．

2. （2018黑龙江绥化，4，3分） 下列运算正确的是（ ）
A.2a+3a=5a2 B. C.a3·a4=a12 D.(π-3)0=1
【答案】D.
【解析】解：A、，故错误；
B、，故错误；
C、，故错误；
D、，故正确.
故选：D.
【知识点】合并同类项，二次根式的性质，同底数幂的乘法，零指数幂的意义

3. （湖北省咸宁市，1，3）咸宁冬季里某一天的气温为- 3℃〜2 ℃，则这一天的温差是( )
A．1℃ B．-1℃ C．5℃ D．-5℃
【答案】C
【解析】解：根据“温差=最高气温最低气温”，2℃－（－3℃）=2℃+3℃=5℃，故选C．
【知识点】有理数的减法运算

4. （2018吉林省，1, 2分）计算（﹣1）×（﹣2）的结果是（　　）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣3
【答案】A
【解析】根据“两数相乘，同号得正”即可求出（﹣1）×（﹣2）=2．故选A．
【知识点】有理数的乘法

5. （2018贵州铜仁，10，4）计算的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，，，，
，……，，
∴=
=.



6.（2018云南省昆明市，12，4分）下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C．
【解析】A选项是幂的乘方，＝（）×（）＝，故A选项错误； B选项＝1－（－2）＝3，故B选项错误；＝3×2·＝6a，故C选项正确是同底数幂的乘法，其法则是底数不变，指数相加，即，故C选项正确；D选项,故D选项错误，故选C．
【知识点】幂的乘方；同底数幂的乘法；零指数幂；负指数幂；合并同类二次根式

7. （2018湖北恩施州，16，3分）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图６，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为 个．

【答案】1838．
【解析】本题为探索规律型，由题意可知，因为满六进一，从右到左依次排列的绳子分别代表绳结束乘以6的0次幂，6的1幂，6的2次幂，6的3次幂，6的4次幂．她一共采集到的野果数量为1838个．

8. （2018辽宁锦州，6，3分）下列运算正确的是
A、7a－a=6 B、a2·a3=a5 C、(a3)3=a6 D、(ab)4=ab4
【答案】B，【解析】：根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方法则进行解答．

二、填空题
1. （2018湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，12，3分）计算： ．
【答案】0
【解析】直接利用二次根式的化简、绝对值的性质和负整数指数幂的性质分别化简，再计算．

【知识点】二次根式分母有理化，绝对值，负整数指数幂

2. （湖北省咸宁市，5，3）按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：则这个数列的前2018个数的和为__________.
【答案】
【解析】则第2018个数为
则这个数列的前2018个数的和为
=
=
=
【知识点】探究规律
3. （2018年黔三州，19,3）根据下列各式的规律，在横线处填空：
11+12-1=12，13+14-12=112，15+16-13=130，17+18-14=156，… …
12017+12018- =12017×2018 .
【答案】11009
【解析】按照等式顺序，第一个为11+12-1=12，第二个为13+14-13-1÷2+1=13×4，
第3个式子15+16-1（5-1）÷2+1=15×6，17+18-17-1÷2+1=17×8，… …以此类推，
12017+12018-12017-1÷2+1 =12017×2018 .
【知识点】等式规律探索

4. （2018江苏常州，9，2）计算:=_______．
【答案】2 【解析】


5. （2018四川巴中，21（1），6分）（1）计算：│－2│ －2cos60°＋()－1－(2018－）0
【答案】原式＝2－2×＋6－1＝2﹣1＋6﹣1＝6.
【解析】依据数的绝对值意义，│－2│＝2；由特殊角的三角函数值得cos60°＝；由负整数指数幂的意义得()－1＝＝6或者()－1＝（6－1）－1＝6；根据a0＝1（a≠0）得(2018－）0＝1.

6.（2018广西南宁，17，3） 观察下列等式：30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…，根据其中规律可得30+31+32+…+32018的结果的个位数字是 ．
【答案】3，【解析】∵30=1，31=3，32=9，33=27，34=81
∴各位数4个数一循环，
∴(2018+1)÷4=504余3，
∴1+3+9=13
x
y
O
∴30+31+32+…+32018的结果的个位数字3．

7. （2018湖北十堰，14，3分） 对于实数a，b，定义运算“※”如下，a※b＝a2－ab，例如，5※3＝52－5*3＝10．若（x＋1）※(x－2)＝6，则x的值为 ．
【答案】1
【解析】由于（x＋1）※(x－2)＝6，所以（x＋1）2－（x＋1）（x－2）＝6，即有3x＋3＝6，解得x＝1，
故答案为：1．

8. （2018湖北随州11，3分）计算：－|2－2|＋2tan45°＝______．
【答案】4．
【解析】＝＝2；根据“负数的绝对值等于它的相反数”可得|2－2|＝2－2；熟记特殊角的三角函数值可得2tan45°＝2×1＝2，所以原式＝2－(2－2)＋2＝2－2＋2＋2＝4．

三、解答题
1. （2018省市，题号，分值）计算：
【思路分析】先计算各项的值，进而求得结果，一个负数的绝对值为它的相反数，任何非零数的零次幂都为1，一个数的-1次幂相当于它的倒数
【解题过程】原式=2-1+2=3
【知识点】绝对值；零指数幂和负整指数幂；有理数加减

2. （2018省市，题号，分值）先化简，再求值：，其中a=
【思路分析】先将分式化简，再将a值代入求值
【解题过程】,当a=时，原式=
【知识点】分式的乘除；二次根式


3. （2018广西省桂林市，19，6分）计算：．
【思路分析】先算出每一个式子的值，再依据混合运算顺序，依次计算即可．
【解题过程】＝．
【知识点】实数的四则运算；特殊角三角函数值的运用；负指数次幂；0次幂；二次根式的化简

4. （2018黑龙江省龙东地区，21，5分） 先化简，再求值：，其中a＝sin30°．
【思路分析】先化简分式，再求a的值，最后把a的值代入计算即可．
【解题过程】解：原式＝＝＝．
当a＝sin30°＝时，原式＝－1．
【知识点】分式的化简求值；特殊角的锐角三角函数值；平方差公式；完全平方公式

5. （2018山东省东营市，19①，4分）
计算：
【思路分析】根据绝对值、0指数、三角函数、负数的偶次幂、分数的负整数指数幂的法则性质进行计算即可。
【解题过程】解：原式=
=
=2-
【知识点】绝对值、0指数、三角函数、负数的偶次幂、分数的负整数指数幂.

6.（2018四川乐山，17，9）计算：
【思路分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂、特殊角的锐角三角函数值、二次根式化简等考点的运算.解题的思路是先逐个计算出零指数幂、特殊角的锐角三角函数值、二次根式除法的四个值，再进行计算．在幂的运算中，非0实数的0次幂等于0，
【解题过程】解：原式= 6分
8分
9分
【知识点】实数的运算；锐角三角函数

7. （2018四川乐山，20，10） 20.先化简，再求值：
，其中m是方程的根.
【思路分析】本题考查代数式的化简求值，解题的关键是熟练地掌握整式的乘、除法法则与乘法公式．先利用完全平方公式和平方差公式化简、合并同类项，再代入数值进行计算．整式运算的顺序是：先做整式的乘除，再做整式的加减，整式加减的实质就是合并同类项．对于化简求值题，常常先化简再求值．
【解题过程】解：原式=
5分

7分
∵m是方程的根，
∴，
∴， 9分
∴原式=. 10分
【知识点】乘法公式；整式的除法


8. (2018甘肃省兰州市,17,5分) (5分)计算:.
【思路分析】根据负整数指数幂的性质,零指数幂的运算法则,绝对值的化简法则进行运算｡
【解题过程】.
【知识点】实数的计算

9.（本题共2个小题，第（1）题6分，第（2）题4分，共10分）
（1） （2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号18（1），分值6）
计算：- 2cos60°-
【思路分析】先化简每一项再计算.
【解题过程】解：（1）原式=4+1-2×+3-π=7-π.
【知识点】 实数的运算，特殊角三角函数值.

10. （湖北省咸宁市，17(1)，4）计算：；
【思路分析】分别根据二次根式的化简、开立方、绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可
【解题过程】原式＝
【知识点】二次根式性质与化简；开立方；绝对值

11. （2018湖南省怀化市，17，8分）计算：
【思路分析】原式利用特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，以及负整数指数幂法则计算即可得到结果．
【解题过程】
＝2×-1++2
＝+2
【知识点】实数的运算
零指数幂
特殊角的三角函数值
负整数指数幂

12. （2018浙江嘉兴，17，6） （1）计算：；
【思路分析】先根据绝对值、零指数和算术平方根的概念分别求， ， ，再进行运算.


【解答过程】原式＝－2＋3－1＝．

（2）化简并求值：，其中ａ＝1，b＝2；
【思路分析】先算括号，再算乘法．
【解答过程】（2）原式＝；
13. （2018贵州省毕节市，21，8分）计算：计算: ．
【思路分析】先算出每一个式子的值，再依据混合运算顺序，依次计算即可．
【解题过程】＝＝－5．
【知识点】实数的四则运算；特殊角三角函数值的运用；负指数次幂；0次幂；二次根式的化简；绝对值


14. （2018年黔三州，21,12）
（1）计算：-2-2cos60°+16-1-(2018-3)0
【思路分析】先求出-2的绝对值，60°的余弦值，16的负整数值及（2018-3)0的值，然后根据实数运算进行计算.
【解题过程】原式=2-2×12+6-1=2-1+6-1=6.
【知识点】绝对值，特殊角函数值，负指数，零指数

15. （2018湖南娄底，19，6）计算: .
【思路分析】根据运算规则计算即可
【解题过程】解：原式

【知识点】零指数和负指数幂、二次根式化简、特殊三角函数、绝对值

16.（2018江苏扬州，19，8）计算或化简：
（1）；
【思路分析】（1）根据负整数幂、绝对值的运算法则和特殊三角函数值即可化简求值；
【解题过程】解：（1）原式；
【知识点】负整数指数幂，实数的计算，绝对值，锐角三角函数值，

17. （2018湖南省怀化市，16，4分）根据下列材料，解答问题．
等比数列求和：
概念：对于一列数，，，…，，…（为正整数），若从第二个数开始，每一个数与前一个数的比为一定值，即（常数），那么这一列数，，，…，，…这一列数成等比数列，这一常数叫做该数列的公比。
例：求等比数列1，3，，，…，的和．
解：令
则
因此，，所以，
即
仿照例题，等比数列1，5，，，…，的和为________．
【答案】
【思路分析】仿造例题令，找出，二者做差即可得出 的值．
【解题过程】令，则
，
由-得，，所以
【知识点】规律型，数字的变化类

18. （2018辽宁省沈阳市，17，6分）计算：2tan45°-+-.

【思路分析】先代入特殊三角函数值、计算绝对值、负分数的指数幂、零指数幂，再进行加减乘混合运算.
【解题过程】解：2tan45°-+-
=21-（）+4-1
=2+.
【知识点】特殊三角函数值；绝对值；负分数的指数幂；零指数幂；实数的混合运算.

19.（2018青海，2，5分）计算：3tan30°+38+（-12）-1+（-1）2018

【思路分析】先分别计算出特殊三角函数值、立方根、负指数幂、指数幂，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解题过程】
【知识点】实数的运算

20. （2018山西省，16题，10分）
计算 （1） （22）2--4+3-1×6+20
【解题过程】
解：原式= 8-4+2+1
= 7
（2）x-2x-1∙x2-1x2-4x+4-1x-2
【解题过程】
解：原式= x+1x-2-1x-2
= xx-2
【知识点】实数的运算、分式的化简

21. （2018广西贵港，19①，5）
（1）计算：|3－5|－（π－3.14）0＋（－2）－1＋sin30°；
【思路分析】分别计算|3－5|，（π－3.14）0，（－2）－1，sin30°，然后按实数加减运算计算即可；
【解答过程】原式＝2－1＋（－）＋＝1

22. （2018贵州铜仁，19①，5）（1）计算：-4cos60°-；
【思路分析】由开方，特殊角三角函数值，负整数指数幂和零指数幂计算各部分的值，再把最后的结果相加减.

【解答过程】原式=2-4×-1-2=-3.

23. (2018湖南湘西州，19，6分) 计算：＋(π－2018)0－2tan45°．
【解答过程】原式＝2＋1－2×1＝1．

24. （2018江苏常州，19，6）(本小题满分6分)计算：．
【解答过程】原式=1－2－1+ =0

25. （2018江苏苏州，19，5分）（本题5分）计算：．
【思路分析】 解答本题时要分别求出绝对值，二次根式，乘方的值，然后再做加减运算.
【解答过程】原式＝＋3－
＝3．


26.（2018•徐州，19①，5）计算：
（1） ；
【解答过程】原式＝－1＋1－2＋2＝0

27. （2018江苏镇江，18（1），4分）（1）计算：．
【思路分析】先将每一项化简，再利用有理数混合运算计算出结果．
【解答过程】原式＝＝．

28. (2018辽宁葫芦岛，19，10分) 先化简，再求值：(－)÷，其中a＝3－1＋2 sin30°．
【思路分析】本题考查分式的化简求值，计算a的值时，要注意正确运用负指数幂运算法则和特殊角的三角函数值．
【解答过程】原式＝(－)÷＝(－)÷＝×＝．
当a＝＋1＝时，原式＝＝7．

29.（2018内蒙古通辽，18，5分）计算：－|4－|－(π－3.14)0＋（1－cos30°）×（）－2．
【思路分析】分别计算|4－|，(π－3.14)0，（）－2．然后将cos30°的值代入，最后按实数的运算法则进行计算即可．
【解题过程】原式＝－（4－）－1＋（1－cos30°）×4
＝－4＋2－1＋4－4cos30°
＝2－1－4×＝－1

30. （2018云南省昆明市，16，7分）先化简，再求值：，其中．
【思路分析】按照先乘除后加减的运算顺序，利用约分法则，先算乘法，在利用同分母的分式加减法则通分，化到最简后，再求出a的值，代入求值即可．
【解题过程】，且，当时，原式＝．
【知识点】分式的混合运算；分式的加减；分式约分；特殊角的三角函数值；绝对值；代数式求值


31. （2018广西南宁，19，6） 计算：|－4|+3tan60°－ － ()－1
【思路分析】先根据绝对值的性质、三角函数的含义、二次根式的化简和负指数幂分别求|－4|、3tan60°、、()－1，再进行有理数的加减运算．
【解答过程】原式=4＋3×－2－2= 2＋

32. (2018黑龙江大庆，19，4)
【思路分析】运用乘方，绝对值，立方根等概念进行运算.
【解答过程】解：原式＝1＋－1－2＝－2

33. （2018黑龙江哈尔滨，题号，7）先化简，再求代数式(1)÷的值，其中a＝4cos30°＋3tan45°．
【思路分析】先算括号里减法（通分后加减），再因式分解后进行约分，求出a值，最后代入求出．
【解答过程】
解:原式＝
＝
＝
＝
∵a ＝4×＋3×1
＝＋3
∴原式＝＝

34. (2018湖北黄石，18，7分)先化简，再求值：．其中x＝sin60°．
【思路分析】将分子、分母因式分解，将除法运算转化为乘法运算，约去分子、分母的公因式，计算最后的结果，把x的代入最简结果中计算即可.
【解答过程】原式＝·
＝.
当x＝sin60°＝时，∴＝(－1)×＝.



35. (2018湖北黄石，17，7分)计算：()－2＋(π2－π)0＋cos60°＋|－2|.
【思路分析】先计算负整指数幂和零指数幂，把60°的余弦值直接代入，化简绝对值运算，最后计算上述结果.
【解答过程】原式＝＋1＋＋2－
＝4－.

36.（2018湖北十堰，17，5分） 计算：|－|－2－1＋．
【思路分析】先计算或化简|－|，2－1，，然后做实数的加减运算即可．
【解答过程】原式＝－＋2＝3－．

37. （2018湖北随州23，11分）（本题满分11分）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：
例：将化为分数形式
由于＝0.777…， 设x＝0.777… ①
则10x＝7.777… ②
②－①得9x＝7，解得x＝，于是得＝．
同理可得＝＝，＝1＋＝1＋＝．
根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）
【基础训练】
（1）＝____________，＝____________；
（2）将化为分数形式，写出推导过程；
【能力提升】
（3）＝____________，＝____________；
（注：＝0.315315…，＝2.01818…）
【探索发现】
（4）①试比较与1的大小：__________1（填“＞”、“＜”或“＝”）
②若已知＝，则＝__________．
（注： ＝0.285714285714…）
【思路分析】仿照题中无限小数写成分数形式的方法，设未知数，根据小数点后循环节中数字的个数扩大10倍或100倍或1000倍，再相减得一元一次方程求解即可．
【解答过程】（1）由于＝0.555…，设x＝0.555… ①
则10x＝5.555… ②
②－①得9x＝5，解得x＝，于是得＝．
同理可得＝5＋＝5＋＝．
故答案为，．
（2）由于＝0.2323… 设x＝0.2323… ①
则100x＝23.2323… ②
②－①得99x＝23，解得x＝，∴＝．
（3）由于＝0.315315…，设x＝0.315315… ①
则1000x＝315.315315… ②
②－①得999x＝315，解得x＝，于是得＝．
设x＝，
则10x＝ ③
1000x＝ ④
④－③得990x＝1998，解得x＝，于是得＝．
故答案为，．
（4）①由于＝0.999…， 设x＝0.999… Ⅰ
则10x＝9.999… Ⅱ
Ⅱ－Ⅰ得9x＝9，解得x＝1，于是得＝1．
②＝3＋＝3＋1000×－285＝．
故答案为①＝，②．

38. (2018湖南邵阳，19，8分)计算：(－1)2＋(π－3.14)0－│－2│．
【思路分析】先算乘方以及去掉绝对值号，再进行和差运算．
【解答过程】原式＝1＋1－(2－)
＝1＋1－2＋
＝．

39. （2018湖南省株洲市，19，6）计算：| －|＋2－1－3tan45°．
【思路分析】分别计算再求和．
【解题过程】解：| －|＋2－1－3tan45°
＝＋－3 3分
＝2－3
＝－1 6分
【知识点】绝对值，负整指数幂，特殊角的三角函数值

40. （2018辽宁省抚顺市，题号19，分值10）先化简，再求值：，其中x=tan45°+.
【思路分析】先将分式计算化简成最简分式，再求出x的值，最后将x值代入最简分式求值.
【解题过程】解：原式=
=
=.
x=tan45°+=1+2=3.
∴=.
【知识点】分式的混合运算，特殊角三角函数值，求指数是负整数的值.

41. （2018四川眉山，19，6分）计算：（π－2)0＋4cos30°－－．
【思路分析】本题考查实数的运算，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值、非零数的零次幂、二次根式化简、负指数幂运算等知识．①任何不为0的数的零次方都等于1；②cos30°＝；③＝2；④＝(－2)2＝4．
【解答过程】解：原式＝1＋4×－2－4＝－3

42. （2018云南曲靖，15）计算－（－2）＋＋＋
【思路分析】
【解答过程】－（－2）＋＋＋＝2＋1＋3＋1÷＝6＋（－3）＝3

43. （2018云南，15，6分）
计算：．
【思路分析】分别将算式中每一项化简，再计算出最简结果．
【解答过程】原式＝＝．

44. （2018年浙江省义乌市，17（1），4）计算：
【思路分析】根据二次根式的化简、负整数指数幂、0指数次幂和特殊角的三角函数值分别进行计算，再把所得的结果合并即可．
【解题过程】原式=
【知识点】0指数次幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值；二次根式的化简


45. （2018浙江舟山，17①，3） （1）计算：；
【思路分析】先根据绝对值、零指数和算术平方根的概念分别求， ， ，再进行运算.


【解答过程】原式＝－2＋3－1＝．