苏科版九年级下册6.4 探索三角形相似的条件精品复习练习题

6.4探索三角形相似的条件苏科版初中数学九年级下册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，中，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 已知一个三角形的两个内角分别是，，另一个三角形的两个内角分别是，，则这两个三角形(    )

A. 一定不相似 B. 不一定相似 C. 一定相似 D. 不能确定

3. 如图，在中，，，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

4. 如图，已知、分别为、上的两点，且，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 如图，在平行四边形中，、相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，已知，则下列结论：；；；∽其中一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，是半圆的直径，，是半圆上任意两点，连结，，与相交于点，要使与相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 如图，是的斜边上异于、的一点，过点做直线截，使截得的三角形与相似，满足这样条件的直线共有(    )

A. 条 B. 条 C. 条 D. 条

8. 如图，将矩形沿着、、翻折，使得点、、恰好都落在点处，且点、、在同一条直线上，同时点、、在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：；；；；∽其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知等边，点、点分别是边，上的动点，，则图中相似的三角形的对数是(    )

A. 对
B. 对
C. 对
D. 对

10. 如图，已知与中，，点在上，那么添加下列一个条件后，仍然不能判定与相似的是(    )

A.
B.
C.
D.

11. 如图，点是矩形的边上一点，作于，连接，若，，则的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

12. 如图，中，是中线，是角平分线，、交于点若，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，，，，，，点在上由点向点方向移动，当和相似时，______．
14. 我们把两个三角形的重心之间的距离叫做重心距．如图，在中，，
    ，是中边上的高，如果，那么和的重心距是______．
15. 如图，点为等腰的重心，，如果以为半径的分别与、相切，且，那么的长为______．

16. 如图，在中，，，点从出发，以的速度向运动，同时点从出发，以的速度向运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为．
    用含的代数式表示：______；
    当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

17. 如图，在中，，，，求的长．

18. 如图，四边形内接于，是的直径，与交于点，切于点．
    求证：；
    若，，求证：∽．

19. 如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线，与的延长线相交于点．
    求证：是的切线；
    求证：∽；
    当，时，求线段的长．

20. 如图，以为直径的是的外接圆，连接，，，交于点，与相切于点．
    求证：；
    若的半径为，，求的长．

21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、的坐标分别为、、．
    以原点为位似中心，在第一象限画出的位似图形，使与的相似比为：；
    借助网格，在图中画出的外接圆，并写出圆心的坐标______；
    将绕中的点将绕点顺时针旋转，则点运动的路线长是______．

22. 如图，在中，，是的高，是的中点，、的延长线相交于点．与相似吗？为什么？

23. 如图，点在内，点在外，，，与相似吗？为什么？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；
D、两三角形对应边成比例：：：，且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．
故选：．
根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：一个三角形的两个内角分别是，，
第三个内角为，
又另一个三角形的两个内角分别是，，
这两个三角形有两个内角相等，
这两个三角形相似．
故选C．
根据有两个内角相等的三角形相似，即可判断．
本题考查相似三角形的判定，三角形的内角和等知识，解题的关键是熟练应用两角对应相等的两个三角形相似解决问题，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
．
故选：．
利用平行线分线段成比例定理解答即可．
本题主要考查了平行线分线段成比例定理，正确使用定理得出比例式是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
，
故选：．
先根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入后得出，代入求出即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据定理得出正确的比例式是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
∽，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，故正确；
，
，
；故正确；
，
，
，故错误；
不平行于，
与只有一个角相等，
与不一定相似，故错误，
故选：．
根据平行四边形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到；故正确；根据相似三角形的性质得到；故正确；根据三角形的面积公式得到，故错误；由于与只有一个角相等，于是得到与不一定相似，故错误．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、因为，，所以∽，所以选项添加的条件正确；
B、由得，而，所以，加上，所以∽，所以选项添加的条件正确；
C、由，即：：，加上，所以∽，所以选项添加的条件正确；
D、由得，而不能确定，即不能确定点为弧的中点，所以不能判定∽，所以选项添加的条件错误．
故选：．
利用有两组角对应相等的两个三角形相似可对进行判定；先利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似可对进行判定；利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对、进行判定．
本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了圆周角定理．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查三角形相似判定定理及其运用．解题时运用了两角法有两组角对应相等的两个三角形相似来判定两个三角形相似过点作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．
【解答】
解：由于是直角三角形，
过点作直线截，则截得的三角形与有一公共角，
所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与相似，
过点可作的垂线、的垂线、的垂线，共条直线．

故选C．  

8.【答案】 

【解析】解：由折叠性质可得：，，，
，，，，
，，
，
，故正确；
设，，则，，
，
在中，，
，
解得：，
，故错误；
在中，设，则，
，
解得：，
，，
在中，，
，，故正确；
无法证明，
无法判断∽，故错误；
综上，正确的是，
故选：．
根据折叠的性质和矩形的性质分析判断；通过点为中点，点为中点，设，，利用勾股定理分析求得与的数量关系，从而判断；利用相似三角形的判定和性质分析判读和、和的数量关系，从而判断和；根据相似三角形的判定分析判断．
本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握折叠的性质和勾股定理是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，，
又，
≌，
∽且，，
又，，
∽，∽；
，，
，
又，，
≌，
∽且，
又，
∽，
，，
∽，
综上所述，图中相似的三角形的对数是对．
故选：．
依据等边三角形的性质，结合条件，即可发现≌，≌，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”，即可找到相似三角形．
本题主要考查了相似三角形的判定以及等边三角形的性质的运用，关键是掌握有两组角对应相等的两个三角形相似．
 

10.【答案】 

【解析】解：、由，，可知∽，本选项不符合题意；
B、设，则，，，，
，
，
∽，本选项不符合题意；
C、由，可得，由，可得∽，本选项不符合题意；
D、由，无法判断三角形相似，本选项符合题意．
故选：．
根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：过作于点，延长与相交于点，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，
矩形中，，，
四边形为平行四边形，
，
．

故选：．
过作于点，延长与相交于点，先根据矩形的性质和已知条件得，根据等腰三角形的性质得是的中点，由平行线等分线段定理得是的中点，进而证明四边形是平行四边形，求得，便可得的长度．
本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质，平行线等分线段定理，关键是作等腰三角形的底边上的中线
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，于，作交于．

平分，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
如图，过点作于，于，作交于首先证明：：：，推出：：：，即可解决问题．
本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法求出线段的比值，属于中考常考题型．
 

13.【答案】或或 

【解析】解：设，则，
，，
，
当或时，和相似，
或，
解得：或或，
即或或，
或或，
故答案为：或或．
设，则，根据垂直定义求出，根据相似三角形的判定定理得出当或时，和相似，代入后求出，再求出即可．
本题考查了相似三角形的判定，解此题的关键是能根据相似三角形的判定得出当或时，和相似．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，设和的重心分别为、，
连接、交于、点，

在中，，
，，
在中，，
，
，
，
和的重心分别为、，
，
，
∽，
，
故答案为：．
设和的重心分别为、，连接、交于、点，首先解直角三角形，可得的长，再根据重心的性质说明∽，得．
本题主要考查了重心的性质，三角形相似的判定与性质，解直角三角形等知识，熟练掌握重心的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，延长交于点，设与相切于点，连接．

是切线，是切点，
，
，
，是的重心，
是中线，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
如图，延长交于点，设与相切于点，连接利用勾股定理求出，再利用重心的性质求出，根据，求出即可解决问题．
本题考查三角形的重心，等腰三角形的性质，解直角三角形，切线的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

16.【答案】  或 

【解析】解：因为，，
所以．
故答案是：；
点从出发，以每秒厘米的速度向运动，点从同时出发，以的速度向运动．
，，，
，且以、、为顶点的三角形与相似，
或，
或．
或．
故答案为：或．
；
分两种情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可．
此题考查了相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
 

17.【答案】解：，
．
，
，
，即，
，
四边形为平行四边形，
．
，：，
，
，
，
，
，
． 

【解析】本题考查了平行线分线段成比例的性质、平行线的性质以及平行四边形的判定与性质，根据平行线分线段成比例的性质，求出是解题的关键．
由可得出，结合可得出，进而可得出，结合可证出四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质可得出，由可得出，根据可得出，进而可得，即可求出的长度．
 

18.【答案】证明：是的直径，
，
切于点，
，
，
；
由知，，
，
，
，
，
，
，
，
∽． 

【解析】根据圆周角定理和切线的性质证得，结合等腰三角形的性质即可证得结论；
由三角形外角的性质求出，得到，由圆周角的性质得到，根据相似三角形的判定即可证得∽．
本题主要考查了相似三角形的判定，圆周角定理，切线的性质，根据根据圆周角定理和切线的性质证得是解决问题的关键．
 

19.【答案】证明：圆心在上，
是圆的直径，
，
连接，
平分，
，
，
，即，
，
，
为圆的半径，
是圆的切线；
证明：，
，
，
，
，，
，
∽；
解：为直角三角形，
，
，
，，
，
垂直平分，
，
为圆的直径，
，
在中，，即，
，
∽，
，
则． 

【解析】此题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
由直径所对的圆周角为直角得到为直角，再由为角平分线，得到一对角相等，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的倍及等量代换确定出为直角，与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到与垂直，即可得证；
由与平行，得到一对同位角相等，再由同弧所对的圆周角相等及等量代换得到，根据同角的补角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证；
由三角形为直角三角形，利用勾股定理求出的长，再由垂直平分，得到，根据的相似得出比例式，求出所求即可．
 

20.【答案】证明：是的直径，
，
，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
；
解：，，，
≌，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
或舍去，
的长为． 

【解析】根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，再利用切线的性质可得，进而可得，然后利用同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，最后利用等腰三角形的性质可得，即可解答；
根据已知可得≌，从而可得，，再利用等腰三角形的性质可得，然后利用的结论可得，从而证明，进而利用平行线分线段成比例可得，即可得出，最后证明字模型相似三角形∽，利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，切线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及圆周角定理是解题的关键．
 

21.【答案】  

【解析】解：如图，即为所求；
如图，点即为所求，，
故答案为：；
，
的长
故答案为：

根据要求作出图形即可；
三角形的外接圆的圆心是三角形各边的垂直平分线的交点；
利用弧长公式求解．
本题考查作图相似变换，弧长公式，三角形的外接圆等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

22.【答案】解：与相似．

，是的高，

，

．

在中，

是的中点，

．

．

又，

．

在和中，

，，

两角分别相等的两个三角形相似．

【解析】在和中，是公共角，如果或，那么这两个三角形就相似．
 

23.【答案】解：与相似．

在和中，

，，

两角分别相等的两个三角形相似．

相似三角形的对应边成比例．

又，

．

在和中，

，，

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．

【解析】在和中，易知如果，那么这两个三角形就相似．