2021-2022学年河南省郑州市金水区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年河南省郑州市金水区七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下面是乐乐同学搜集的一些用数学家名字命名的图形，其中是轴对称图形的是(    )

A. 赵爽弦图 B. 费马螺线
C. 斐波那契螺旋线 D. 笛卡尔心形线

2. 下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列事件中，是必然事件的是(    )

A. 乐乐在玩掷硬币游戏，她连续掷次都是正面朝上，掷第次也一定正面朝上
B. 守株待兔、亡羊补牢、水中捞月、刻舟求剑
C. 期末测试前乐乐复习得很认真，信心满满，本次考试一定能考满分
D. 乐乐同学所在小组的名同学都是零零后，他们一定有两人的生日是同一年

4. 乐乐通过查阅资料了解到某种新冠病毒的直径约为提示：，省略号省略了个，另一种新冠病毒的直径约为则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图是婴儿车的平面示意图，其中，，，那么的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 乐乐在学习完本册知识后整理了一些结论：内错角的角平分线平行；直线外一点与直线上各点的连接的所有线段中，垂线段最短；平面内四条直线，，，，如果，，，那么；有两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等．其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

7. 若加上一个单项式后能成为一个多项式的完全平方式，则这个单项式可能就是下列单项式：；；；；中的(    )

A.  B.  C.  D.

8. 乐乐所在的七年级某班学生到野外活动，为测量池塘两端，的距离，乐乐、明明、聪聪三位同学分别设计出如下几种方案：
   乐乐：如图，先在平地取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离．
   明明：如图，先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离．
   聪聪：如图，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使这时只要测出的长即为，的距离．
   以上三位同学所设计的方案中可行的是(    )

A. 乐乐和明明 B. 乐乐和聪聪
C. 明明和聪聪 D. 三人的方案都可行

9. 以下四种情境分别描述了两个变量之间的关系：甲：乐乐投篮时，投出去的篮球的高度与时间的关系；乙：乐乐去文具店购买签字笔，支付费用与购买签字笔支数的关系；丙：一长方形水池里还有一部分水，再打开水管匀速往里注水，注水时间和水池中水面的高度之间的关系；丁：乐乐去奶奶家吃饭，饭后，按原速度原路返回，乐乐离家的距离与时间的关系．用下面的图象刻画上述情境，排序正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，已知中，，是边上的中点，，交，于点，连接过点作交于点，连接则下列结论：；；；正确的有(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 已知，则的值为______．
12. 乐乐把个红球，个白球，个黑球装在一个不透明布袋中，这些球每个球除颜色外都相同，从中任取一球，取得红球的概率是则的值是______．
13. 七巧板是我国古代劳动智慧的结晶，被西方人称为“东方魔板”下面的两幅图是乐乐同学由同一副七巧板拼成的，已知七巧板拼成的正方形如图的边长为，则拼成的“扬帆起航”图案如图阴影部分的面积为______．

14. 乐乐把两块含角的三角尺叠放如图所示，现固定三角尺不动，将三角尺绕顶点顺时针移动，当时，的所有可能符合的度数为______．

15. 如图，在由边长为的小正方形组成的的网格中，点、在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点连接和，使的面积等于则方格图中满足条件的点有______个．

三、解答题（本大题共7小题，共75分）

16. 按照题意解答：
    计算：；
    化简求值：，其中．
17. 乐乐发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形，已知：在中，．
    求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形．
    下面是乐乐设计的尺规作图过程．
    作法：如图，作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点；
    作直线所以直线就是所求作的直线．
    根据乐乐设计的尺规作图过程，解决下列问题：
    使用直尺和圆规，补全图形保留作图痕迹；
    完成下面的证明．
    证明：直线是线段的垂直平分线，点在直线上，
    ______填推理的依据
    ____________．
    ，
    ，______．
    ．
    ______填推理的依据
    和都是等腰三角形．
    乐乐进一步探究：以点为圆心，适当长为半径画弧分别交、于，两点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，直线交于点，则______填写理由，使用尺规作图在图中补全作图痕迹．

18. 如图，在边长为的小正方形组成的网格中，点，，均在小正方形的顶点上．
    在图中画出与关于直线成轴对称的；
    在直线上找一点，使得的周长最小；
    求的面积．

19. 如图是计算机中的一种益智小游戏“扫雷”的画面，在一个的小方格的正方形雷区中，随机埋藏着颗地雷，每个小方格内最多只能埋藏颗地雷．
    小红在游戏开始时首先随机地点击一个方格，该方格中出现了数字“”，其意义表示该格的外围区域图中阴影部分，记为区域有颗地雷；接着，小红又点击了左上角第一个方格，出现了数字“”，其外围区域图中阴影部分记为区域；“区域与区域以及出现数字和两格”以外的部分记为区域．小红在下一步点击时要尽可能地避开地雷，那么她应点击、、中的哪个区域？请说明理由．

20. 如图，已知点，，，在同一直线上．
    ，，，，请自选三个作为条件，一个作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程．

21. 乐乐准备和弟弟一起在一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后乐乐做一会准备活动，弟弟先跑，当乐乐出发时，弟弟已经距起点米了，他们距起点的距离米与乐乐出发的时间秒之间的关系如图所示不完整根据图中所给的信息，解答下列问题：
    在上述变化过程中，自变量是______，因变量是______．
    乐乐在第一次追上弟弟前，弟弟的速度为______米秒，乐乐的速度为______米秒．
    写出乐乐与弟弟都在跑步过程中相距米时，乐乐离出发点的距离．

22. 如图，已知正方形的边长为，，，点为正方形边上的动点，动点从点出发，沿着运动到点时停止，设点经过的路程为，的面积为．
    如图，当时，______；
    如图，当点在边上运动时，______；
    当时，求的值；
    若点是边上一点且，连接，在正方形的边上是否存在一点，使得与全等？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算，进而判断得出答案．
此题主要考查了幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：乐乐在玩掷硬币游戏，她连续掷次都是正面朝上，掷第次也一定正面朝是随机事件，故A选项不符合题意；
B.守株待兔是随机事件、亡羊补牢必然事件、水中捞月是不可能事件、刻舟求剑是不可能事件，故B选项不符合题意；
C.期末测试前乐乐复习得很认真，信心满满，本次考试一定能考满分是随机事件，故C选项不符合题意；
D.乐乐同学所在小组的名同学都是零零后，他们一定有两人的生日是同一年是必然事件，故D选项符合题意．
故选：．
应用随机事件，必然事件，不可能事件的定义进行判定即可得出答案．
本题主要考查了随机事件，必然事件，不可能事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义进行求解即可得出答案．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
省略的的个数为：，
，
，
，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
根据平行线性质求出，根据三角形外角性质得出，代入求出即可．
本题考查了平行线性质和三角形外角性质的应用，关键是求出的度数和得出．
 

6.【答案】 

【解析】解：相等内错角的角平分线平行，结论不正确；
直线外一点与直线上各点的连接的所有线段中，垂线段最短，结论正确；
平面内四条直线，，，，如果，，，那么，结论正确；
如图，在与中，，，高相同，但是与不全等．
．
故结论“有两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等”不正确．
综上所述，正确的结论有个．
故选：．
根据平行线的性质，垂线段的性质以及全等三角形的判定进行分析判断．
本题主要考查了垂线段最短，全等三角形的判定．解题时，通过举出反例对所给出的结论“有两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等”作出正确的判断．
 

7.【答案】 

【解析】解：，因此合适；
，因此合适；
，因此合适；
，因此合适；
，因此合适；
故选：．
根据完全平方公式的结构特征逐个进行判断即可．
本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确判断的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：在和中，
，
≌，
，
故乐乐的方案可行；
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
故明明的方案可行；
，
，
在和中，
，
≌，
，
故聪聪的方案可行，
综上可知，三人方案都可行，
故选：．
在三个图中分别根据全等三角形的判定方法证明三角形全等，再根据全等三角形的性质即可得证．
本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：乐乐投篮时，投出去的篮球的高度随时间成抛物线形状，
该变化对应图象；
乐乐去文具店购买签字笔，支付费用与购买签字笔支数成正比例关系，
该变化对应图象；
一长方形水池里还有一部分水，再打开水管匀速往里注水时，注水时间和水池中水面的高度成一次函数关系；
该变化对应图象；
乐乐去奶奶家吃饭，饭后，按原速度原路返回，
该变化对应图象；
故选：．
根据四种变化中两个变量间的关系，可分别判断每种变化对应的图象．
此题考查了运用函数图象获取相关信息的能力，关键是能准确理解相关知识与读图．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，是边上的中点，
，平分，
，，
，
，
，
，
．
故正确；
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，即点是的中点，
又点是的中点，
是的中位线，
；
故正确．
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
故正确．
，，
，
又≌，
，
；
故正确．
综上所述，正确的有共个．
故选D．
根据等腰三角形性质：“三线合一”可得：，平分，再利用“等角的余角相等”即可判断结论正确；利用证明≌，可得，进而可得，即点是的中点，得出是的中位线，即可判断结论正确；利用证明≌，可得，即可判断结论正确；由于，，，即可判断结论正确．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形中位线定理等，是一道综合题目，解答的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：，


．
故答案为：．
幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．据此计算即可．
本题考查了幂的乘方，掌握幂的运算性质是解答本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：依题意有：
，
解得，
经检验，是原方程的解．
故答案为：．
由于每个球都有被摸到的可能性，故可利用概率公式列出方程，求出的值即可．
此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意可知，”扬帆起航”图案阴影部分是最小的等腰直角三角形，，，，
，
，
阴影部分的面积为，
故答案为：．
由题意得阴影部分是等腰直角三角形，再由已知得出直角边为，即可求出面积．
此题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，根据已知得出阴影部分的边长是解题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：如图，

由题意得：，，
，
，
；
如图，

由题意得：，，
，
，
．
故答案为：或．
有种情形，分别画出图形，再利用平行线的性质进行求解即可．
本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，满足条件的点有个．

故答案为：．
根据三角形的面积公式，利用的面积等于得到点到直线的距离为，然后利用网格特点确定点位置．
本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高．
 

16.【答案】解：





；



，
，
，，
，，
当，时，原式

． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
先算括号里，再算括号外，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，整式的混合运算化简求值，偶次方和绝对值的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

17.【答案】垂直平分线上的点到线段的两端的距离相等        等角对等边  三线合一 

【解析】解：如图，直线即为所求：

直线是线段的垂直平分线，点在直线上，
垂直平分线上的点到线段的两端的距离相等，
，
，
，，
，
等角对等边，
和都是等腰三角形．
故答案为：垂直平分线上的点到线段的两端的距离相等，，，，等角对等边；

图形如图所示：

由作图可知平分，
，
三线合一，
故答案为：三线合一．
根据要求作出图形即可；
利用等边对等角，等角对等边证明即可；
利用等腰三角形的性质证明即可．
本题考查作图应用与设计作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

18.【答案】解：如图，即为所求；

如图，点即为所求；
的面积． 

【解析】根据轴对称的性质即可在图中画出与关于直线成轴对称的；
连接交直线一点，即可使得的周长最小；
根据网格利用割补法即可求的面积．
本题考查了作图轴对称变换，勾股定理，轴对称最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
 

19.【答案】解：，，，分
，，
，
小红点击区域．分 

【解析】根据几何概率，求出地雷数埋有地雷的区域的面积之比，即为遇到地雷的概率，然后比较概率的大小．
用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解：如图，已知点，，，在同一直线上，，，，求证：．
证明：，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
． 

【解析】根据平行线的性质得出，进而利用证明与全等，利用全等三角形的性质解答即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质，其中全等三角形的判定方法有：；；；；以及直角三角形的判定方法．
 

21.【答案】      

【解析】解：由函数概念可得，在二人跑步中过程中自变量是，因变量是，
故答案为：，；
由题意得，乐乐在第一次追上弟弟前，弟弟的速度为：

米秒，
乐乐的速度为：
米秒，
故答案为：，；
设乐乐在跑步过程中距起点的距离米与乐乐出发的时间秒之间的函数关系式为，
得，
解得，
乐乐在跑步过程中距起点的距离米与乐乐出发的时间秒之间的函数关系式为，
再设弟弟在跑步过程中距起点的距离米与乐乐出发的时间秒之间的函数关系式为，
得，
解得，
弟弟在跑步过程中距起点的距离米与乐乐出发的时间秒之间的函数关系式为，
由题意得，，
解得或，
当时，
米；
当时，
米，
乐乐与弟弟都在跑步过程中相距米时，乐乐离出发点的距离是米或米．
根据函数的概念可得此题结果；
由图象可分别利用公式“速度路程时间”计算此题结果；
分别用待定系数法求得二人跑步中距起点的距离米与乐乐出发的时间秒之间的函数关系式，再利用方程求得此题结果．
此题考查了利用函数的图象解决实际问题的能力，关键是能准确根据图象获取相关信息．
 

22.【答案】   

【解析】解：，，，
；
故答案为：；

点在边上运动，
；
故答案为：；

由已知得只有当点在边或边上运动时，，
当点在边上运动时，
，
，
解得，
即；
当点在边上运动时，
，
，
解得：，
；
综上所述，当时，或；

当点在边或边上运动时，存在一点，使得与全等．
如图，当点在上时，≌，

，
，
．
如图，当点在上时，≌，

，
．
综上所述，或时，使得与全等．
由，可得，然后由，求得答案；
直接由，求得答案；
由已知得只有当点在边或边上运动时，，然后分别求解即可求得答案；
分两种情况，当点在边或边上运动时，分别画出图形，由全等三角形的性质列出关于的方程求解即可．
此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积公式．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．