【2023届必备】2023版高考一轮复习训练16　三角函数与解三角形的综合问题

这是一份【2023届必备】2023版高考一轮复习训练16　三角函数与解三角形的综合问题，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
训练16　三角函数与解三角形的综合问题一、单选题1．(2022·郑州模拟)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为，那么b等于(　　)A.   B．1＋C.   D．2＋答案　B解析　∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，等式两边平方得a2＋c2＝4b2－2ac，①又△ABC的面积为，且∠B＝30°，由S△ABC＝acsin B＝ac·sin 30°＝ac＝，解得ac＝6，代入①式可得a2＋c2＝4b2－12，由余弦定理得cos B＝＝＝＝，解得b2＝4＋2，∴b＝1＋.2．(2022·吉林模拟)已知函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，且|f(x)|＝1在区间[0，π]上有且仅有一个解，则ω的取值范围是(　　)A.   B.C.   D.答案　D解析　令ωx∈，k∈Z，解得x∈，k∈Z，而函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，所以解得0<ω≤，当x∈[0，π]时，ωx∈[0，ωπ]，因为|f(x)|＝1在区间[0，π]上有且仅有一个解，所以解得≤ω<.综上所述，ω的取值范围是≤ω≤.3．(2022·丹东模拟)在一座尖塔的正南方地面某点A，测得塔顶的仰角为22°30′，又在此尖塔正东方地面某点B，测得塔顶的仰角为67°30′，且A，B两点距离为540 m，在线段AB上的点C处测得塔顶的仰角为最大，则C点到塔底O的距离为(　　)A．90 m   B．100 mC．110 m   D．270 m答案　A解析　如图所示，设OA＝x，OB＝y，OP＝z，则x2＋y2＝5402，∠OAP＝22.5°，∠OBP＝67.5°，由tan 45°＝＝1，解得tan 22.5°＝－1，tan 135°＝＝－1，解得tan 67.5°＝＋1，所以2＋2＝5402，解得z＝90，所以x＝＝180＋90，y＝＝180－90，要使点C处测得塔顶的仰角为最大，则需tan∠PCO最大，也即需OC最小，所以OC⊥AB，又S△ABO＝×OA×OB＝×AB×OC，即OC＝＝＝90，所以C点到塔底O的距离为90 m.4．设函数f(x)＝|sin x＋cos x|＋|sin x－cos x|，则下列结论错误的是(　　)A．函数f(x)为偶函数B．函数f(x)的图象关于直线x＝对称C．函数f(x)的最小值为D．函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)答案　D解析　对于A，f(－x)＝|－sin x＋cos x|＋|－sin x－cos x|＝|sin x－cos x|＋|sin x＋cos x|＝f(x)，为偶函数，故A正确；对于B，f(π－x)＝|sin(π－x)＋cos(π－x)|＋|sin(π－x)－cos(π－x)|＝|sin x－cos x|＋|sin x＋cos x|＝f(x)，即函数f(x)的图象关于直线x＝对称，故B正确；对于C，f(x)＝|sin x＋cos x|＋|sin x－cos x|＝＋，令x＋＝t，则f(t)＝|sin t|＋|cos t|，该函数的最小正周期为，在t∈时，f(t)＝sin t＋cos t＝2sin，所以函数f(t)min＝f(0)＝，故C正确；对于D，由于函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到g(x)＝|sin x|＋|cos x|的图象，所以当x∈时，g(x)＝2sin，则函数g(x)在上单调递增，在上单调递减，由于函数g(x)的最小正周期为，则函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z)，即函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，故D错误．二、多选题5. (2022·韶关模拟)如图所示，点P是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0)图象的最高点，M，N是图象与x轴的交点，若M ，且·＝0，则(　　)A．N   B．ω＝1C．P   D．φ＝答案　BC解析　由题意知P的纵坐标为，又·＝0，所以PM⊥PN，PM＝PN，所以MN＝2yP＝π，所以f(x)的周期T＝2π，所以＝2π，ω＝1，故B正确；所以xP＝xM＋＝，故C正确；xN＝xM＋＝，故A错误；将P代入函数解析式可得，sin＝1，φ＝＋2kπ (k∈Z)，故D错误．6．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c－b＝2bcos A，则下列结论正确的有(　　)A．A＝2BB．B的取值范围为C.的取值范围为(，2)D.－＋2sin A的取值范围为答案　AD解析　在△ABC中，由正弦定理可将式子c－b＝2bcos A化为sin C－sin B＝2sin Bcos A，把sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B代入整理得，sin(A－B)＝sin B，解得A－B＝B或A－B＋B＝π，即A＝2B或A＝π(舍去)．所以A＝2B.故选项A正确；因为△ABC为锐角三角形，A＝2B，所以C＝π－3B.由解得B∈，故选项B错误；＝＝＝2cos B，因为B∈，所以cos B∈，2cos B∈，即的取值范围是(，)．故选项C错误；－＋2sin A＝＋2sin A＝＋2sin A.因为B∈，所以A＝2B∈，sin A∈ .令t＝sin A，t∈，则f(t)＝2t＋.由对勾函数的性质知，函数f(t)＝2t＋在上单调递增．又f ＝，f(1)＝3，所以f(t)∈.即－＋2sin A的取值范围为.故选项D正确．三、填空题7．设定义在R上的函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，给出以下四个说法：①f(x)的周期为π；②f(x)在区间上单调递增；③f(x)的图象关于点对称；④f(x)的图象关于直线x＝对称．以其中两个说法作为条件，另两个说法作为结论，写出一组你认为正确的一个命题(写成“p⇒q”的形式)__________．(其中用到的说法用序号表示)答案　①④⇒②③(答案不唯一)解析　①f(x)的周期为π，则ω＝2，函数f(x)＝sin(2x＋φ)．若再有④f(x)的图象关于直线x＝对称，则sin取得最值，又因为－<φ<，所以<2×＋φ<，所以2×＋φ＝，所以φ＝，所以f(x)＝sin，此时②③成立，故①④⇒②③.再如：若①f(x)的周期为π，则ω＝2，函数f(x)＝sin(2x＋φ)，若再有③f(x)的图象关于点对称，则2×＋φ＝kπ，k∈Z，又因为－<φ<，所以φ＝，所以f(x)＝sin，此时②④成立，故①③⇒②④.8．(2022·大连模拟)△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，若该三角形的面积为，且sin(A－B)＝(3－4cos A)sin B，则c的最小值为________．答案　解析　因为sin(A－B)＝(3－4cos A)sin B，所以sin Acos B－sin Bcos A＝3sin B－4sin Bcos A，即sin Acos B＝3sin B(1－cos A)，所以a×＝3b×，整理得b2＋c2－a2＝3bc－c2，所以cos A＝＝＝－，又S△ABC＝bcsin A＝，所以sin A＝，因为sin2A＋cos2A＝1，所以2＋2＝1，化简b2－·b＋＋＝0，由Δ＝2－4××≥0，得c4≥100，即c≥，所以c的最小值为.四、解答题9. 如图，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1，CD＝3，cos B＝.(1)求AC的长；(2)若__________，求△ABC的面积．从①∠BCA＝，②BC＝这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解　(1)由cos B＝，得cos 2B＝2cos2B－1＝－，又2∠B＝∠D，所以cos D＝－，在△ADC中，由余弦定理，得AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos D＝12，所以AC＝2.(2)选①：∠BCA＝，由(1)知AC＝2，由cos B＝，得sin B＝，所以sin∠BAC＝sin(B＋∠BCA)＝sin Bcos∠BCA＋sin∠BCAcos B＝.在△ABC中，由正弦定理，得＝，则AB＝，所以S△ABC＝AB·ACsin∠BAC＝××2×＝；选②：BC＝，由(1)知AC＝2，由cos B＝，得sin B＝，在△ABC中，由余弦定理，得cos B＝，即＝，解得AB＝3，所以S△ABC＝AB·BCsin B＝×3××＝3.10．周口市广播电视塔位于周口市区七一路和周口大道交叉口处，该塔有效地解决了周口市广播电视无线信号覆盖范围小、信号质量差的问题．发射塔由塔座、塔身、井道、塔楼和天线等5个主要部分组成(如图1所示)，其中天线为传统的四边形空间桁架结构，横截面层层缩进，在外形上有着芝麻开花节节高的吉祥寓意．国庆假期，章阳同学在取得有关部门许可的前提下，利用无人机对广播电视塔进行拍照与摄像．章阳同学在地面点A处测得塔楼B的仰角为45°，无人机在A处沿仰角为α的方向飞行60米后到达D处，测得DB＝DA，且A，B，C，D，E五个点都在同一平面内(如图2所示)．图1　　　　　　　　图2(1)求塔楼到地面的高度BE；(2)如果广播电视塔的天线BC的长是106米，无人机从A到D的飞行过程中，在点P处观看天线BC的视角为θ(即∠CPB＝θ)，为了拍摄到天线BC最为清晰的图象，要求视角θ最大．若点P处距离地面的高度PF为x米，那么x为何值时，无人机拍摄到天线BC的图象最清晰？解　(1)因为tan α＝，所以sin α＝，cos α＝.又∠BAE＝45°，∠DAE＝α，所以∠BAD＝45°－α.连接AB，过点D作DT⊥AB，垂足为T，如图所示．则AB＝2AT＝2ADcos(45°－α)＝2×60×(cos 45°cos α＋sin 45°sin α)＝120××＝180.在Rt△ABE中，因为∠BAE＝45°，所以BE＝AB＝180，即塔楼到地面的高度BE是180米．(2)过P作PM⊥BE，垂足为M，过D作DG⊥AE，垂足为G，如图所示．因为PF＝x，所以AF＝2x，因为P在AD上，DG＝ADsin α＝60×＝60，所以x∈[0,60]．所以tan∠BPM＝＝，tan∠CPM＝＝.所以tan θ＝tan(∠CPM－∠BPM)＝＝＝，x∈[0,60]．令t＝180－2x，则t∈[60,180]，x＝.所以tan θ＝＝＝≤＝＝，当且仅当t＝，即t＝84∈[60,180]时取等号．此时，x＝＝90－42，因此，当x＝(90－42)米时，视角θ最大，无人机拍摄到天线BC的图象最清晰．