知识点47 新定义型2018--1

这是一份知识点47 新定义型2018--1，共44页。试卷主要包含了=________， 问题背景，探究函数与的相关性质等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. （2018山东滨州，12，3分）如果规定表示不大于x的最大整数，例如，那么函数的图象为（ ）

A． B．

C． D．
【答案】A
【解析】当x为正整数时，y=0，排除B和C；当x为负整数时，y＝1，排除掉D，当非整数时，令x=－1.5，y=－1.5－(－2)=0.5，故选A．
【知识点】新定义问题、数形结合思想和分段函数

2. （2018山东潍坊，10，3分）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系.如图，在平面上取定一点O为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径. 点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，－300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ）

A．Q（3，240°） B．Q（3，－120°） C．Q（3，600°） D．Q（3，－500°）
【答案】D
【思路分析】作出点P关于点O成中心对称的点Q，分别求出顺时针和逆时针旋转的角度即可表示Q点坐标.
【解题过程】延长PO到点Q，使OQ＝OP，则Q点即为所求，此时OQ=OP=3，顺时针旋转角度为60°+180°=240°，从而逆时针方向旋转角度为360°－240°=120°，从而选项A、B正确，再顺时针旋转一周为240°+360°=600°，故选项C正确，逆时针旋转一周为120°+360°=480°，故Q（3，－480）而不可能为（3，－500°），故选择D.
【知识点】图形与坐标，极坐标，初高中衔接

3. （2018四川省达州市，6，3分）平面直角坐标系中，点P的坐标为（m，n），则向量可以用点P的坐标表示为＝（m，n），已知＝（x1，y1），＝（x2，y2），若x1·x2＋y1·y2＝0，则与互相垂直．
下列四组向量：①＝（3，－9），＝（1，－）；
②＝（2，π°），＝（，－1）；
③＝（cos30°，tan45°），＝（sin30°，tan45°）；
④＝（＋2，），＝（―2，）．
其中互相垂直的组有（ ）．
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】A.
【解析】①＝（3，－9），＝（1，－）；
∵3×1＋（―9）×（―）≠0，∴与互相不垂直．
②＝（2，π°），＝（，－1）；
∵2×＋（―9）×（―1）＝0，∴与互相垂直．
③＝（cos30°，tan45°），＝（sin30°，tan45°）；
∵cos30°·sin30°＋tan45°·tan45°≠0，∴与互相不垂直．
④＝（＋2，），＝（―2，）．
∵（＋2）×（―2）＋×≠0，∴与互相不垂直．
故选A.
【知识点】阅读理解题；向量

4. （2018山东临沂，14，3分）一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是( )
A.原数与对应新数的差不可能等于零．
B.原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大
C.当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30
D.当原数取50时，原数与对应新数的差最大
【答案】D
【解析】当原数是0时，新数也是0，原数与对应新数的差，等于零，选项A错误；设原数为x（x≤100的自然数），新数为，原数与对应新数的差为x－=，随着x的增大，100－x逐渐减小，所以随x的增大而减小，选项B错误；当x－=21，解得x1=30，x2=70，选项C错误；又x－=，所以当原数取50时，原数与对应新数的差最大，选项D正确，故选D.
【知识点】阅读理解
1. (2018山东菏泽，7，3分)规定：在平面直角坐标系中，如果点的坐标为(m，n)，向量可以用点的坐标表示为：=(m，n)．已知：，，如果，那么与互相垂直．
下列四组向量，互相垂直的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】解：A项，3×(－2)+2×3=0，则与互相垂直；B项，(－1)(+1)+1×1=2≠0，则与不垂直；C项，3×(－)+20180×(－1)=－2≠0，则与不垂直；D项，×+(－)×4=2×2－2=2≠0，则与不垂直．故选A．
【知识点】阅读理解；有理数混合运算；二次根式的运算；0次幂；立方根；

2. （2018山东省日照市，12，3分）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n是奇数时，F(n)=3n+1；当n为偶数时，F(n)=（其中k是使为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行. 例如，取n=24，则：

若n=13，则第2018次“F运算”的结果是（ ）
A.1 B.4 C.2018 D.42018
【答案】A
【解析】根据题意，得
第一次：当n=13时，F①=3×13+1=40，
第二次：当n=40时，F②==5，
第三次：当n=5时，F①=3×5+1=16，
第四次：当n=16时，F②==1，
第五次：当n=1时，F①=3×1+1=4，
第六次：当n=4时，F②==1，
……，
从第四次开始，每2次循环运算一个循环，
因为(2018－3)÷2=1007……1，
第2018次“F运算”的结果是1.
故选A.
【知识点】程序运算 规律探究

二、填空题
1. （2018浙江衢州，第16题，4分）定义；在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的γ（a，θ）变换。
如图，等边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上．△A1B1C1就是△ABC经γ（1，180°）变换后所得的图形．

第16题图
若△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1，△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2，△A2B2C2经γ（3，180°）变换后得△A3B3C3，依此类推……
△An-1B n-1C n-1经γ（n，180°）变换后得△AnBnC，则点A1的坐标是________，点A2018的坐标是________。
【答案】（）（）
【解析】题考查了新概念理解、阅读理解问题、等边三角形性质、规律型点的坐标．、坐标与图形变化﹣旋转等知识内容，解决该题型题目时，写出部分An点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键．首先计算A1的坐标为（），则A2为（），以此计算则有
A2018横坐标为-2×2018=，故答案为：（）（）（）
【知识点】新概念理解、阅读理解问题、等边三角形性质、规律型点的坐标．、坐标与图形变化﹣旋转


2. （2018浙江金华丽水，14，4分）对于两个非零实数x，y，定义一种新的运算：．若，则的值是 ．
【答案】－1．
【解析】∵，==a－b=2，∴===－1．故答案为－1．
【知识点】分式的加法；阅读理解


3. （2018山东聊城，17，3分）若x为实数，则[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.6]=1，[π]=3，[-2.82]=-3等.[x]+1的大于x的最小整数，对任意的实数x都满足不等式[x]＜x＜[x]+1.①利用这个不等式①，求出满足[x]=2x-1的所有解，其所有解为 .
【答案】
【解析】∵[x]＜x＜[x]+1，[x]=2x-1，
∴，即，
∴0＜x＜1，
∴[x]=2x-1=0，
∴x=.
【知识点】新定义运算、一元一次不等式组的解法、一元一次方程的解法
1. （2018湖南益阳，17，4分）规定，如：，若，则x= ．
【答案】－3或1
【思路分析】根据规定的运算顺序，把化为熟悉的一元二次方程，然后再解方程即可．
【解析】解：∵，∴，，解得：x1=－3，x2=1．
【知识点】新定义型，一元二次方程

2. （2018甘肃天水，T18，F4）规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数.例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2.按此规定： [1.7]+（1.7）+[1.7）=____.
【答案】5.
【解析】根据题意可知[1.7]=1，（1.7）=2，[1.7）=2，则[1.7]+（1.7）+[1.7）=1+2+2=5.
【知识点】定义新运算

3. （2018湖南省湘潭市，16，3分）阅读材料：若ab=n，则b=,称b为以a为底N的对数.例如23=8，则.根据材料填空：________.
【答案】2
【解析】根据材料可知.
【知识点】阅读理解型

4. （2018山东德州，17，4分）对于实数,.定义运算“◆”:
例如4◆3,因为.所以4◆3=.若满足方程组，则=_____________.
【答案】60
【解析】因为，所以，因为，所以==60.
【知识点】解方程组，新定义


5. （2018·新疆维吾尔、生产建设兵团，15，5）如图，已知抛物线y1＝－x2＋4x和直线y2＝2x．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2．若y1≠y2，取y1和y2中较小值为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．①当x＞2时，M＝y2；②当x＜0时，M随x的增大而增大；③使得M大于4的x的值不存在；④若M＝2，则x＝1．上述结论正确的是 （填写所有正确的结论序号）．

【答案】②③．
【解析】（1）根据规定并结合图形易知，x＞2时，M＝y1，故①错误；（2）易知当x＜2时，y1和y2都随x的增大而增大，从而当x＜0时，y1和y2都随x的增大而增大，故x＜0时，M随x的增大而增大，从而②正确；（3）∵y1＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，即当x＝2，∴y1的最大值为4．∴使得M大于4的x的值不存在．于是，③正确；（4）由图可知，M＝2，对应的x的值有两个，故④错误．综上，答案为②③．
【知识点】一次函数的图像与性质；二次函数的图像与性质；不等式；数形结合思想；新定义运算

6.（2018四川雅安，15题，3分）若规定运算：ab=2ab，ab=，ab=a-b2，则（12）（63）=________
【答案】
【解析】原式=(2×1×2)()=4=4-=
【知识点】新定义运算

7. （2018湖南省永州市，17，4）对于任意大于0的实数x、y，满足：log2(x·y)= log2x+ log2y，若log22=1，则log216= ．
【答案】4
【解析】根据条件中的新定义，可将log216化为log2(2×2×2×2)=log22+ log22+ log22+ log22=1+1+1+1=4．因此，本题填：4．
【知识点】阅读理解题

三、解答题
1. （2018山东滨州，26，14分）如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B．
（1）当x＝2时，求⊙P的半径；
（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；
（3）请类比圆的定义（圆可以看成是到定点距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到________的距离等于到________的距离的所有点的集合．
（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧．请利用图②，求cos∠APD的大小．

第26题图① 第26题图②
【思路分析】本题是涉及新定义的二次函数综合题，解答关键是抓住P到A点和P到x轴距离相等，先作垂直，“化斜为直”，然后利用点的坐标及勾股定理解题．
（1）通过作垂线构造Rt△AHP，根据勾股定理构造关于r的方程，通过解方程求出半径；
（2）类比（1）构造Rt△AHP，结合勾股定理得出y与x的等式，再整理为关于y的函数的形式，进而判断函数图形的形状；
（3）根据函数图象，结合集合定义的特征，得出结论；
（4）利用⊙P的半径为1，得出P点坐标，而P点恰好为二次函数的顶点，过点D作DH⊥AP于H，构造Rt△PDH，然后将D点纵坐标用m来表示，进而表示出DH，HP，利用勾股定理得出关于m的方程，整体求出（m－1）²的值，再利用锐角三角函数的定义，用将三角函数值转化为（m－1）²的值即可．
【解题过程】
（1）如图①，过A作AM⊥x轴于M，过P作PH⊥AM于H，连接PA、PB，则PB⊥x轴于点B，PA＝PB＝MH＝y．
∵A（1，2），∴OM＝1，AM＝2．∵P横坐标为2，OB＝2．∴PH＝OB－OM＝2－1＝1，AH＝AM－PB＝2－y．
在Rt△AHP中，∵AH2＋PH2＝AP2，∴(2－y)2＋12＝y2．∴y＝.
答：当x＝2时，求⊙P的半径等于.

第26题答案图① 第26题答案图②
（2）如图②，过A作AM⊥x轴于M，过P作PH⊥AM于H．连接PA、PB，则PB⊥x轴于点B，PA=PB＝MH＝y．
∵A（1，2），∴AM＝2，OM＝1．∵P（x，y），∴OB＝x，PB＝HM＝y．∴PH＝x－1，AH＝2－y．
∵在Rt△AHP中，AH²＋HP²＝AP²，∴（2－y）²＋（x－1）²＝y²．
∴4－4y＋y²＋x²－2x－1＝y²．∴4y＝x²－2x＋5.∴y＝x²－x＋.
（3）根据集合的定义可知：点A（1，2），x轴
（4）如图③，半径为1，即y＝1，代入y＝x²－x＋求得x＝1，即圆心P（1,1），又可知P（1,1）即为函数y＝x²－x＋的顶点，故作出如下图。则D（m，），过D作DH⊥AP于H，则DH＝m－1，HP＝－1＝＝（m－1）²，PD＝1，则有（m－1）²＋[（m－1）²]²＝1²，令（m－1）²＝t，则上式可替换为t＋（t）²＝1²，解得t＝4－8，cos∠APD＝＝＝＝＝（4－8）＝－2.

第26题答案图③
【知识点】勾股定理、二次函数、圆、一元二次方程、三角函数

2. （2018四川内江，27，12） 对于三个数a、b、c用M｛a，b，c｝表示这三个数的中位数，用max｛a，b，c｝表示这三个数中最大数，例如：M｛－2，－1，0｝＝－1，max｛－2，－1，0｝＝0，max｛－2，－1，a｝＝．
解决问题：
（1）填空：M｛sin45°，cos60°，tan60°｝＝ ，如果max｛3，5－3x，2x－6｝＝3，则x的取值范围为 ；
（2）如果2·M｛2，x＋2，x＋4｝＝max｛2，x＋2，x＋4｝，求x的值；
（3）如果M｛9，，3x－2｝＝max｛9，x2，3x－2｝，求x的值．
【思路分析】（1）根据中位数的定义将sin45°，cos60°，tan60°换成三角形函数值，然后从小到大排列，便得出中位数；max｛3，5－3x，2x－6｝＝3，可知5－3x≤3，2x－6≤3，组成不等式组，求出x的取值范围为；（2）因为x＋4＞x＋2，所以只需比较2与x＋4和x＋2的大小关系，分三种情况讨论，最终确定x的值；（3）对于9，，3x－2三个元素如果分类讨论情况较复杂，所以可以考虑借助图象去说明更为直观，将其分别表示为三个函数y＝9， y＝x2，y＝3x－2，在同一直角坐标系中画出它们的图象，找到交点的横坐标，然后分成几个区间去讨论，最后汇总符合条件的x的值．
【解题过程】解：（1）sin45°，≤x≤；
（2）当x＋4＞x＋2＞2时，M｛2，x＋2，x＋4｝＝x＋2，max｛2，x＋2，x＋4｝＝x＋4，∴2·（x＋2）＝x＋4，解得x＝0；当2＞x＋4＞x＋2时，M｛2，x＋2，x＋4｝＝x＋4，max｛2，x＋2，x＋4｝＝2，∴2·（x＋4）＝2，解得x＝－3，当x＋4＞2＞x＋2时，M｛2，x＋2，x＋4｝＝2，max｛2，x＋2，x＋4｝＝x＋4，∴2·2＝x＋4，解得x＝0；所以综上所述，x的值为0或－3；
（3）∵将M｛9，，3x－2｝中的三个元素分别用三个函数表示，即y＝9， y＝x2，y＝3x－2，在同一个直角坐标系中表示如下：由几个交点划分区间，分类讨论
当x≤－3时，可知M｛9，，3x－2｝＝9，max｛9，，3x－2｝＝，得＝9，x＝±3，x＝3舍，∴x＝
－3；
当－3＜x＜1时，可知M｛9，，3x－2｝＝，max｛9，，3x－2｝＝9，得＝9，∴x＝±3（舍）；
当1≤x≤2时，可知M｛9，，3x－2｝＝3x－2，max｛9，，3x－2｝＝9，得3x－2＝9，∴x＝（舍）；
当2＜x≤3时，可知M｛9，，3x－2｝＝，max｛9，，3x－2｝＝9，得＝9，∴x＝±3，x＝－3舍，
∴x＝3；
当3＜x≤时，可知M｛9，，3x－2｝＝9，max｛9，，3x－2｝＝，得＝9，∴x＝±3（舍）；
当x＞时，可知M｛9，，3x－2｝＝3x－2，max｛9，，3x－2｝＝，得3x－2＝，∴＝1（舍）；
＝2（舍）．综上所述，满足条件的x的值为3或－3．




【知识点】中位数；特殊角三角函数值；分类讨论；一元一次方程；一元一次不等式；

3. （2018·重庆B卷，25，10）对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．
（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；
（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D(m)＝，求满足D(m)是完全平方数的所有m．
【思路分析】（1）先根据“极数”的定义，较易写出千位与十位上的数字之和为9且百位与个位上的数字之和为9的四位数三个，答案不唯一；再设n的千位数字为s，百位数字为t（1≤s≤9，0≤t≤9且s、t均为整数），用代数式表示出n，化简后因式分解，即可证明n是99的倍数；（2）先求出D(m)＝，其中m＝1000s＋100t＋10(9－s)＋9－t，化简后得D(m)＝＝3(10s＋t＋1)；再根据D(m)是完全平方数，且10s＋t＋1是一个两位数，从而10s＋t＋1＝3×22、3×32、3×42、3×52，即10s＋t＋1＝12或27或48或75，于是得到方程组或或或，解方程组即可锁定符合条件的所有m．
【解题过程】
25．解：（1）答案不唯一，如5346，1782，9405，等．任意一个“极数”都是99的倍数，理由如下：
设n的千位数字为s，百位数字为t（1≤s≤9，0≤t≤9且s、t均为整数），则n＝1000s＋100t＋10(9－s)＋9－t＝990s＋99t＋99＝99(10s＋t＋1)，而10s＋t＋1是整数，故n是99的倍数．
（2）易由（1）设m＝1000s＋100t＋10(9－s)＋9－t＝990s＋99t＋99＝99(10s＋t＋1)，其中1≤s≤9，0≤t≤9且s、t均为整数，从而D(m)＝＝3(10s＋t＋1)，而D(m)是完全平方数，故3(10s＋t＋1)是完全平方数．
∵10＜10s＋t＋1＜100，
∴30＜3(10s＋t＋1)＜300．
∴10s＋t＋1＝3×22、3×32、3×42、3×52．
∴(s，t)＝(1，1)，(2，6)，(4，7)，(7，4)．
∴m＝1188，2673，4752，7425．
【知识点】整式的运算 完全平方数 不等式的解法 新定义运算题 二元一次方程的特殊解

4. （2018湖南长沙，26题，10分）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”。
（1）①在“平行四边形、矩形、菱形、正方形”中，一定是“十字形”的有___________；
②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形________“十字形”（填“是”或“不是”）；
（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的圆O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB-∠CDB=∠ABD-∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；
（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a>0，c0）
N
M

第26题解图
（3）由题，因为a>0,c>0所以，BO=-c，，DO=-ac，AC=，BD=-ac-c，，，，，，又因为，，可得a=1，所以S=-c，因为，所以S=S1+S2+，可得b=0，所以A(c,0),B(0,c),C(-c,0),D(0,-c)，所以四边形ABCD为菱形，，所以AD=，又因为AD2=c2-c，得到(c-10)(c+9)=0，所以c1=-9，c2=10(舍去)，所以抛物线的解析式为：y=x2-9
【知识点】特殊四边形，圆周角定理，勾股定理，坐标运算，二次函数，一元二次方程



5. （2018山东省济宁市，21，9）（9分）知识背景
当a＞0且x＞0时，因为(-)2≥0，所以x-2＋≥0，从而x＋≥2（当x=时取等号）.
设函数y=x＋（a＞0，x＞0），由上述结论可知：当x=时，该函数有最小值为2.
应用举例
已知函数y1=x（x＞0）与函数y2=（x＞0），则当x==2时，y1+y2=x+有最小值为2=4.
解决问题
（1）已知函数y1=x＋3（x＞-3）与函数y2=（x＋3）2+9（x＞-3），当x取何值时，有最小值？最小值是多少？
（2）已知某设备租赁使用成本包含以下三部分，一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为0.001.若设该设备的租赁使用天数为x天，则当x取何值时，该设备平均每天的租赁使用成本最低？最低是多少元？
【思路分析】应用新知识解决问题，是近几年的常考题型.一般以高中的某知识点或结论为基础，通过对新知识、例题的理解，解决新的问题.解决本题的关键是如何取最小值，最小值是多少以及取到最小值所满足的条件.
【解题过程】（1） ==(x+3)+，
∴ 当x+3=，即x=0时，有最小值，最小值是2=6；
（2）根据题意，该设备平均每天的租赁使用成本为：
=0.001x++200，
∵0.001x+=0.001(x+)，
∴ 当x==700时，x+有最小值，最小值是2=1400，
∴ 0.001x+的最小值为1.4，即当x=700时，0.001x++200的最小值为201.4，
∴当x=700时，该设备平均每天的租赁使用成本最低，最低是201.4元.
【知识点】阅读理解题

6.（2018宁波市，25题，12分） 若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形.
（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的AC的长；
（2）如图1在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC.
求证：△ABC是比例三角形;
（3）如图2，在(2)的条件下，当∠ADC=90°时，求BDAC的值.





图2
图1


（第25题图）


【思路分析】
【解题过程】解：(1)43或92或6。
(2)∵AD∥BC,
∴∠ACB=∠CAD
又∵∠BAC=∠ADC,
∴△ABC∽△DCA
∴BCCA=CAAD，即CA2=BC·AD
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD
∴∠ADB=∠ABD
∴AB=AD
∴CA2=BC·AB,
∴△ABC是比例三角形
(3)如图，过点A作AH⊥BD于点H
∵AB=AD,
∴BH=12BD.
∵AD∥BC,∠ADC=90°
∴∠BCD=90°
∴∠BHA=∠BCD=90°
又∵∠ABH=∠DBC,
∴△ABH∽△DBC
∴ABBD=BHBC
∴AB·BC=DB·BH,
∴AB·BC=12BD2
又∵AB·BC=AC2,
∴12BD2=AC2
∴BDAC=2

【知识点】相似
1. （2018湖南郴州，24，8） 参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质.因为，即，所以我们对比函数来探究.
列表：

…
-4
-3
-2
-1


1
2
3
4
…

…


1
2
4
-4
-2
-1
-

…

…


2
3
5
-3
-1
0


…

描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示.
（1）请把轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来：
（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当时，随的增大而 ；（填“增大”或“减小”）
②的图象是由的图象向 平移 个单位而得到；
③图象关于点 中心对称.（填点的坐标）
（3）设A，B是函数的图象上的两点，且=0，试求的值.

【思路分析】（1）连点成线，画出函数图象；
（2）①当时，从左到右，函数图象呈现上升趋势，所以随的增大而增大；
②因为，即，所以的图象是由的图象向上 平移1个单位而得到；
③由平移的规律，易推断出函数图象关于原点成中心对称，所以平移后函数图象关于点（0，1）中心对称.
（3）通过观察表格，判断发现当、分别取互为相反数的一组数时，其函数值相加的和的规律，进而计算得出的值；也可分别用含、的代数式表示出、的值，再通过通分变形，使待求式子中出现+的形式，然后整体代入求值.
【解析】（1）连点成线，画出函数图象，描点如下图所示：
（2）①当时，随的增大而增大 ；（填“”或“减小”）；
②的图象是由的图象向上平移1个单位而得到；
③图象关于点（1，0）中心对称.
（3）方法1：观察表格，当、分别取互为相反数的一组数时，其函数值相加的和总为2，即，∴=2+3=5.
方法2：∵，=0，
∴=2，∴=2+3=5.
【知识点】新函数，反比例函数的图象及性质

2. （2018四川遂宁，22，8分） 请阅读以下材料：已知向量，满足下列条件：
①，，②（角α的取值范围是0°＜α＜90°），③，利用上述所给条件解答问题：
如：已知，，求角α的大小；
解：∵==2，
===2，
∴=2×2cosα=4cosα
又∵=1×(-)+×3=2，
∴
∴，
∴，
∴角α的值为60°.
请仿照以上解答过程，完成下列问题：
已知，，求角α的大小
【思路分析】首先根据题意可求出的值，进而得出cosα=，然后根据特殊角的三角函数值得出角α的度数.
【解析】
解：∵，，
∴=，=，
∴=1×·cosα=cosα，
=1×1+0×（-1）=1，
∴cosα=1，
∴cosα=，
∴α=45°，
∴角α的值为45°.
【知识点】特殊角的三角函数值

3. （2018·重庆A卷，25，10）对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．
（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；
（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D(m)＝，求满足D(m)是完全平方数的所有m．
【思路分析】（1）先根据“极数”的定义，较易写出千位与十位上的数字之和为9且百位与个位上的数字之和为9的四位数三个，答案不唯一；再设n的千位数字为s，百位数字为t（1≤s≤9，0≤t≤9且s、t均为整数），用代数式表示出n，化简后因式分解，即可证明n是99的倍数；（2）先求出D(m)＝，其中m＝1000s＋100t＋10(9－s)＋9－t，化简后得D(m)＝＝3(10s＋t＋1)；再根据D(m)是完全平方数，且10s＋t＋1是一个两位数，从而10s＋t＋1＝3×22、3×32、3×42、3×52，即10s＋t＋1＝12或27或48或75，于是得到方程组或或或，解方程组即可锁定符合条件的所有m．
【解析】
解：（1）答案不唯一，如5346，1782，9405，等．任意一个“极数”都是99的倍数，理由如下：
设n的千位数字为s，百位数字为t（1≤s≤9，0≤t≤9且s、t均为整数），则n＝1000s＋100t＋10(9－s)＋9－t＝990s＋99t＋99＝99(10s＋t＋1)，而10s＋t＋1是整数，故n是99的倍数．
（2）易由（1）设m＝1000s＋100t＋10(9－s)＋9－t＝990s＋99t＋99＝99(10s＋t＋1)，其中1≤s≤9，0≤t≤9且s、t均为整数，从而D(m)＝＝3(10s＋t＋1)，而D(m)是完全平方数，故3(10s＋t＋1)是完全平方数．
∵10＜10s＋t＋1＜100，
∴30＜3(10s＋t＋1)＜300．
∴10s＋t＋1＝3×22、3×32、3×42、3×52．
∴(s，t)＝(1，1)，(2，6)，(4，7)，(7，4)．
∴m＝1188，2673，4752，7425．
【知识点】整式的运算 完全平方数 不等式的解法 新定义运算题 二元一次方程的特殊解

4. （2018江苏淮安，26，10）如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”。
(1) 若△ABC 是“准互余三角形”，∠C>90°, ∠A=60°，则∠B= ;
(2) 如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90。，AC=4, BC=5。若 AD 是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”。试问在边BC上是否存在点E（异于点D）， 使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由。
(3) 如图②，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BD丄CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长。


【思路分析】本题通过新定义考查综合几何知识，(1)由“准互余三角形”定义可知：若△ABC是“准互余三角形”，则不难得到：2∠A+∠B= 90°或 2∠B+∠A=90°又因∠A=60°，则 2∠A+∠B= 90°不成立，即代入 2∠B+∠A= 90°可得∠B.（2）由“准互余三角形”定义可知： 2∠B +∠BAE=90°，可得∠B=∠EAC，进而得△ABC∽△EAC，所以，代入数据可得结果 . (3) 由题意可知∠ABC=∠ABD+∠CBD=2∠BCD+∠CBD=90°+∠CBD.然后分类讨论，依照（2）可得结果.


【解析】解：(1)由“准互余三角形”定义可知：若△ABC是“准互余三角形”，又∠C＞90°，则有2∠A+∠B= 90°或 2∠B+∠A=90°，
又因∠A=60°，则 2∠A+∠B= 90°不成立，
即代入 2∠B+∠A= 90°可得∠B=15°.
(2) 存在，
∵点 E 在 BC 边 上 ，
∴ ∠ AEB ＞ 90 ° ，
∴2∠BAE+∠B=90° 或 2∠B +∠BAE=90° ，
∵点 E（异于点 D），
∴2∠BAE+∠B=90°不成立.
由图可知：在 Rt△ABC 中可得∠BAE+∠EAC+∠B=90° ，
又由“准互余三角形”定义可知： 2∠B +∠BAE=90°，
∴∠B=∠EAC，
∴△ABC∽△EAC （AA），
∴，
∵AC=4, BC=5,
∴,
∴

(3) 由题意可知：∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=2∠BCD+∠CBD=90°+∠CBD. ∴∠ABC＞90°，
∴本题分 2 类讨论:
①因△ABC 为“准互余三角形”，则∠BAC+2∠ACB=90°，设∠ACD=x，∠ACB=y，则可得：∠BAC=90°-2y，∠ABD=2x+2y，则∠AEB=90°-2x，又因为在△CDE 中，∠AEB=90°-x，则x=0°，与构成四边形矛盾，舍去.

②因 2∠BAC+∠ACB=90°，设∠BAC=x，则∠ACB=90°-2x，则∠ABC=90°+x，过点 B 作 BE⊥AB，易得△CBE∽△CAB，即CB2= CE× CA ，由∠ABD=2∠BCD 易得∠BAC=∠BCD，则△BAE∽△DCB，设 AE=7a，则 CB=12a，则易得 CE=9a，可解得 ，勾股定理得：，∴AC=16a=20.



【知识点】新定义；勾股定理；相似三角形的判定与性质；分类讨论的思想

5. （2018江西，23，12分）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：
求解体验
(1)已知抛物线y＝－x2＋bx－3经过点(－1，0)，则b＝________，顶点坐标为________，该抛物线关于点(0，1)成中心对称的抛物线表达式是________．
抽象感悟
我们定义：对于抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，以y轴上的点M(0，m)为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y′，则我们又称抛物线y′为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．
(2)已知抛物线y＝－x2－2x＋5关于点(0，m)的衍生抛物线为y′，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．
问题解决
(3)已知抛物线y＝ax2＋2ax－b(a≠0)．
①若抛物线y的衍生抛物线为y′＝bx2－2bx＋a2(b≠0)，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标；
②若抛物线y关于点(0，k＋12)的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点(0，k＋22)的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点(0，k＋n2)的衍生抛物线为yn，其顶点为An；…(n为正整数)．求AnAn＋1的长(用含n的式子表示)．


(备用图)
【思路分析】（1）把(－1，0)代入y＝－x2＋bx＝3即可求得b的值，再配方或利用顶点坐标公式求出求出顶点坐标，找出顶点关于(0，1)成中心对称的点的坐标，即可求得新抛物线解析式；（2）用配方法求出抛物线y＝－x2－2x＋5的顶点坐标，找出该顶点坐标关于(0，m)对称点的坐标，从而得到衍生抛物线的解析式，将“两条抛物线有交点”转化为求原抛物线的解析式与衍生抛物线的解析式组成的方程组有解，从而求得m取值范围.（3）分别求出抛物线y＝ax2＋2ax－b(a≠0)和衍生抛物线为y′＝bx2－2bx＋a2(b≠0)的顶点坐标（用含a、b的式子表示），再把原抛物线的顶点坐标代入衍生抛物线解析式，再把衍生抛物线的顶点坐标代入原抛物线解析式，从而组成方程组求得a、b的值，即求出两顶点坐标及衍生中心的坐标；
根据规律求出顶点(－1，－a－b)关于(0，k＋n2)及[0，k＋(n＋1)2]的对称点An及An＋1，再根据两点之间的距离即可求得AnAn＋1。
【解析】(1)－4；(－2，1)；y＝(x－2)2＋1；
【解法提示】把(－1，0)代入y＝－x2＋bx＝3，得0＝－1－b－3，∴b＝－4；
∴抛物线解析式为y＝－x2－4x－3，∴利用顶点坐标公式(－，)求出顶点坐标为(－2，1)；点(－2，1) 关于(0，1)成中心对称的点的坐标为(2，1)，∵中心对称是旋转180°，所以a互为相反数，∴新抛物线解析式为y＝(x－2)2＋1；
(2)y＝－x2－2x＋5即y＝－(x＋1)2＋6，
∴顶点为(－1，6)，
(－1，6)关于(0，m)对称点为(1，2m－6)，
∴衍生抛物线为：y＝(x－1)2＋2m－6，
则－(x＋1)2＋6＝(x－1)2＋2m－6，
化简得x2＝－m＋5，
∵这两条抛物线有交点，
∴－m＋5≥0，
∴m≤5；
(3)①y＝ax2＋2ax－b＝a(x＋1)2－a－b，
顶点为(－1，－a－b)，
y＝bx2－2bx＋a2＝b(x－1)2－b＋a2，
顶点为(1，－b＋a2)，
∵两交点恰好是顶点
∴，
解得，
∴顶点分别为(－1，0)和(1，12)，
∵(－1，0)(1，12)关于衍生中心对称，
∴衍生中心为它们中点，
∴＝0，＝6即(0，6)；

第23题解图
②如解图，顶点(－1，－a－b)关于(0，k＋1)的对称点A1(1，2k＋2＋a＋b)；
顶点(－1，－a－b)关于(0，k＋4)的对称点A2(1，2k＋8＋a＋b)；
顶点(－1，－a－b)关于(0，k＋n2)的对称点An(1，2k＋2n2＋a＋b)；
顶点(－1，－a－b)关于[0，k＋(n＋1)2]的对称点An＋1(1，2k＋2(n＋1)2＋a＋b)；
∴AnAn＋1＝2(n＋1)2－2n2＝4n＋2.
【知识点】二次函数的图象关于某点的中心对称，二次函数表达式的确定，二次函数的图象的交点坐标，一元二方程根的判别式，线段的长度.

6.（2018山东德州，24，12分）再读教材:
宽与长的比是(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示：)
第一步,在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.
第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.


第三步,折出内侧矩形的对角线,并把折到图③中所示的处.
第四步,展平纸片,按照所得的点折出,使,则图④中就会出现黄金矩形.

问题解决:
(1)图③中=__________(保留根号);
(2)如图③,判断四边形的形状,并说明理由;
(3)请写出图④中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由.
实际操作:
(4)结合图④.请在矩形中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽.
【思路分析】(1)在Rt△ABF中用勾股定理可得AB的长；(2)证明，结合∥，可得四边形是菱形；(3)图④中，MN=FA=BC=ED=2，MF=FB=NA=AC=1，，所以CD=，ND=，所以，=，所以矩形、矩形为黄金矩形；（4）由黄金矩形得，∴，所以所求作的矩形的宽和长分别为和CD，所以只需在矩形上添加线段，使四边形为正方形.

【解析】解：（1）
（2）四边形是菱形.
理由如下：∵四边形是矩形，
∴∥,
∴．
由折叠得：，
∴，
∴，
∴，
∵∥，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
（3）图④中的黄金矩形有矩形、矩形，
以黄金矩形为例，理由如下:
∵，
∴,又∵.
∴.
故矩形是黄金矩形．
实际操作:
（4）如图，在矩形上添加线段，使四边形为正方形，此时四边形
为所要作的黄金矩形长,宽，.

【知识点】阅读理解，黄金矩形，折叠

7.
8. （2018山东省日照市，22，13分）问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，则：AC=AB.

图1
（1）由CE=AB，BE=AB，可得BE=CE；
探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究.
(1)如图1，连接AB边上中线CE，由于CE=AB，易得结论：①△ACE为等边三角形；②BE与CE之间的数量关系为 .
(2)如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADE，且点E在∠ACB的内部，连接BE，试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明.

图2
(3)当点D为边CB延长线上任意一点时，在(2)条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论 .
拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（－，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC.当C点在第一象限内，且B（2，0）时，求C点的坐标.

图3
【思路分析】(1) 由CE=AB，BE=AB，可得BE=CE；
(2)取AB的中点P，连接EP，由等边△CPA、等边△ADE的性质，可证得△ACD≌△APE，根据全等三角形的性质，可得EP⊥AB，进而由线段垂直平分线的性质证得BE=DE.
(3)先由点A的坐标求得∠AOH=30°，再由探究结论（3）可知，CO=CB.
设点C的坐标为（1，m），在Rt△ABH、Rt△BCD中，根据勾股定理以及等边三角形的性质可得关于m的方程，即可求得m的值.
【解析】(1)BE=CE.
（2）BE=ED.
证明：如图，取AB的中点P，连接EP，
由（1）结论可知，△CPA为等边三角形.
∴∠CAP=60°，CA=PA.
∵△ADE为等边三角形，
∴∠DAE=60°，AD=AE.
∴∠CAP=∠DAE.
∴∠CAP－∠DAB=∠DAE－∠DAB.
∴∠CAD=∠PAE.
∴△ACD≌△APE(SAS).
∴∠APE=∠ACD=90°.
∴EP⊥AB.
∵P为AB的中点，
∴AE=BE.
∵DE=AE，
∴BE=DE.

(3)BE=DE.
拓展应用：解：如图，连接OA，OC.
过点A作AH⊥x轴于点H.
∵A的坐标为(－，1)，∴∠AOH=30°.
由探究结论（3）可知，CO=CB.
∵O（0，0），B（2，0），
∴点C的横坐标为1.
设C（1，m）.
∵CO2=CB2=12+m2，AB2=12+(2+)2，AB=CB，
∴12+m2=12+(2+)2，
∴m=2+.
∴C点的坐标是(1，2+).

【知识点】阅读理解 归纳探究 猜想证明 动点



9.（2018湖北荆州，T22，F8）探究函数与的相关性质.
(1)小聪同学对函数进行了如下列表描点,请你帮他完成连线的步骤;观察图象可得它的最小值为________,它的另一条性质为_________.

...



1

2

3
...

...



2




...

(2)请用配方法求函数的最小值;
(3)猜想函数的最小值为__________.
【思路分析】（1）由观察表格可知y的最小值为2，当0