四川省乐山市三年（2020-2022）年中考数学真题汇编-03解答题知识点分类

这是一份四川省乐山市三年（2020-2022）年中考数学真题汇编-03解答题知识点分类，共46页。试卷主要包含了已知﹣＝，求A、B的值，÷，其中x＝，÷的值，解二元一次方程组等内容，欢迎下载使用。
四川省乐山市三年（2020-2022）年中考数学真题汇编-03解答题知识点分类
一．实数的运算（共1小题）
1．（2020•乐山）计算：|﹣2|﹣2cos60°+（π﹣2020）0．
二．分式的加减法（共1小题）
2．（2021•乐山）已知﹣＝，求A、B的值．
三．分式的化简求值（共2小题）
3．（2022•乐山）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝．
4．（2020•乐山）已知y＝，且x≠y，求（）÷的值．
四．解二元一次方程组（共1小题）
5．（2020•乐山）解二元一次方程组：
五．分式方程的应用（共1小题）
6．（2022•乐山）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办．为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆．已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．
六．解一元一次不等式（共1小题）
7．（2021•乐山）当x取何正整数值时，代数式与的值的差大于1？
七．解一元一次不等式组（共1小题）
8．（2022•乐山）解不等式组．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．
解：解不等式①，得 　 　．
解不等式②，得 　 　．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

所以原不等式组解集为 　 　．
八．一次函数的应用（共1小题）
9．（2020•乐山）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：
车型
每车限载人数（人）
租金（元/辆）
商务车
6
300
轿车
4

（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？
（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？
九．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
10．（2022•乐山）如图，已知直线l：y＝x+4与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点A（﹣1，n），直线l′经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．

11．（2021•乐山）如图，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数y＝（k≠0）的图象于P、Q两点．若AB＝2BP，且△AOB的面积为4．
（1）求k的值；
（2）当点P的横坐标为﹣1时，求△POQ的面积．

12．（2020•乐山）如图，已知点A（﹣2，﹣2）在双曲线y＝上，过点A的直线与双曲线的另一支交于点B（1，a）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）过点B作BC⊥x轴于点C，连接AC，过点C作CD⊥AB于点D．求线段CD的长．

一十．反比例函数的应用（共1小题）
13．（2021•乐山）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段；当20≤x≤45时，图象是反比例函数的一部分．
（1）求点A对应的指标值；
（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．

一十一．抛物线与x轴的交点（共1小题）
14．（2021•乐山）已知关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．

一十二．二次函数综合题（共3小题）
15．（2022•乐山）如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C，且tan∠OAC＝2．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图2，过点C作CD∥x轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连结PB、PC，若S△PBC＝S△BCD，求点P的坐标；
（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连结OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值．

16．（2021•乐山）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，且经过点A（0，），B（2，﹣）．
（1）求b的值（用含a的代数式表示）；
（2）若二次函数y＝ax2+bx+c在1≤x≤3时，y的最大值为1，求a的值；
（3）将线段AB向右平移2个单位得到线段A′B′．若线段A′B′与抛物线y＝ax2+bx+c+4a﹣1仅有一个交点，求a的取值范围．
17．（2020•乐山）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接AC，BC，且tan∠CBD＝，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连接FB、FC，求△BCF的面积的最大值；
②连接PB，求PC+PB的最小值．

一十三．全等三角形的判定（共1小题）
18．（2022•乐山）如图，B是线段AC的中点，AD∥BE，BD∥CE．求证：△ABD≌△BCE．

一十四．全等三角形的判定与性质（共1小题）
19．（2021•乐山）如图．已知AB＝DC，∠A＝∠D，AC与DB相交于点O，求证：∠OBC＝∠OCB．

一十五．四边形综合题（共2小题）
20．（2022•乐山）华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．
如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．求证：CE＝DF．
证明：设CE与DF交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD．
∴∠BCE+∠DCE＝90°，
∵CE⊥DF，
∴∠COD＝90°．
∴∠CDF+∠DCE＝90°．
∴∠CDF＝∠BCE，
∴△CBE≌△DFC．
∴CE＝DF．
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究．
【问题探究】
如图1，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH．试猜想的值，并证明你的猜想．
【知识迁移】
如图2，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH．则＝　 　．
【拓展应用】
如图3，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝BC，点E、F分别在线段AB、AD上，且CE⊥BF．求的值．



21．（2020•乐山）点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点．
（1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是 　 　；
（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF＝30°时，试探究线段CF，AE，OE之间的关系．

一十六．切线的判定（共1小题）
22．（2020•乐山）如图1，AB是半圆O的直径，AC是一条弦，D是上一点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，连接BD交AC于点G，且AF＝FG．
（1）求证：点D平分；
（2）如图2所示，延长BA至点H，使AH＝AO，连接DH．若点E是线段AO的中点．求证：DH是⊙O的切线．

一十七．切线的判定与性质（共1小题）
23．（2021•乐山）如图，已知点C是以AB为直径的半圆上一点，D是AB延长线上一点，过点D作BD的垂线交AC的延长线于点E，连结CD，且CD＝ED．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若tan∠DCE＝2，BD＝1，求⊙O的半径．

一十八．相似三角形的判定与性质（共1小题）
24．（2020•乐山）如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB＝3，AD＝2，CE＝1．求DF的长度．

一十九．相似形综合题（共1小题）
25．（2021•乐山）在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与点B、C重合），连结AD．
（1）如图1，若∠C＝60°，点D关于直线AB的对称点为点E，连结AE，DE，则∠BDE＝　 　；
（2）若∠C＝60°，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连结BE．
①在图2中补全图形；
②探究CD与BE的数量关系，并证明；
（3）如图3，若＝k，且∠ADE＝∠C．试探究BE、BD、AC之间满足的数量关系，并证明．

二十．特殊角的三角函数值（共1小题）
26．（2022•乐山）sin30°+﹣2﹣1．
二十一．解直角三角形（共1小题）
27．（2022•乐山）如图，线段AC为⊙O的直径，点D、E在⊙O上，＝，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．连结CE交DF于点G．
（1）求证：CG＝DG；
（2）已知⊙O的半径为6，sin∠ACE＝，延长AC至点B，使BC＝4．求证：BD是⊙O的切线．

二十二．条形统计图（共1小题）
28．（2022•乐山）为落实中央“双减”精神，某校拟开设四门校本课程供学生选择：A．文学鉴赏，B．趣味数学，C．川行历史，D．航模科技．为了解该校八年级1000名学生对四门校本课程的选择意向，张老师做了以下工作：①抽取40名学生作为调查对象；②整理数据并绘制统计图；③收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据；④结合统计图分析数据并得出结论．
（1）请对张老师的工作步骤正确排序 　 　．
（2）以上步骤中抽取40名学生最合适的方式是 　 　．
A．随机抽取八年级三班的40名学生
B．随机抽取八年级40名男生
C．随机抽取八年级40名女生
D．随机抽取八年级40名学生
（3）如图是张老师绘制的40名学生所选课后服务类型的条形统计图．假设全年级每位学生都做出了选择，且只选择了一门课程．若学校规定每个班级不超过40人，请你根据图表信息，估计该校八年级至少应该开设几个趣味数学班．

二十三．概率公式（共1小题）
29．（2020•乐山）自新冠肺炎疫情暴发以来，我国人民上下一心，团结一致，基本控制住了疫情．然而，全球新冠肺炎疫情依然严重，境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈．如图是某国截止5月31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图．

根据上面图表信息，回答下列问题：
（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为 　 　万人，扇形统计图中40﹣59岁感染人数对应圆心角的度数为 　 　°；
（2）请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图；
（3）在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人，求该患者年龄为60岁或60岁以上的概率；
（4）若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为1%、2.75%、3.5%、10%、20%，求该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率．
二十四．列表法与树状图法（共1小题）
30．（2021•乐山）某中学全校师生听取了“禁毒”宣传报告后，对禁毒人员肃然起敬．学校德育处随后决定在全校1000名学生中开展“我为禁毒献爱心”的捐款活动．张老师在周五随机调查了部分学生随身携带零花钱的情况，并将收集的数据进行整理，绘制了如图所示的条形统计图．
（1）求这组数据的平均数和众数；
（2）经调查，当学生身上的零花钱多于15元时，都愿捐出零花钱的20%，其余学生不参加捐款．请你估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款多少元？
（3）捐款最多的两人将和另一个学校选出的两人组成一个“禁毒”知识宣讲小组，若从4人中随机指定两人担任正、副组长，求这两人来自不同学校的概率．


参考答案与试题解析
一．实数的运算（共1小题）
1．（2020•乐山）计算：|﹣2|﹣2cos60°+（π﹣2020）0．
【解答】解：原式＝
＝2．
二．分式的加减法（共1小题）
2．（2021•乐山）已知﹣＝，求A、B的值．
【解答】解：﹣＝＝＝，
∴，
解得．
三．分式的化简求值（共2小题）
3．（2022•乐山）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝．
【解答】解：（1﹣）÷
＝
＝
＝x+1，
当x＝时，原式＝+1．
4．（2020•乐山）已知y＝，且x≠y，求（）÷的值．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
∵，
∴原式＝
解法2：同解法1，得原式＝，
∵，
∴xy＝2，
∴原式＝＝1．
四．解二元一次方程组（共1小题）
5．（2020•乐山）解二元一次方程组：
【解答】解：，
法1：②﹣①×3，得 2x＝3，
解得：x＝，
把x＝代入①，得 y＝﹣1，
∴原方程组的解为；
法2：由②得：2x+3（2x+y）＝9，
把①代入上式，
解得：x＝，
把x＝代入①，得 y＝﹣1，
∴原方程组的解为．
五．分式方程的应用（共1小题）
6．（2022•乐山）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办．为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆．已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．
【解答】解：设摩托车的速度为x千米/小时，则抢修车的速度为1.5x千米/小时，
依题意，得：﹣＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意．
答：摩托车的速度为40千米/小时．
六．解一元一次不等式（共1小题）
7．（2021•乐山）当x取何正整数值时，代数式与的值的差大于1？
【解答】解：依题意得：﹣＞1，
去分母，得：3（x+3）﹣2（2x﹣1）＞6，
去括号，得：3x+9﹣4x+2＞6，
移项，得：3x﹣4x＞6﹣2﹣9，
合并同类项，得：﹣x＞﹣5，
系数化为1，得：x＜5．
∵x为正整数，
∴x取1，2，3，4．
七．解一元一次不等式组（共1小题）
8．（2022•乐山）解不等式组．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．
解：解不等式①，得 　x＞﹣2　．
解不等式②，得 　x≤3　．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

所以原不等式组解集为 　﹣2＜x≤3　．
【解答】解：解不等式①，得x＞﹣2．
解不等式②，得x≤3．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

所以原不等式组解集为﹣2＜x≤3，
故答案为：x＞﹣2，x≤3，﹣2＜x≤3．
八．一次函数的应用（共1小题）
9．（2020•乐山）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：
车型
每车限载人数（人）
租金（元/辆）
商务车
6
300
轿车
4

（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？
（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？
【解答】解：（1）设租用一辆轿车的租金为x元，
由题意得：300×2+3x＝1320，
解得 x＝240，
答：租用一辆轿车的租金为240元；

（2）①只租赁商务车，
∵（辆）；
∴需要租赁6辆商务车（坐满）时，所用租金为：6×300＝1800（元）；
②只租赁商轿车，
∵（辆）；
∴需要租赁轿车9辆，所用租金为：9×240＝2160（元）；
③混合租赁两种车，
设租赁商务车m辆，租赁轿车n辆，总租金为w元，
由题意，得34≤6m+4n＜38，
w＝300m+240n．
∵m，n＞0，且均为整数，
∴当m＝1时，n＝7，w＝300×1+240×7＝1980，
当m＝2时，n＝6，w＝300×2+240×6＝2040，
当m＝3时，n＝4，w＝300×3+240×4＝1860，
当m＝4时，n＝3，w＝300×4+240×3＝1920，
当m＝5时，n＝1，w＝300×5+240×1＝1740，
∴m＝5时，租金最少为1740元；
所以租用商务车5辆和轿车1辆时，所付租金最少为1740元．
九．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
10．（2022•乐山）如图，已知直线l：y＝x+4与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点A（﹣1，n），直线l′经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．

【解答】解：∵点A（﹣1，n）在直线l：y＝x+4上，
∴n＝﹣1+4＝3，
∴A（﹣1，3），
∵点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，
∴k＝﹣3，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）易知直线l：y＝x+4与x、y轴的交点分别为B（﹣4，0），C（0，4），
∵直线l′经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称，
∴直线l′与x轴的交点为E（2，0），
设l′：y＝kx+b，则，
解得：，
∴l′：y＝﹣x+2，
∴l′与y轴的交点为D（0，2），
∴阴影部分的面积＝△BOC的面积﹣△ACD的面积＝×4×4﹣×2×1＝7．

11．（2021•乐山）如图，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数y＝（k≠0）的图象于P、Q两点．若AB＝2BP，且△AOB的面积为4．
（1）求k的值；
（2）当点P的横坐标为﹣1时，求△POQ的面积．

【解答】解：（1）∵AB＝2BP，且△AOB的面积为4，
∴△POB的面积为2，
作PM⊥y轴于M，
∴PM∥OA，
∴△PBM∽△ABO，
∴＝（）2，即，
∴△PBM的面积为1，
∴S△POM＝1+2＝3，
∵S△POM＝|k|，
∴|k|＝6，
∵k＜0，
∴k＝﹣6；
（2）∵点P的横坐标为﹣1，
∴PM＝1，
∵△PBM∽△ABO，
∴＝，即＝，
∴OA＝2，
∴A（2，0），
把x＝﹣1代入y＝﹣得，y＝6，
∴P（﹣1，6），
设直线AB为y＝mx+n，
把P、A的坐标代入得，解得，
∴直线AB为y＝﹣2x+4，
解得或，
∴Q（3，﹣2），
∴S△POQ＝S△POA+S△QOA＝×2×6+×2＝8．

12．（2020•乐山）如图，已知点A（﹣2，﹣2）在双曲线y＝上，过点A的直线与双曲线的另一支交于点B（1，a）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）过点B作BC⊥x轴于点C，连接AC，过点C作CD⊥AB于点D．求线段CD的长．

【解答】解：（1）将点A（﹣2，﹣2）代入，得k＝4，
即，
将B（1，a）代入，得a＝4，
即B（1，4），
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
将A（﹣2，﹣2）、B（1，4）代入y＝mx+n，得，解得，
∴直线AB的解析式为y＝2x+2；

（2）∵A（﹣2，﹣2）、B（1，4），
∴，
∵，
∴．
一十．反比例函数的应用（共1小题）
13．（2021•乐山）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段；当20≤x≤45时，图象是反比例函数的一部分．
（1）求点A对应的指标值；
（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．

【解答】解：（1）设当20≤x≤45时，反比例函数的解析式为y＝，将C（20，45）代入得：
45＝，解得k＝900，
∴反比例函数的解析式为y＝，
当x＝45时，y＝＝20，
∴D（45，20），
∴A（0，20），即A对应的指标值为20；
（2）设当0≤x＜10时，AB的解析式为y＝mx+n，将A（0，20）、B（10，45）代入得：
，解得，
∴AB的解析式为y＝x+20，
当y≥36时，x+20≥36，解得x≥，
由（1）得反比例函数的解析式为y＝，
当y≥36时，≥36，解得x≤25，
∴≤x≤25时，注意力指标都不低于36，
而25﹣＝＞17，
∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36．
一十一．抛物线与x轴的交点（共1小题）
14．（2021•乐山）已知关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．

【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即1+4m＞0，
∴m＞﹣，
∴m的取值范围为m＞﹣；
（2）二次函数y＝x2+x﹣m图象的对称轴为直线x＝﹣，
∴抛物线与x轴两个交点关于直线x＝﹣对称，
由图可知抛物线与x轴一个交点为（1，0），
∴另一个交点为（﹣2，0），
∴一元二次方程x2+x﹣m＝0的解为x1＝1，x2＝﹣2．
一十二．二次函数综合题（共3小题）
15．（2022•乐山）如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C，且tan∠OAC＝2．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图2，过点C作CD∥x轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连结PB、PC，若S△PBC＝S△BCD，求点P的坐标；
（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连结OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值．

【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵∠AOC＝90°，
∴tan∠OAC＝＝2，
∴OC＝2OA＝2，
∴点C（0，﹣2），
设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）•（x﹣2），
∴a•1×（﹣2）＝﹣2，
∴a＝1，
∴y＝（x+1）•（x﹣2）＝x2﹣x﹣2；
（2）设点P（a，a2﹣a﹣2），

如图1，当点P在第三象限时，作PE∥AB交BC于E，
∵B（2，0），C（0，﹣2），
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣2，
∴当y＝a2﹣a﹣2时，x＝y+2＝a2﹣a，
∴PE＝a2﹣a﹣a＝a2﹣2a，
∴S△PBC＝PE•OC，
∵抛物线的对称轴为直线y＝，CD∥x轴，C（0，﹣2），
∴点D（1，﹣2），
∴CD＝1，
∴S△BCD＝OC，
∴PE•OC＝•OC，
∴a2﹣2a＝1，
∴a1＝1+（舍去），a2＝1﹣，
当x＝1﹣时，y＝a2﹣a﹣2＝a﹣1＝﹣，
∴P（1﹣，﹣），

如图2，当点P在第一象限时，
作PE⊥x轴于E，交直线BC于F，
∴F（a，a﹣2）
∴PF＝（a2﹣a﹣2）﹣（a﹣2）＝a2﹣2a，
∴S△PBC＝OB＝CD•OC，
∴a2﹣2a＝1，
∴a1＝1+，a2＝1﹣（舍去），
当a＝1+时，y＝a2﹣a﹣2＝a2﹣2a+a﹣2＝1+1+﹣2＝，
∴P（1+，），
综上所述：P（1+，）或（1﹣，﹣）；
（3）如图3，

作PN⊥AB于N，交BC于M，
∵P（t，t2﹣t﹣2），M（t，t﹣2），
∴PM＝（t﹣2）﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+2t，
∵PN∥OC，
∴△PQM∽△OQC，
∴＝＝﹣+，
∴当t＝1时，（）最大＝．
16．（2021•乐山）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，且经过点A（0，），B（2，﹣）．
（1）求b的值（用含a的代数式表示）；
（2）若二次函数y＝ax2+bx+c在1≤x≤3时，y的最大值为1，求a的值；
（3）将线段AB向右平移2个单位得到线段A′B′．若线段A′B′与抛物线y＝ax2+bx+c+4a﹣1仅有一个交点，求a的取值范围．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，经过点A（0，），B（2，﹣），
∴，
∴b＝﹣2a﹣1（a＞0）．

（2）∵二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+，a＞0，在1≤x≤3时，y的最大值为1，
∴x＝1时，y＝1或x＝3时，y＝1，
∴1＝a﹣（2a+1）+或1＝9a﹣3（2a+1）+，
解得a＝﹣（舍弃）或a＝．
∴a＝．

（3）∵线段AB向右平移2个单位得到线段A′B′，
∴A′（2，），B′（4，﹣），
∴直线A′B′的解析式为y＝﹣x+，
∵抛物线y＝ax2﹣（2a+1）x++4a在2≤x≤4的范围内仅有一个交点，
∴即方程ax2﹣（2a+1）x++4a＝﹣x+在2≤x≤4的范围内仅有一个根，
整理得ax2﹣2ax+4a﹣3＝0在2≤x≤4的范围内只有一个解，
即抛物线y＝ax2﹣2ax+4a﹣3在2≤x≤4的范围内与x轴只有一个交点，

观察图象可知，x＝2时，y≤0，x＝4时，y≥0，
∴，
解得，≤a≤，
∴≤a≤．
17．（2020•乐山）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接AC，BC，且tan∠CBD＝，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连接FB、FC，求△BCF的面积的最大值；
②连接PB，求PC+PB的最小值．

【解答】解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣5），
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴D（2，0），
又∵＝，
∴CD＝BD•tan∠CBD＝4，
即C（2，4），
代入抛物线的解析式，得4＝a（2+1）（2﹣5），
解得 ，
∴二次函数的解析式为 ＝﹣x2++；
（2）①设P（2，t），其中0＜t＜4，
设直线BC的解析式为 y＝kx+b，
∴，
解得
即直线BC的解析式为 ，
令y＝t，得：，
∴点E（5﹣t，t），
把 代入，得 ，
即，
∴，
∴△BCF的面积＝×EF×BD＝（t﹣）＝，
∴当t＝2时，△BCF的面积最大，且最大值为；
②如图，据图形的对称性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，

∴，
过点P作PG⊥AC于G，则在Rt△PCG中，，
∴，
过点B作BH⊥AC于点H，则PG+PB≥BH，
∴线段BH的长就是的最小值，
∵，
又∵，
∴，
即，
∴的最小值为．
一十三．全等三角形的判定（共1小题）
18．（2022•乐山）如图，B是线段AC的中点，AD∥BE，BD∥CE．求证：△ABD≌△BCE．

【解答】证明：∵点B为线段AC的中点，
∴AB＝BC，
∵AD∥BE，
∴∠A＝∠EBC，
∵BD∥CE，
∴∠C＝∠DBA，
在△ABD与△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE．（ASA）．
一十四．全等三角形的判定与性质（共1小题）
19．（2021•乐山）如图．已知AB＝DC，∠A＝∠D，AC与DB相交于点O，求证：∠OBC＝∠OCB．

【解答】证明：在△AOB与△COD中，
，
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB．
一十五．四边形综合题（共2小题）
20．（2022•乐山）华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．
如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．求证：CE＝DF．
证明：设CE与DF交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD．
∴∠BCE+∠DCE＝90°，
∵CE⊥DF，
∴∠COD＝90°．
∴∠CDF+∠DCE＝90°．
∴∠CDF＝∠BCE，
∴△CBE≌△DFC．
∴CE＝DF．
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究．
【问题探究】
如图1，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH．试猜想的值，并证明你的猜想．
【知识迁移】
如图2，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH．则＝　　．
【拓展应用】
如图3，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝BC，点E、F分别在线段AB、AD上，且CE⊥BF．求的值．



【解答】解：（1）结论：＝1．
理由：如图（1）中，过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，

∴AM＝HF，AN＝EG，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，
在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN，
∴△ABM≌△ADN（ASA），
∴AM＝AN，即EG＝FH，
∴＝1；

（2）如图（2）中，过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，

∴AM＝HF，AN＝EG，
在长方形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN．
∴△ABM∽△ADN．
∴＝，
∵AB＝m，BC＝AD＝n，
∴＝．
故答案为：；

（3）如图3中，过点C作CM⊥AB于点M．设CE交BF于点O．

∵CM⊥AB，
∴∠CME＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵CE⊥BF，
∴∠BOE＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
∴△CME∽△BAF，
∴＝，
∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴＝＝sin60°＝．
21．（2020•乐山）点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点．
（1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是 　OE＝OF　；
（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF＝30°时，试探究线段CF，AE，OE之间的关系．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，
又∵∠AEO＝∠CFO＝90°，∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE＝OF，
故答案为：OE＝OF；
（2）补全图形如图所示，

结论仍然成立，
理由如下：
延长EO交CF于点G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠EAO＝∠GCO，
∵点O为AC的中点，
∴AO＝CO，
又∵∠AOE＝∠COG，
∴△AOE≌△COG（ASA），
∴OE＝OG，
∵∠GFE＝90°，
∴OE＝OF；
（3）点P在线段OA的延长线上运动时，线段CF，AE，OE之间的关系为OE＝CF+AE，
证明如下：如图，延长EO交FC的延长线于点H，

由（2）可知△AOE≌△COH，
∴AE＝CH，OE＝OH，
又∵∠OEF＝30°，∠HFE＝90°，
∴HF＝EH＝OE，
∴OE＝CF+CH＝CF+AE．
一十六．切线的判定（共1小题）
22．（2020•乐山）如图1，AB是半圆O的直径，AC是一条弦，D是上一点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，连接BD交AC于点G，且AF＝FG．
（1）求证：点D平分；
（2）如图2所示，延长BA至点H，使AH＝AO，连接DH．若点E是线段AO的中点．求证：DH是⊙O的切线．

【解答】证明：（1）如图1，连接AD、BC，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE＝∠ABD，
又∵AF＝FG，即点F是Rt△AGD的斜边AG的中点，
∴DF＝AF，
∴∠DAF＝∠ADF＝∠ABD，
又∵∠DAC＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴＝，
∴即点D平分；
（2）如图2所示，连接OD、AD，
∵点E是线段OA的中点，
∴，
∴∠AOD＝60°，
∴△OAD是等边三角形，
∴AD＝AO＝AH，
∴△ODH是直角三角形，且∠HDO＝90°，
∴DH是⊙O的切线．


一十七．切线的判定与性质（共1小题）
23．（2021•乐山）如图，已知点C是以AB为直径的半圆上一点，D是AB延长线上一点，过点D作BD的垂线交AC的延长线于点E，连结CD，且CD＝ED．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若tan∠DCE＝2，BD＝1，求⊙O的半径．

【解答】解：（1）连接OC，如图：

∵CD＝DE，OC＝OA，
∴∠DCE＝∠E，∠OCA＝∠OAC，
∵ED⊥AD，
∴∠ADE＝90°，∠OAC+∠E＝90°，
∴∠OCA+∠DCE＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）连接BC，如图：

∵CD＝DE，
∴∠DCE＝∠E，
∵tan∠DCE＝2，
∴tanE＝2，
∵ED⊥AD，
Rt△EDA中，＝2，
设⊙O的半径为x，则OA＝OB＝x，
∵BD＝1，
∴AD＝2x+1，
∴＝2，
∴ED＝x+＝CD，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD2＝BD•AD，
∴（x+）2＝1×（2x+1），解得x＝或x＝﹣（舍去），
∴⊙O的半径为．
一十八．相似三角形的判定与性质（共1小题）
24．（2020•乐山）如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB＝3，AD＝2，CE＝1．求DF的长度．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝3，∠ADC＝∠C＝90°．
∵CE＝1，
∴DE＝＝．
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝90°＝∠C，∠ADF+∠DAF＝90°．
又∵∠ADF+∠EDC＝90°，
∴∠EDC＝∠DAF，
∴△EDC∽△DAF，
∴＝，即＝，
∴FD＝，即DF的长度为．

一十九．相似形综合题（共1小题）
25．（2021•乐山）在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与点B、C重合），连结AD．
（1）如图1，若∠C＝60°，点D关于直线AB的对称点为点E，连结AE，DE，则∠BDE＝　30°　；
（2）若∠C＝60°，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连结BE．
①在图2中补全图形；
②探究CD与BE的数量关系，并证明；
（3）如图3，若＝k，且∠ADE＝∠C．试探究BE、BD、AC之间满足的数量关系，并证明．

【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠C＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵点D关于直线AB的对称点为点E，
∴DE⊥AB，
∴∠BDE＝180°﹣60°﹣90°＝30°；
故答案为：30°；
（2）①补全图形如下：

②CD＝BE，证明如下：
∵AB＝AC，∠C＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，
∴AD＝AE，∠EAD＝60°，
∴∠BAC＝∠EAD＝60°，
∴∠BAC﹣∠BAD＝∠EAD﹣∠BAD，即∠EAB＝∠DAC，
在△EAB和△DAC中，
，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴CD＝BE；
（3）AC＝k（BD+BE），证明如下：
连接AE，如图：

∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠ADE＝∠C，
∴∠ABC＝∠ADE，
∵，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC，＝，
∴∠DAE﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，即∠EAB＝∠DAC，
∵AB＝AC，
∴AE＝AD，
在△EAB和△DAC中，
，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴CD＝BE，
∴BC＝BD+CD＝BD+BE，
而＝＝k，
∴＝k，即AC＝k（BD+BE）．
二十．特殊角的三角函数值（共1小题）
26．（2022•乐山）sin30°+﹣2﹣1．
【解答】解：原式＝+3﹣
＝3．
二十一．解直角三角形（共1小题）
27．（2022•乐山）如图，线段AC为⊙O的直径，点D、E在⊙O上，＝，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．连结CE交DF于点G．
（1）求证：CG＝DG；
（2）已知⊙O的半径为6，sin∠ACE＝，延长AC至点B，使BC＝4．求证：BD是⊙O的切线．

【解答】证明：（1）连接AD，
∵线段AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠CDG＝90°，
∵DF⊥BC，
∴∠DFA＝∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠CDG＝∠DAF，
∵＝，
∴∠DAF＝∠DCG，
∴∠CDG＝∠DCG，
∴CG＝DG；
（2）连接OD，交CE于H，

∵＝，
∴OD⊥EC，
∵sin∠ACE＝＝，
∵BC＝4，OD＝OC＝6，
∴＝＝，
∴＝，
∵∠COH＝∠BOD，
∴△COH∽△BOD，
∴∠BDO＝∠CHO＝90°，
∴OD⊥BD，
∵OD是⊙O的半径，
∴BD是⊙O的切线．
二十二．条形统计图（共1小题）
28．（2022•乐山）为落实中央“双减”精神，某校拟开设四门校本课程供学生选择：A．文学鉴赏，B．趣味数学，C．川行历史，D．航模科技．为了解该校八年级1000名学生对四门校本课程的选择意向，张老师做了以下工作：①抽取40名学生作为调查对象；②整理数据并绘制统计图；③收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据；④结合统计图分析数据并得出结论．
（1）请对张老师的工作步骤正确排序 　①③②④　．
（2）以上步骤中抽取40名学生最合适的方式是 　D　．
A．随机抽取八年级三班的40名学生
B．随机抽取八年级40名男生
C．随机抽取八年级40名女生
D．随机抽取八年级40名学生
（3）如图是张老师绘制的40名学生所选课后服务类型的条形统计图．假设全年级每位学生都做出了选择，且只选择了一门课程．若学校规定每个班级不超过40人，请你根据图表信息，估计该校八年级至少应该开设几个趣味数学班．

【解答】解：（1）根据数据的收集与整理的具体步骤可判断顺序为：①③②④，
故答案为：①③②④；
（2）根据抽样调查的特点易判断出：D，
故答案为：D；
（3）由条形统计图可估计，八年级学生中选择趣味数学的人数为：
×1000＝200（人），
200÷40＝5，
答：至少应该开设5个班．
二十三．概率公式（共1小题）
29．（2020•乐山）自新冠肺炎疫情暴发以来，我国人民上下一心，团结一致，基本控制住了疫情．然而，全球新冠肺炎疫情依然严重，境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈．如图是某国截止5月31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图．

根据上面图表信息，回答下列问题：
（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为 　20　万人，扇形统计图中40﹣59岁感染人数对应圆心角的度数为 　72　°；
（2）请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图；
（3）在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人，求该患者年龄为60岁或60岁以上的概率；
（4）若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为1%、2.75%、3.5%、10%、20%，求该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率．
【解答】解：（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为9÷45%＝20（万人），
扇形统计图中40﹣59岁感染人数对应圆心角的度数为360°×＝72°，
故答案为：20，72；

（2）20﹣39岁人数为20×10%＝2（万人），
补全的折线统计图如图所示；


（3）该患者年龄为60岁及以上的概率为：＝0.675；

（4）该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率为：．
二十四．列表法与树状图法（共1小题）
30．（2021•乐山）某中学全校师生听取了“禁毒”宣传报告后，对禁毒人员肃然起敬．学校德育处随后决定在全校1000名学生中开展“我为禁毒献爱心”的捐款活动．张老师在周五随机调查了部分学生随身携带零花钱的情况，并将收集的数据进行整理，绘制了如图所示的条形统计图．
（1）求这组数据的平均数和众数；
（2）经调查，当学生身上的零花钱多于15元时，都愿捐出零花钱的20%，其余学生不参加捐款．请你估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款多少元？
（3）捐款最多的两人将和另一个学校选出的两人组成一个“禁毒”知识宣讲小组，若从4人中随机指定两人担任正、副组长，求这两人来自不同学校的概率．

【解答】解：（1）这组数据的平均数＝＝20.5（元），
其中20元出现的次数最多，
∴这组数据的众数为20元；
（2）调查的20人中，身上的零花钱多于15元的有12人，
估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款为：1000××20×20%+1000××25×20%+1000××30×20%+1000××40×20%＝3150（元）；
（3）把捐款最多的两人记为A、B，另一个学校选出的两人记为C、D，
画树状图如图：

共有12种等可能的结果，两人来自不同学校的结果有8种，
∴两人来自不同学校的概率为＝．