2022版高考数学二轮复习 课时作业2

课时作业(二)

1．(2021·山西临汾市·高三二模)已知向量a、b的夹角为30°，|a|＝1，|b|＝，则|a＋b|＝____.

【解析】　由已知可得(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2|a|·|b|cos 30°＋|b|2＝7，因此，|a＋b|＝.

2．(2021·松江区二模)已知函数y＝tan的图象关于点对称，且|ω|≤1，则实数ω的值为__-_或1__.

【解析】　∵函数y＝tan的图象关于点对称，且|ω|≤1，

∴ω＋＝kπ，k∈Z，或ω＋＝kπ＋，k∈Z

则令k＝0，可得实数ω＝-或ω＝1.

3．(2021·武侯区校级模拟)在△ABC中，内角A，B，C成等差数列，则sin2A＋sin2C-sin Asin C＝____.

【解析】　△ABC中，内角A，B，C成等差数列，

所以A＋C＝2B，由A＋B＋C＝π，得B＝，

所以cos B＝＝，

化简得a2＋c2-ac＝b2，

由正弦定理得sin2A＋sin2C-sin Asin C＝sin2B＝＝.

4．正四面体A-BCD，其棱长为2，则该正面体A-BCD的外接球的体积为__4π__.

【解析】　如图，正四面体A-BCD在正方体中且正方体的面上的对角线为2，

正四面体A-BCD的外接球，

就是正方体的外接球．

正方体的棱长为2×＝2，

故外接球的半径为

r＝＝，

所以该正四面体的外接球的体积为V＝π×()3＝4π.

5．(2021·江苏二模)能使“函数f(x)＝x|x-1|在区间I上不是单调函数，且在区间I上的函数值的集合为[0，2]．”是真命题的一个区间I为____.

【解析】　f(x)＝x|x-1|＝ ，

其图象如图所示，

易得f＝，f(1)＝0，f(2)＝2，

结合图象可知，函数在区间上符合条件．

6．(2021·沙坪坝区校级模拟)已知函数f(x)满足：∀x∈R，f(-x)＋f(x)＝0，且当x＞0时，f(x)＝ ，则f的值为__-6__.

【解析】　∵函数f(x)满足：∀x∈R，f(-x)＋f(x)＝0，故f(x)为奇函数．

且当x＞0时，f(x)＝ ，

则f＝log3＝-2，

f＝f＝f(2)＝2-2×22＝-6.

7．(2021·虹口区二模)给出下列命题：

①若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；

②若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行；

③若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．

其中所有正确命题的序号为__②③__.

【解析】　对于①，若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线有三种位置关系：平行、相交或异面，故①错误；

对于②，根据线面垂直的性质可知，若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行，故②正确；

对于③，若一条直线平行于一个平面，则与该平面垂直的直线与该直线垂直，故③正确．

∴其中所有正确命题的序号为②③.

8．(2021·岳麓区校级二模)已知数列{an}中，a1＝，且anan-1＋1＝2an-1，数列{bn}满足bn＝，则{bn}的通项公式是bn＝__n-__.

【解析】　因为anan-1＋1＝2an-1，所以bn-bn-1＝-＝＝＝＝1，

因为a1＝，所以b1＝＝-，所以数列{bn}是首项为-，公差为1的等差数列，

所以bn＝-＋n-1＝n-.

9．(2021·全国Ⅲ卷模拟)已知正项等比数列{an}中，a4＝8，a6＝32，若a2，a4为等差数列{bn}的前两项，则数列{bn}的前20项的和为__1_180__.

【解析】　设正项等比数列{an}的公比为q，q＞0，

由a4＝8，a6＝32，可得a1q3＝8，a1q5＝32，

解得a1＝1，q＝2，

则a2＝2，a4＝8，

设等差数列{bn}的公差为d，可得d＝a4-a2＝6，

b1＝2，

所以数列{bn}的前20项的和为20×2＋×20×19×6＝1 180.

10．设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x＋y，x-y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：

①集合S＝{a＋bi|a，b为整数，i为虚数单位}为封闭集；

②若S为封闭集，则一定有0∈S；

③封闭集一定是无限集；

④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集，其中真命题是__①②__(写出所有真命题的序号)．

【解析】　直接验证可知①正确；当S为封闭集时，因为x-y∈S，取x＝y，得0∈S，故②正确；对于集合S＝{0}，显然满足所有条件，但S是有限集，③错误；取S＝{0}，T＝{0，1}，满足S⊆T⊆C，但由于0-1＝-1∉T，故T不是封闭集，④错误．所以真命题为①②，故填①②.

11．给出以下命题：

①双曲线-x2＝1的渐近线方程为y＝±x；

②命题p：“∀x∈R＋，sin x＋≥2”是真命题；

③已知线性回归方程为＝3＋2x，当变量x增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；

④设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，若P(ξ>1)＝0.2，则p(-1<ξ<0)＝0.6.

则正确命题的序号为__①③__(写出所有正确命题的序号)．

【解析】　①由-x2＝0可以解得双曲线的渐近线方程为y＝±x，正确．

②命题不能保证sin x，为正，故错误；

③根据线性回归方程的含义可知正确；

④P(ξ>1)＝0.2，可得P(ξ<-1)＝0.2，

所以P(-1<ξ<0)＝P(-1<ξ<1)＝0.3，故错误．

综上①③正确．

12．(2021·咸阳模拟)下列命题中正确命题的序号是__①③__.

①若3sin α＝cos α，则tan 2α＝；

②设a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则＋的最大值为9；

③数列{an}首项为1，A、B、C三点共线，且＝an＋1-an，则数列{an}为等差数列；

④对任意x∈R，都有x2-2x＋3≥0的否定为：存在x0∈R，使得x-2x0＋3≤0.

【解析】　对于①，若3sin α＝cos α，tan α＝，

则tan 2α＝＝，故①正确；

②设a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则＋＝(a＋b)＝4＋＋＋1≥5＋4＝9，等号成立的条件是a＝2b，即a＝，b＝，故最小值为9，故②错误；

③数列{an}首项为1，A、B、C三点共线，且＝an＋1-an，所以an＋1-an＝1，则数列{an}为等差数列，故③正确；

④对任意x∈R，都有x2-2x＋3≥0的否定为：存在x0∈R，使得x-2x0＋3＜0，故④错误．