2022年上海市金山区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2022年上海市金山区中考数学二模试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年上海市金山区中考数学二模试卷 题号一二三总分得分      一、选择题（本大题共6小题，共24分）在下列二次根式中，最简二次根式的是(    )A.  B.  C.  D. 关于的一元一次不等式的解集是，那么的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 下列对一元二次方程根的情况判断，正确的是(    )A. 两个不相等实数根 B. 有两个相等实数根
C. 有且只有一个实数根 D. 没有实数根某集团下属子公司年利润如表所示，年利润千万元子公司个数那么各子公司年利润的众数是(    )A. 千万元 B. 千万元 C. 千万元 D. 千万元下列命题中，真命题是(    )A. 平行四边形是轴对称图形 B. 互为补角的两个角都是锐角
C. 相等的弦所对的弧相等 D. 等腰梯形的对角线相等在直角坐标系中，点的坐标是，圆的半径为，下列说法正确的是(    )A. 圆与轴有一个公共点，与轴有两个公共点
B. 圆与轴有两个公共点，与轴有一个公共点
C. 圆与轴、轴都有两个公共点
D. 圆与轴、轴都没有公共点 二、填空题（本大题共12小题，共48分）因式分解：______．函数的定义域是______．反比例函数是实数，的图像在每个象限内随着的增大而增大，那么这个反比例函数的图像的两个分支分别在第______象限．方程的解是______．一个布袋中有个红球和个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别，从布袋中任取个球是黑球的概率是______．北京冬奥会上中国队获得奖牌情况如图所示，其中金牌为块，那么中国队获得奖牌总数是______块．
 沿一斜坡向上走米，高度上升米，这个斜坡的坡度：______．年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如图，如图的弦图中大正方形边长为，每个直角三角形较小的锐角为，那么小正方形面积为______．已知在中，是中线，设，，那么向量用向量、表示为______．已知在中，点、分别在边、上，，如果和四边形的面积分别为和，，那么______．如图，如果、分别是圆的内接正三角形和内接正方形的一条边，一定是圆的内接正边形的一条边，那么______．
 如图，菱形中，，，把菱形绕点逆时针旋转得到菱形，其中点正好在上，那么点和点之间的距离等于______．
   三、解答题（本大题共7小题，共78分）计算：．解方程：．如图，梯形中，，是的中点，，，．
求的长；
求的余弦．
弹簧在一定限度内，它的长度与所挂重物的重量是一次函数关系，下表中记录的是所挂重物的重量和其对应的弹簧长度．重物的重量弹簧的长度求关于的函数关系式不需要写出函数的定义域；
弹簧在一定限度内挂上重物后长度不超过，那么所挂重物的重量最多为多少？如图，已知：和都是等边三角形，其中点在边上，点是边上一点，且．
求证：；
联结，设、的交点为，如果，求证：．
已知：在直角坐标系中直线与轴、轴相交于点、，抛物线经过点和点．
求抛物线的解析式；
如果直线与抛物线的对称轴相交于点，求的长；
是线段上一点，过点作直线的平行线，与轴相交于点，把沿直线翻折，点的对应点是点，如果点在抛物线上，求点的坐标．
如图，已知：中，，，，是边上一点，以点为圆心，为半径的圆与边的另一个交点是点，与边的另一个交点是点，过点作的平行线与圆相交于点，与相交于点，的延长线交于点，联结．

求证：；
设，的面积为，求关于的函数关系式，并写出定义域；
如果是以为腰的等腰三角形，求的长．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
选项A不符合题意；

，
选项B不符合题意；

是最简二次根式，
选项C符合题意；

，
选项D不符合题意．
故选：．
根据最简二次根式的条件，逐项判断即可．
此题主要考查了最简二次根式的特征和判断，解答此题的关键是要明确最简二次根式的条件：被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
 2.【答案】 【解析】解：关于的一元一次不等式的解集是，
，
故选：．
根据不等式的性质，可得答案．
本题考查了不等式的解集，不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 3.【答案】 【解析】解：，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 4.【答案】 【解析】解：年利率为千万元的公司有家，最多，
众数是千万元，
故选：．
利用众数的定义回答即可．
考查了众数的定义，解题的关键是了解众数是出现次数最多的数，众数不唯一．
 5.【答案】 【解析】解：、平行四边形不一定是轴对称图形，本选项中命题是假命题，不符合题意；
B、互为补角的两个角不可能都是锐角，本选项中命题是假命题，不符合题意；
C、相等的弦所对的弧有优弧和劣弧两种情况，它们不相等相等，本选项中命题是假命题，不符合题意；
D、等腰梯形的对角线相等，本选项中命题是真命题，符合题意；
故选：．
根据轴对称图形的概念、互为补角的概念、弧和弦之间的关系、等腰梯形的性质判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 6.【答案】 【解析】解：，圆的半径为，
以为圆心，以为半径的圆与轴的位置关系是相交，与轴的位置关系是相切，
该圆与轴的交点有个，与轴的交点有个．
故选：．
点到轴的距离是，到轴的距离为，圆的半径是，所以可判断圆与轴相交，与轴相切，从而确定答案即可．
本题主要考查了直线和圆的位置关系，一般是利用圆心到直线的距离与半径比较来判断．若圆心到直线的距离是，半径是，则，直线和圆相离，没有交点；，直线和圆相切，有一个交点；，直线和圆相交，有两个交点．
 7.【答案】 【解析】解：原式．
故答案为：．
原题中的公因式是，用提公因式法来分解因式．
本题考查了提公因式法分解因式，提取公因式后就还剩下因式．
 8.【答案】 【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据分式的分母不为列出不等式，解不等式，得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握分式的分母不为是解题的关键．
 9.【答案】二、四 【解析】解：反比例函数是实数，的图像在每个象限内随着的增大而增大，
，
反比例函数图象位于第二、四象限，
故答案为：二、四．
根据反比例函数的增减性可得，进一步即可确定函数图象．
本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
经检验，是原方程的解，
故答案为：．
将方程变形，化为整式方程，解整式方程再检验即可得答案．
本题考查解无理方程，解题的关键是将无理方程化为有理方程，注意解无理方程须检验．
 11.【答案】 【解析】解：一个布袋中放着个黑球和个红球，
从布袋中任取个球，取出黑球的概率是，
故答案为：．
根据题意，可知存在种可能性，其中抽到黑球的有种可能性，从而可以求出从布袋中任取个球，取出黑球的概率．
本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
 12.【答案】 【解析】解：由图知，金牌对应百分比为，
所以中国队获得奖牌总数是块，
故答案为：．
先根据百分比之和为求出金牌数所占百分比，再用金牌数除以对应百分比即可．
本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数单位，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
 13.【答案】 【解析】解：由勾股定理可得，
此人行走的水平距离为，
这个斜坡的坡度：：．
故答案为：．
由勾股定理可得，此人行走的水平距离为，则这个斜坡的坡度：：．
本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题、勾股定理，熟练掌握坡度的定义是解答本题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：大正方形边长为，每个直角三角形较小的锐角为，
直角三角形的短直角边为，长直角边为，
小正方形的边长为：，
小正方形面积为：

，
故答案为：．
根据题意和题目中的数据，可以先求出直角三角形的两条直角边的长，然后即可得到小正方形的边长，再计算正方形的面积即可．
本题考查勾股定理的证明、正方形的面积、锐角三角函数，解答本题的关键是求出小正方形的边长．
 15.【答案】 【解析】解：如图，延长到，使得，连接，．

，，
四边形是平行四边形，
，
，
．
故答案为：．
如图，延长到，使得，连接，证明四边形是平行四边形，利用三角形法则求出即可解决问题．
本题考查平面向量，平行四边形的判定和性质，三角形法则等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题，属于中考常考题型．
 16.【答案】 【解析】解：依照题意画出图形，如图所示．
，
∽．
又，
，
，即，
，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
故答案为：．
由，∽，利用相似三角形的性质结合和四边形的面积分别为和，可得出，结合，即可求出的值，经检验后即可得出结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
 17.【答案】 【解析】解：连接、、，如图，
，分别为的内接正四边形与内接正三角形的一边，
，，
，
，
即恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．
故答案为：．
连接、、，如图，利用正多边形与圆，分别计算的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到，，则，即可得到的值．
本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成是大于的自然数等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．
 18.【答案】 【解析】解：连接交于，如图所示：

四边形是菱形，
，，，，
，
由旋转的性质得：，，，
过点作于，
，
，即，
，
，
，
．
故选：．
连接交于，由菱形的性质得出，，，由直角三角形的性质求出，由旋转的性质得出，，过点作于，由，求出，，求出，由勾股定理即可得出结果．
本题考查了菱形的性质、旋转的性质、直角三角形的性质、锐角三角函数等知识；熟练掌握旋转的性质和菱形的性质是解题的关键．
 19.【答案】解：原式． 【解析】先根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、特殊角的三角函数值、二次根式的化简计算，再按照实数的加减运算法则计算即可．
本题考查了负整数指数幂、特殊角的三角函数值、分数指数幂、二次根式的化简等运算在实数计算中的综合运用，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
 20.【答案】解：去分母得：，
整理得：，
解得：，，
检验：把代入得：，
把代入得：，
是原方程的增根，是原方程的根，
则原方程的根是． 【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 21.【答案】解：在中，，，
，
，
，
；
取的中点，连接，
是的中点，
，
，
，点是的中点，
，
由勾股定理得：，
在中，，，，
，
，即的余弦为． 【解析】根据正切的定义求出，根据勾股定理求出；
取的中点，连接，根据梯形中位线定理得到，根据平行线的性质得到，根据余弦的定义解答即可．
本题考查的是梯形中位线定理、正切和余弦的定义、勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
 22.【答案】解：设关于的解析式是，
由题意得：，
解得：，
关于的解析式是；
由题意得：，
，
解得：，
答：所挂重物的重量最多为． 【解析】用待定系数法可得关于的解析式是；
结合，令得到关于的不等式，解不等式即可得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，熟练应用待定系数法求出函数关系式．
 23.【答案】证明：如图，

是等边三角形，
，，
在和中，
，
≌，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
；
如图，

，
，
，
∽，
，
，
，
． 【解析】由等边三角形的性质证明≌，得出，由等边三角形的性质及三角形外角的性质得出，进而得出，即可证明；
先证明∽，得出，由，得出，即可证明．
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判断，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
 24.【答案】解：直线与轴、轴相交于点、，
、，
代入抛物线得：，
，，
抛物线的解析式为：．
由，
可得抛物线的对称轴为直线，
当时，，
，
．
如图，设点的坐标为，
，，
，
，
，
，又，
四边形为矩形，
，
四边形为正方形，
，
四边形为正方形，
，
，
解得：，不合题意，舍去，
点是坐标为：．
 【解析】利用待定系数法求解即可；
先求出抛物线的对称轴为直线，再求出点的坐标，即可得出结论；
设点的坐标为，先得出四边形为矩形，再得出四边形为正方形，最后得出点的坐标，列出方程求解即可．
本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，正确画出图象是解题的关键．
 25.【答案】证明：联结，，

，
，，
，
，
，
．
解：过点作，过点作，垂足分别为、，

，，，
四边形是矩形，
，
在中，，，，
，，
在中，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
即．
解：若是以为腰的等腰三角形，可分两种情况：
若，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
．
若，
如图，过点作，过点作，垂足分别为、，则四边形是矩形，

在中，，，，
，
，，，
，
解得：．
综上所述，若是以为腰的等腰三角形，的长为或． 【解析】联结，由平行线的性质得出，，由等腰三角形的性质得出，证出，则可得出结论；
过点作，过点作，垂足分别为、，由∽证出，得出，求出和，则可得出答案；
分两种情况，若，若，由等腰三角形的性质列出方程即可得出答案．
本题是圆的综合题，考查了圆的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．