2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系

【教学目标】

1.掌握一元二次方程一般式解集的方法.

2.掌握一元二次方程根与系数的关系.

3.会用整体代入法解一元二次方程.

4.学会用配方法推出一元二次方程的解集.

5.灵活运用根与系数的关系解决一元二次方程问题.

【核心素养】

1.数学抽象：学会整体代入法解特殊一元二次方程思想方法。

2.逻辑推理: 由一般性地配方法解集推理出特殊性的方程解集，探索其过程。

3.数学建模：在实际情景中分析问题，构建一元二次方程模型，计算结果，检验结果实际性。

4.数学运算: 掌握解一元二次方程的运算法则，选择运算方法。

5.数据分析: 对特殊一元二次方程选择相关系数进行分析，得出简捷运算方法。

教学重点：

配方法求解一元二次方程，结合配方法深化对判别式研究一元二次方程根的判别.

教学难点：

对于通过换元可以化为一元二次方程的高次方程或者其他形式的方程的换元转化.

教学过程：

一、提出问题：

《九章算术》第九章“勾股”问题二十：今有邑方不知大小，各中开门.出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木.问邑方几何.

问题二十的译文：今有正方形小城，其边长是未知数，城墙各边正中都开有一门.出北门，20步处有一棵树，出南门14步，转向西走1775步恰好能看见那棵树.求正方形小城的边长是多少.

根据题中的描述可作出示意图，如图所示,其中A点代表北门，B处是木，C点代表南门，而且AB = 20,CD=14，DE =1775，求正方形的边长.

【设计意图】

1.以《九章算术》中的例子作为一元二次方程的引入，意在展示我国古代数学成就和我国数学文化悠久的历史，引导师生共同学习祖先留给我们的珍贵文化遗产，并激励学生将有关数学文化发扬光大.

　　附 《九章算术》，我国古代数学专著，是《算术十书》（唐汉之间出现的十部算书）中最重要的一部，其作者已不可考，一般认为它是经过历代各家的增补修订而逐渐发展成为现今定本的.魏晋是刘徽为《九章算术》作注时说：“周公制礼而有九数，九数之流则《九章》是矣”，又说“汉北平侯张苍，大思农中丞耿寿昌皆以善算命世.苍等因旧文之遗残，各称删补，故校其目则与古或异，而所论多近语也”.可见《九章算术》上承先秦数学发展之源流，入汉之后又经许多学者的删补方才最后成书的，它的出现，标志着中国古代数学体系的形成.

2.学生对于实际问题抽象得到的方程用上节课复习的十字相乘法求解有一定的困难，这就为引入配方法做好了准备.

二、自主探索

面对我们用因式分解法不容易得到解集的一元二次方程，我们该如何下手去研究呢？

提出问题：你认为最简单的一元二次方程具有什么样的形式？可以怎样得到这种方程的解集？

【设计意图】从最简单的、容易得到解集的一元二次方程出发，逐步一般化，引出配方法.

注意我们所想解决的是一类问题，而不是一个具体问题，所以我们首先研究的是可以化为x2=t的形式的一元二次方程的解集，其中 为常数.

【学生活动1】

1.独立完成P48的第一个探索与发现；

2.学生独立完成后相互交流下各自的答案.

一般地，方程x2=t :

(1)  当t > 0时，解集为{,- } :

(2)当t = 0时，解集为{Ø} ,

(3)当t<0时，解集为Ø.

—般地，方程(x一k)2 =t ；

(1)当t >0时，解集为{k+ ,k- }，

(2)当t = 0时，解集为{k}﹔

(3)当t <0时，解集为Ø.

【设计意图】

对于大部分学生而言，答案不是问题，能否真的懂得“尝试与发现”想得到的内容才是关键，还有就是在发现过程中所蕴含的从特殊到一般的数学研究方法.书上之所以分成两个“尝试与发现”想必原因如此，交流过程中教师一定要帮助学生梳理下这类问题的研究方法：从特殊问题入手研究一类问题，然后适度放开限制条件，尝试把问题向已经掌握的特殊问题进行转化，最后彻底放开，结合前面的经验，把一般问题都转化为特殊问题进行解决.切忌不要变成背默填空的形式.

【学生活动2】

3.结合前面教师的讲解，学生尝试独立完成第二部分的“尝试与发现”；　　

4.相互交流，谈谈“尝试与探究”的结果与初中所学的公式法求解的关系以及判别式研究方程根的情况的异同.

一元二次方程ax2+bx +c =0(a≠0)化为(x-k)2= t的形式，过程如下:

因为a≠ 0，所以方程可化为x2+x+=0，

因为x2+x+=x2+x+（）2-（）2+

               =

所以原方程可变形为

从而可知，△= b2-4ac的符号情况决定了上述方程的解集情况:

(1)  当△=b2-4ac >0时，方程的解集为；

(2)  当△=b2-4ac = 0时，方程的解集为；

(3)  当△= b2-4ac<0时，方程的解集为Ø；

【设计意图】　　

本课时的主旨内容在此，数学探索过程远比数学求解过程重要的多，也是数学学习最想带给学生的最核心的“知识”，经历探索过程，体会数学的学习中从特殊到一般的研究方式和数学问题间相互转化的研究方法.

补充说明:原方程变形为后，需要进行的方程两边同时开平方的运算，

其结果应为，

即，

即，

因此，最终我们可以得到。

三、例题讲解

例1求方程x--1=0的解集.

分析：面对一个有根号的方程，如何去掉根号化为一个普通方程是我们解决问题的关键.

面对这道题目一种方式是把看成一个整体，向着一元二次方程去进行转化，另外一种方式是能否通过完全平方的方式去掉根号呢?

解法一：设=y，则y≥0，且原方程可变为y2-2y -1= 0，

所以y2-2y+1=2，

所以(y-1)2=2，

所以y =1+或y =1-

从而 =1+，即x = 3+2、，

所以原方程的解集为{3+2}.

解法二。原方程可化为x-1=2 ,

因为≥0，所以x-1≥0，即x≥1.

方程两边平方得:x2-2x+1= 4x ,

化简得:x2-6x+1= 0，

所以，x2-6x+9=8，

所以，(x-3) 2= 8，

所以，x= 3+2或x =3-2（舍），

所以原方程的解集为{3+2}.

【设计意图】　　

对于初中掌握的比较好的同学，这个问题初三就可以解决，这里提出这个问题我想是基于两方面的考虑（如果学生没有想到，不建议讲方法二），一个是突出换元法，另一个是关注使用换元法的限制条件（讲方法二的时候虽然不是换元法，但也要关注限制条件）.数学是一门追求严谨的科学，对于可能遇到的问题，尤其是变形中遇到的问题，一定要做好预案，这个预案可以是方式方法上的，如书上所强调的更换字母同时提出限制条件，也可以是思想上的，比如不更换字母，那么我们需要在一开始就想好我们对求解的未知数的限制.

四、课堂练习

1.    求下列方程的解集:

(1)    x4 -x2-2=0 ;

(2)    x2--2=0；

(3) x2++x--4=0.

参考答案：

(1)  {,-｝

(2)  {,-｝

(3) 

2.    (课本P80A组第5题）已知关于.x的一元二次方程x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围.

参考答案：

【设计意图】以本节课所学内容为背景，进一步深化第一章的集合的相关内容，结合具体的问题，巩固方程根的判别.

3.(课本P8OA组第15题)

如图,要在长25 m的墙EF的一边，通过砌墙来围一个矩形花园ABCD ,与围墙平行的一边BC上要预留3 m宽的入口(如图中MN所示，入口不用砌墙)，用能砌46m长墙的材料砌墙，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为299 m2?

【设计意图】再次体会数学抽象解决实际数学问题，学以致用.

五、归纳总结：

1.配方法从特殊到一般求解一般一元二次方程的过程；

2.借助换元法转化为一元二次方程进行求解处理过程中的注意事项；

3.中国古代数学专著《九章算术》赏析.