广西专用2022年高考数学一轮复习考点规范练40直线平面平行的判定与性质含解析新人教A版文

考点规范练40　直线、平面平行的判定与性质

基础巩固

1.对于空间的两条直线m,n和一个平面α,下列命题中的真命题是(　　)

A.若m∥α,n∥α,则m∥n

B.若m∥α,n⊂α,则m∥n

C.若m∥α,n⊥α,则m∥n

D.若m⊥α,n⊥α,则m∥n

2.下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(　　)

A.①③ B.②③ C.①④ D.②④

3.设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则α∥β的一个充分条件是(　　)

A.存在一条直线a,a∥α,a∥β

B.存在一条直线a,a⊂α,a∥β

C.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α

D.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α

4.(2021福建莆田一中月考)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G,H分别是棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,则必有(　　)

A.BD1∥GH

B.BD∥EF

C.平面EFGH∥平面ABCD

D.平面EFGH∥平面A1BCD1

5.已知平面α和不重合的两条直线m,n,下列选项正确的是(　　)

A.如果m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线,那么n∥α

B.如果m⊂α,n与α相交,那么m,n是异面直线

C.如果m⊂α,n∥α,m,n共面,那么m∥n

D.如果m⊥α,n⊥m,那么n∥α

6.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD=NB=1,G为MC的中点.则下列结论不正确的是(　　)

A.MC⊥AN

B.GB∥平面AMN

C.平面CMN⊥平面AMN

D.平面DCM∥平面ABN

7.已知平面α∥β,P∉α且P∉β,过点P的直线m与α,β分别交于A,C,过点P的直线n与α,β分别交于B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为　　　　　. 

8.(2021北京门头沟一模)在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是该正方体表面及其内部的一动点,且BM∥平面AD1C,则动点M的轨迹所形成区域的面积是　　　　. 

9.如图,四棱锥P-ABCD的底面是一直角梯形,AB∥CD,BA⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面ABCD,E为PC的中点,则BE与平面PAD的位置关系为　　　　　　　　. 

10.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,则点Q满足条件　　　　　　　　　　　　　时,有平面D1BQ∥平面PAO. 

11.(2021重庆南开中学月考)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,BC∥平面PAD,BC=AD,E是PD的中点.

(1)求证:BC∥AD.

(2)求证:CE∥平面PAB.

(3)若M是线段CE上一动点,则线段AD上是否存在点N,使MN∥平面PAB?说明理由.

12.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=BC=1,E为BB1的中点,F为AC1的中点.

(1)求证:EF∥平面ABCD;

(2)求点E到平面AB1C1的距离.

能力提升

13.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AC,A1B的中点,则下列说法错误的是(　　)

A.MN∥平面ADD1A1

B.MN⊥AB

C.直线MN与平面ABCD所成的角为45°

D.异面直线MN与DD1所成的角为60°

14.设α,β,γ为三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,在命题“α∩β=m,n⊂γ,且　　　　　,则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题. 

①α∥γ,n⊂β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m⊂γ.

可以填入的条件有(　　)

A.①② B.②③

C.①③ D.①②③

15.如图,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=　　　　　. 

16.已知长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=BC=1,AA1=2,在A1B上取一点M,在B1C上取一点N,使得直线MN∥平面A1ACC1,则线段MN的最小值为　　　　. 

17.如图,棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为菱形,平面AA1C1C⊥平面ABCD.

(1)求证:平面AB1C∥平面DA1C1.

(2)在直线CC1上是否存在点P,使BP∥平面DA1C1?若存在,求出点P的位置;若不存在,说明理由.

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18.如图,已知正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在边AB,AD上,AE=AF=4,现将△AEF沿线段EF折起到△A'EF位置,使得A'C=2.

(1)求五棱锥A'-BCDFE的体积.

(2)在线段A'C上是否存在一点M,使得BM∥平面A'EF?若存在,求A'M;若不存在,请说明理由.

答案：

1.D　解析对A,直线m,n可能平行、异面或相交,故A错误;对B,直线m与n可能平行,也可能异面,故B错误;对C,m与n垂直而非平行,故C错误;对D,垂直于同一平面的两直线平行,故D正确.

2.C　解析对于图形①,平面MNP与AB所在的对角面平行,即可得到AB∥平面MNP;对于图形④,AB∥PN,即可得到AB∥平面MNP;图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行.

3.D　解析对于选项A,B,C,由已知条件,可得平面α,β可能平行,也可能相交,所以选项A,B,C不是α∥β的一个充分条件;对于选项D,可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中,成为相交直线,则有α∥β,所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件.故选D.

4.D　解析选项A,由中位线定理可知GH∥D1C,因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,所以BD1,GH不可能互相平行,故A选项是错误的;

选项B,由中位线定理可知EF∥A1B,因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,所以BD,EF不可能互相平行,故B选项是错误的;

选项C,由中位线定理可知EF∥A1B,而直线A1B与平面ABCD相交,故直线EF与平面ABCD也相交,故平面EFGH与平面ABCD相交,故C选项是错误的;

选项D,由三角形中位线定理可知EF∥A1B,EH∥A1D1,所以有EF∥平面A1BCD1,EH∥平面A1BCD1,而EF∩EH=E,因此平面EFGH∥平面A1BCD1,故选D.

5.C　解析如图(1)可知A错;如图(2)可知B错;

如图(3),m⊥α,n是α内的任意直线,都有n⊥m,故D错.

∵n∥α,∴n与α无公共点,

∵m⊂α,∴n与m无公共点,

又m,n共面,∴m∥n,故选C.

6.C　解析显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体,把该几何体放置到正方体中(如图),取AN的中点H,连接HB,MH,则MC∥HB,又HB⊥AN,所以MC⊥AN,所以A正确;

由题意易得GB∥MH,

又GB⊄平面AMN,MH⊂平面AMN,

所以GB∥平面AMN,所以B正确;

因为AB∥CD,DM∥BN,且AB∩BN=B,CD∩DM=D,

所以平面DCM∥平面ABN,所以D正确.

7.或24　解析如图(1),∵AC∩BD=P,

∴经过直线AC与BD可确定平面PCD.

∵α∥β,α∩平面PAB=AB,β∩平面PCD=CD,

∴AB∥CD.

∴,即,解得BD=.

图(1)

图(2)

如图(2),同理可证AB∥CD.

∴,即,解得BD=24.

综上所述,BD=或24.

8.2　解析如图,在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,

动点M满足BM∥平面AD1C,

由面面平行的性质可知,当BM始终在一个与平面AD1C平行的平面内,即满足题意.

过B作与平面AD1C平行的平面,连接A1B,BC1,A1C1,平面A1BC1∥平面AD1C,

所以×2×2=2.

9.平行　解析取PD的中点F,连接EF,AF,

在△PCD中,EF?CD.

∵AB∥CD且CD=2AB,∴EF?AB,

∴四边形ABEF是平行四边形,∴EB∥AF.

又EB⊄平面PAD,AF⊂平面PAD,∴BE∥平面PAD.

10.Q为CC1的中点　解析如图,假设Q为CC1的中点,因为P为DD1的中点,

所以QB∥PA.

连接DB,因为P,O分别是DD1,DB的中点,

所以D1B∥PO.

又D1B⊄平面PAO,QB⊄平面PAO,

所以D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO.

又D1B∩QB=B,所以平面D1BQ∥平面PAO.

故Q满足条件Q为CC1的中点时,有平面D1BQ∥平面PAO.

11.(1)证明在四棱锥P-ABCD中,BC∥平面PAD,BC⊂平面ABCD,

平面ABCD∩平面PAD=AD,∴BC∥AD.

(2)证明取PA的中点F,连接EF,BF,

∵E是PD的中点,∴EF∥AD,EF=AD,

又由(1)可得BC∥AD,BC=AD,

∴BC∥EF,BC=EF,∴四边形BCEF是平行四边形,

∴CE∥BF.∵CE⊄平面PAB,BF⊂平面PAB,∴CE∥平面PAB.

(3)解取AD中点N,连接CN,EN,∵E,N分别为PD,AD的中点,∴EN∥PA.

∵EN⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,

∴EN∥平面PAB.

又由(2)可得CE∥平面PAB,CE∩EN=E,

∴平面CEN∥平面PAB.

∵M是CE上的动点,MN⊂平面CEN,∴MN∥平面PAB,

∴线段AD存在点N,使得MN∥平面PAB.

12.(1)证明如图,连接AC,BD,交于点O,连接OF,

∵OF为△ACC1的中位线,

∴OF∥CC1,OF=CC1.

又BB1∥CC1,且BB1=CC1,

∴OF∥BB1,2OF=BB1.

又E为BB1的中点,∴OF∥BE,OF=BE.

∴四边形BEFO为平行四边形.∴EF∥BO.

∵BO⊂平面ABCD,EF⊄平面ABCD,

∴EF∥平面ABCD.

(2)解连接AE,EC1.

由题意知B1C1⊥平面ABB1A1,

∴B1C1是点C1到平面ABB1A1的距离.

又AB1⊂平面ABB1A1,

∴B1C1⊥AB1.

设点E到平面AB1C1的距离为h.

∵,∴·B1C1=·h,

即×1×1×1=×1×h,解得h=.

故点E到平面AB1C1的距离为.

13.D　解析如图,连接BD,A1D,则BD过点M,且M为BD的中点.

由N为A1B的中点,知MN为△A1BD的中位线,∴MN∥A1D,

∵MN⊄平面ADD1A1,A1D⊂平面ADD1A1,

∴MN∥平面ADD1A1,故A正确;

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥平面ADD1A1,

则AB⊥A1D,

∵MN∥A1D,∴MN⊥AB,故B正确;

直线MN与平面ABCD所成角等于A1D与平面ABCD所成角等于45°,故C正确;

而∠A1DD1为异面直线MN与DD1所成角,应为45°,故D错误.故选D.

14.C　解析由面面平行的性质定理可知,①正确;当n∥β,m⊂γ时,n和m在同一平面内,且没有公共点,所以平行,③正确.选C.

15.　解析如图所示,连接AC,易知MN∥平面ABCD.

又平面PQNM∩平面ABCD=PQ,MN⊂平面PQNM,

∴MN∥PQ.

又MN∥AC,∴PQ∥AC.

∵AP=,∴,

∴PQ=AC=a.

16.　解析作MM1⊥AB于点M1,作NN1⊥BC于点N1,

连接M1N1,如图.

∵平面ABB1A1⊥平面ABCD,且交线为AB,∴MM1⊥平面ABCD.同理NN1⊥平面ABCD.∴MM1∥NN1.

∴M,N,N1,M1四点共面,且四边形MNN1M1为直角梯形.

由作图可知,MM1∥AA1,∵AA1⊂平面A1ACC1,MM1⊄平面A1ACC1,

∴MM1∥平面A1ACC1.∵MN∥平面A1ACC1,且MN∩MM1=M,MN,MM1⊂平面MM1N1N,

∴平面MM1N1N∥平面A1ACC1.

∵平面MM1N1N,平面A1ACC1与平面ABCD的交线分别为M1N1,AC,∴M1N1∥AC.

设BM1=BN1=x,则MM1=2x,NN1=2-2x.

在直角梯形MNN1M1中,

MN2=(x)2+(2-4x)2=18x-2+,

∴当x=时,MN取得最小值为.

17.(1)证明由棱柱ABCD-A1B1C1D1的性质,

知AB1∥DC1,A1D∥B1C.

∵AB1∩B1C=B1,AB1,B1C⊂平面AB1C,A1D∩DC1=D,A1D,DC1⊂平面DA1C1,

∴平面AB1C∥平面DA1C1.

(2)解存在这样的点P满足题意.

如图,在C1C的延长线上取点P,使C1C=CP,连接BP,

∵B1BCC1,∴BB1?CP,

∴四边形BB1CP为平行四边形,∴BP∥B1C.

∵A1D∥B1C,∴BP∥A1D.

又A1D⊂平面DA1C1,BP⊄平面DA1C1,∴BP∥平面DA1C1.

18.解(1)连接AC,设AC∩EF=H,连接A'H.

因为四边形ABCD是正方形,AE=AF=4,

所以H是EF的中点,且EF⊥AH,EF⊥CH.

从而有A'H⊥EF,CH⊥EF,

又A'H∩CH=H,

所以EF⊥平面A'HC,且EF⊂平面ABCD.

从而平面A'HC⊥平面ABCD,且交线为CH.

过点A'作A'O垂直HC且与HC相交于点O,

则A'O⊥平面ABCD.

因为正方形ABCD的边长为6,AE=AF=4,

所以A'H=2,CH=4,

所以cos∠A'HC=.

所以HO=A'H·cos∠A'HC=,则A'O=.

所以五棱锥A'-BCDFE的体积

V=.

(2)线段A'C上存在点M,使得BM∥平面A'EF,此时A'M=.

证明如下:

连接OM,BD,BM,DM,且易知BD过O点.

A'M=A'C,HO=HC,

所以OM∥A'H.

又OM⊄平面A'EF,A'H⊂平面A'EF,

所以OM∥平面A'EF.

又BD∥EF,BD⊄平面A'EF,EF⊂平面A'EF,

所以BD∥平面A'EF.

又BD∩OM=O,所以平面MBD∥平面A'EF,

因为BM⊂平面MBD,所以BM∥平面A'EF.