2022年吉林省中考数学试卷（含解析）

2022年吉林省中考数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12分）

1. 吉林松花石有“石中之宝”的美誉，用它制作的砚台叫松花砚，能与中国四大名砚媲美．如图是一款松花砚的示意图，其俯视图为(    )

A.
B.
C.
D.

2. 要使算式的运算结果最大，则“”内应填入的运算符号为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 与的差不大于，用不等式表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

5. 如图，如果，那么，其依据可以简单说成(    )

A. 两直线平行，内错角相等
B. 内错角相等，两直线平行
C. 两直线平行，同位角相等
D. 同位角相等，两直线平行

6. 如图，在中，，，以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

7. 的相反数是______．
8. 计算：______．
9. 篮球队要购买个篮球，每个篮球元，一共需要______元．用含的代数式表示
10. 九章算术中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知个大桶加上个小桶可以盛酒斛斛，音，是古代一种容量单位，个大桶加上个小桶可以盛酒斛．个大桶、个小桶分别可以盛酒多少斛？设个大桶可以盛酒斛、个小桶可以盛酒斛．根据题意，可列方程组为______．
11. 第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身重合，则角可以为______度．写出一个即可

12. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴正半轴上，以点为圆心，长为半径作弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为______．

13. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接若，则______．

14. 如图，在半径为的上顺次取点，，，，，连接，，，，，若，，则与的长度之和为______结果保留．

三、解答题（本大题共12小题，共84分）

15. 如图，，求证：．

16. 下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中是关于的多项式．请写出多项式，并将该例题的解答过程补充完整．

17. 长白山国家级自然保护区、松花湖风景区和净月潭国家森林公园是吉林省著名的三个景区．甲、乙两人用抽卡片的方式决定一个自己要去的景区．他们准备了张不透明的卡片，正面分别写上长白山、松花湖、净月潭．卡片除正面景区名称不同外其余均相同，将张卡片正面向下洗匀，甲先从中随机抽取一张卡片，记下景区名称后正面向下放回，洗匀后乙再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求两人都决定去长白山的概率．
18. 图，图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点，，均在格点上，请在给定的网格中按要求画四边形．
    在图中，找一格点，使以点，，，为顶点的四边形是轴对称图形；
    在图中，找一格点，使以点，，，为顶点的四边形是中心对称图形．
     

19. 刘芳和李婷进行跳绳比赛．已知刘芳每分钟比李婷多跳个，刘芳跳个所用的时间与李婷跳个所用的时间相等．求李婷每分钟跳绳的个数．
20. 密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积单位：变化时，气体的密度单位：随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示．
    求密度关于体积的函数解析式．
    当时，求该气体的密度．

21. 动感单车是一种新型的运动器械．图是一辆动感单车的实物图，图是其侧面示意图．为主车架，为调节管，点，，在同一直线上．已知长为，的度数为当长度调至时，求点到的距离的长度结果精确到参考数据：，，

22. 为了解全国常住人口城镇化率的情况，张明查阅相关资料，整理数据并绘制统计图如下：
    
    以上数据来源于中华人民共和国年国民经济和社会发展统计公报
    注：城镇化率例如，城镇常住人口万人，总人口万人，则城镇化率为．
    回答下列问题：
    年年末，全国常住人口城镇化率的中位数是______
    年年末全国人口万人，年年末全国城镇常住人口为______万人．只填算式，不计算结果
    下列推断较为合理的是______填序号．
    年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升，估计年年末全国常住人口城镇化率高于．
    全国常住人口城镇化率年年末比年年末增加，年年末比年年末增加，全国常住人口城镇化率增加幅度减小，估计年年末全国常住人口城镇化率低于．
23. 李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温与加热时间之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下：
    加热前水温是______
    求乙壶中水温关于加热时间的函数解析式．
    当甲壶中水温刚达到时，乙壶中水温是______

24. 下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
    【作业】如图，直线，与的面积相等吗？为什么？
    解：相等．理由如下：
    设与之间的距离为，
    则，．
    ．
    【探究】如图，当点在，之间时，设点，到直线的距离分别为，，则．
    证明：______．
    如图，当点在，之间时，连接并延长交于点，则．
    证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，则．
    ______．
    ∽______．
    ．
    由【探究】可知______，
    ．
    如图，当点在下方时，连接交于点若点，，所对应的刻度值分别为，，，则的值为______．
     

25. 如图，在中，，，动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动．以为一边作，另一边与折线相交于点，以为边作菱形，点在线段上．设点的运动时间为，菱形与重叠部分图形的面积为
    当点在边上时，的长为______用含的代数式表示
    当点落在边上时，求的值．
    求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
     

26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线是常数经过点，点点在此抛物线上，其横坐标为．
    求此抛物线的解析式．
    当点在轴上方时，结合图象，直接写出的取值范围．
    若此抛物线在点左侧部分包括点的最低点的纵坐标为．
    求的值．
    以为边作等腰直角三角形，当点在此抛物线的对称轴上时，直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：俯视图是从物体的上面向下面投射所得的视图，
由松花砚的示意图可得其俯视图为．
故选：．
由物体的正面示意图可得物体的俯视图为两同心圆．
本题考查物体的三视图，解题关键是掌握物体的三视图的有关概念．
 

2.【答案】 

【解析】解：当填入加号时：；
当填入减号时；
当填入乘号时：；
当填入除号时，
，
这个运算符号是加号．
故选：．
分别把加、减、乘、除四个符号填入括号，计算出结果即可．
本题考查的是有理数的运算及有理数的大小比较，根据题意得出填入加、减、乘、除四个符号的得数是解答此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意得：．
故选：．
不大于就是小于等于的意思，根据与的差不大于，可列出不等式．
本题主要考查了一元一次不等式，解答本题的关键是理解“不大于”的意思，列出不等式．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，
故选：．
由数轴上在的右侧可得与的大小关系．
本题考查实数与数轴，解题关键是掌握数轴的定义．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
同位角相等，两直线平行，
故选：．
由平行的判定求解．
本题考查平行线的判定与性质，解题关键是掌握平行线的判定方法及平行线的性质．
 

6.【答案】 

【解析】解：在中，由勾股定理得，
点在内且点在外，
，
故选：．
由勾股定理求出的长度，再由点在内且点在外求解．
本题考查点与圆的位置关系，解题关键是掌握勾股定理．
 

7.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故答案为：．
根据相反数的意义，相反数是只有符号不同的两个数，改变前面的符号，即可得的相反数，再与每个选项比较得出答案．
本题考查了相反数．解题的关键是掌握相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是．
 

8.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即计算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：篮球队要买个篮球，每个篮球元，一共需要元，
故答案为：．
根据题意直接列出代数式即可．
本题主要考查了通过实际问题列出代数式，理解题意是解答本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设个大桶可以盛酒斛、个小桶可以盛酒斛，
由题意得：，
故答案为：．
根据题意列出二元一次方程组即可．
本题考查的是二元一次方程组的应用，找等量关系是列方程组的关键和难点．
 

11.【答案】答案不唯一． 

【解析】解：，
则这个图案绕着它的中心旋转后能够与它本身重合，
故答案为：答案不唯一．
先求出正五边形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可．
本题考查的是旋转对称图形、正多边形的性质，求出正五边形的中心角是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由图象可得与直径重合，
，
，
，
，
故答案为：．
由图象可得与圆的直径重合，由及垂径定理求解．
本题考查与圆的有关计算，解题关键是掌握垂径定理及其推论．
 

13.【答案】 

【解析】解：在矩形中，，，
，
，
点为中点，
为的中位线，
．
故答案为：．
由可得点为中点，从而可得为的中位线，进而求解．
本题考查矩形的性质，解题关键是掌握三角形的中位线的性质．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，
的长度，
故答案为：
由圆周角定理可得的大小，从而可得的大小，进而求解．
本题考查圆周角定理，解题关键是掌握圆心角与圆周角的关系，掌握计算弧长的方法．
 

15.【答案】证明：在与中，
，
≌，
． 

【解析】由，，可证明≌，从而可得．
本题考查全等三角形的判定及性质，解题关键是掌握全等三角形的判定方法及全等三角形的性质．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题知，

，
，
为：，
故答案为：．
根据题意合并同类项即可．
本题主要考查整式的加减，熟练掌握整式的运算是解题的关键．
 

17.【答案】解：由题意作树状图如下：

由图知，两人都决定去长白山的概率为． 

【解析】根据题意作图得出概率即可．
本题主要考查概率的知识，熟练掌握列表法和树状图法求概率是解题的关键．
 

18.【答案】解：作点关于直线的对称点，连接，四边形为筝形，符合题意．

将点向右平移个单位，再向上平移个单位可得点，连接，且，
四边形为矩形，符合题意．
 

【解析】作点关于直线的对称点，四边形为筝形．
将点向右平移个单位，再向上平移个单位可得点，四边形为平行四边形．
本题考查网格无刻度尺作图，解题关键是掌握平行四边形的性质．
 

19.【答案】解：设李婷每分钟跳绳个，则刘芳每分钟跳绳个，
根据题意列方程，得，
即，
解得，
经检验是原方程的解，
答：李婷每分钟跳绳个． 

【解析】设李婷每分钟跳绳个，则刘芳每分钟跳绳个，根据时间相等列方程求解即可．
本题主要考查分式方程，根据时间相等列方程求解是解题的关键．
 

20.【答案】解：设，
将代入得，
解得，
．
将代入得．
该气体的密度为． 

【解析】通过待定系数法求解．
将代入函数解析式求解．
本题考查反比例函数的应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与方程的关系．
 

21.【答案】解：，，
，
在中，，
．
答：点到的距离的长度约． 

【解析】由，的长度求出长度，然后根据求解．
本题考查解直角三角形，解题关键是掌握锐角三角函数的定义．
 

22.【答案】     

【解析】解：年年末，全国常住人口城镇化率分别为，，，，，
中为数是，
故答案为：．
年年末城镇化率为，
常住人口为万人，
故答案为：．
年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升，
估计年年末全国常住人口城镇化率高于．
故答案为：．
将年年末的城镇化率从小到大排列，从而可得中位数．
根据城镇化率可得年年末全国城镇常住人口为万人
由折线图可得全国常住人口城镇化率在逐年增加．
本题考查数据的收集与整理，解题关键是掌握中位数的概念，读懂折线图．
 

23.【答案】   

【解析】解：由图象得时，
加热前水温是，
故答案为：．
设乙壶中水温关于加热时间的函数解析式为，
将，代入得，
解得，
．
甲水壶的加热速度为，
甲水壶中温度为时，加热时间为，
将代入得，
故答案为：．
由图象时求解．
通过待定系数法求解．
由图象可求出甲壶的加热速度，求出甲壶中水温达到时的，将其代入中解析式求解．
本题考查一次函数的应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握一次函数与方程的关系．
 

24.【答案】       

【解析】证明：，，
．
证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，则．
，
∽，
，
由【探究】可知，
．
故答案为：，，．
作交于点，

，
∽，
，，
，
由【探究】可得．
故答案为：．
由，即可证明．
由可得∽，再由相似三角形的性质可得，然后结合【探究】结论可得．
作交于点，由【探究】可得，进而求解．
本题考查图形的探究题型，解题关键是掌握三角形的面积公式，掌握相似三角形的判定及性质．
 

25.【答案】 

【解析】解：作于点，

在中，，
，
，
，
，
点为中点，
，
故答案为：
如图，

，
，
，
为等边三角形，
，即，
，
解得．
当时，作于点，

，，
，
，
．
当时，，交于点，，

，，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
．
当时，重叠图形为等边三角形，

，
．
综上所述，．
作于点，由含角的直角三角形可得的长度，再由等腰三角形的性质可得的长度．
作出点落在边上的图象，由求解．
分类讨论，，并作出图象求解．
本题考查图形的综合题，解题关键是掌握解直角三角形的方法，掌握菱形的性质，通过分类讨论求解．
 

26.【答案】解：将，代入得，
解得，
．
令，
解得，，
抛物线与轴交点坐标为，，
抛物线开口向上，
或时，点在轴上方．
，
抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，
当时，抛物线顶点为最低点，
，
解得，
当时，点为最低点，
将代入得，
，
解得舍，．
或．
当时，点在轴上，，
抛物线顶点坐标为，
点坐标为或符合题意．

当时，如图，过点作轴平行线，交轴于点，作于点，

，
，
又，，
≌，
，即，
解得舍，．
，，
，
点坐标为
综上所述，点坐标为或或 

【解析】通过待定系数法求解．
令，求出抛物线与轴交点坐标，结合图象求解．
分类讨论点在抛物线对称轴右侧及左侧两种情况，分别求出顶点为最低点和点为最低点时的值．
根据的值，作出等腰直角三角形求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解．