2020-2021学年河南省洛阳市宜阳县七年级（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年河南省洛阳市宜阳县七年级（下）期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案，请你选出并将序号涂在答题卡上）
1．（3分）一元一次方程2x﹣3＝0的解为（　　）
A．x=32 B．x=23 C．x=−32 D．x=−23
2．（3分）二元一次方程组2x−y=7x+y=8的解为（　　）
A．x=4y=1 B．x=6y=2 C．x=5y=3 D．x=3y=−1
3．（3分）若x＜y，则下列不等式成立的是（　　）
A．3x＜3y B．12x＞12y C．﹣3x＜﹣3y D．x﹣1＞y﹣1
4．（3分）若关于x的不等式ax﹣3＞0的解集为x＜﹣1，则a的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．13 D．−13
5．（3分）已知a，b，c是三条线段，这三条线的取值能围成三角形的是（　　）
A．a＝2cm，b＝2cm，c＝5cm B．a＝2cm，b＝3cm，c＝5cm
C．a＝3cm，b＝4cm，c＝5cm D．a＝2cm，b＝5cm，c＝1cm
6．（3分）正五边形的内角等于（　　）度
A．60 B．72 C．90 D．108
7．（3分）下列图形中，是轴对称图形的为（　　）
A．三角形 B．等腰三角形 C．平行四边形 D．梯形
8．（3分）已知一个等腰三角形的两条边长分别为3cm和5cm，则该等腰三角形的周长为（　　）
A．11cm B．13cm C．13cm或11cm D．16cm
9．（3分）时钟的分针从8点整转到8点20分，分针旋转了（　　）度．
A．20 B．120 C．90 D．150
10．（3分）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AD的中点，点F是BE的中点，已知△ABC的面积为8，则△AEF的面积为（　　）

A．4 B．2 C．1 D．12
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若关于x的方程ax﹣3＝2（a+x）的解为x＝﹣2，则a的值为 　 　．
12．（3分）不等式组x−1≥−3−12x≥−1的解集为 　 　．
13．（3分）如图，将分别含有30°，45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若图中角α为20°，则图中角β的度数为 　 　．

14．（3分）如图，某学校的草坪为矩形ABCD，已知AB＝15米，BC＝20米，现在要修一条宽为1.5米的小路穿过草坪，修路后草坪的面积为 　 　平方米．

15．（3分）如图，直线a，b垂直相交于点O，曲线C的对称轴为直线b，点A和A'是对称点，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB＝OD＝3，则图中阴影部分的面积为 　 　．

三、解答题（8个小题，共75分）
16．（8分）解方程：2x−13−x+12=x−1．
17．（8分）如图，已知：∠A、∠B、∠C是△ABC的内角，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．

18．（9分）是否存在整数x，使得不等式4x﹣6＜5（x﹣1）和不等式x2−1≤2−x3都成立？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
19．（9分）已知关于x，y的二元一次方程组3x+2y=8ax+by=7和ax−by=12x−3y=1的解相同，求a+b的值．
20．（9分）某水上公园有两种类型的游船，一种有4个座位，另一种有6个座位．这两种游船的收费标准是：一条4座游船每小时租金为80元，一条6座游船每小时租金为110元．某校七三班的56名同学到水上公园租船游览，若每条船正好坐满，并且1小时共花费租金1040元．求该班租用4座船和6座船各多少只？
21．（9分）如图，AD是△ABC的中线．
（1）画出以D为对称中心，与△ACD成中心对称的三角形；
（2）若AB＝5，AC＝7，求AD长的取值范围．

22．（9分）如图，在△ABC中，AO平分∠BAC，BO⊥AO，O为垂足，OD∥AC，若∠ABO＝40°，试求∠BOD的大小．（提示：延长AO交BC于点E）

23．（14分）如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D．
（1）若∠A＝40°，则∠BDC＝　 　．
（2）若∠A＝α，求∠BDC．
（3）如图2，若∠A＝α，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点E，求∠BEC．


2020-2021学年河南省洛阳市宜阳县七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案，请你选出并将序号涂在答题卡上）
1．（3分）一元一次方程2x﹣3＝0的解为（　　）
A．x=32 B．x=23 C．x=−32 D．x=−23
【分析】直接解方程可得答案．
【解答】解：2x﹣3＝0，
2x＝3，
x=32．
故选：A．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
2．（3分）二元一次方程组2x−y=7x+y=8的解为（　　）
A．x=4y=1 B．x=6y=2 C．x=5y=3 D．x=3y=−1
【分析】将方程组用加减消元的方法求解即可．
【解答】解：方程组2x−y=7①x+y=8②，
①+②，得3x＝15，
解得x＝5，
将x＝5代入①，
得10﹣y＝7，
解得y＝3，
∴方程组的解为x=5y=3，
故选：C．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
3．（3分）若x＜y，则下列不等式成立的是（　　）
A．3x＜3y B．12x＞12y C．﹣3x＜﹣3y D．x﹣1＞y﹣1
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【解答】解：A、在不等式x＜y的两边同时乘3，可得3x＜3y，原变形正确，故本选项符合题意；
B、在不等式x＜y的两边同时乘以12，可得12x＜12y，原变形错误，故本选项不符合题意；
C、在不等式x＜y的两边同时乘以﹣3，不等式的符号方向改变，即﹣3x＞﹣3y，原变形错误，故本选项不符合题意；
D、在不等式x＜y的两边同时减1，可得x﹣1＜y﹣1，原变形错误，故本选项不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键，注意：不等式的性质1是：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式的性质2是：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的性质3是：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．（3分）若关于x的不等式ax﹣3＞0的解集为x＜﹣1，则a的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．13 D．−13
【分析】首先对所求的不等式移项、系数化成1，即可求得不等式的解集，根据解集是x＜﹣1，即可得到一个关于a的方程，从而求得a的值．
【解答】解：解不等式ax﹣3＞0，
移项，得：ax＞3，
∵解集是x＜﹣1，
∴3a=−1，
解得：a＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，解答此题的关键是掌握不等式的性质，在不等式两边同加或同减一个数或式子，不等号的方向不变，在不等式两边同乘或同除一个正数或式子，不等号的方向不变在不等式两边同乘或同除一个负数或式子，不等号的方向改变．
5．（3分）已知a，b，c是三条线段，这三条线的取值能围成三角形的是（　　）
A．a＝2cm，b＝2cm，c＝5cm B．a＝2cm，b＝3cm，c＝5cm
C．a＝3cm，b＝4cm，c＝5cm D．a＝2cm，b＝5cm，c＝1cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：A、2+2＜5，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
B、2+3＝5，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
C、3+4＞5，能组成三角形，故此选项符合题意；
D、1+2＜5，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
6．（3分）正五边形的内角等于（　　）度
A．60 B．72 C．90 D．108
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列式进行计算．
【解答】解：（n﹣2）•180°＝（5﹣2）×180°＝540°，
540÷5＝108°．
故选：D．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
7．（3分）下列图形中，是轴对称图形的为（　　）
A．三角形 B．等腰三角形 C．平行四边形 D．梯形
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】解：A．三角形不一定是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．等腰三角形一定是轴对称图形，故本选项符合题意；
C．平行四边形不一定是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．梯形不一定是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了梯形、轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
8．（3分）已知一个等腰三角形的两条边长分别为3cm和5cm，则该等腰三角形的周长为（　　）
A．11cm B．13cm C．13cm或11cm D．16cm
【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．
【解答】解：当等腰三角形的腰为3cm，底为5cm时，3cm，3cm，5cm能够组成三角形，此时周长为3+3+5＝11cm；
当等腰三角形的腰为5，底为3cm时，3cm，5cm，5cm能够组成三角形，此时周长为5+5+3＝13cm．
则这个等腰三角形的周长是11cm或13cm．
故选：C．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质和三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
9．（3分）时钟的分针从8点整转到8点20分，分针旋转了（　　）度．
A．20 B．120 C．90 D．150
【分析】根据时钟上一大格是30°，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
4×30°＝120°，
∴时钟的分针从8点整转到8点20分，分针旋转了120度，
故选：B．
【点评】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°是解题的关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AD的中点，点F是BE的中点，已知△ABC的面积为8，则△AEF的面积为（　　）

A．4 B．2 C．1 D．12
【分析】利用同底等高的三角形面积相等即可求解．
【解答】解：∵点D是BC的中点，点E是AD的中点，点F是BE的中点，
∴BF＝EF=12BE，AE＝DE=12AD，BD＝CD=12BC，
∵S△ABC＝8，
∴S△ABD=12S△ABC＝4，
∴S△ABE=12S△ABD＝2，
∴S△AEF=12S△ABE＝1，
故选：C．
【点评】本题考查三角形的面积，解题的关键是明确三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若关于x的方程ax﹣3＝2（a+x）的解为x＝﹣2，则a的值为 　14　．
【分析】把x＝﹣2代入方程，即可求出答案．
【解答】解：把x＝﹣2代入方程ax﹣3＝2（a+x）得：﹣2a﹣3＝2（a﹣2），
解得：a=14，
故答案为：14．
【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．
12．（3分）不等式组x−1≥−3−12x≥−1的解集为 　﹣2≤x≤2　．
【分析】分别解两个不等式，求出解集公共部分即可．
【解答】解：x−1≥−3①−12x≥−1②，
解不等式①得：x≥﹣2，
解不等式②得：x≤2，
故不等式组的解集为﹣2≤x≤2．
故答案为：﹣2≤x≤2．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解题关键是熟知求解集公共部分的方法．
13．（3分）如图，将分别含有30°，45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若图中角α为20°，则图中角β的度数为 　145°　．

【分析】由三角形的内家和定理可求解∠AGF的度数，利用对顶角的性质可得∠EGC的度数，再根据三角形外角性质可求解．
【解答】解：如图，

∵∠F＝45°，∠α＝20°，
∴∠AGF＝180°﹣∠F﹣∠α＝180°﹣45°﹣20°＝115°，
∴∠EGC＝∠AGF＝115°，
∵∠C＝30°，
∴∠β＝∠EGC+∠C＝115°+30°＝145°．
故答案为：145°．
【点评】本题考查了直角三角形和三角形的外角的性质，能灵活根据三角形的外角性质进行计算是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
14．（3分）如图，某学校的草坪为矩形ABCD，已知AB＝15米，BC＝20米，现在要修一条宽为1.5米的小路穿过草坪，修路后草坪的面积为 　270　平方米．

【分析】先求出小路的面积，再用大长方形的面积减去小路的面积，即可得出修路后草坪的面积．
【解答】解：小路的面积是：1.5×20＝30（平方米），
修路后草坪的面积为：15×20﹣30＝270（平方米）；
故答案为：270．
【点评】本题考查了图形的平移，掌握图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小是解题的关键．
15．（3分）如图，直线a，b垂直相交于点O，曲线C的对称轴为直线b，点A和A'是对称点，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB＝OD＝3，则图中阴影部分的面积为 　9　．

【分析】根据轴对称的性质，把求阴影部分面积转化为求正方形面积即可．
【解答】解：如图：

∵曲线C的对称轴为直线b，
∴阴影部分面积等于正方形DOEF的面积，
∵OB＝OD＝3，
∴正方形DOEF的面积为3×3＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查求阴影部分面积，解题的关键是掌握轴对称的性质．
三、解答题（8个小题，共75分）
16．（8分）解方程：2x−13−x+12=x−1．
【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．
【解答】解：2（2x﹣1）﹣3（x+1）＝6（x﹣1），
4x﹣2﹣3x﹣3＝6x﹣6，
4x﹣3x﹣6x＝﹣6+2+3，
﹣5x＝﹣1，
x=15．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
17．（8分）如图，已知：∠A、∠B、∠C是△ABC的内角，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．

【分析】过点A作MN∥BC，利用平行线的性质和平角关系证明．
【解答】证明：过点A作MN∥BC．
∵MN∥BC，
∴∠B＝∠MAB，∠C＝∠NAC．
∵∠MAB+∠BAC+∠NAC＝180°，
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°．

【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，掌握平行线的性质是解决本题的关键．
18．（9分）是否存在整数x，使得不等式4x﹣6＜5（x﹣1）和不等式x2−1≤2−x3都成立？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
【分析】由题意构成不等式组，解不等式组求得不等式的解集，即可求得x的整数值．
【解答】解：由题意得4x−6＜5(x−1)①x2−1≤2−x3②，
由①得：x＞﹣1，
由②得：x≤2，
∴不等式组的解集是﹣1＜x≤2，
∴x的整数值是0、1、2．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解的应用，关键是求出不等式组的解集．
19．（9分）已知关于x，y的二元一次方程组3x+2y=8ax+by=7和ax−by=12x−3y=1的解相同，求a+b的值．
【分析】先联立3x+2y=82x−3y=1，求出x和y的值，代入ax+by=7ax−by=1，求出a和b的值即可．
【解答】解：根据题意，得3x+2y=82x−3y=1，
解方程组，得x=2y=1，
将x=2y=1代入ax+by=7ax−by=1，
得2a+b=72a−b=1，
解方程组，得a=2b=3，
∴a+b＝2+3＝5．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，联立两个已知的方程求出x和y的值是解题的关键．
20．（9分）某水上公园有两种类型的游船，一种有4个座位，另一种有6个座位．这两种游船的收费标准是：一条4座游船每小时租金为80元，一条6座游船每小时租金为110元．某校七三班的56名同学到水上公园租船游览，若每条船正好坐满，并且1小时共花费租金1040元．求该班租用4座船和6座船各多少只？
【分析】设该班租用4座船x只，6座船y只，根据“租用的船正好乘坐56名同学，且1小时共花费租金1040元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设该班租用4座船x只，6座船y只，
依题意得：4x+6y=5680x+110y=1040，
解得：x=2y=8．
答：该班租用4座船2只，6座船8只．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
21．（9分）如图，AD是△ABC的中线．
（1）画出以D为对称中心，与△ACD成中心对称的三角形；
（2）若AB＝5，AC＝7，求AD长的取值范围．

【分析】（1）延长AD到E，使得DE＝AD，连接BE，△BDE即为所求；
（2）证明BE＝AC＝7，利用三边关系可得结论．
【解答】解：（1）如图，△BDE即为所求．


（2）∵△ADC与△EDB关于点D成中心对称，
∴△ADC≌△EDB，
∴AC＝BE＝7，
∵BE﹣AB＜AE＜BE+AB，
∴2＜AE＜12，
∴2＜2AD＜12，
∴1＜AD＜6．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（9分）如图，在△ABC中，AO平分∠BAC，BO⊥AO，O为垂足，OD∥AC，若∠ABO＝40°，试求∠BOD的大小．（提示：延长AO交BC于点E）

【分析】延长AO交BC于点E，根据垂直的定义得到∠AOB＝∠BOE＝90°，根据三角形内角和得出∠BAO＝50°，根据角平分线的定义得到∠EAC＝50°，根据平行线的性质得到∠EOD＝50°，根据角的和差即可得解．
【解答】解：延长AO交BC于点E，

∵BO⊥AO，
∴∠AOB＝∠BOE＝90°，
∵∠ABO＝40°，
∴∠BAO＝180°﹣∠ABO﹣∠AOB＝50°，
∵AO平分∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAO＝50°，
∵OD∥AC，
∴∠EOD＝∠EAC＝50°，
∴∠BOD＝∠BOE+∠EOD＝140°．
【点评】此题考查了三角形内角和定理，熟记三角形内角和定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
23．（14分）如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D．
（1）若∠A＝40°，则∠BDC＝　110°　．
（2）若∠A＝α，求∠BDC．
（3）如图2，若∠A＝α，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点E，求∠BEC．

【分析】（1）由三角形的内角和可得∠ABC+∠ACB＝140°，再由角平分线的定义得∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，从而求得∠DBC+∠DCB＝70°，再利用三角形的内角和即可求∠BDC；
（2）根据（1）进行求解即可；
（3）由三角形的内角和得∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，由三角形的外角性质可得∠MBC＝∠ACB+α，∠NCB＝∠ABC+α，再由角平分线的定义可得∠EBC=12∠MBC，∠ECB=12∠NCB，利用三角形的内角和即可求∠BEC的度数．
【解答】解：（1）∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，
∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠ACB）＝70°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝110°，
故答案为：110°；
（2））∵∠A＝α，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，
∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠ACB）＝90°−12α，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝90°+12α；
（3）∵∠A＝α，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，
∠MBC＝∠ACB+α，∠NCB＝∠ABC+α，
∵∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点E，
∴∠EBC=12∠MBC，∠ECB=12∠NCB，
∴∠EBC+∠ECB=12（∠MBC+∠NCB）=12（∠ABC+∠ACB）+α＝90°+12α，
∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝90°−12α．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
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