知识点45 尺规作图2018--1

这是一份知识点45 尺规作图2018--1，共22页。
一、选择题
1. （2018山东潍坊，6，3分）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：
（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；
（2）以C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；
（3）连接BD，BC.
下列说法不正确的是（ ）
A．∠CBD=30° B．S△BDC= C．点C是△ABD的外心 D．sin2A+cos2D=1

【答案】D
【解析】由（1）可知，AB=AC=BC，∴△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠ACB=∠ABC=60°，S△ABC=

又由（2）可知CD=AC=BC=AB，
∴∠CBD=∠D=∠ACB=30°，S△BDC= S△ABC=，点C是△ABD的外心.
故选项A、B、C正确，故选择D.
【知识点】尺规作图，等边三角形，等腰三角形，直角三角形

2. （2018年山东省枣庄市，10，3分）如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形，线段的端点都在小矩
第10题图

形的顶点上，如果点是某个小矩形的顶点，连接，那么使为等腰三角形的点的个数是（ ）
A． 2个 B． 3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【思路分析】首先由正方形的对边相等找到小矩形的长与宽的数量关系，其次利用网格作图中作垂线的方法找出符合题意的点，并注意分类思想的渗透．
【解题过程】如下图，设每个小矩形的长与宽分别为x、y，则有2x＝x＋2y，从而x＝2y．因为线段AB是1×2的矩形对角线，所以根据网格作垂线可知，过点B与AB垂直且相等的线段有BP1和BP2，过点A与AB垂直且相等的线段有BP3，且P1、P2，P3都在顶点上，因此满足题意的点P共有3个，故选择B．

【知识点】网格作图；等腰直角三角形

3. （2018浙江湖州，9，3）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：
①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；
②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；
③连结OG．
问：OG的长是多少？
大臣给出的正确答案应是（ ）
A．r B．（1+）r C．（1+）r D．r
第9题图
A
F
E
D
C
B
G
O

【答案】D
【解析】连接AD，AG，则AD经过点O．∵六个点等分圆，∴可求得AC＝r．∵△AOG是直角三角形，∴由勾股定理可知OG的长为r．故选D.
A
F
E
D
C
B
G
O
第9题答图

【知识点】圆，等边三角形，勾股定理1. （2018湖南郴州，7，3）如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于点C，D两点，分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P，以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（ ）
A.6 B.2 C.3 D.

【答案】D
【思路分析】判断出OP是∠AOB的平分线，过点M作ME⊥OB于E，根据角平分线的性质可得∠MOB=30°，然后根据“直角三角形中30°所对的直角边等于斜边一半”列式计算即可得解．
【解析】解：由题意得OP是∠AOB的平分线，过点M作ME⊥OB于E，又∵∠AOB=60°，
∴∠MOB=30°，在Rt△MOE中，OM=6，∴EM=OM=3，故选C．

【知识点】角平分线的性质，尺规作图

2. （2018河北省，6，3）尺规作图要求：ⅰ．过直线外一点作这条直线的垂线；ⅱ．作线段的垂直平分线；
ⅲ．过直线上一点作这条直线的垂线；ⅳ．作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
l
P
①
A
B
O
②
·
③
B
A
④
l

P

则正确的配对是（ ）
A．①—ⅳ，②—ⅱ，③—ⅰ，④—ⅲ B． ①—ⅳ，②—ⅲ，③—ⅱ，④—ⅰ
C．①—ⅱ，②—ⅳ，③—ⅲ，④—ⅰ D． ①—ⅳ，②—ⅰ，③—ⅱ，④—ⅲ
【答案】D
【解析】根据不同的作图方法可以一一对应． ②的已知点在直线外，所以对应ⅰ，④的已知点在直线上，所以对应ⅲ．
【知识点】尺规作图，角的平分线，垂线，线段的垂直平分线

3. （201湖北宜昌，13，3分） 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.下列作图中正确的是( )
A. B.
C. D.
(第13题图)
【答案】B
【解析】经过已知直线外一点作这条直线的垂线的尺规作图为:以这点为圆心画弧，再以和直线的两个交点为圆心画弧，两弧交点和这点连接，该直线就是这条直线的垂线.故选择B.
【知识点】尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线.

4. 2018贵州安顺，T8，F3）已知△ABC （AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使 PA+PC = BC, 则符合要求的作图痕迹是（ ）



【答案】D
【解析】选项A，该作图痕迹表示AB=PB，不符合题意；选项B，该作图痕迹表示作线段AC的垂直平分线交BC于点P，即PA=PC，不符合题意；选项C，该作图痕迹表示AC=PC，不符合题意；选项D，该作图痕迹表示作线段AB的垂直平分线交BC于点P，即PA=PB，故PA+PC=BC,符合题意.故选D.
【知识点】尺规作图.

5. （2018四川凉山州，4，4分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A、B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交BC于D，连结AD．若AD＝AC，∠B＝25°，则∠C=（ ）
A.70° B.60° C.50° D.40°

【答案】C
【解析】由作图可知MN为线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∠DAB=∠B＝25°,∵∠CDA为△ABD的一个外角，∴∠CDA=∠DAB+∠B＝50°.∵AD＝AC，∴∠C=∠CDA=50°.故选择C.
【知识点】尺规作图——线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质.

6.1. （2018江苏无锡，10，3分）如图是一个3×3正方形方格纸的对角线AB剪下图形，一质点P由A点出发，沿格点线每次向右或向上运动1个单位长度，则点P由点A运动到B点的不同路径共有（ ）
A.4条 B. 5条 C. 6条 D.7条

【答案】B
【思路分析】按照点P经过的格点确定所有符合要求的路线.
【解题过程】如图所示，

运动路线有：ACDFGJB；ACDFIJB；ACEFGJB；ACEFIJB；ACEHIJB，共5条.
【知识点】

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二、填空题
1. （2018四川省成都市，14，4）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E，若DE＝2，CE＝3，则矩形的对角线AC的长为 ．

【答案】
【思路分析】因为由作图可知MN为线段AC的垂直平分线，则有AE＝CE＝3，在Rt△ADE中，由勾股定理可以求出AD的长，然后再在Rt△ADC中用勾股定理求出AC即可．
【解析】解：连接AE，由作图可知MN为线段AC的垂直平分线，∴AE＝CE＝3，在Rt△ADE中，＝＋，∴AD＝＝，在Rt△ADC中，＝＋，∵CD＝DE＋CE＝5，∴AC＝＝．

【知识点】尺规作图；线段垂直平分线的性质；勾股定理
1. （2018湖南益阳，18，4分）如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3． 按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M、N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线AE；④以同样的方法作射线BF． AE交BF于点O，连接OC，则OC= ．

【答案】
【思路分析】过点O作OD⊥AC，垂足为D．根据题目给出的数据可知△ABC为直角三角形，根据作图可知点O为△ABC的内心，从而根据内切圆半径公式，求出内切圆半径OD，从而求出OC的长．
【解析】解：过点O作OD⊥AC，垂足为D．

由作图可知AE、CF分别是∠BAC和∠ABC的平分线，
∴点O为△ABC的内心，OC平分∠ACB，
∵AB=5，AC=4，BC=3．
∴32＋42=52．
∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°．
∵OD为内切圆半径，
∴OD=
∵∠OCD=∠ACB =45°．
∴△OCD为等腰直角三角形．
∴OC=OD=．
【知识点】勾股定理的逆定理，三角形的内切圆，基本作图，等腰直角三角形．

2. （2018湖北荆州，T12，F3）已知：，求作：的平分线．作法：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点；③画射线．射线即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是 ．

【答案】SSS
【解析】由作图可得OM=ON，MC=NC，而OC=OC，∴根据“SSS”可判定DMOC≌DNOC.
【知识点】作图—基本作图；三角形全等的判定.


三、解答题
1. （2018江苏无锡，26，10分）如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）.
（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC=90°，△ABC与△AOC的面积相等.（作图不必写作法，但要保留作图痕迹）
（2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式.

【思路分析】（1）方法一：过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂直分别为A、C，过AC 画直线即可；
方法二：连接OB，作OB的垂直平分线，分别交x轴、y轴于点A、C，过AC 画直线即可.
（2）根据（1）中的作图方法，利用待定系数法求出函数表达式.
【解题过程】（1）方法一：过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂直分别为A、C，过AC 画直线即可；

方法二：连接OB，作OB的垂直平分线，分别交x轴、y轴于点A、C，过AC 画直线即可.

（2）方法一：由作图可知点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，4），
设AC的解析式为y=kx+b，
则，解得,
∴.
方法二：作BM⊥x轴于点M，BN⊥y轴于点N，则BM=4，BN=6，

设A（a，0）C（0，b），利用轴对称的性质可得BC=OC=b，AB=OA=a，
由△BAM∽BCN得，
∴，
∴
设AC的解析式为y=mx+n，
则，解得,
∴.
【知识点】


2. （2018山东省济宁市，18，7）（7分）在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（如图所示）面积的方法.现有以下工具：
①卷尺；②直棒EF；③T型尺（CD所在的直线垂直平分线段AB）.

（1） 在图1中，请你画出用T型尺找大圆圆心的示意图（保留画图痕迹，不写画法）；
（2） 如图2，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M，N之间的距离，就可求出环形花坛的面积.”如果测得MN=10cm，请你求出这个环形花坛的面积.
【思路分析】（1）根据垂径定理，可知：圆心O必在直线CD上，则直线CD与C′D′的交点即为所求的点O；（2）设切点为C，连接OM，OC．从而化归直角三角形中，应用勾股定理即可解决问题.
【解题过程】（1）如图点O即为所求；

（2）设切点为C，连接OM，OC．
∵ MN是切线，∴OC⊥MN，∴CM=CN=5，
∴ OM2-OC2=CM2=25，∴S圆环=π•OM2-π•OC2=25π．
【知识点】尺规作图的应用 线段的垂直平分线的性质 垂径定理 勾股定理

3. (2018山东青岛中考，15，4分)已知：如图，，射线上一点.
求作：等腰，使线段为等腰的底边，点在内部，且点到两边的距离相等. （请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）

【思路分析】作线段BD的垂直平分线与∠ABC的平分线，交于点P，连接BP，PD，则△PBD就是求作的三角形．
【解题过程】解：作图如下：

【知识点】尺规作图——角平分线、垂直平分线
1. （2018江西，15，6分）如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB＝2CD，E为AB的中点．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹)．
(1)在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；
(2)在图2中，若BA＝BD，画出△ABD的AD边上的高．

第15题图
【思路分析】(1)连接CE，∵AB∥CD，AB＝2CD，E为AB的中点，∴四边形AECD是平行四边形. 由AECD得DC＝AE＝BE，∴四边形EBCD也是平行四边形，∴AF为BD上的中线．
（2）由(1)知AF、DE为等腰△ABD两腰上的中线，∴G是等腰△ABD三条中线的交点，故连接BG并延长交AD于H，则利用三线合一知BH为高．
【解析】(1)如解图①，AF为所求；
如解图②，BH为所求．


第15题解图① 第15题解图②

【知识点】等腰三角形，平行四边形，创新作图

2. （2018福建A卷，20，8） 求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.
要求：①根据给出的△ABC及线段A′B′，∠A′（∠A′=∠A），以线段A′B′为一边，在给出的图形上用尺规作出△A′B′C′，使得△A′B′C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹；
②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程.

【思路分析】①利用“作一个角等于已知角”的尺规作图方法完成作图；②利用相似三角形性质及三角形中线性质得出成比例线段，再根据“两边对应成比例及夹角相等的两个三角形相似”证两三角形相似，据此可得出结论.
【解题过程】解：（1）

（2）已知：如图，△A′B′C′∽△ABC，，A′D′=D′B′，AD=DB，求证：.
证明：∵A′D′=D′B′，AD=DB，∴A′D′=A′B′，AD=AB，
∴.
∵△A′B′C′∽△ABC，∴，，
在△A′D′C′∽△ADC中，，且，
∴△A′D′C′∽△ADC，∴.
【知识点】尺规作图——作一个角等于已知角；相似三角形的判定和性质
3. （2018四川自贡，23，10分）如图，在⊿中，.
⑴.作出经过点,圆心在斜边上且与边相切于点的⊙；
（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
⑵.设⑴中所作的⊙与边交于异于点的另外一点,若⊙的直径为5，；求的长.（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成⑵问）

【思路分析】
（1） 作出的⊙与边相切于点，∴，，连接弦，有，∴是的角平分线．根据垂径定理，∴圆心O在弦的垂直平分线上．
（2） 平分，∴∽，根据对应边成比例，求出长，在中，应用勾股定理即可求长.
【解题过程】
（1）如图，作的平分线交于点，作线段的垂直平分线交于点．以点为圆心，以为半径作圆O，图中即为所求．

（2）

∵是⊙的直径，∴.
∵平分，∴.
在与中，
，
∴∽，∴，即，解得.
在中，

综上所述，长为.
【知识点】尺规作图，切线的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形

4. （2018湖北省孝感市，20，7分）如图，中，，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：
①作的平分线交于点；
②作边的垂直平分线，与相交于点；
③连接，.
请你观察图形解答下列问题：

（1）线段，，之间的数量关系是________；
（2）若，求的度数.
【思路分析】（1）根据从垂直平分线的性质可得PA=PB=PC.
(2)根据等腰三角形的性质可得∠ACB=，再有三角形的内角和定理可得∠BAC=40°，再由角平分线的性质和等腰三角形的性质可得∠BAP =∠CAP=∠ABP =∠ACP=20°,最后由三角形外角的性质可得=∠BPD+∠CPD=∠BAP +∠ABP +∠CAP +∠ACP =80°.
【解题过程】解：（1）线段，，之间的数量关系是:（或相等）.
（2）∵平分，，，
∴，.
∵是线段的垂直平分线，
∴，∴.
∵是的外角，
∴.
∴.
∴.

【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形的内角和定理；三角形外角的性质；角平分线和线段的垂直平分线的尺规作图.


5. （2018·北京，17，5）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．

求作：直线PQ，使得PQ∥l．
作法：如图：

①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延
长线于点B；
②直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；
③作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵AB＝_______，CB＝_______，
∴PQ∥l（________________）（填推理的依据）．
【思路分析】（1）利用尺规作图，先作射线BC，再在射线BC上截取线段CQ＝CB；最后过点P、Q作直线即可；（2）由作图易知PA＝AB，CQ＝CB，依据是三角形的中位线的定义及定理，两点确定一条直线．
【解题过程】
17．解：（1）如下图所示：

（2）PA，CQ；依据：①连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；②三角形的中位线平行于第三边；③两点确定一条直线．
【知识点】尺规作图；三角形的中位线定理

6.（2018陕西，17，5分）如图，已知：在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM．请用尺规作图法，在AM上求作一点P，使△DPA∽△ABM．(不写作法，保留作图痕迹)

【思路分析】过点D作线段AM的垂线，垂足为点P，则点P即为所求的点．
【解题过程】如图所示，AM与DG的交点即为满足条件的点P．

作法如下（题目不要求写作法，以下步骤可省略）：
①以点D为圆心，以任意长为半径画弧交AM于E、F两点，
②分别以E、F为圆心，以大于EF为半径画弧，两弧交于点G，
③作直线DG交AM于点P，则点P即为所求点．

【知识点】尺规作图