人教版八年级下册第十八章 平行四边形综合与测试一课一练

专题15 平行四边形压轴题真题分类-高分突破（原卷版）

题型一：半角模型

1. （长郡）如图在直角坐标系中，四边形 为正方形，点的坐标为 点的坐标为，且 满足 .

（1）求 点和 点的坐标

（2）若， 请猜想 ,和 的数量关系，说明理由.

（3）若 ,以为三角形的一边，坐标轴上是否存在点，使得 为等腰三角形，若存在，直接写出有多少个点,并写出 点的坐标，选择一种情况证明.

2. （博才）已知，正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于点、，于点。

（1）如图①，当绕点旋转到时，试探究与的数量关系，并说明理由；

（2）如图②，当绕点旋转到时，（1）中发现的与的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；

（3）如图③，已知，于点，且，求的长。（可利用（2）得到的结论）

3.（青竹湖）在平面直角坐标系中，四边形为矩形，如图，点坐标为，点坐标为，已知、满足

(1)求、的值；

(2)①如图1，、分别为、上一点，若，求证：；

②如图，、、、分别为、、、上一点，、交于点.若，，则          .

(3)如图，在矩形中，，，点在边上且，连接，动点在线段上(动点与，不重合)，动点在线段的延长线上，且，连接交于点，作于，试问：当、在移动的过程中，线段的长度是否发生变化？若不变求出线段的长度；若变化，请说明理由.

题型二：因动点产生的平行四边形

4.（青竹湖）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝6，BC＝9，AB＝4，P、Q分别为线段AD、BC上两点，记AP＝a，CQ＝b，四边形PDCQ的面积为S．

（1）请用含a、b的式子表示S．

（2）当a、b满足什么条件时，PQ＝DC．

（3）在第二问的结论下，若PD≠QC，则CP2+QD2＝PQ2+DC2+2PD•QC；若PD＝QC，则CP2+QD2＝PQ2+DC2+PD2+QC2，请从以上两个命题中选择一个进行证明．

5.（一中）如图，已知平行四边形ABCO，C（m，n），A（n，0），其中m、n满足m＝+﹣3，BC交y轴于点D．

（1）直接写出坐标：A（　　，　　），B（　　，　　），C（　　，　　）；

（2）已知，AG平分∠BAO，且分别交CO于点G、y轴于N，猜想线段AB、ON、CD之间的数量关系，并证明你的猜想；

（3）点E是直线BD上任意一点，连接AE，点F是线段OA上任意一点，连接EF，点P、Q分别是线段AE、EF的中点，若点T（﹣5，0），点K是FT的中点，连接PK交线段OQ于点J，求证：点J是线段OQ的中点．

题型三：因动点产生的矩形

6.（青竹湖、雅礼）已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．

（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．

（2）如图1，求AF的长．

（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．

①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．

②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

7.（广益）在平面直角坐标系中，已知，，点，在轴上方，且四边形的面积为32.

(1)若四边形是菱形，求点的坐标.

(2)若四边形是平行四边形，如图1，点，分别为，的中点，且，求的值.

(3)若四边形是矩形，如图2，点为对角线上的动点，为边上的动点，求的最小值.

题型四：因动点产生的菱形

8.（北雅）如图，在矩形ABCD中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s.连接PQ、AQ、CP.设点P、Q运动的时间为ts.

(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；

(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形；

(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积.

9．（北雅）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”；对角线相等的凸四边形叫做“对等四边形”．

（1）在“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中一定是“十字形”的有 　　；一定是“对等四边形”的有 　　；（请填序号）

（2）如图1：若凸四边形ABCD是“十字形”也是“对等四边形”，F，H，G，M分别是AD，DC，AB，BC的中点，求证，四边形FGMH为正方形．

（3）如图2，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AC＝20，点D从点C出发沿CA方向以2个单位每秒向A匀速运动；同时点E从A出发沿AB方向以1个单位每秒向B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，DF∥AB，连接EF，是否存在时间t（秒），使得四边形ADFE为“十字形”或“对等四边形”，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．

题型五：因动点产生的正方形

10.（中雅培粹）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=10cm，长为4cm的线段DE在边AC上，且点D与点A重合，点F是DE的中点，线段DE从点A出发，沿AC方向向点C匀速运动，直到点E与点C重合，速度为。过点F作PF⊥AC，交AB于点P，过点P作PQ∥AC，交BC于点Q，连接PD，PE，QE，设线段DE的运动时间为。

（1）请分别用含有的代数式表示线段PF、BQ；

（2）当为何值时，四边形PFCQ为正方形？

（3）若存在某一时刻，EP平分∠AEQ，求此时的值。

11.（长郡）四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接．

（1）如图1，求证：矩形是正方形；

（2）若，，求的长度；

（3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数．

图1                      备用图

题型六：因动点产生的等腰三角形、等边三角形

12.（博才）如图，将一三角板放在边长为1的正方形上，并使它的直角顶点在对角线上滑动，直角的一边始终经过点，另一边与射线相交于。

探究：设、两点间的距离为。

（1）当点在边上时，线段与之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；

（2）当点在边上时，设四边形的面积为，求与之间的关系，并写出的取值范围；

（3）当点在线段上滑动时，是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使成为等腰三角形的点的位置。并求出相应的值，如果不可能，试说明理由。

13．（青竹湖）已知：如图1，菱形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为，点C在y轴上，．

（1）求点A的坐标；

（2）如图2，连接AC，点P为△ACD内一点，BP与AC交于点G，，点E、F分别在线段AP、BP上，且．若，求的值；

（3）如图3，在（2）的条件下，当时，试判断△PAF形状并说明理由．

           图1                        图2                          图3

题型七：折叠模型

14.（北雅）如图，BD为矩形ABCD的对角线，将边AB沿BE折叠，使点A落在BD上的点F处，作FG∥AE交BE于点G，连接AG，AB＝6，AD＝8；

（1）求证：四边形AGFE是菱形；（2）求AE的长；（3）求菱形AGFE的面积．

15．（雅实）小西在学完第十八章《平行四边形》之后，研究了新人教版八年级下册数学教材第64页的数学活动1．其内容如下：

如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）：（1）对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．

（2）再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN．

小雅在小西研究的基础上，再次动手操作（如图2）：

（3）将MN延长交BC于点G，将△BMG沿MG折叠，点B刚好落在AD边上点H处，连接GH，把纸片再次展平．请根据小西和小雅的探究，完成下列问题：

①直接写出BE和BN的数量关系：　　．

②求∠ABM的角度大小；

③求证：四边形BGHM是菱形．

16．（中雅）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝16，∠A＝60°，P是射线AD上一点，连接PB，沿PB将△APB折叠，得到△A′PB．

（1）如图2所示，当PA′⊥BC时，求线段PA的长度．

（2）当∠DPA′＝10°时，求∠APB的度数．