四川省眉山市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类

这是一份四川省眉山市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类，共39页。试卷主要包含了0﹣|﹣|++2﹣2，﹣1+，﹣2+2sin45°﹣，÷，其中a＝﹣3，解方程组，建设美丽城市，改造老旧小区，解方程等内容，欢迎下载使用。
四川省眉山市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
一．实数的运算（共3小题）
1．（2022•眉山）计算：（3﹣π）0﹣|﹣|++2﹣2．
2．（2021•眉山）计算：（4﹣）0﹣3tan60°﹣（﹣）﹣1+．
3．（2020•眉山）计算：（2﹣）0+（﹣）﹣2+2sin45°﹣．
二．分式的化简求值（共1小题）
4．（2020•眉山）先化简，再求值：（2﹣）÷，其中a＝﹣3．
三．解二元一次方程组（共1小题）
5．（2021•眉山）解方程组：．
四．一元二次方程的应用（共1小题）
6．（2022•眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
五．解分式方程（共1小题）
7．（2022•眉山）解方程：＝．
六．分式方程的应用（共1小题）
8．（2021•眉山）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．
（1）足球和篮球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？
七．一次函数的应用（共1小题）
9．（2020•眉山）“绿水青山就是金山银山”，某村为了绿化荒山，计划在植树节当天种植柏树和杉树．经调查，购买2棵柏树和3棵杉树共需850元；购买3棵柏树和2棵杉树共需900元．
（1）求柏树和杉树的单价各是多少元；
（2）本次绿化荒山，需购买柏树和杉树共80棵，且柏树的棵数不少于杉树的2倍，要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？
八．反比例函数综合题（共3小题）
10．（2022•眉山）已知直线y＝x与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点M（2，a）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，将直线y＝x向上平移b个单位后与y＝的图象交于点A（1，m）和点B（n，﹣1），求b的值；
（3）在（2）的条件下，设直线AB与x轴、y轴分别交于点C，D，求证：△AOD≌△BOC．

11．（2021•眉山）如图，直线y＝x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线MN∥AB，且与△AOB的外接圆⊙P相切，与双曲线y＝﹣在第二象限内的图象交于C、D两点．
（1）求点A，B的坐标和⊙P的半径；
（2）求直线MN所对应的函数表达式；
（3）求△BCN的面积．

12．（2020•眉山）已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）点P在x轴上，当△PAO为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．

九．二次函数综合题（共3小题）
13．（2022•眉山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣5，0）．

（1）求点C的坐标；
（2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；
（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

14．（2021•眉山）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣2，0）和点B（4，0）．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）点P为该抛物线上一点（不与点C重合），直线CP将△ABC的面积分成2：1两部分，求点P的坐标；
（3）点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴移动，运动时间为t秒，当∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA时，求t的值．

15．（2020•眉山）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，3）．

（1）求抛物线的表达式；
（2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
一十．三角形综合题（共1小题）
16．（2020•眉山）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点B、C、E三点在同一直线上，连接BD，AD，BD交AC于点F．
（1）若AD2＝DF•DB，求证：AD＝BF；
（2）若∠BAD＝90°，BE＝6．
①求tan∠DBE的值；②求DF的长．

一十一．四边形综合题（共1小题）
17．（2021•眉山）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，边长为2的正方形DEFG的对角线交点与点C重合，连接AD，BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当点D在△ABC内部，且∠ADC＝90°时，设AC与DG相交于点M，求AM的长；
（3）将正方形DEFG绕点C旋转一周，当点A、D、E三点在同一直线上时，请直接写出AD的长．

一十二．圆的综合题（共1小题）
18．（2022•眉山）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥DC，连接AC，BC．
（1）求证：BC是∠ABD的角平分线；
（2）若BD＝3，AB＝4，求BC的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．

一十三．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共3小题）
19．（2022•眉山）数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高CD．如图，在楼前平地A处测得楼顶C处的仰角为30°，沿AD方向前进60 m到达B处，测得楼顶C处的仰角为45°，求此建筑物的高．（结果保留整数．参考数据：≈1.41，≈1.73）

20．（2021•眉山）“眉山水街”走红网络，成为全国各地不少游客新的打卡地！游客小何用无人机对该地一标志建筑物进行拍摄和观测，如图，无人机从A处测得该建筑物顶端C的俯角为24°，继续向该建筑物方向水平飞行20米到达B处，测得顶端C的俯角为45°，已知无人机的飞行高度为60米，则这栋建筑物的高度是多少米？（精确到0.1米，参考数据：sin24°≈，cos24°≈，tan24°≈）

21．（2020•眉山）某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔AB，如图所示．在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°，向小山前进80米到达点E处，测得塔顶A的仰角为60°，求小山BC的高度．

一十四．列表法与树状图法（共3小题）
22．（2022•眉山）北京冬奥组委会对志愿者开展培训活动，为了解某批次培训活动效果，随机抽取了20名志愿者的测试成绩．成绩如下：
84 93 91 87 94 86 97 100 88 94 92 91 82 89 87 92 98 92 93 88
整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：
等级
成绩/分
频数
A
95≤x≤100
3
B
90≤x＜95
9
C
85≤x＜90
▲
D
80≤x＜85
2
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）C等级的频数为 　 　，B所对应的扇形圆心角度数为 　 　；
（2）该批志愿者有1500名，若成绩不低于90分为优秀，请估计这批志愿者中成绩达到优秀等级的人数；
（3）已知A等级中有2名男志愿者，现从A等级中随机抽取2名志愿者，试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．

23．（2021•眉山）吸食毒品极易上瘾，不但对人的健康危害极大，而且严重影响家庭和社会的稳定．为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从我市某校1000名学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，调查评价结果分为：“了解较少”，“基本了解”，“了解较多”，“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．

请根据统计图回答下列问题：
（1）本次抽取调查的学生共有 　 　人，其中“了解较多”的占 　 　%；
（2）请补全条形统计图；
（3）估计此校“非常了解”和“了解较多”的学生共有 　 　人；
（4）“了解较少”的四名学生中，有3名学生A1，A2，A3是初一学生，1名学生B为初二学生，为了提高学生对禁毒知识的认识，对这4人进行了培训，然后从中随机抽取2人对禁毒知识的掌握情况进行检测．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到初一、初二学生各1名的概率．
24．（2020•眉山）中华文化源远流长，文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图．

请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次调查所得数据的众数是 　 　部，中位数是 　 　部；
（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为 　 　度；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．

参考答案与试题解析
一．实数的运算（共3小题）
1．（2022•眉山）计算：（3﹣π）0﹣|﹣|++2﹣2．
【解答】解：（3﹣π）0﹣|﹣|++2﹣2
＝
＝7．
2．（2021•眉山）计算：（4﹣）0﹣3tan60°﹣（﹣）﹣1+．
【解答】解：原式＝1﹣3×﹣（﹣2）+
＝1﹣+2+
＝3﹣．
3．（2020•眉山）计算：（2﹣）0+（﹣）﹣2+2sin45°﹣．
【解答】解：原式＝1+4+2×﹣2
＝5+﹣2
＝5﹣．
二．分式的化简求值（共1小题）
4．（2020•眉山）先化简，再求值：（2﹣）÷，其中a＝﹣3．
【解答】解：（2﹣）÷
＝
＝
＝
＝，
当a＝﹣3时，原式＝＝．
三．解二元一次方程组（共1小题）
5．（2021•眉山）解方程组：．
【解答】解：方程组整理得：，
①×15+②×2得：49x＝﹣294，
解得：x＝﹣6，
把x＝﹣6代入②得：y＝1，
则方程组的解为．
四．一元二次方程的应用（共1小题）
6．（2022•眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
【解答】解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，
依题意得：1000（1+x）2＝1440，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，
依题意得：80×（1+15%）y≤1440×（1+20%），
解得：y≤，
又∵y为整数，
∴y的最大值为18．
答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．
五．解分式方程（共1小题）
7．（2022•眉山）解方程：＝．
【解答】解：＝，
方程两边同乘（x﹣1）（2x+1）得：
2x+1＝3（x﹣1），
解这个整式方程得：
x＝4，
检验：当x＝4时，（x﹣1）（2x+1）≠0，
∴x＝4是原方程的解．
六．分式方程的应用（共1小题）
8．（2021•眉山）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．
（1）足球和篮球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？
【解答】解：（1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是（2x﹣30）元，
依题意得：＝2×，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
∴2x﹣30＝90．
答：足球的单价是60元，篮球的单价是90元．
（2）设学校可以购买m个篮球，则可以购买（200﹣m）个足球，
依题意得：90m+60(200﹣m)≤15500，
解得：m≤．
又∵m为正整数，
∴m可以取的最大值为116．
答：学校最多可以购买116个篮球．
七．一次函数的应用（共1小题）
9．（2020•眉山）“绿水青山就是金山银山”，某村为了绿化荒山，计划在植树节当天种植柏树和杉树．经调查，购买2棵柏树和3棵杉树共需850元；购买3棵柏树和2棵杉树共需900元．
（1）求柏树和杉树的单价各是多少元；
（2）本次绿化荒山，需购买柏树和杉树共80棵，且柏树的棵数不少于杉树的2倍，要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？
【解答】解：（1）设柏树的单价为x元/棵，杉树的单价是y元/棵，
根据题意得：，
解得，
答：柏树的单价为200元/棵，杉树的单价是150元/棵；

（2）设购买柏树a棵，则杉树为（80﹣a）棵，购树总费用为w元，
根据题意：a≥2（80﹣a），解得，
w＝200a+150（80﹣a）＝50a+12000，
∵50＞0，
∴w随a的增大而增大，
又∵a为整数，
∴当a＝54时，w最小＝14700，
此时，80﹣a＝26，
即购买柏树54棵，杉树26棵时，总费用最小为14700元．
八．反比例函数综合题（共3小题）
10．（2022•眉山）已知直线y＝x与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点M（2，a）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，将直线y＝x向上平移b个单位后与y＝的图象交于点A（1，m）和点B（n，﹣1），求b的值；
（3）在（2）的条件下，设直线AB与x轴、y轴分别交于点C，D，求证：△AOD≌△BOC．

【解答】（1）解：∵直线y＝x过点M（2，a），
∴a＝2，
∴将M（2，2）代入中，得k＝4，
∴反比例函数的解析式为；

（2）解：由（1）知，反比例函数的解析式为，
∵点A（1，m）在的图象上，
∴m＝4，
∴A（1，4），
由平移得，平移后直线AB的解析式为y＝x+b，
将A（1，4）代入y＝x+b中，得b＝3；

（3）证明：如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过B点作BF⊥x轴于点F．

由（1）知，反比例函数的解析式为，
∵点A（n，﹣1）在的图象上，
∴n＝﹣4，
∴B（﹣4，﹣1），
∵A（1，4），
∴AE＝BF，OE＝OF，
∴∠AEO＝∠BFO，
∴△AOE≌△BOF（SAS），
∴∠AOE＝∠BOF，OA＝OB，
由（2）知，b＝3，
∴平移后直线AB的解析式为y＝x+3，
又∵直线y＝x+3与x轴、y轴分别交于点C，D，
∴C（﹣3，0），D（0，3），
∴OC＝OD，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS）．
11．（2021•眉山）如图，直线y＝x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线MN∥AB，且与△AOB的外接圆⊙P相切，与双曲线y＝﹣在第二象限内的图象交于C、D两点．
（1）求点A，B的坐标和⊙P的半径；
（2）求直线MN所对应的函数表达式；
（3）求△BCN的面积．

【解答】解：（1）对于y＝x+6，令y＝x+6＝0，解得x＝﹣8，令x＝0，则y＝6，
故点A、B的坐标分别为（﹣8，0）、（0，6），
∵∠AOB为直角，则AB是圆P的直径，
由点A、B的坐标得：AB＝＝10，
故圆的半径＝AB＝5；

（2）过点N作HN⊥AB于点H，设直线MN与圆P切于点G，

连接PG，则HN＝PG＝5，
则sin∠NBH＝sin∠ABO＝，
在Rt△NHB中，NB＝＝，
即直线AB向上平移个单位得到MN，
故MN的表达式为y＝x+6+＝x+；

（3）由直线MN的表达式知，点N（0，），
联立MN的表达式和反比例函数表达式并整理得：3x2+49x+120＝0，
解得：x＝﹣3或﹣，
故点C的坐标为（﹣3，10），
由点C、N的坐标得：CN＝＝，
则△BCN的面积＝CN•NH＝×5×＝．
12．（2020•眉山）已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）点P在x轴上，当△PAO为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．

【解答】解：（1）∵反比例函数y＝经过点A（﹣3，2），
∴m＝﹣6，
∵点B（1，n）在反比例函数图象上，
∴n＝﹣6．
∴B（1，﹣6），
把A，B的坐标代入y＝kx+b，
则有，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣4，反比例函数的解析式为y＝﹣．

（2）如图设直线AB交y轴于C，则C（0，﹣4），
∴S△AOB＝S△OCA+S△OCB＝×4×3+×4×1＝8．

（3）由题意OA＝＝，
当AO＝AP时，可得P1（﹣6，0），
当OA＝OP时，可得P2（﹣，0），P4（，0），
当PA＝PO时，过点A作AJ⊥x轴于J．设OP3＝P3A＝x，
在Rt△AJP3中，则有x2＝22+（3﹣x）2，
解得x＝，
∴P3（﹣，0），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣6，0）或（﹣，0）或（，0）或（﹣，0）．

九．二次函数综合题（共3小题）
13．（2022•眉山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣5，0）．

（1）求点C的坐标；
（2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；
（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵点A（﹣5，0）在抛物线y＝﹣x2﹣4x+c的图象上，
∴0＝﹣52﹣4×5+c
∴c＝5，
∴点C的坐标为（0，5）；
（2）过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，如图1：
∵A（﹣5，0），C（0，5）
∴OA＝OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠CAO＝45°，
∵PF⊥x轴，
∴∠AHF＝45°＝∠PHE，
∴△PHE是等腰直角三角形，
∴，
∴当PH最大时，PE最大，
设直线AC解析式为y＝kx+5，
将A（﹣5，0）代入得0＝5k+5，
∴k＝1，
∴直线AC解析式为y＝x+5，
设P（m，﹣m2﹣4m+5），（﹣5＜m＜0），则H（m，m+5），
∴，
∵a＝﹣1＜0，
∴当时，PH最大为，
∴此时PE最大为，即点P到直线AC的距离值最大；
（3）存在，理由如下：
∵y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
设点N的坐标为（﹣2，m），点M的坐标为（x，﹣x2﹣4x+5），
分三种情况：①当AC为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴点M的坐标为（﹣3，8）；
②当AM为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴点M的坐标为（3，﹣16）；
③当AN为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴点M的坐标为（﹣7，﹣16）；
综上，点M的坐标为：（﹣3，8）或（3，﹣16）或（﹣7，﹣16）．

14．（2021•眉山）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣2，0）和点B（4，0）．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）点P为该抛物线上一点（不与点C重合），直线CP将△ABC的面积分成2：1两部分，求点P的坐标；
（3）点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴移动，运动时间为t秒，当∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA时，求t的值．

【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝a（x+2）（x﹣4）＝ax2﹣2ax﹣8a，
即﹣8a＝4，解得a＝﹣，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4①；

（2）由点A、B的坐标知，OB＝2OA，
故CO将△ABC的面积分成2：1两部分，此时，点P不在抛物线上；
如图1，当BH＝AB＝2时，CH将△ABC的面积分成2：1两部分，
即点H的坐标为（2，0），
则CH和抛物线的交点即为点P，

由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为y＝﹣2x+4②，
联立①②并解得（不合题意的值已舍去），
故点P的坐标为（6，﹣8）；

（3）在OB上取点E（2，0），则∠ACO＝∠OCE，
∵∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA，故∠AMO＝∠ECB，
过点E作EF⊥BC于点F，

在Rt△BOC中，由OB＝OC知，∠OBC＝45°，
则EF＝EB＝（4﹣2）＝＝BF，
由点B、C的坐标知，BC＝4，
则CF＝BC﹣BF＝4＝3，
则tan∠ECB＝＝＝＝tan∠AMO，
则tan∠AMO＝＝＝，
则OM＝6，
故CM＝OM±OC＝6±4＝2或10，
则t＝2或10．
15．（2020•眉山）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，3）．

（1）求抛物线的表达式；
（2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵点B（3，0），点C（0，3）在抛物线y＝﹣x2+bx+c图象上，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵点B（3，0），点C（0，3），
∴直线BC解析式为：y＝﹣x+3，
如图，过点P作PH⊥x轴于H，交BC于点G，

设点P（m，﹣m2+2m+3），则点G（m，﹣m+3），
∴PG＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵S△PBC＝×PG×OB＝×3×（﹣m2+3m）＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，S△PBC有最大值，
∴点P（，）；
（3）存在N满足条件，
理由如下：∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，
∴点A（﹣1，0），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点M为（1，4），
∵点M为（1，4），点C（0，3），
∴直线MC的解析式为：y＝x+3，
如图，设直线MC与x轴交于点E，过点N作NQ⊥MC于Q，

∴点E（﹣3，0），
∴DE＝4＝MD，
∴∠NMQ＝45°，
∵NQ⊥MC，
∴∠NMQ＝∠MNQ＝45°，
∴MQ＝NQ，
∴MQ＝NQ＝MN，
设点N（1，n），
∵点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离，
∴NQ＝AN，
∴NQ2＝AN2，
∴（MN）2＝AN2，
∴（|4﹣n|）2＝4+n2，
∴n2+8n﹣8＝0，
∴n＝﹣4±2，
∴存在点N满足要求，点N坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．
一十．三角形综合题（共1小题）
16．（2020•眉山）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点B、C、E三点在同一直线上，连接BD，AD，BD交AC于点F．
（1）若AD2＝DF•DB，求证：AD＝BF；
（2）若∠BAD＝90°，BE＝6．
①求tan∠DBE的值；②求DF的长．

【解答】（1）证明：∵AD2＝DF•DB，
∴＝，
∵∠ADF＝∠BDA，
∴△ADF∽△BDA，
∴∠ABD＝∠FAD，
∵△ABC，△DCE都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝60°，
∴∠ACD＝∠BAF，
∴△ADC≌△BFA（ASA），
∴AD＝BF．

（2）①解：过点D作DG⊥BE于G．
∵∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∵∠ACD＝60°，
∴∠ADC＝90°，
∴DC＝AC，
∴CE＝BC，
∵BE＝6，
∴CE＝2，BC＝4，
∴CG＝EG＝1，BG＝5，DG＝，
∴tan∠DBE＝＝．

②在Rt△BDG中，∵∠BGD＝90°，DG＝，BG＝5，
∴BD＝＝＝2，
∵∠ABC＝∠DCE＝60°，
∴CD∥AB，
∴△CDF∽△ABF，
∴＝＝，
∴＝，
∴DF＝

一十一．四边形综合题（共1小题）
17．（2021•眉山）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，边长为2的正方形DEFG的对角线交点与点C重合，连接AD，BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当点D在△ABC内部，且∠ADC＝90°时，设AC与DG相交于点M，求AM的长；
（3）将正方形DEFG绕点C旋转一周，当点A、D、E三点在同一直线上时，请直接写出AD的长．

【解答】解：（1）如图1，∵四边形DEFG是正方形，
∴∠DCE＝90°，CD＝CE；
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE＝90°﹣∠BCD，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
（2）如图2，过点M作MH⊥AD于点H，则∠AHM＝∠DHM＝90°．
∵∠DCG＝90°，CD＝CG，
∴∠CDG＝∠CGD＝45°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠MDH＝90°﹣45°＝45°，
∴MH＝DH•tan45°＝DH；
∵CD＝DG•sin45°＝2×＝，AC＝2，
∴AD＝＝，
∴＝tan∠CAD＝＝，
∴AH＝3MH＝3DH，
∴3DH+DH＝3；
∴MH＝DH＝，
∵＝sin∠CAD＝＝，
∴AM＝MH＝×＝．
（3）如图3，A、D、E三点在同一直线上，且点D在点A和点E之间．
∵CD＝CE＝CF，∠DCE＝∠ECF＝90°，
∴∠CDE＝∠CED＝∠CEF＝∠CFE＝45°；
由△ACD≌△BCE，得∠BEC＝∠ADC＝135°，
∴∠BEC+∠CEF＝180°，
∴点B、E、F在同一条直线上，
∴∠AEB＝90°，
∵AE2+BE2＝AB2，且DE＝2，AD＝BE，
∴（AD+2）2+AD2＝（2）2+（2）2，
解得AD＝﹣1或AD＝﹣﹣1（不符合题意，舍去）；
如图4，A、D、E三点在同一直线上，且点D在AE的延长线上．
∵∠BCF＝∠ACE＝90°﹣∠ACF，BC＝AC，CF＝CE，
∴△BCF≌△ACE（SAS），
∴∠BFC＝∠AEC，
∵∠CFE＝∠CED＝45°，
∴∠BFC+∠CFE＝∠AEC+∠CED＝180°，
∴点B、F、E在同一条直线上；
∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝90°+∠ACE，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
∵AE2+BE2＝AB2，
∴（AD﹣2）2+AD2＝（2）2+（2）2，
解得AD＝1+或AD＝1﹣（不符合题意，舍去）．
综上所述，AD的长为﹣1或1+．




一十二．圆的综合题（共1小题）
18．（2022•眉山）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥DC，连接AC，BC．
（1）求证：BC是∠ABD的角平分线；
（2）若BD＝3，AB＝4，求BC的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．

【解答】（1）证明：连接OC，如图1，

∵CD与⊙O相切于点C，OC为半径，
∴OC⊥CD，
∵BD⊥CD，
∴OC∥BD，
∴∠OCB＝∠DBC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠DBC＝∠OBC，
∴BC平分∠ABD；
（2）解：如图2，

∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC＝∠CBD，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BD⊥DC，
∴∠D＝90°，
∴∠ACB＝∠D，
∴△ABC∽△CBD，
∴，
∴BC2＝AB•BD，
∵BD＝3，AB＝4，
∴BC2＝3×4＝12，
∴或﹣2（不符合题意，舍去），
∴BC的长为2；
（3）解：如图3，作CE⊥AO于E，连接OC，

∵AB是直径，AB＝4，
∴OA＝OC＝2，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝2，
∴AO＝CO＝AC＝2，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∵CE⊥OA，
∵OE＝OA＝1，
∴，
∴阴影部分的面积为：．
一十三．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共3小题）
19．（2022•眉山）数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高CD．如图，在楼前平地A处测得楼顶C处的仰角为30°，沿AD方向前进60 m到达B处，测得楼顶C处的仰角为45°，求此建筑物的高．（结果保留整数．参考数据：≈1.41，≈1.73）

【解答】解：在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，
设CD为xm，
∴BD＝CD＝xm，
∴AD＝BD+AB＝（60+x）m，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，
tan∠CAD＝tan30°＝＝，
解得≈82．
答：此建筑物的高度约为82 m．
20．（2021•眉山）“眉山水街”走红网络，成为全国各地不少游客新的打卡地！游客小何用无人机对该地一标志建筑物进行拍摄和观测，如图，无人机从A处测得该建筑物顶端C的俯角为24°，继续向该建筑物方向水平飞行20米到达B处，测得顶端C的俯角为45°，已知无人机的飞行高度为60米，则这栋建筑物的高度是多少米？（精确到0.1米，参考数据：sin24°≈，cos24°≈，tan24°≈）

【解答】解：过C作CF⊥AD于F，如图所示：
则AF＝CE，
由题意得：AB＝20米，∠AEC＝90°，∠CAE＝24°，∠CBE＝45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BE＝CE，
设BE＝CE＝x米，则AF＝x米，
在Rt△ACE中，tan∠CAE＝＝tan24°≈，
∴AE＝x米，
∵AE﹣BE＝AB，
∴x﹣x＝20，
解得：x≈16.4，
∴AF≈16.4（米），
∴DF＝AD﹣AF＝60﹣16.4＝43.6（米），
即这栋建筑物的高度为43.6米．

21．（2020•眉山）某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔AB，如图所示．在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°，向小山前进80米到达点E处，测得塔顶A的仰角为60°，求小山BC的高度．

【解答】解：设BC为x米，则AC＝（20+x）米，
由条件知：∠DBC＝∠AEC＝60°，DE＝80米．
在直角△DBC中，tan60°＝＝，则DC＝x米．
∴CE＝（x﹣80）米．
在直角△ACE中，tan60°＝＝＝．
解得x＝10+40．
答：小山BC的高度为（10+40）米．

一十四．列表法与树状图法（共3小题）
22．（2022•眉山）北京冬奥组委会对志愿者开展培训活动，为了解某批次培训活动效果，随机抽取了20名志愿者的测试成绩．成绩如下：
84 93 91 87 94 86 97 100 88 94 92 91 82 89 87 92 98 92 93 88
整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：
等级
成绩/分
频数
A
95≤x≤100
3
B
90≤x＜95
9
C
85≤x＜90
▲
D
80≤x＜85
2
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）C等级的频数为 　6　，B所对应的扇形圆心角度数为 　162°　；
（2）该批志愿者有1500名，若成绩不低于90分为优秀，请估计这批志愿者中成绩达到优秀等级的人数；
（3）已知A等级中有2名男志愿者，现从A等级中随机抽取2名志愿者，试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．

【解答】解：（1）等级C的频数＝20﹣3﹣9﹣2＝6，
B所占的百分比为：9÷20×100%＝45%，
∴B所对应的扇形圆心角度数为：360×45%＝162°．
故答案是：6，162°；
（2）随机抽取的20名志愿者的测试成绩中大于等于9（0分）的人数共有12人，其占样本人数的百分比为：12÷20×100%＝60%，
∴1500名志愿者中成绩达到优秀等级的人数有：1500×60%＝900人．
（3）列出树状图如下所示：

共有6种等可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有4种，
∴恰好抽到一男一女的概率P（一男一女）＝．
23．（2021•眉山）吸食毒品极易上瘾，不但对人的健康危害极大，而且严重影响家庭和社会的稳定．为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从我市某校1000名学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，调查评价结果分为：“了解较少”，“基本了解”，“了解较多”，“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．

请根据统计图回答下列问题：
（1）本次抽取调查的学生共有 　50　人，其中“了解较多”的占 　30　%；
（2）请补全条形统计图；
（3）估计此校“非常了解”和“了解较多”的学生共有 　780　人；
（4）“了解较少”的四名学生中，有3名学生A1，A2，A3是初一学生，1名学生B为初二学生，为了提高学生对禁毒知识的认识，对这4人进行了培训，然后从中随机抽取2人对禁毒知识的掌握情况进行检测．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到初一、初二学生各1名的概率．
【解答】解：（1）本次抽取调查的学生共有4÷8%＝50（人），
“了解较多”的所占的百分比是：×100%＝30%．
故答案为：50，30；

（2）“基本了解”的人数为50﹣（24+15+4）＝7（人），
补全图形如下：


（3）1000×＝780（人），
答：估计此校“非常了解”和“了解较多”的学生共有780人．
故答案为：780；

（4）列表如下：

A1
A2
A3
B
A1

（A2，A1）
（A3，A1）
（B，A1）
A2
（A1，A2）

（A3，A2）
（B，A2）
A3
（A1，A3）
（A2，A3）

（B，A3）
B
（A1，B）
（A2，B）
（A3，B）

共有12种可能的结果，恰好抽到初一、初二学生各1名的有6种，
则恰好抽到初一、初二学生各1名的概率为＝．
24．（2020•眉山）中华文化源远流长，文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图．

请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次调查所得数据的众数是 　1　部，中位数是 　2　部；
（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为 　72　度；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．
【解答】解：（1）本次调查的人数为：10÷25%＝40（人），
读2部的学生有：40﹣2﹣14﹣10﹣8＝6（人），
故本次调查所得数据的众数是1部，中位数是（2+2）÷2＝2（部），
故答案为：1，2；
（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：360°×＝72°，
故答案为：72；
（3）由（1）知，读2部的学生有6人，
补全的条形统计图如右图所示；
（4）《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》分别用字母A、B、C、D表示，
树状图如下图所示：

一共有16种可能性，其中他们恰好选中同一名著的可能性有4种，
故他们恰好选中同一名著的概率是，
即他们恰好选中同一名著的概率是．