2022版高考数学二轮复习 课时作业20

课时作业(二十)

解答题

1．(2021·重庆八中高三月考)如图，椭圆Γ：＋y2＝1的右焦点为F，过F任意作两条互相垂直的直线l1，l2分别交椭圆Γ于A，B两点和C，D两点，M，N分别为AB和CD的中点．

(1)若直线OM斜率为，其中O为坐标原点，求直线ON的斜率；

(2)记F到直线MN的距离为d，求d的最大值．

【解析】　(1)F(1，0)，设直线l1：x＝t1y＋1，直线l2：x＝t2y＋1，t1t2＝-1，

由，得(t＋2)y2＋2t1y-1＝0，则yA＋yB＝-，所以yM＝＝-，xM＝t1yM＋1＝，所以M，同理可得N，

设直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，则k1＝＝-，k2＝-，

∴k1k2＝＝＝-，

∴k2＝＝＝-，直线ON的斜率为-.

(2)设过点F(1，0)的直线为x＝ty＋1，则其与椭圆交点弦的中点坐标为，

设直线MN的方程为x＝my＋n.

⇒中点的纵坐标为y＝，

∴＝⇒nt2-mt＋2(n-1)＝0，t1t2＝＝-1⇒n＝，

∴直线MN过定点，dmax＝1-＝(此时直线MN垂直于x轴)．

2．(2021·四川高三三模)已知椭圆C：＋＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且与x轴垂直的直线与椭圆C交于A，B两点，△AOB的面积为2，点P为椭圆C的下顶点，|PF2|＝|OP|.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)经过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交椭圆C于M，N两点，求|·|的取值范围．

【解析】　(1)因为△OPF2为直角三角形，所以b2＋c2＝|PF2|2＝(b)2，则b＝c，

又S△AOB＝××c＝＝2，所以b2c＝2a，

又a2＝b2＋c2，所以b3＝2·＝4b，

则b2＝4，

a2＝b2＋c2＝4＋4＝8，故椭圆C的标准方程为＋＝1.

(2)因为抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，所以点F的坐标为F(1，0)，

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

又因为|·|＝|||·||·cos π|＝|FM|·|FN|.

①若直线l与x轴重合，|·|＝|FM|·|FN|＝(a-1)(a＋1)＝7；

②若直线l不与x轴重合，设直线l的方程为x＝my＋1，则，

消去x得(m2＋2)y2＋2my-7＝0，

所以y1＋y2＝，y1y2＝，

则由两点间的距离公式有|FM|＝＝＝|y1|，

同理|FN|＝(m2＋1)|y2|，

所以|·|＝|FM|·|FN|＝(m2＋1)|y1y2|

＝(m2＋1)·＝＝7-，因为m2＋2≥2，

所以0<≤，所以≤7-<7，

综上①②可知|·|＝|FM|·|FN|∈，

即||·||的取值范围是.

3．(2021·河北衡水中学高三模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，过椭圆右焦点F2且垂直于x轴的直线与椭圆在第一象限交于点P，已知椭圆左焦点为F1(-，0)，△PF1O的面积为，不垂直于x轴的直线与椭圆相交于A，B两点，点M为线段AB的中点．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)点Q总满足∠AQO＝∠BQO，证明：直线AB过定点．

【解析】　(1)由题意，椭圆左焦点为F1(-，0)，且过椭圆右焦点F2且垂直于x轴的直线与椭圆在第一象限交于点P，可得P，

因为△PF1O的面积为，可得S△PF1O＝××＝，解得＝，

又因为a2＝b2＋c2，且c＝，可得a＝2，b＝1，

故椭圆的方程为＋y2＝1.

(2)依题可得直线AB的斜率存在，设直线AB的直线方程为y＝kx＋m，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，

联立方程组，可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2-4＝0，

则Δ＝16(4k2-m2＋1)>0，即m2<4k2＋1，

且x1＋x2＝，x1x2＝，

因为∠AQO＝∠BQO，所以kAQ＋kBQ＝0，

可得kAQ＋kBQ＝＋＝＋＝0，

即(kx1＋m)＋(kx2＋m)＝2kx1x2＋(x1＋x2)-m＝0，

整理得2k(4m2-4)-8km-m(1＋4k2)＝0，解得m＝-k，

所以直线AB的方程为y＝k(x-)，

所以直线AB恒过定点(，0)．

4．(2021·重庆南开中学高三月考)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左右焦点为F1、F2，离心率e＝，过圆C1：x2＋y2＝b2上一点Q(Q在y轴左侧)作该圆的切线，分别交椭圆E于A、B两点，交圆C2：x2＋y2＝a2于C、D两点(如图所示)．当切线AB与x轴垂直时，△CDF2的面积为3＋.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)①求△ABO的面积的最大值；

②求证：|AC|＋|AF2|为定值，并求出这个定值．

【解析】　(1)|CD|＝2＝2c，于是有S△CDF2＝c(b＋c)＝3＋，又＝，a2-b2＝c2，

解得c＝，a＝2，b＝1，所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1.

(2)①因Q在y轴左侧，故直线AB的斜率不会为零，设其方程为x＝ty＋m，

由直线AB与圆C1相切得＝1⇒m2＝1＋t2，

由消去x得(t2＋4)y2＋2tmy＋m2-4＝0，

Δ＝4t2m2-4(t2＋4)(m2-4)＝16(t2＋4-m2)＝48，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝·|y1-y2|＝·，

所以S△OAB＝·|AB|·b＝≤＝1，当且仅当1＋t2＝3，即t＝±时取等号．

故△ABO的面积的最大值为1.

②因点A(x1，y1)在椭圆E上，且在y轴左侧，

故x1<0，＋y＝1，

由(1)|CQ|＝c＝，

故|AC|＝|CQ|-|AQ|＝-＝-＝-＝＋x1，

|AF2|＝

＝＝

＝2-x1，

故|AC|＋|AF2|＝＋x1＋2-x1＝＋2为定值．