知识点20 二次函数几何方面的应用2018--1

这是一份知识点20 二次函数几何方面的应用2018--1，共88页。试卷主要包含了 ，与y轴交于点C．，，与y轴交于C点等内容，欢迎下载使用。
二、填空题
1. （2018贵州遵义，17题，4分）如图，抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE、DF，则DE+DF的最小值为______

第17题图
【答案】
【解析】点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，所以DE、DF是△PBC的中位线，DE=PC，DF=PB，所以DE+DF=(PC+PB)，即求PC+PB的最小值，因为B、C为定点，P为对称轴上一动点，点A、B关于对称轴对称，所以连接AC，与对称轴的交点就是点P的位置，PC+PB的最小值等于AC长度，由抛物线解析式可得，A(-3,0)，C(0,-3)，AC=，DE+DF=(PC+PB)=
【知识点】三角形中位线，勾股定理，二次函数，最短距离问题

2. ．（2018江苏淮安，14，3） 将二次函数y=x2 -1的图像向上平移3个单位长度，得到的图像所对应的函数表达式是 .
【答案】y=x2+2
【解析】由平移规律“左加右减”、“上加下减”，可得平移后的解析式.
解：. 由平移规律，直线y=x2 -1向上平移3个单位长度，则平移后直线为y=x2 -1+3
即y=x2 +2
故答案为y=x2 +2．
【知识点】二次函数图象与几何变换


3. （2018山东省泰安市，17，3）如图，在中，，，，点是边上的动点（不与点重合），过作，垂足为，点是的中点，连接，设，的面积为，则与之间的函数关系式为 ．


【答案】
【解析】，由可以知道线段DE、EC的数量关系， ，则由勾股定理，可以将DE、EC用含x的代数式来表示，由点是的中点，则,从而列出与之间关系式.
解：∵ ∴设，由勾股定理得：.
∵，∴ ∴
∵点是的中点 ∴
故答案是：
【知识点】三角函数，勾股定理，三角形中线性质，二次函数.

三、解答题
1. （2018湖北鄂州，23，12分）
如图，已知直线与抛物线相交于A(-1，0)，B（4，m）两点，抛物线交y轴于点C（0，），交x轴正半轴于D点，抛物线的顶点为M．
（1）求抛物线的解析式及点M的坐标；
（2）设点P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求此时△PAB的面积及点P的坐标；
（3）点Q为x轴上一动点，点N是抛物线上一点，当△QMN∽△MAD（点Q与点M对应），求Q点的坐标．

【思路分析】（1）将B（4，m）一次函数的关系式即可解得点B的坐标，再将A、B、C三点的坐标代入二次函数关系式即可求出其关系式，再将其化为顶点式就能得到点M的坐标；（2）过点P作PE⊥x轴，交AB于点E，交x轴与点G，过点B作BF⊥x轴于点F，则S△CDE＝PE·AF，求出直线AB的关系式，设点P的坐标为（m，），则点E的坐标为（m，），即可得到S△CDE的函数关系式，将其化为顶点式即可求出最大值；（3）由勾股定理的逆定理可证得△MAD是等腰直角三角形，则QMN也是等腰直角三角形，从而得到点Q的坐标．
【解析】
解：（1）将B（4，m）代入得， ，∴B（4，），将A(-1，0)，B（4， ），C（0，）代入得，解得，∴抛物线的解析式为，，故顶点M的坐标为（1，－2）；
（2）如下图（1），过点P作PE⊥x轴，交AB于点E，交x轴与点G，过点B作BF⊥x轴于点F，∵A(-1，0)，B（4，），∴AF＝4―（―1）＝5，设直线AB的关系式为y＝kx＋b，设点P的坐标为（m，），则点E的坐标为（m，），∵点P为直线AB下方，∴PE＝（）－（）＝，∴S△CDE＝S△APE ＋S△BPE＝PE·AG＋PE·FG ＝PE·（AG＋FG）＝PE·AF＝×5（）＝，∴当时，△PAB的面积最大，且最大面积为，当时，，故此时点P的坐标为（，）；
（3）∵抛物线的解析式为，，∴抛物线的对称轴为：直线x＝1，又∵A(-1，0)，∴点D的坐标为（3，0），又∵M的坐标为（1，－2），∴AD＝3―（―1）＝4，AD2＝42＝16，AM2＝（―1―3）2＋（―1―3）2＝8，DM2＝（3―1）2＋（―2―0）2＝8，∴AD2＝AM2＋DM2，且AM＝DM，
∴△MAD是等腰直角三角形，∠AMD＝90°，又∵△QMN∽△MAD，∴△QMN也是等腰直角三角形且QM＝QN，∠MQN＝90°，∠QMN＝45°，又∵∠AMD＝90°，∴∠AMQ＝∠QMD＝45°，此时点D（或点A）与点N重合，（如下图（2））此时MQ⊥x轴，故点Q的坐标为（1,0）．

【知识点】二次函数关系式；顶点式；一次函数；相似三角形的性质；等腰直角三角形的性质和判定；勾股定理的逆定理；三角形面积公式


2. （2018湖北黄冈，24题，14分）如图，在直角坐标系XOY中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，点B，C在第一象限，∠C=120°，边长OA=8.点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动，点N从A出发沿边AB-BC-CO以每秒2个单位长的速度作匀速运动.过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB与P，交对角线OB与Q，点M和点N同时出发，分别沿各自路线运动，点N运动到原点O时，M和N两点同时停止运动.
（1）当t=2时，求线段PQ的长；
（2）求t为何值时，点P与N重合；
（3）设△APN的面积为S，求S与t的函数关系式及t的取值范围.

第24题图
【思路分析】（1）由题可知Rt△POM中，∠POM＝60°，Rt△QOM中，∠QOM＝30°，当t＝2时，OM＝2，可得PM和QM的长度，进而求得PQ；（2）根据点P和点N的运动速度，可知点P和点N在边BC上相遇，因为BC=8，用含有t的代数式表示出PC和NB的长度，二者之和为8，解方程可得t的值；（3）根据（2）中的分析，可以将运动的过程分为4个阶段：0≤t≤4，4≤t≤，＜t≤8，8＜t≤12，前3个阶段，边PN都与x轴平行，求出PN长度和点P到x轴距离即可求出△APN的面积，第4个阶段，△APN的三边与坐标轴都不平行，因此，由，其中菱形面积易求，三个三角形都有一边与x轴平行，可以逐个求出面积，从而得到△APN的面积。
【解析】（1）菱形OABC中，∠AOC＝60°，所以Rt△POM中，∠POM＝60°，Rt△QOM中，∠QOM＝30°，当t＝2时，OM＝2，可得PM＝，QM＝，所以PQ＝；
（2）当t≤4时，AN=PO=2OM=2t， 当t=4时，P到达C点，N到达B点，由此可推断，点P、N在BC上相遇，设t秒时，点P与N重合，则PC=t-4，BN=2(t-4)，PC+BN=BC=8，即(t-4)+2(t-4)=8，t=，即t=时，点P与N重合；
（3）①当0≤t≤4时，PN=OA=8，且PN∥OA，PM=t，
②当4＜t≤时，P、N在边BC上，所以PN∥OA，PN=8-3(t-4)=20-3t，
③当＜t≤8时，P、N相遇后还在BC边上运动，所以PN∥OA，PN=3(t-4)-8=3t-20，
④当8＜t≤12时，如图所示，ON=24-2t，N到OM距离为，N到CP距离为，CP=t-4，BP=12-t，

综上所述，S与t的函数关系式为：



第24题解图
【知识点】菱形，三角函数，一元一次方程，三角形面积，分段函数

3. （2018湖南郴州，25，10） 如图，已知抛物线与轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为.
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴为，与轴的交点为D，在直线上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S，①求S关于的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标.

【解析】解：（1）∵与轴交于A（-1，0），B（3，0），
∴，解得：，∴抛物线的表达式为：；
（2）∵抛物线的表达式为：，∴抛物线的对称轴为，C点的坐标为（0，3），∴D点的坐标为（1，0），∵点P的横坐标为，且点P在抛物线上，∴P点的坐标为（，），设M点的坐标为（1，），分两种情况讨论：
①M点在轴的上方，当四边形CDPM是平行四边形，且C、P和D、M分别是一组相对的顶点时，设平行四边形的对角线的交点为N，根据平行四边形对角线互相平分，则N点的坐标可表示为（，）或（1，），∴=1，=，解得：=2，=6, ∴M点的坐标为（1，6）；
②M点在轴的下方，当四边形CDMP是平行四边形，且C、M和D、P分别是一组相对的顶点时，设平行四边形的对角线的交点为N′，根据平行四边形对角线互相平分，则N′点的坐标可表示为（，）或（，），∴=，=，解得：=0，=0, ∴M点的坐标为（1，0），此时M点和D点重合，且P点不在第一象限，C、D、M、P四点不能形成平行四边形，故不存在；
综上，点M的坐标为（1，6）；
（3）①∵B（3，0），C（0，3），∴OB=3，OC=3，设P点的坐标为（，），过点P分别作PE⊥轴，PF⊥轴，垂足分别为E、F，∴PE=，PF=，连结OP，则：



∴S关于的函数表达式为S=；
②∵B（3，0），C（0，3），∴OB=3，OC=3，∴BC=，设P点到直线BC的距离为，则△PBC的面积S=，
∵S=，∴=，
，
∴当=时，有最大值为，此时P点的坐标为（，）.
【知识点】 二次函数，平行四边形的判定，三角形面积，二次函数的最值
26．（2018湖南郴州，26，12）在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P作PF∥BC，交对角线BD于点F.
（1）如图1，将△PDE沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E.求证：△DEF是等腰三角形；
（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P′DF′，连接P′C，F′B，设旋转角为.
①若∠BDC，即DF′在∠BDC内部时，求证：△DP′C～△DF′B；
②如图3,若点P是CD的中点，△DF′B能否为直角三角形？如果能，试求出此时∠DBF′的值，如果不能，请说明理由.

【思路分析】（1）首先利用平行公理及矩形的性质推出PF∥AD，从而判断出∠ADB与∠DFP的关系，再联系轴对称的性质得到∠ADB=∠DFE，便可得出△DEF是等腰三角形；
（2）①由旋转的性质得出相关线段、角的相等关系，根据平行线分线段对应成比例，代换得出，由“对应边成比例及夹角相等”即可证得结论；②△DF′B为直角三角形时，可能会出现两种情形：∠DF′B=90°或∠B DF′=90°，结合旋转的性质，将要求的角转化到Rt△DP′C中，问题便得到解决.
【解析】（1）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，∵PF∥BC，∴PF∥AD，∴∠ADB=∠DFP，∵将△PDE沿对角线BD翻折得到△QDF，∴∠DFE=∠DFP，∴∠ADB=∠DFE，∴DE=EF，∴△DEF是等腰三角形；
（2）①∵PF∥BC，∴，∵△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P′DF′，∴∠BDF′=∠CDP′，DP′=DP，DF=DF′，∴，∴△DP′C～△DF′B；

②由①知，△DP′C～△DF′B，∴∠DBF′=∠DCP′，∵点P是CD的中点，∴DP=DC，
∵△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P′DF′，∴∠BDF′=∠CDP′，DP′=DP，∠DF′B=∠DP′C，
当∠DF′B=90°时，有∠DP′C =90°，∴DP=DP′=DC，∴∠ P′CD =30°，故∠DBF′=∠DCP′=30°=；

当∠B DF′=90°时，有∠C DP′=90°，∴DP=DP′=DC，故∠DBF′=∠DCP′=.

【知识点】轴对称的性质；旋转的性质；相似三角形的判定；等腰三角形的判定；平行线分线段对应成比例；三角函数

4. （2018湖南益阳，26，12分）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A点在B点的左边），与y轴交于点C．
（1）如图1，若△ABC为直角三角形，求n的值；
（2）如图1，在（1）的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以BC为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标；
（3）如图2，过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D，交y轴于点E，若AE︰ED＝1︰4． 求n的值．

【思路分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系结合射影定理即可求出n的值；（2）分为PQ与BC平行用及PQ与BC相交两种情况讨论；PQ∥BC又可分为点P在点Q左侧和点P在点Q右侧两种情况；（3）过点D作DF⊥x轴，垂足为F，构造△ADF∽△BCO，利用三角形相似，结合点A和点D在抛物线上列方程组求解．
【解析】解：（1）若△ABC为直角三角形，则OC2=OA·OB
由抛物线，可得OC=n，OA·OB=2n
∴n2=2n，解得：n1=2，n2=0（舍去）
∴n=2．
（2）由（1）可知抛物线的对称轴为，抛物线解析式为
令y=0，得x1=－1，x2=4
∴A（－1，0），B（4，0）
设点P（m，）
①当直线PQ∥BC时，当点P在点Q的左侧时（如图所示），
当△BOC平移到△QNP的位置时，四边形PQBC为平行四边形，
此时NQ=OB，即，．
，此时点P坐标为（，）

当点P在点Q的右侧时（如图所示）
同理可得：，．
，此时点P的坐标为（，）

②当直线PQ与直线BC相交时，如图所示：
此时点P到y轴的距离等于点B到对称轴的距离．
即．
，此时点P的坐标为（，）．

综上所述，满足条件的点P的坐标为（，），（，）， （，）．
（3）过点D作DF⊥x轴，垂足为F．

则AO︰OF＝ AE︰ED＝1︰4
设A（a，0），B（b，0）
则AO＝－a，OF=－4a
∵AD∥BC，
∴∠DAO=∠OBC
∵∠AFD=∠BOC=90°
∴△BOC∽△AFD
∴
即
∴
由题意: ab=－2n，∴
∴
∵点A、D在抛物线上，
∴
解得：，

∴n的值为．
【知识点】二次函数综合，相似三角形的判定和性质，平行四边形，分类讨论思想


5. (2018山东菏泽，24，10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点和点，过点作AD∥x轴交抛物线于点D.

（1）求此抛物线的表达式；
（2）点是抛物线上一点，且点关于轴的对称点在直线上，求的面积；
（3）若点是直线下方的抛物线上一动点，当点运动到某一位置时，的面积最大，求出此时点的坐标和的最大面积．
【思路分析】（1）方法1：代入和，得出关于a，b的方程组，解方程即可得出抛物线的解析式；方法2：设抛物线的表达式为y=a(x+5)(x－1)，代入A(0，－5)，得出a的值，从而得出抛物线的表达式；（2）由轴对称的性质得出点E到AD的距离，把y=－5代入抛物线的表达式，得出AD的长，利用三角形面积公式求出△EAD的面积；（3）作PQ∥y轴，交直线AB于点Q，先求出直线AB的表达式，设点P的横坐标为m，则P(m，m2+4m－5)，Q(m，－m－5)，然后表示出PQ的长；再设的面积为S，求出S关于m的二次函数，利用配方法求出S的最大值及点P的坐标．
【解析】解：（1）方法1：把和代入，得
解得
∴抛物线的表达式为y=x2+4x－5．
方法2：∵抛物线与x轴交于和，
∴设抛物线的表达式为y=a(x+5)(x－1)，
又∵抛物线与y轴交于A点，∴A(0，－5)，
把A(0，－5)代入y=a(x+5)(x－1)，得
－5=－5a，
∴a=1，
∴抛物线的表达式为y=(x+5)(x－1)=x2+4x－5．
（2）∵A(0，－5)，AD∥x轴，点E关于x轴的对称点在直线AD上，
∴点E的纵坐标为5，∴点E到直线AD的距离为10．
把y=－5代入y=x2+4x－5，得
－5=x2+4x－5，
解得x1=－4，x2=0，
∴D(－4，－5)，AD=5．
∴S△EAD=×4×10=20．
（3）设直线AB的表达式为y=kx+b，
把和A(0，－5)代入，得
解得
∴直线AB的表达式为y=－x－5．
设点P的坐标为(m，m2+4m－5)，
作PQ∥y轴，交直线AB于点Q，∴Q(m，－m－5)．
∵点是直线下方的抛物线上一动点，
∴PQ=－m－5－(m2+4m－5)=－m2－5m．
设的面积为S，
∴S=S△APQ+S△BPQ=×(－m2－5m)×(－m)+×(－m2－5m)×(m+5)=－(m+)2+，
∴当m=－时，S最大，
即当点P(－，－)时，面积最大，最大面积为．

【知识点】二次函数的综合题；动点问题；轴对称；


6.（2018四川遂宁，25，12分）如图，已知抛物线的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧），与y轴交于C点。
（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标
（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大，若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由
（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标

【思路分析】（1）首先根据抛物线的对称轴可得出a的值，进而得出抛物线的解析式，然后令y=0，得出A,B的坐标即可；
（2）首先由抛物线解析式得出C点的坐标，进而得出直线BC的解析式，然后连接PB，PC，过P点作PD∥y轴，可得S△PBC=PD·OB=，最后利用二次函数的性质得出结果；
（3）首先根据平行于y轴的直线上两点的距离公式以及MN=3得出，然后根据绝对值的意义分别求解方程和即可.
【解析】
解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x=3，
∴，解得a=-，
∴抛物线解析式为，
又抛物线与x轴交于点A，B两点，且B点在A点右侧，
令y=0，得，解得x1=-2，x2=8，
∴A(-2,0)，B（8,0）
（2）∵抛物线与y轴交与点C，
令x=0，得=4，
∴C(0，4).
设直线BC的解析式：yBC=kx+b(k≠0)，
把B，C两点坐标代入，可得
，解得，
∴,
假设存在，设P（x，y）（0＜x＜8）
连接PB，PC，过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，
∴PD=yP-yD=（）-（）==
又∵S△PBC=PD·OB=×8×[]=
∴当x=4时，△PBC的面积最大，最大面积是16，
又∵0＜x＜8，
∴存在点P使△PBC的面积最大，最大面积是16.
（3）∵M是抛物线上任意一点，
设M点的横坐标为m，
∴M点的纵坐标为yM=，
∵MN∥y轴，N是直线MN与直线BC交点，
∴N点的纵坐标yN=，
∵MN=3，
∴，
∴，
∴，
当时，解得m1=2，m2=6；
当时，解得m3=4+2,m4=4-2
∴M的坐标为（2,6）或（6,4）或（4+2，-1-）或（4-2，-1+）.

【知识点】二次函数图象与系数的关系，函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平行于坐标轴的直线上的两点的距离，解一元二次方程

7. （2018甘肃天水，T25，F12）如图所示，在正方形ABCD和△EFG中，AB=EF=EG=5cm，FG=8cm，点B、C、F、G在同一条直线l上.当点C，F重合时，△EFG以1cm/s的速度沿直线l向左开始运动，t秒后正方形ABCD与△EFG重合，部分的面积为Scm2.请解答下列问题：
（1）当t=3秒时，求S的值；
（2）当t=5秒时，求S的值；
（3）当5秒＜t≤8秒时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值.

第25题图
【思路分析】对于（1），首先确定重叠部分是三角形，再根据相似三角形的判定和性质求出高，进而得出面积；
对于（2），确定重叠部分的面积是四边形，再根据△EFG的面积-△CHG的面积计算即可；
对于（3），先确定重叠部分是五边形，然后根据相似三角形的判定和性质表示出对应边，再根据S=S△EFG- S△BFH- S△CGP，列出关于S，t的关系式，再根据二次函数的性质讨论极值即可.
【解析】过点E作EM⊥l，于点M.
∵EF=EG=5cm，FG=8cm，
∴FM=MG=4cm.
在Rt△EFM中，EM=3cm.
由△EFG以1cm/s的速度运动，可知CF=tcm………………………………………………1分
（1） 当t=3秒时，CF=3cm＜CM，知重叠部分为△CFH，如图所示………………….2分

∵∠FCH=∠FME，∠HFC=∠EFM，
∴△FCH∽△FME，
∴CFFM=CHEM.
∵CF=3cm，FM=4cm，EM=3cm，
∴CH=94.
则S=12CF·CH=278（cm2）……………………………………………………………………….4分
（2） 如图所示.当t=5秒时，点F与点B重合，△CHG的面积=278cm2…………………5分
S=12FG·EM-S△CHG=12-278=698（cm2）……………………………………………………………7分

（3） 当5秒＜t≤8秒时，重叠部分是五边形………………………………………….8分
BF=(t-5)cm，CG=(8-t)cm，
∵∠FBH=∠FME，∠HFB=∠EFM，
∴△FBH∽△FME，
∴BFFM=BHEM，
∵BF=(t-5)cm，FM=4cm，EM=3cm，
则BH=34(t-5).
∴S△BFH=12BF·BH=12(t-5)×34(t-5)=38(t-5)2=38t2-154t+758………………………………………….9分
同理CP=34(8-t)，
∴S△CGP=12CG·CP=12(8-t)×34(8-t)=38(8-t)2=38t2-6t+24…………………………………………..10分
∴S=S△EFG- S△BFH- S△CGP=12-(38t2-154t+758)-( 38t2-6t+24)=-34(t-132)2+16516.
∵-34＜0，
∴函数图象有最高点，
当t=132时，S的最大值为16516……………………………………………………………………12分

【知识点】动点问题，二次函数的应用，相似三角形的性质和判定

8. （2018甘肃天水，T26，F12）已知：抛物线y=ax2+4ax+m（a＞0）与x轴的一个交点为A（-1，0）.
（1）求抛物线以x轴的另一个交点B的坐标；
（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的一个点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；
（3）点E是第二象限内到x轴，y轴的距离比为5:2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且点E与点A在此抛物线对称轴的同侧.问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【思路分析】
【解析】（1）抛物线y=ax2+4ax+m的对称轴为x=-2，
∵该抛物线与x轴的一个交点为A（-1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为B（-3，0）………………………………………………….2分
（2）设点D的坐标为（0，m），
根据抛物线的对称性，可知点C的坐标为（-4，m）……………………………………….3分
S梯形ABCD=12(AB+CD)×OD=12×(2+4)m=9，
解得m=3………………………………………………………………………………………4分
设抛物线的关系式为y=a(x+3)(x+1)，
∵点D（0，3）在图像上，
∴3=3a，
解得a=1，
则抛物线的解析式为y=x2+4x+3………………………………………………………………7分

（3）由点E是第二象限内到x轴，y轴的距离比为5:2的点，
设点E的坐标为（-2c，5c），
∵点E在抛物线y=x2+4x+3的图像上，
∴5c=4c2-8c+3，
解得c=14或c=3，
当c=14时，点E（-12，54）；
当c=3时，点E（-6，15）（不符合题意，舍去）. …………………………………………9分
点A关于对称轴x=-2对称的点为点B，△PAE的周长=PE+AP+AE=PE+PB+AE，AE的长
为定值，要求△PAE的周长最小，即要求PB+PE最小，根据两点之间线段最短，可知连接
BE与对称轴的交点即为点P…………………………………………………………………10分
设过点B（-3，0）和点E（-12，54）的直线为y=kx+b，
得54=-12k+b,0=-3k+b.
解得k=12,b=32.
∴直线BE的关系式为y=12x+32，………………………………………………………………11分
当x=-2时，y=12，
∴点P的坐标为（-2，12）……………………………………………………………………12分

【知识点】二次函数的应用，根据轴对称求线段和最小，待定系数法求一次函数解析式

9.（2018广东广州，24，14分）已知抛物线y=x2+mx-2m-4(m>0)．
（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C， A，B，C三点都在⊙P上．
①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；
②若点C关于直线的对称点为点E，点D(0，1)，连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l， ⊙P的半径记为r，求的值．
【思路分析】（1）根据二次函数和一元二次方程的关系，利用一元二次方程根的判别式来判断抛物线与x轴交点个数；（2）分别求出（或用m表示）点A、B、C的坐标，画出示意图，利用“同弧所对的圆周角相等”证明两三角形有两角对应相等，然后利用相似求出定点坐标．（3）先由对称性求出点E的坐标，再根据E（－m，－2m－4），B（－m－2，0），D（0，1）用m分别表示BE2，BD2，DE2．用勾股定理逆定理证明∠DBE＝90°，然后求出直角三角形三边比例，求的值．
【解析】（1）令y＝0，则x2＋mx－2m－4＝0．∵△＝m2－m(－2m－4)＝m2＋8m＋16＝(m＋4) 2，又m＞4，∴(m＋4) 2＞0．∴此方程总有两个不相等的实数根，抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）①设⊙P经过轴上的另一个交点F．
令y＝0，则x2＋mx－2m－4＝0．(x－2)(x＋m＋2)＝0．x1＝2，x2＝－m－2．又m＞4，点A在点的右侧．∴A（2，0），B（－m－2，0）．∵当x＝0时，y＝－2m－4，∴C（0，－2m－4）．则AO＝0，BO＝m＋2，CO＝2m＋4．∵∠BCO＝∠BAF，∠CBO＝∠AFO，∴△BCO≌△FAO．∴，．∴FO＝1，点F（1，0）．

②∵点C（0，－2m－4）关于直线x＝的对称点为点E，∴E（－m，－2m－4），又B（－m－2，0），D（0，1）．∴BD2＝(m＋2)2＋12＝m2＋4m＋5，DE2＝(2m＋5)2＋m2＝5m2＋20m＋25, BE2＝22＋(2m＋4)2＝4m2＋16m＋20．∴BD2 ＋BE2＝ DE2．∴∠DBE＝90°．∴DE是⊙P直径．∵BD2＝(m＋2)2＋12＝m2＋4m＋5，BE2＝22＋(2m＋4)2＝4m2＋16m＋20．∴．∴．设BD＝a，BE＝2a，则DE＝．∴＝＝．

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图像与坐标轴的交点问题；勾股定理；轴对称的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质

10. （2018贵州遵义，27题，14分）在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点C(0,2)和点D(4,-2)，点E是直线与二次函数图像在第一象限内的交点。
（1）求二次函数的解析式及点E的坐标；
（2）如图①，若点M是二次函数图像上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME，求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标；
（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标。

第27题图
【思路分析】（1）由待定系数法可得a和c的值，进而得到二次函数解析式，联立两个函数解析式可得交点E的坐标；（2）分析四边形COEM是由△COE和△CME组成的，而△COE面积已经确定，△CME中CE确定，点M位置不确定，因此以CE为底，M到CE的距离则为高，因为M在抛物线上运动，作一条与CE平行的直线，当它与抛物线相切时，两直线距离最远，即三角形的高最大，切点即为M点，设出直线的解析式，与抛物线联立得到一元二次方程，令△=0，可得直线解析式，进而求出点M坐标，求得四边形面积；（3）连接BF、AC，可得∠ACO=∠ABF，则△AOC∽△FOB，通过边的比例关系得到OF，进而得到F坐标。
【解析】（1）因为二次函数的图像经过点C(0,2)和点D(4,-2)，由此可得，解得，二次函数解析式为，与联立，得x1=0（舍去），x2=3，此时，y=1，故E(3,1)。
（2）S四边形COEM=S△COE+S△CME，S△COE=，因为C(0,2)，E(3,1)，所以S△COE=3，S△CME=，其中h为点M到CE的距离，因为M在抛物线上运动，因此当平行于CE的直线与抛物线相切于点M时，h最大，从而面积最大，设l’:，与联立，得，△=36+8(6-3b)=0，b=，此时点M坐标为(,3)，过M作MN∥y轴，交CE与点N，在中，令x=，得y=，N(,)，所以S△CME==，所以S四边形COEM=S△COE+S△CME=
N

第27题解图
（3）在中，令y=0，得，，连接BF，AC，因为∠ACO=∠ABF，∠AOC=∠FOB，所以△AOC∽△FOB，则，所以，得，OF=，所以F(0,-)

【知识点】二次函数解析式，交点坐标，三角形面积，最值，相似三角形


11. （2018河北省，25，10）如图，点A在数轴上对应的数为26，一原点O为圆心，OA长为半径作优弧AB，使点B在O右下方，且tan∠AOB＝．在优弧AB上任取一点P，且能过P作直线l∥OB交数轴与点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP．
（1）若优弧AB上一段AP的长为13π，求∠AOP的度数及x的值；
（2）求x的最小值，并指出此时直线l与AB所在圆的位置关系；
（3）若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值．
第25题图
P
O
Q
B
l
26
A
26
备用图
O
B

【思路分析】（1）利用弧长公式求∠AOP的值．（2）向左平移直线l至能达到的最左端位置，再根据图形求出x的最小值．（3）由（2）可知在平移过程中有点P在直线OA上方和下方两种情况，所以要分情况讨论．
【解析】（1）设∠AOP的度数为n，则＝13π．解得n＝90．
∴OP⊥OA． 1分
∵l∥OB，∴∠PQO＝∠AOB．
∴tan∠PQO＝tan∠AOB＝＝．
∵OP＝26，∴OQ＝．
∴∠AOP的度数为90°，x的值为． 2分
（2） 如图（1），将l向左平移，当l与⊙O相切时，x取得最小值．由（1）可知tan∠PQO＝．
∴sin∠PQO＝．
∵OP＝26，
∴OQ＝．
∴x的最小值为－， 2分
此时l与AB所在圆相切． 1分
第25题答图（1）
A
26
O
B
P
Q
第25题答图（2）
A
26
O
B
P
Q
C
l

（3）如图（2）当点P在数轴上方时，过点O作OC⊥l，垂足为C．连接OP．
设QC的长度为a，则PC＝12.5＋a，OC＝a．
在Rt△OPC中有（12.5＋a）2＋（a）2＝262．
解得a1＝9.9，a2＝－18.9（舍）．
∴OQ＝a＝×9.9＝16.5．
∴此时x的值为－16.5．
当点P在数轴的下方时，同理可得x的值为－31.5．
另外，当点Q在点O右侧时，同理可得x的值为31.5．
综上，x的值为－16.5或－31.5或31.5．

【知识点】圆，扇形的弧长，直线与圆的位置关系

12. （2018湖北宜昌，24，12分） 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为,.过点的双曲线与矩形的边交于点.
(1)填空：_____,_____,点的坐标为__________；
(2)当时，经过点与点的直线 轴于点，点是过两点的抛物线的顶点.
①当点在双曲线上时，求证：直线与双曲线没有公共点；
②当抛物线与矩形有且只有三个公共点，求的值；
③当点和点随着的变化同时向上运动时，求的取值范围，并求在运动过程中直线在四边形中扫过的面积.

(第24题图)
【思路分析】(1)将点C的坐标代入双曲线，求出k值，再将x=4代入双曲线，进而求出E点坐标；
(2)①设直线，由题建立方程组，解得，得出直线表达式，∵抛物线过点，再建立方程组解得得出抛物线的表达式，得到抛物线顶点坐标，将顶点坐标代入双曲线，求出t的值.得出直线将直线与双曲线联立方程组，据根的判别式，判断出直线与双曲线是否有公共点.
②当抛物线过点，此时抛物线与矩形有且只有三个公共点，建立方程，求出t值;
当顶点在线段上，此时抛物线与矩形有且只有三个公共点，建立方程，求出t值;
③由点的坐标，当时，随着的增大而增大，此时，点在直线上向上运动.又由点的坐标，当时，随着的增大而增大，点在轴上向上运动.

当时，直线与轴交于，与轴交于，当时，直线过点，
当时，直线在四边形中扫过的面积为
【解析】解：(1)填空：，点的坐标为；
(2)①设直线
由题意得
解得
∴直线
∵抛物线过点

解得
∴抛物线
顶点
∵顶点在双曲线上


此时直线
联立，得


∴直线与双曲线没有公共点
②当抛物线过点，此时抛物线与矩形有且只有三个公共点，
则
当顶点在线段上，此时抛物线与矩形有且只有三个公共点，
则，
或
③点的坐标为，

当时，随着的增大而增大，
此时，当时，随着的增大，点在直线上向上运动.
又点的坐标为

当时，随着的增大而增大，
此时当时，随着的增大而增大，点在轴上向上运动.

当时，直线与轴交于，与轴交于
当时，直线过点，
当时，直线在四边形中扫过的面积为

【知识点】二次函数综合，点的坐标，双曲线，抛物线，根的判别式，四边形的面积
13. （2018湖南省湘潭市，26，10分）如图，点P为抛物线y=x2上一动点．
（1）若抛物线y=x2是由抛物线y=（x+2）2-1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；
（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，-1），过点P作PM⊥l于M．
①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．
②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．

【思路分析】（1）直接根据抛物线的平移规律“上加下减，左加右减”解答；（2）①过点P作PB⊥y轴于点B构造Rt△PFB，从而利用勾股定理求出BF的长，最后根据线段的和差关系求出OF的长，从而确定出点F的坐标；②根据①中的结论，得到PM=PF，所以QP+PF的最小值为QP+QM的最小值，即当Q、P、M三点共线时，从而求出结果.
【解析】解：（1）∵抛物线y=（x+2）2-1的顶点为（-2，-1），
∴抛物线y=（x+2）2-1的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线y=x2的图象．
（2）①存在一定点F，使得PM=PF恒成立．
如图一，过点P作PB⊥y轴于点B，

设点P坐标为（a，a2），∴PM=PF=a2+1，∵PB=a，∴点B的坐标为（0，a2），
∴Rt△PBF中，BF===a2-1，∵BO=a2，
∴OF=OB-BF=1，
∴点F坐标为（0，1）
②由①，PM=PF，
∴QP+PF的最小值为QP+QM的最小值，即当Q、P、M三点共线时，QP+QM有最小值为点Q纵坐标5．
∴QP+PF的最小值为5．
【知识点】二次函数的平移规律；勾股定理；点到直线的距离


14. （2018江苏淮安，27，12）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴和y轴分别相交于A、B两点。动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动。点A关于点P的对称点为点Q,以线段PQ为边向上作正方形PQMN。设运动时间为x秒。
(1) 当秒时，点Q的坐标是 ；
(2) 在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S,求S与t的函数表达式；
(3) 若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出运动过程中OT+PT的最小值。


【思路分析】本题综合考查动点问题，（1）由动点的特征，代入数据直接计算即可；
（2）由题意分类讨论，由动点的特征，分别代入数据直接计算即可

【解析】 (1)当 秒时，可得 AP=1，则点 P 坐标为（5,0），因点 A 坐标为（6,0），则点 Q 坐
标为（4,0）.
(2)由题意可知：重叠部分面积为正方形面积减去△CDN 的面积，因运动时间为 t，且点 A 关
于点 P 的对称点为点 Q，即 AP=PQ=3t，则可设点 P 坐标为（6-3t，0），则点 C 坐标为（6-3t，2t），则 CN=t,
则当 0≤ t≤1 时，

则当时，

则当 时，

综上：
（3）

【知识点】正方形的性质；勾股定理；分类讨论思想；转化思想；待定系数法；数形结合法；条件探索型问题；
动点问题；坐标系中点的坐标特征

15. （2018山东德州，25，14分）如图1,在平面直角坐标系中,直线与抛物线交于两点，其中,.该抛物线与轴交于点,与轴交于另一点.
第25题图

(1)求的值及该抛物线的解析式;
(2)如图2.若点为线段上的一动点(不与重合).分别以、为斜边,在直线的同侧作等腰直角△和等腰直角△,连接,试确定△面积最大时点的坐标.
(3)如图3.连接、,在线段上是否存在点,使得以为顶点的三角形与△相似,若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【思路分析】(1)易求的值，再用待定系数法求抛物线的解析式； (2)求出的长后，设，用m的代数式表示出PM、PN的长，得出△面积关于m的函数关系式，再结合增减性得最大值；(3)通过计算发现AB∥CD，得∠BAD=∠CDO=45°，以后分两种情况讨论，得夹这对对应角的两边成比例，求出DQ长，结合∠QDO=45°得点Q坐标.
【解析】解：（1）把点、点代入得，
∴，
∵，过点、点，
∴，解得：，
∴；
(2）如图2，∵△和△为等直角三角形，
∴，
∴，
∴△为直角三角形.
令，解得：，
∴，.
设，则，
，，
∴
==
∴当，即时，最大，此时，所以；
（3）存在点坐标为或.
答案来源：由A（1，0），B（4，3），C（0，－5），D（5，0），求得AB=，AD=4，，所以∠BAD=∠CDO=45°，所以下面分两种情况讨论：①当△ADQ∽△DAB时，，所以DQ=AB=，过Q点作x轴的垂线，垂足为E，则DQ=EQ=，因为D（5，0），所以坐标为；②当△QDA∽△DAB时， ，所以，所以DQ= ，同上得坐标为，综上所述存在点坐标为或.

【知识点】待定系数法，二次函数的最值，相似三角形

16.（2018山东省日照市，21，13分）如图，已知点A（－1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上.
（1）求抛物线解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；
（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由.

【思路分析】（1）由待定系数法求抛物线解析式；
（2）作PD⊥x轴交直线BC于D，将△PBC转化为S△PDC+S△PDB列方程求解；
（3）由∠BQC=∠BAC推出点Q在△ABC外接圆上，外接圆圆心是弦AC与对称轴的交点，从而确定外接圆圆心坐标及半径长，进而求得点Q坐标.
【解析】（（1）把点A（－1，0），B（3，0），C（0，1）代入y=ax2+bx+c，得，
解得，所以抛物线的解析式为y=－x2+x+1.
（2）∵B（3，0），C（0，1）, ∴直线BC的解析式为y=－x+1，过点P作PD⊥x轴交直线BC于D，设P(x, －x2+x+1)易得D(x, -x+1).
∴PD=－x2+x+1－(－x+1)= －x2+x.
∴S△PBC=S△PDC+S△PDB=PD(xB－xC)=(－x2+x)(3－0)=－x2+x.
又∵S△PBC=1，∴－x2+x=1，∴x2-3x+2=0，解得x1=1,x2=2.
∴P1（1，），P2（2，1）.
（3）答：存在.
理由：如图 ，∵A（－1，0），C（0，1），
∴OC=OA=1，∴∠BAC=45°.
∵∠BAC=∠BQC，∴∠BQC=45°.



∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点.
设△ABC外接圆圆心为M，∵线段AC的垂直平分线为直线：y=－x，线段AB的垂直平分线为：x=1.
∴点M为直线y=－x与直线x=1的交点，即M（1，－1），
∴∠BMC=2∠BQC=90°，又∵MQ=MB=R=，
∴yQ=－（1+）=－1－，
∵Q在直线x=1上，
∴xQ=1，
∴Q（1，－1－）.
【知识点】待定系数法 三角形外接圆 线垂直平分线 三角形面积

17. （2018·新疆维吾尔、生产建设兵团，23，13）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－x－4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点达到终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，△PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；
（3）在（2）的条件下，当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使△BMC的面积是△PBQ的面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【思路分析】（1）令二次函数中的自变量及函数值分别等于0，解相应的方程，即可得到A、B、C的坐标；（2）过点Q作QD⊥AB于点D，则AP＝2t，BQ＝t，BO＝3，AB＝5，OC＝4，BC＝＝5，从而PB＝5－2t．然后利用相似三角形的判定与性质，得到DQ＝t，然后利用三角形的面积公式，得到S△PBQ＝AB•DQ＝×t×(5－2t)，再利用配方法化抛物线为顶点式即可求出运动时间t为多少秒时，△PBQ的面积S最大及最大值；（3）过M用ME⊥AB交BC于点N，先求直线BC的解析式，设M(m，m2－m－4)，从而得到N点的坐标为N(m，m－4)，于是S△MBC＝S△CMN＋S△BMN＝MN•OB＝－m2＋3m，再通过△BMC的面积是△PBQ的面积的1.6倍，得到关于m的一元二次方程，解之并检验就得到符合题的点M的坐标了．
【解析】解：（1）令y＝x2－x－4中的y＝0，得x2－x－4＝0，解得x1＝－2，x2＝3；令x＝0，得y＝－4，故A(－2，0)，B(3，0)，C(0，－4) ．
（2）如下图，过点Q作QD⊥AB于点D，则AP＝2t，BQ＝t，BO＝3，AB＝5，OC＝4，BC＝＝5，从而PB＝5－2t．
∵DQ∥CP，
∴△BDQ∽△BOC．
∴，即．
∴DQ＝t．
∴S△PBQ＝AB•DQ＝×t×(5－2t)＝－t2＋2t＝－(t－)2＋．
∴当t＝时，S△PBQ取最大值为．

（3）假设存在符合条件的点M(m，m2－m－4)，设直线BC的解析式为y＝kx－4，则3k－4＝0，解得k＝，从而BC：y＝x－4．过M用ME⊥AB交BC于点N，如下图，则N(m，m－4)，从而MN＝m－4－(m2－m－4)＝－m2＋2m．
故S△MBC＝S△CMN＋S△BMN＝MN•OB＝－m2＋3m．
∵△BMC的面积是△PBQ的面积的1.6倍，
∴－m2＋3m＝1.6×，整理，得m2－3m＋2＝0，解得m1＝1，m2＝2．
∵点M在BC下方的抛物线上，
∴0＜m＜3．
∴m1＝1，m2＝2，皆符合题意，此时P(1，－4)或P(2，－)．

【知识点】二次函数；一次函数；一元二次方程的解法；勾股定理；相似三角形的性质与判定；一次函数的解析式的求法；配方法；探究性质问题；最值问题；动态问题；压轴题

18. （2018福建A卷，25，14）已知抛物线y=ax2+bx+c过点A (0，2) ．
(1)若图象过点(，0)，求a与b满足的关系式；
(2) 抛物线上任意两点M(x1，y1)、N(x2，y2)都满足x1< x2