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北师大版初中数学九年级上册第六章《反比例函数》单元测试卷（困难）（含答案解析）
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这是一份北师大版初中数学九年级上册第六章《反比例函数》单元测试卷（困难）（含答案解析），共38页。
北师大版初中数学九年级上册第六章《反比例函数》单元测试卷
考试范围：第六章；考试时间：100分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y=2x和y=−5x的图象上，且边长为7，则菱形ABCD的面积为( )
A. 210 B. 410 C. 27 D. 47
2. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE.若AD平分∠OAE，反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过AE上的两点A，F，且AF=EF，△ABE的面积为18，则k的值为( )
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
3. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第二象限作正方形ABCD，将过点D的双曲线y=k1x(x<0)沿y轴对折，得到双曲线y=k2x(x>0)，则k2的值是( )
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
4. 如图，四边形OABC和四边形BDEF都是正方形，反比例函数y=kx在第一象限的图象经过点E，若两正方形的面积差为12，则k的值为( )
A. 12
B. 6
C. −12
D. 8
5. 如图，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴上，点B(−8,4)，AB=5，若反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过点D，则k的值为( )
A. 15 B. 18 C. 24 D. 32
6. 如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数y=kx(k>0,x>0)图象上．若直线BC的函数表达式为y=12x−4，则反比例函数表达式为( )
A. y=6x
B. y=12x
C. y=16x
D. y=24x
7. 如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y=1x(x>0)的图象上，点B1，B2，B3，…Bn在y轴上，且∠B1OA1=∠B2B1A2=∠B3B2A3=…，直线y=x与双曲线y=1x交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3…，则Bn(n为正整数)的坐标是( )
A. (2n,0) B. (0,2n+1)
C. (0,2n(n−1)) D. (0,2n)
8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是(5,0)，点B是函数y=6x(x>0)图象上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数y=−2x(x<0)的图象于点C，点D在x轴上(D在A的左侧)，且AD=BC，连接AB，CD．
有如下四个结论：
①四边形ABCD可能是菱形；
②四边形ABCD可能是正方形；
③四边形ABCD的周长是定值；
④四边形ABCD的面积是定值．
所有正确结论的序号是( )
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①④
9. 如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1(x1,y1)，C2(x2,y2)，C3(x3,y3)，…均在反比例函数y=4x(x>0)的图象上．则y1+y2+…+y10的值为( )
A. 210 B. 6 C. 42 D. 27
10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C在坐标轴上，B在第一象限，反比例函数y=kx(k>0)的图象经过OB中点E，与AB交于点F，将矩形沿直线EF翻折，点B恰好与点O重合．若矩形面积为102，则点B坐标是( )
A. (5,22) B. (52,2) C. (210,5) D. (25,10)
11. 在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的点A在函数y=−1x(x<0)的图象上，点C在函数y=4x(x>0)的图象上，若点B的纵坐标为3，则符合条件的所有点A的纵坐标之和为．( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
12. 学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温y(℃)与通电时间x(min)成反比例关系．当水温将至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是( )
A. 水温从20℃加热到100℃，需要7min
B. 水温下降过程中，y与x的函数关系式是y=400x
C. 上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水
D. 水温不低于30℃的时间为773min
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 已知：点P(m,n)在直线y=−x+2上，也在双曲线y=−1x上，则m2+n2的值为______。
14. 如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数y=62x(x>0)的图象上，BE⊥x轴于点E.若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为92时，EFOE的值为______，点F的坐标为______．
15. 如图，平面直角坐标系xOy中，等腰三角形OAB的边OB落在x轴上，OB=6，AO=AB=5，直线y=−12x+72的图象与OA边交于点C，与AB边交于点D，将△ACD沿CD翻折后，点A′恰好落在反比例函数y=kx的图象上，则k的值是______．
16. 以矩形OABC的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，使点A、C分别在x、y轴的正半轴上，双曲线y=kx(k>0)的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，过OC边上一点F，把△BCF沿直线BF翻折，使点C落在矩形内部的一点C′处，且C′E//BC，若点C′的坐标为(2,4)，则直线BF的解析式为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）
17. 已知Ax1,y1Bx2,y2，是反比例函数y=kx图像上的两点，且x1−x2=−2，x1⋅x2=3，y1−y2=−43。当−3
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)若点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标．
19. 如图，等边△OAB和等边△AEF的一边都在x轴上，双曲线y=kx(k>0)经过OB的中点C和AE的中点D.已知等边△OAB的边长为4．
(1)求k的值；
(2)求等边△AEF的边长；
(3)将等边△AEF绕点A任意旋转，得到等边△AE′F′，P是E′F′的中点(如图2所示)，连结BP，直接写出BP的最大值．
20. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=−2x的图象过点A(−1,m)，反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过点B，连接OA、OB，满足∠AOB=90°，AB//x轴．
(1)m=______；
(2)求k的值；
(3)点P是y=kx(k>0,x>0)图象上的一个动点(点P在点B的左侧)，直线PB交x轴于点C，连接OP，设点P的横坐标为t，△POB的面积记为S1，△BOC的面积记为S2，设T=tS1+S2.用含t的代数式表示T，并求T的最大值．
21. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=mx+4+m(m≠0)的图象与y轴交于点C，与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于点A(−1,n)，B两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)当BC=AC时，直接写出关于x的方程mx2+(4+m)x−k=0的解；
(3)当BC≤2AC时，求m的取值范围．
22. 阅读理解：
“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”.下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法(如图)：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数y=1x的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R.分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=13∠AOB．
要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：
(1)设P(a,1a)、R(b,1b)，求直线OM对应的函数表达式(用含a，b的代数式表示)；
(2)分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q.请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB=13∠AOB．
23. 如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点分别为A(1,2)，B(4,2)，C(7,5)，曲线G：y=kx(x>0)．
(1)求点D的坐标；
(2)肖曲线G经过▱ABCD的对角线的交点时，求k的值；
(3)若曲线G刚好将▱ABCD边上及其内部的“整点”(横、纵坐标都为整数的点)分成数量相等的两部分，则直接写出k的取值范围是______．
24. 如图：△AOB为等腰直角三角形，斜边OB在x轴上，一次函数y=3x−4的图象经过点A，交y轴于点C，反比例函数y=kx(x>0)的图象也经过点A．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)过O点作OD⊥AC于D点，求CD2−AD2值；
(3)若点P是x轴上的动点，点Q在反比例函数的图象上使得△PAQ为等腰直角三角形？直接写出所有符合条件的点Q的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查反比例函数的图象与性质、菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，根据对称性可知，反比例函数y=2x，y=−5x的图象是中心对称图形，菱形是中心对称图形，所以菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O，作AG⊥x轴于G，BH⊥y轴于H.连接OA，OB，首先证明△OGA∽△OHB，得出OAOB2=S△OAGS△OBH，根据反比例函数系数k的几何意义可知：S△OBH=12×2=1，S△OAG=12×5=52，根据OAOB2=S△OAGS△OBH=521=52，得出OA2=52OB2，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=7，利用勾股定理求出OA的长，得出OB的长，再根据S菱形ABCD=4S△AOB=4×12OA·OB进行解答，即可求解．
【解答】
解：根据对称性可知，反比例函数y=2x，y=−5x的图象是中心对称图形，菱形是中心对称图形，
∴菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O，
作AG⊥x轴于G，BH⊥y轴于H.连接OA，OB，如图：
则∠AOB=90°，∠OGA=∠OHB=90°，
∴∠GOA+∠AOH=∠AOH+∠BOH=90°，
∴∠GOA=∠HOB，
又∵∠OGA=∠OHB，
∴△OGA∽△OHB，
∴OAOB2=S△OAGS△OBH，
根据反比例函数系数k的几何意义可知：S△OBH=12×2=1，S△OAG=12×5=52，
∴OAOB2=S△OAGS△OBH=521=52，
∴OA2=52OB2，
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=7，
根据勾股定理可得OA2+OB2=AB2，即52OB2+OB2=72，
∴OB=2，
∴OA2=52OB2=52×22=5，
∴OA=5，
∴S菱形ABCD=4S△AOB=4×12OA·OB=2×5×2=210．
故选：A．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线的判定和性质，等高模型等知识，解题的关键是证明BD//AE，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M.证明BD//AE，推出S△ABE=S△AOE=18，推出S△EOF=12S△AOE=9，可得S△FME=13S△EOF=3，由此即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．
∵AN//FM，AF=FE，
∴MN=ME，
∴FM=12AN，
∵点A，F在反比例函数的图象上，
∴S△AON=S△FOM=k2，
∴12⋅ON⋅AN=12⋅OM⋅FM，
∴ON=12OM，
∴ON=MN=EM，
∴ME=13OE，
∴S△FME=13S△FOE，
∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD=∠EAD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=∠DAE，
∴AE//BD，
∴S△ABE=S△AOE，
∴S△AOE=18，
∵AF=EF，
∴S△EOF=12S△AOE=9，
∴S△FME=13S△EOF=3，
∴S△FOM=S△FOE−S△FME=9−3=6=k2，
∴k=12．
故选：B．
3.【答案】B
【解析】解：如图，过点D作DE⊥x轴于点E，则∠AED=∠AOB=90°
在y=3x+3中，令x=0，得y=3，∴B(0,3)，
令y=0，得0=3x+3，解得x=−1，∴A(−1,0)，
∴OA=1，OB=3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°
∴∠BAO+∠ABO=∠BAO+∠DAE=90°
∴∠ABO=∠DAE
在△ABO和△DAE中
∠ABO=∠DAE∠AOB=∠AEDAB=AD
∴△ABO≌△DAE(AAS)
∴DE=OA=1，AE=OB=3
∴OE=OA+AE=1+3=4
∴D(−4,1)
把D(−4,1)代入y=k1x中，得1=k1−4
∴k1=−4
∴y=−4x(x<0)；
∵双曲线y=k1x(x<0)沿y轴对折，得到双曲线y=k2x(x>0)，
即双曲线y=k1x(x<0)与双曲线y=k2x(x>0)关于y轴对称，
∴k2=4．
故选：B．
先求出点A、B的坐标，根据正方形性质证明△ABO≌△DAE(AAS)，即可求得点D坐标，进而可求得k1的值，再利用双曲线y=k1x(x<0)与双曲线y=k2x(x>0)关于y轴对称，即可求得k2．
本题考查了一次函数图象与坐标轴交点，正方形性质，全等三角形判定和性质，反比例函数图象和性质，翻折变换的性质，关于y轴对称的反比例函数解析式的关系等知识点，是一道综合性较强，涉及知识点较多的代数几何综合题，解题关键是利用正方形性质构造全等三角形．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.也考查了正方形的性质．
设正方形OABC、BDEF的边长分别为a和b，则可表示出D(a,a−b)，F(a+b,a)，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到E(a+b,ka+b)，由于点E与点D的纵坐标相同，所以ka+b=a−b，则a2−b2=k，然后利用正方形的面积公式易得k=12，即可解答．
【解答】
解：设正方形OABC、BDEF的边长分别为a和b，则D(a,a−b)，F(a+b,a)，
所以E(a+b,ka+b)，
所以ka+b=a−b，
∴(a+b)(a−b)=k，
∴a2−b2=k，
∵两正方形的面积差为12，
∴k=12．
故选：A．
5.【答案】B
【解析】解：作BM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，作CE⊥DN于E，连接AC，
∴四边形CENO是矩形，
∴CE=ON，EN=CO
∵点B(−8,4)，AB=5，
∴OM=8，BM=4，
∴AM=AB2−BM2=3，
∴OA=8−3=5，
∴BA=OA，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠COA=90°，
∵AC=AC，BA=OA，
∴Rt△ABC≌Rt△AOC(HL)，
∴BC=OC=NE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=CD，BC=AD，
∴∠BAM+∠DAN=90°=∠ADN+∠CDE，
∵∠DAN+∠ADN=90°，∠ABM+∠BAM=90°
∴∠BAM=∠ADN，∠CDE=∠DAN=∠ABM，
∴△BAM≌△DCE(AAS)，
∴CE=AM=ON=3，DE=BM=4，
∴AN=AO+ON=8，
∴设DN=x，则AD=NE=x+4，
∵DN2+AN2=AD2，
∴x2+82=(x+4)2，
∴x=6，
即DN=6，
∴D(3,6)，
∵反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过点D，
∴k=3×6=18，
故选：B．
作BM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，作CE⊥DN于E，连接AC，首先证明CE=ON，EN=CO，BM=4，AM=3，接着证明BA=OA，Rt△ABC≌Rt△AOC，从而证明BC=OC=NE，然后证明根△BAM≌△DCE，从而求出CE=AM=ON=3，DE=BM=4，AN=8，最后设DN=x，则AD=NE=x+4，接着根据勾股定理求出x=6，从而求得D(3,6)即可求解．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：在y=12x−4中，令y=0，则x=8，
令x=0，则y=−4，
∴B(8,0)，G(0,−4)，
∴OB=8，OG=4，
过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠EAB+∠ABE=∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠EAB=∠CBF，
在△AEB与△BFC中，
∠AEB=∠BFC=90°∠BAE=∠FBCAB=BC，
∴△AEB≌△BFC(AAS)，
∴AE=BF，BE=CF，
∵∠BOG=∠BFC=90°，∠OBG=∠CBF，
∴△OBG∽△FBC，
∴CFBF=OGOB=12，
∴设CF=x，BF=2x，
∴AE=2x，BE=x，
∴A(8−x,2x)，C(8+2x,x)，
∵点A，点C在反比例函数y=kx(k>0,x>0)图象上，
∴2x(8−x)=x(8+2x)，
∴x=2，x=0(不合题意舍去)，
∴A(6,4)，
∴k=4×6=24，
∴反比例函数表达式为y=24x，
故选：D．
解方程求得B(8,0)，G(0,−4)，得到OB=8，OG=4，过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，根据正方形的性质得到AB=BC，∠ABC=90°，根据全等三角形的性质得到AE=BF，BE=CF，根据相似三角形的性质得到CFBF=OGOB=12，设CF=x，BF=2x，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到结论．
本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，
∵A1(1,1)，
∴OB1=2，设A2(m,2+m)，
则有m(2+m)=1，
解得m=2−1，
∴OB2=22，
设A3(a,22+n)，则a(22+a)=1，
解得a=3−2，
∴OB3=23，
同法可得，OB4=24，
∴OBn=2n，
∴Bn(0,2n).
故选：D．
由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，想办法求出OB1，OB2，OB3，OB4，…，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题．
8.【答案】D
【解析】解：①∵BC⊥y轴，
∴AD//BC，
又∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
设点B(a,6a)，则C(−a3,6a)，
∴BC=a−(−a3)=43a，AB=(5−a)2+(6a)2，
当a=5时，BC=203，AB=65，
此时，AB
∴四边形ABCD可能是菱形，故①正确，符合题意；
②由①得，当x=5时，BC=203，AB=65，
∴BC≠AB，
∴四边形ABCD不为正方形，故②错误，不符合题意；
③由①得，当点B的横坐标为5时，BC=203，AB=65，
∴C四边形ABCD=2×(BC+AB)=2×(203+65)=23615，
当点B的横坐标为1时，B(1,6)，C(−13,6)，
∴BC=43，AB=(5−1)2+62=213，
∴C四边形ABCD=2(BC+AB)=2(43+213)=83+413≠23615，
∴四边形ABCD的周长不为定值，故③错误，不符合题意；
④如图，过点C作CE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，则四边形EFBC为矩形，
∵BC//AD，
∴S四边形ABCD=S四边形EFBC=|−2|+|6|=8，
∴四边形ABCD的面积为定值，故④正确，符合题意；
故选：D．
①由BC⊥y轴得到AD//BC，结合AD=BC，得到四边形ABCD是平行四边形，设点B(a,6a)，则C(−a3,6a)，得到BC的长，再表示AB的长，利用菱形的性质列出方程求得a的值，即可判断结论；
②当x=5时，求得点B的坐标，然后判断四边形ABCD是否为正方形；
③任取两个点B的坐标，求得AB和BC的长，然后判断四边形ABCD的周长是否为定值；
④过点C作CE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，将四边形ABCD的面积转化为四边形EFBC的面积，进而利用反比例系数k的几何意义判断四边形ABCD的面积是否为定值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，正方形的性质，解题的关键是熟知反比例函数图象上点的坐标特征．
9.【答案】A
【解析】解：过C1、C2、C3…分别作x轴的垂线，垂足分别为D1、D2、D3…
其斜边的中点C1在反比例函数y=4x，
∴C(2,2)即y1=2，
∴OD1=D1A1=2，
设A1D2=a，则C2D2=a
此时C2(4+a,a)，代入y=4x得：a(4+a)=4，
解得：a=22−2，
即：y2=22−2，
同理：y3=23−22，
y4=24−23，
…
∴y1+y2+…+y10=2+22−2+23−22+…210−29=210，
故选：A．
根据点C1的坐标，确定y1，可求反比例函数关系式，由点C1是等腰直角三角形的斜边中点，可以得到OA1的长，然后再设未知数，表示点C2的坐标，确定y2，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点C3的坐标，确定y3，…然后再求和．
考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，通过计算有一定的规律，推断出一般性的结论，得出答案．
10.【答案】D
【解析】解：设点B坐标为(a,b)，则ab=102①，
∵点E为OB中点，
∴点E坐标为(a2,b2)，
∴k=a2⋅b2=ab4=1024=522，y=522x，
yB=yF=b，
将y=b代入y=522x得x=522b，
∴点F坐标为(522b,b)，
由翻折可得FB=FO，
∴a−522b=(522b)2+b2②，
联立方程①②解得b=10或b=−10(舍)，
∴a=102b=25．
∴点B坐标为(25,10).
故选：D．
设点B坐标为(a,b)则点E坐标为(a2,b2)，可用含a，b的式子表示k，点F纵坐标与点B纵坐标相同，则可以用含a，b式子表示出点F坐标，由翻折可得FO=BF，联立两点距离公式可求a，b的值．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键是通过设参数表示出B的坐标．
11.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数k的几何意义，反比例函数上的点的坐标，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，坐标与图形的性质，添加辅助线关键是构造相似三角形是关键．
过点A作AF垂直x轴于F，过点C作CE垂直x轴于E，与过点B平行于x轴数直线交于D，构造k字形相似，先由面积比得出相似比为2，再证明△OAF≌△CBD得AF=CD，设点A坐标为(t,−1t)，则点B坐标为(−2t,−2t,)，最后根据点点B的纵坐标为3得关于t的方程，解方程求得t的值即可解答．
【解答】
解：过点A作AF垂直x轴于F，过点C作CE垂直x轴于E，延长EC与过点B平行于x轴数直线交于D，
∵点A在函数y=−1x(x<0)的图条上，点C在函数y=4x(x>0)的图条上，
∴S△OCE=2，S△AOF=12，
∵CE⊥x轴
∴∠CEO=90∘，∠OCE+∠COE=90∘
∵在矩形OABC中，∠AOC=∠OCB=90∘，OA=BC，
∴∠AOF+∠COE=90∘，∠BCD+∠COE=90∘，
∠AOF+∠OAF=90∘，
∴∠OCE=∠AOF，∠BCD=∠COE=∠OAF
∴△OCE∽△AOF，△OAF≌△CBD，
∴CEOF=OEAF=S△OCES△AOF=2，CD=AF
∴CE=2OF，OE=2AF，
设点A坐标为(t,−1t)，则点B坐标为(−2t,−2t,)，
∵点B的纵坐标为3
∴CD+CE=AF+CE=3，
∴−1t−2t=3，整理得：2t2+3t+1=0
解得：t1=−12，t2=−1，
∴点A坐标为(−12,2)或(−1,1)，
∴所有点A的纵坐标之和为3．
12.【答案】D
【解析】解：∵开机加热时每分钟上升10℃，
∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为：100−2010=8min，
故A选项不合题意；
由题可得，(8,100)在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为y=kx，
代入点(8,100)可得，k=800，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是y=800x，
故B选项不合题意；
令y=20，则800x=20，
∴x=40，
即饮水机每经过40分钟，要重新从20℃开始加热一次，
从8点9点30分钟，所用时间为90分钟，
而水温加热到100分钟，仅需要8分钟，
故当时间是9点30时，饮水机第三次加热，从20℃加热了10分钟，
令x=10，则y=80010=80℃>40℃，
故C选项不符合题意；
水温从20℃加热到30℃所需要时间为：30−2010=1min，
令y=30，则800 x=30，
∴x=803，
∴水温不低于30℃的时间为803−1=773min，
故选：D．
因为开机加热时，饮水机每分钟上升10℃，所以开机加热到100℃，所用时间为100−2010=8min，故A不合题意，利用点(8,100)，可以求出反比例函数解析式，故B不符合题意，令y=20，则x=40，求出每40分钟，饮水机重新加热，故时间为9点30时，可以得到饮水机是第三次加热，并且第三次加热了10分钟，令x=10，代入到反比例函数中，求出y，即可得到C不符合题意，先求出加热时间段时，水温达到30℃所用的时间，再由反比例函数，可以得到冷却时间时，水温为30℃时所对应的时间，两个时间相减，即为水温不低于30℃时的时间．
本题考查了反比例函数的应用，数形结合，是解决本题的关键．
13.【答案】6
【解析】
【分析】
直接利用一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征得出n+m以及mn的值，再利用完全平方公式将原式变形得出答案．此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征，正确得出m，n之间关系是解题关键．
【解答】
解：∵点P(m,n)在直线y=−x+2上，
∴n+m=2，
∵点P(m,n)在双曲线y=−1x上，
∴mn=−1，
∴m2+n2=(n+m)2−2mn=4+2=6．
故答案为：6．
14.【答案】12 (332,0)
【解析】解：如图，
作DG⊥x轴于G，连接OD，设BC和OD交于I，
设点B(b,62b)，D(a,62a)，
由对称性可得：△BOD≌△BOA≌△OBC，
∴∠OBC=∠BOD，BC=OD，
∴OI=BI，
∴DI=CI，
∴DIOI=CIBI，
∵∠CID=∠BIO，
∴△CDI∽△BOI，
∴∠CDI=∠BOI，
∴CD//OB，
∴S△BOD=S△AOB=12S矩形AOCB=922，
∵S△BOE=S△DOG=12|k|=32，S四边形BOGD=S△BOD+S△DOG=S梯形BEGD+S△BOE，
∴S梯形BEGD=S△BOD=922，
∴12(62a+62b)⋅(a−b)=922，
∴2a2−3ab−2b2=0，
∴(a−2b)⋅(2a+b)=0，
∴a=2b，a=−b2(舍去)，
∴D(2b,622b)，
即：(2b,32b)，
在Rt△BOD中，由勾股定理得，
OD2+BD2=OB2，
∴[(2b)2+(32b)2]+[(2b−b)2+(62b−32b)2]=b2+(62b)2，
∴b=3，
∴B(3,26)，D(23,6)，
∵直线OB的解析式为：y=22x，
∴直线DF的解析式为：y=22x−36，
当y=0时，22x−36=0，
∴x=332，
∴F(332,0)，
∵OE=3，OF=332，
∴EF=OF−OE=32，
∴EFOE=12，
故答案为：12，(332,0)．
连接OD，作DG⊥x轴，设点B(b,62b)，D(a,62a)，根据矩形的面积得出三角形BOD的面积，将三角形BOD的面积转化为梯形BEGD的面积，从而得出a，b的等式，将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形BOD中，根据勾股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一步可求得结果．
本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义，勾股定理，一次函数及其图象性质，分解因式等知识，解决问题的关键是变形等式，进行分解因式．
15.【答案】2825
【解析】解：连接AA′交CD于Q，过点A作AN⊥OB于N，交CD于M，过点A′作A′H⊥AN于H，
∵AO=AB，OB=6，AN⊥OB，
∴ON=12OB=3，
由勾股定理得：AN=OA2−ON2=4，
对于y=−12x+72，当x=3时，y=2，
则点M的坐标为(3,2)，
∴AM=2，
∵直线CD的解析式为y=−12x+72，
∴tan∠OEM=12，
∵EQ⊥AQ，AN⊥OB，∠AMC=∠EMN，
∴∠QAM=∠OEM，
∴tan∠QAM=12，
∴sin∠QAM=55，cos∠QAM=255，
则AQ=AM⋅cos∠QAM=455，
∴AA′=855，
∴AH=AA′⋅cos∠QAM=165，A′H=AA′⋅sin∠QAM=85，
∴点A′的坐标为(75,45)，
∵点A′落在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=75×45=2825，
故答案为：2825．
连接AA′交CD于Q，过点A作AN⊥OB于N，交CD于M，过点A′作A′H⊥AN于H，根据等腰三角形的性质求出ON，根据勾股定理求出AN，根据一次函数的性质求出tan∠OEM，根据正弦、余弦的定义计算，求出点A′的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征计算，得到答案．
本题考查的是反比例函数的性质、解直角三角形、一次函数的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、熟记三角函数的定义是解题的关键．
16.【答案】y=12x+112
【解析】解：连接OD、OE.设BC=BC′=m，则EC′=m−2．
∵CD=BD，
∴S△CDO=12k=14S矩形ABCD，
∵S△AOE=12k，
∴S△AOE=S△CDO=14S矩形ABCD，
∴AE=EB，
∵C′(2,4)，
∴AE=EB=4，
在Rt△BEC′中，∵BC′2=BE2+EC′2，
∴m2=42+(m−2)2，
∴m=5，
∴E(5,4)，
∴B(5,8)，则BC=5，
延长EC′交y轴于G，则EG⊥y轴，
∴C′G=2，CG=4，
∴在Rt△FGC′中，C′F2=C′G2+FG2，即(4−FG)2=22+FG2，
∴FG=32，
∴CF=4−32=52，OF=4+32=112
∴F(0,112)
设直线BF的解析式为y=kx+b
把B(5,8)，F(0,112)代入得：
5k+b=8b=112
解得：k=12，b=112
∴直线BF的解析式为y=12x+112．
首先证明点E是线段AB的中点，设BC=BC′=m，则EC′=m−2.在Rt△BEC′中，根据BC′2=BE2+EC′2，构建方程求出m即可求得点E，B的坐标；延长EC′交y轴于G，则EG⊥y轴，由勾股定理求得FG，进而求得CF，OF，求出F点的坐标，根据待定系数法求出直线BF的解析式．
本题考查了反比例函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、翻折变换、勾股定理等知识，综合性较强，学会利用参数构建方程解决问题
17.【答案】解：把A(x1,y1)，B(x2,y2)代入y=kx得y1=kx1，y2=kx2，
∵y1−y2=−43，
∴kx1−kx2=−43，
∴x2−x1x1x2⋅k=−43，
∵x1−x2=−2，x1⋅x2=3，
∴23k=−43，解得k=−2，
∴反比例函数解析式为y=−2x，
当x=−3时，y=23；当x=−1时，y=2，
∴当−3
18.【答案】解：(1)∵点A的坐标为(0,1)，点B的坐标为(0,−2)，
∴AB=1+2=3，
∵四边形ABCD为正方形，
∴Bc=3，
∴C(3,−2)，
把C(3,−2)代入y=kx得k=3×(−2)=−6，
∴反比例函数解析式为y=−6x，
把C(3,−2)，A(0,1)代入y=ax+b得3a+b=−2b=1，
解得a=−1b=1，
∴一次函数解析式为y=−x+1；
(2)设P(t,−6t)，
∵△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，
∴12×1×|t|=3×3，解得t=18或t=−18，
∴P点坐标为(18,−13)或(−18,13).
【解析】(1)先根据A点和B点坐标得到正方形的边长，则BC=3，于是可得到C(3,−2)，然后利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)设P(t,−6t)，根据三角形面积公式和正方形面积公式得到12×1×|t|=3×3，然后解绝对值方程求出t即可得到P点坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
19.【答案】解：(1)过点C作CG⊥OA于G，
∵点C是等边三角形OAB边OB的中点，
∴OC=2，∠AOB=60°，
∴OG=1，CG=OG⋅tan60°=3，
∴C(1,3)，
∴k=1×3=3；
(2)过点D作DH⊥AF于点H，设AH=a，则DH=3a，
∴D(4+a,3a)，
∵点D是双曲线y=3x上的点，
由xy=3得3a(4+a)=3，
即a2+4a−1=0，
解得a=5−2或−5−2(舍去)，
∴AD=2AH=25−4，
∴等边△AEF的边长=2AD=45−8；
(3)连接AP，
由(2)知，AP=2DH=23×(5−2)=215−43，
∵BP≤AB+AP，
∴BP最大值为215−43+4．
【解析】(1)过点C作CG⊥OA于G，利用特殊角的三角函数值求出OG和CG的长，可得点C的坐标，从而得出k的值；
(2)过点D作DH⊥AF于点H，设AH=a，则DH=3a，表示出点D的坐标，根据点D在双曲线y=3x上，可得关于a的方程，从而得出答案；
(3)连接AP，利用三角形ABP的三边关系可得答案．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，等边三角形的性质，三角形三边关系等知识，准确求出等边△AEF的边长是解题的关键．
20.【答案】2
【解析】解：(1)∵反比例函数y=−2x的图象过点A(−1,m)，
∴m=−2−1=2，
故答案为：2；
(2)由勾股定理得，OA=12+22=5，
∵AB//x轴，
∴yB=yA=2，AB⊥y轴，
又∵∠AOB=90°，
∴cosA=OAAB=|xA|OA，
即5AB=15，
∴AB=5，
∴xB=5−1=4，
∴B(4,2)，
∴k=xB⋅yB=4×2=8；
(3)如图，过点P作PM⊥x轴于M，过点B作BN⊥x轴于N，
则S△POM=S△BON=k2=4，
∴S四边形OPBN−S△BON=S四边形OPBN−S△POM，
∴S1=S梯形BNMP，
∴S1=12(2+8t)(4−t)，
∴tS1=12t(2+8t)(4−t)=16−t2，
设点C(n,0)，
∴tan∠BCO=BNCN=PMCM，
即2n−4=8tn−t，
∴n=t+4，
∴S2=12OC⋅BN=12(t+4)×2=t+4，
∴T=tS1+S2=16−t2+t+4=−t2+t+20(0
(1)根据反比例函数y=−2x的图象过点A(−1,m)，可得m=2；
(2)利用平行线的性质和三角函数可得AB=5，从而得出点B的坐标，即可得出k的值；
(3)过点P作PM⊥x轴于M，过点B作BN⊥x轴于N，用含t的代数式分别表示出S1和S2的值，从而得出T关于t的二次函数，从而解决问题．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，三角函数，二次函数的性质，反比例函数k的几何意义等知识，分别表示出S1和S2的值是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵一次函数y=mx+4+m(m≠0)的图象与y轴交于点C，与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于点A(−1,n)，B两点．
∴n=−m+4+m，
∴n=4，
∴点A(−1,4)，
∴k=−1×4=−4，
∴反比例函数的表达式为y=−4x；
(2)当BC=AC时，则点C是AB的中点，
∴点C为原点，
∴0=4+m，
∴m=−4，
∴方程为：−4x2+(4−4)x−(−4)=0，
∴x1=1，x2=−1；
(3)如图，过点A作AN⊥x轴，过点B作BN⊥AN于N，过点C作CM⊥AN于M，
当BC=2AC时，
∵CM//BN，
∴△ACM∽△ABN，
∴ACAB=CMBN=13，
∴BN=3，
∴B(2,−2)，
将点B(2,−2)代入y=mx+4+m，
∴m=−2，
根据图象可知，当k≥−2且k≠0时，BC≤2AC．
【解析】(1)将点A坐标代入直线解析式可求n=4，代入反比例函数解析式可求k，即可求解；
(2)由题意可得点C为原点，可求m=−4，代入方程可求解；
(3)当BC=2AC时，由CM//BN，得△ACM∽△ABN，可求出点B的坐标，代入一次函数可得m=−2，再利用数形结合思想可得答案．
本题是反比例函数的综合题，考查了函数图象上点的坐标的特征，函数与方程的关系，相似三角形的判定与性质，找到临界状态时k的值是解决问题(3)的关键，同时渗透了数形结合的思想．
22.【答案】(1)解：设直线OM的函数表达式为：y=kx，
∵P(a,1a)，R(b,1b)，
∴点M的坐标为(b,1a)，
则1a=kb，
解得：k=1ab，
∴直线OM的函数表达式为：y=1abx；
(2)证明：由题意得：点Q的坐标为：(a,1b)，
∵1b=1ab⋅a，
∴Q点在直线OM上，
∵QR//OB，
∴∠SQR=∠MOB，
∵PM//QR，PQ//MR，PM⊥MR，
∴四边形PQRM为矩形，
∴SQ=SR，PS=12PR，
∴∠SQR=∠SRQ，
∴∠PSQ=2∠SQR=2∠MOB，
∵OP=12PR，PS=12PR，
∴OP=PS，
∴∠AOM=∠PSQ=2∠MOB，
∴∠MOB=13∠AOB．
【解析】(1)根据题意求出点M的坐标，利用待定系数法求出直线OM的函数表达式；
(2)证明Q点在直线OM上，根据矩形的性质得到SQ=SR，PS=12PR，根据三角形的外角性质、等腰三角形的性质证明即可．
本题考查的是反比例函数的性质、矩形的判定和性质、三角形的外角性质、等腰三角形的性质，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出Q点在直线OM上是解题的关键．
23.【答案】12
∴AB=CD=4−1=3，
又∵C(7,5)，
∴点D(4,5)，
故答案为：(4,5)；
(2)∵A(1,2)，C(7,5)，
∴点E的坐标为(4,72)，代入反比例函数关系式得，
k=4×72=14，
故答案为：14；
(3)设直线AD的解析式为y=mx+n，则有m+n=24m+n=5，
解得m=1n=1，
∴直线AD的解析式为：y=x+1，
∴边AD上的整点为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，
由于AB=DC，故每一行均有4个整点，
∴▱ABCD边上及其内部的“整点”数为：4×4=16(个)，
如图，当k=12时，y=12x过点(3,4)，(4,3)，此时及y=12x下方共有8个整点，
而y=15x过点(5,3)，且(4,4)在y=15x的上方，
∴要使整点在两侧数量相同，则12
(2)根据两点中点坐标计算公式求出对角线交点E的坐标，再代入反比例函数关系式可得答案；
(3)先确定▱ABCD边上及其内部的“整点”数，再结合反比例函数进行判断即可．
此题主要考查了反比例函数的图象与性质，找出▱ABCD边上及其内部的“整点”数是解答此题的关键．
24.【答案】解：(1)过点A分别作AM⊥y轴于M，AN⊥x轴于N，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴AM=AN，
∴设点A(a,a)，
∵点A在直线y=3x−4上，
∴a=3a−4，
∴a=2，
∴A(2,2)，
∵y=kx(x>0)的图象也经过点A，
∴2=k2，
∴k=4，
∴反比例函数的解析式为y=4x；
(2)∵A(2,2)，
∴AO2=22+22=8，
把x=0代入y=3x−4，得y=−4，
∴C(0,−4)，
∴OC=4，
在Rt△COD中，CD2=OC2−OD2①，
在Rt△AOD中，AD2=OA2−OD2②，
①−②得CD2−AD2=OC2−OA2=16−8=8，
∴CD2−AD2值为8；
(3)①若∠PAQ=90°，AP=AQ，如图，
∵AO=AB，∠OAP=∠BAQ=90°−∠PAB，AP=AQ，
∴△AOP≌△ABO(SAS)，
∴∠ABQ=∠AOP=45°，
又∵∠ABO=45°，
∴∠OBQ=90°，
即QB⊥OB，
∵A(2,2)，
∴B(4,0)，
把x=4代入y=4x得y=1，
∴Q1(4,1)；
②若∠AQP=90°，AQ=PQ，如图，
过点A作AD//x轴，过点Q分别作QD⊥AD于D，交x轴于E，
在Rt△ADQ与Rt△PEQ中，
∵AQ=PQ，∠AQD=∠PQE=90°−∠DQP，∠D=∠PEQ，
∴Rt△ADQ≌Rt△PEQ(AAS)，
∴AD=QE，DQ=EP，
设Q(m,4m)，则OE=m，AD=EQ=4m，
∴2+4m=m，
∴m=1±5，
∵m>0，
∴m=1+5，
∴Q2(5+1,5−1)；
若∠APQ=90°，PA=PQ，如图，
过点A作AC⊥x轴于C，过点Q作QD⊥x轴于D，
在Rt△ACP与Rt△PDQ中，
∵PA=PQ，∠APC=∠PQD=90°−∠DPQ，
∴Rt△ACP≌Rt△PDQ(AAS)，
∴AC=PD，CP=DQ，
设Q(n,4n)，则OD=n，CP=DQ=4n，PD=AC=2，
由OC+CP+PD=OD，得2+2+4n=n，
∴n=2±22，
∴Q(22+2,22−2)，
综上，所有符合条件的点Q的坐标为(4,1)或(5+1,5−1)或(22+2,22−2).
【解析】(1)过点A分别作AM⊥y轴于M，AN⊥x轴于N，设点A(a,a)，根据点A在直线y=3x−4上，可得a=2，从而得出答案；
(2)根据点A、C的坐标，首先得出OA和OC的长，再利用勾股定理可得答案；
(3)若∠PAQ=90°，利用SAS证明△AOP≌△ABQ，得∠ABQ=∠AOP=45°，可得答案，若∠AQP=90°，过点A作AD//x轴，过点Q分别作QD⊥AD于D，交x轴于E，得Rt△ADQ≌Rt△PEQ(AAS)，则AD=QE，DQ=EP，设Q(m,4m)，则OE=m，列方程从而得出答案，若∠APQ=90°，过点A作AC⊥x轴于C，过点Q作QD⊥x轴于D，同理可解决问题．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握一线三等角的基本模型是解题的关键．
北师大版初中数学九年级上册第六章《反比例函数》单元测试卷
考试范围：第六章；考试时间：100分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y=2x和y=−5x的图象上，且边长为7，则菱形ABCD的面积为( )
A. 210 B. 410 C. 27 D. 47
2. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE.若AD平分∠OAE，反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过AE上的两点A，F，且AF=EF，△ABE的面积为18，则k的值为( )
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
3. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第二象限作正方形ABCD，将过点D的双曲线y=k1x(x<0)沿y轴对折，得到双曲线y=k2x(x>0)，则k2的值是( )
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
4. 如图，四边形OABC和四边形BDEF都是正方形，反比例函数y=kx在第一象限的图象经过点E，若两正方形的面积差为12，则k的值为( )
A. 12
B. 6
C. −12
D. 8
5. 如图，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴上，点B(−8,4)，AB=5，若反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过点D，则k的值为( )
A. 15 B. 18 C. 24 D. 32
6. 如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数y=kx(k>0,x>0)图象上．若直线BC的函数表达式为y=12x−4，则反比例函数表达式为( )
A. y=6x
B. y=12x
C. y=16x
D. y=24x
7. 如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y=1x(x>0)的图象上，点B1，B2，B3，…Bn在y轴上，且∠B1OA1=∠B2B1A2=∠B3B2A3=…，直线y=x与双曲线y=1x交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3…，则Bn(n为正整数)的坐标是( )
A. (2n,0) B. (0,2n+1)
C. (0,2n(n−1)) D. (0,2n)
8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是(5,0)，点B是函数y=6x(x>0)图象上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数y=−2x(x<0)的图象于点C，点D在x轴上(D在A的左侧)，且AD=BC，连接AB，CD．
有如下四个结论：
①四边形ABCD可能是菱形；
②四边形ABCD可能是正方形；
③四边形ABCD的周长是定值；
④四边形ABCD的面积是定值．
所有正确结论的序号是( )
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①④
9. 如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1(x1,y1)，C2(x2,y2)，C3(x3,y3)，…均在反比例函数y=4x(x>0)的图象上．则y1+y2+…+y10的值为( )
A. 210 B. 6 C. 42 D. 27
10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C在坐标轴上，B在第一象限，反比例函数y=kx(k>0)的图象经过OB中点E，与AB交于点F，将矩形沿直线EF翻折，点B恰好与点O重合．若矩形面积为102，则点B坐标是( )
A. (5,22) B. (52,2) C. (210,5) D. (25,10)
11. 在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的点A在函数y=−1x(x<0)的图象上，点C在函数y=4x(x>0)的图象上，若点B的纵坐标为3，则符合条件的所有点A的纵坐标之和为．( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
12. 学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温y(℃)与通电时间x(min)成反比例关系．当水温将至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是( )
A. 水温从20℃加热到100℃，需要7min
B. 水温下降过程中，y与x的函数关系式是y=400x
C. 上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水
D. 水温不低于30℃的时间为773min
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 已知：点P(m,n)在直线y=−x+2上，也在双曲线y=−1x上，则m2+n2的值为______。
14. 如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数y=62x(x>0)的图象上，BE⊥x轴于点E.若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为92时，EFOE的值为______，点F的坐标为______．
15. 如图，平面直角坐标系xOy中，等腰三角形OAB的边OB落在x轴上，OB=6，AO=AB=5，直线y=−12x+72的图象与OA边交于点C，与AB边交于点D，将△ACD沿CD翻折后，点A′恰好落在反比例函数y=kx的图象上，则k的值是______．
16. 以矩形OABC的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，使点A、C分别在x、y轴的正半轴上，双曲线y=kx(k>0)的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，过OC边上一点F，把△BCF沿直线BF翻折，使点C落在矩形内部的一点C′处，且C′E//BC，若点C′的坐标为(2,4)，则直线BF的解析式为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）
17. 已知Ax1,y1Bx2,y2，是反比例函数y=kx图像上的两点，且x1−x2=−2，x1⋅x2=3，y1−y2=−43。当−3
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)若点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标．
19. 如图，等边△OAB和等边△AEF的一边都在x轴上，双曲线y=kx(k>0)经过OB的中点C和AE的中点D.已知等边△OAB的边长为4．
(1)求k的值；
(2)求等边△AEF的边长；
(3)将等边△AEF绕点A任意旋转，得到等边△AE′F′，P是E′F′的中点(如图2所示)，连结BP，直接写出BP的最大值．
20. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=−2x的图象过点A(−1,m)，反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过点B，连接OA、OB，满足∠AOB=90°，AB//x轴．
(1)m=______；
(2)求k的值；
(3)点P是y=kx(k>0,x>0)图象上的一个动点(点P在点B的左侧)，直线PB交x轴于点C，连接OP，设点P的横坐标为t，△POB的面积记为S1，△BOC的面积记为S2，设T=tS1+S2.用含t的代数式表示T，并求T的最大值．
21. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=mx+4+m(m≠0)的图象与y轴交于点C，与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于点A(−1,n)，B两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)当BC=AC时，直接写出关于x的方程mx2+(4+m)x−k=0的解；
(3)当BC≤2AC时，求m的取值范围．
22. 阅读理解：
“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”.下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法(如图)：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数y=1x的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R.分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=13∠AOB．
要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：
(1)设P(a,1a)、R(b,1b)，求直线OM对应的函数表达式(用含a，b的代数式表示)；
(2)分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q.请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB=13∠AOB．
23. 如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点分别为A(1,2)，B(4,2)，C(7,5)，曲线G：y=kx(x>0)．
(1)求点D的坐标；
(2)肖曲线G经过▱ABCD的对角线的交点时，求k的值；
(3)若曲线G刚好将▱ABCD边上及其内部的“整点”(横、纵坐标都为整数的点)分成数量相等的两部分，则直接写出k的取值范围是______．
24. 如图：△AOB为等腰直角三角形，斜边OB在x轴上，一次函数y=3x−4的图象经过点A，交y轴于点C，反比例函数y=kx(x>0)的图象也经过点A．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)过O点作OD⊥AC于D点，求CD2−AD2值；
(3)若点P是x轴上的动点，点Q在反比例函数的图象上使得△PAQ为等腰直角三角形？直接写出所有符合条件的点Q的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查反比例函数的图象与性质、菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，根据对称性可知，反比例函数y=2x，y=−5x的图象是中心对称图形，菱形是中心对称图形，所以菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O，作AG⊥x轴于G，BH⊥y轴于H.连接OA，OB，首先证明△OGA∽△OHB，得出OAOB2=S△OAGS△OBH，根据反比例函数系数k的几何意义可知：S△OBH=12×2=1，S△OAG=12×5=52，根据OAOB2=S△OAGS△OBH=521=52，得出OA2=52OB2，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=7，利用勾股定理求出OA的长，得出OB的长，再根据S菱形ABCD=4S△AOB=4×12OA·OB进行解答，即可求解．
【解答】
解：根据对称性可知，反比例函数y=2x，y=−5x的图象是中心对称图形，菱形是中心对称图形，
∴菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O，
作AG⊥x轴于G，BH⊥y轴于H.连接OA，OB，如图：
则∠AOB=90°，∠OGA=∠OHB=90°，
∴∠GOA+∠AOH=∠AOH+∠BOH=90°，
∴∠GOA=∠HOB，
又∵∠OGA=∠OHB，
∴△OGA∽△OHB，
∴OAOB2=S△OAGS△OBH，
根据反比例函数系数k的几何意义可知：S△OBH=12×2=1，S△OAG=12×5=52，
∴OAOB2=S△OAGS△OBH=521=52，
∴OA2=52OB2，
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=7，
根据勾股定理可得OA2+OB2=AB2，即52OB2+OB2=72，
∴OB=2，
∴OA2=52OB2=52×22=5，
∴OA=5，
∴S菱形ABCD=4S△AOB=4×12OA·OB=2×5×2=210．
故选：A．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线的判定和性质，等高模型等知识，解题的关键是证明BD//AE，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M.证明BD//AE，推出S△ABE=S△AOE=18，推出S△EOF=12S△AOE=9，可得S△FME=13S△EOF=3，由此即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．
∵AN//FM，AF=FE，
∴MN=ME，
∴FM=12AN，
∵点A，F在反比例函数的图象上，
∴S△AON=S△FOM=k2，
∴12⋅ON⋅AN=12⋅OM⋅FM，
∴ON=12OM，
∴ON=MN=EM，
∴ME=13OE，
∴S△FME=13S△FOE，
∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD=∠EAD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=∠DAE，
∴AE//BD，
∴S△ABE=S△AOE，
∴S△AOE=18，
∵AF=EF，
∴S△EOF=12S△AOE=9，
∴S△FME=13S△EOF=3，
∴S△FOM=S△FOE−S△FME=9−3=6=k2，
∴k=12．
故选：B．
3.【答案】B
【解析】解：如图，过点D作DE⊥x轴于点E，则∠AED=∠AOB=90°
在y=3x+3中，令x=0，得y=3，∴B(0,3)，
令y=0，得0=3x+3，解得x=−1，∴A(−1,0)，
∴OA=1，OB=3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°
∴∠BAO+∠ABO=∠BAO+∠DAE=90°
∴∠ABO=∠DAE
在△ABO和△DAE中
∠ABO=∠DAE∠AOB=∠AEDAB=AD
∴△ABO≌△DAE(AAS)
∴DE=OA=1，AE=OB=3
∴OE=OA+AE=1+3=4
∴D(−4,1)
把D(−4,1)代入y=k1x中，得1=k1−4
∴k1=−4
∴y=−4x(x<0)；
∵双曲线y=k1x(x<0)沿y轴对折，得到双曲线y=k2x(x>0)，
即双曲线y=k1x(x<0)与双曲线y=k2x(x>0)关于y轴对称，
∴k2=4．
故选：B．
先求出点A、B的坐标，根据正方形性质证明△ABO≌△DAE(AAS)，即可求得点D坐标，进而可求得k1的值，再利用双曲线y=k1x(x<0)与双曲线y=k2x(x>0)关于y轴对称，即可求得k2．
本题考查了一次函数图象与坐标轴交点，正方形性质，全等三角形判定和性质，反比例函数图象和性质，翻折变换的性质，关于y轴对称的反比例函数解析式的关系等知识点，是一道综合性较强，涉及知识点较多的代数几何综合题，解题关键是利用正方形性质构造全等三角形．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.也考查了正方形的性质．
设正方形OABC、BDEF的边长分别为a和b，则可表示出D(a,a−b)，F(a+b,a)，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到E(a+b,ka+b)，由于点E与点D的纵坐标相同，所以ka+b=a−b，则a2−b2=k，然后利用正方形的面积公式易得k=12，即可解答．
【解答】
解：设正方形OABC、BDEF的边长分别为a和b，则D(a,a−b)，F(a+b,a)，
所以E(a+b,ka+b)，
所以ka+b=a−b，
∴(a+b)(a−b)=k，
∴a2−b2=k，
∵两正方形的面积差为12，
∴k=12．
故选：A．
5.【答案】B
【解析】解：作BM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，作CE⊥DN于E，连接AC，
∴四边形CENO是矩形，
∴CE=ON，EN=CO
∵点B(−8,4)，AB=5，
∴OM=8，BM=4，
∴AM=AB2−BM2=3，
∴OA=8−3=5，
∴BA=OA，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠COA=90°，
∵AC=AC，BA=OA，
∴Rt△ABC≌Rt△AOC(HL)，
∴BC=OC=NE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=CD，BC=AD，
∴∠BAM+∠DAN=90°=∠ADN+∠CDE，
∵∠DAN+∠ADN=90°，∠ABM+∠BAM=90°
∴∠BAM=∠ADN，∠CDE=∠DAN=∠ABM，
∴△BAM≌△DCE(AAS)，
∴CE=AM=ON=3，DE=BM=4，
∴AN=AO+ON=8，
∴设DN=x，则AD=NE=x+4，
∵DN2+AN2=AD2，
∴x2+82=(x+4)2，
∴x=6，
即DN=6，
∴D(3,6)，
∵反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过点D，
∴k=3×6=18，
故选：B．
作BM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，作CE⊥DN于E，连接AC，首先证明CE=ON，EN=CO，BM=4，AM=3，接着证明BA=OA，Rt△ABC≌Rt△AOC，从而证明BC=OC=NE，然后证明根△BAM≌△DCE，从而求出CE=AM=ON=3，DE=BM=4，AN=8，最后设DN=x，则AD=NE=x+4，接着根据勾股定理求出x=6，从而求得D(3,6)即可求解．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：在y=12x−4中，令y=0，则x=8，
令x=0，则y=−4，
∴B(8,0)，G(0,−4)，
∴OB=8，OG=4，
过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠EAB+∠ABE=∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠EAB=∠CBF，
在△AEB与△BFC中，
∠AEB=∠BFC=90°∠BAE=∠FBCAB=BC，
∴△AEB≌△BFC(AAS)，
∴AE=BF，BE=CF，
∵∠BOG=∠BFC=90°，∠OBG=∠CBF，
∴△OBG∽△FBC，
∴CFBF=OGOB=12，
∴设CF=x，BF=2x，
∴AE=2x，BE=x，
∴A(8−x,2x)，C(8+2x,x)，
∵点A，点C在反比例函数y=kx(k>0,x>0)图象上，
∴2x(8−x)=x(8+2x)，
∴x=2，x=0(不合题意舍去)，
∴A(6,4)，
∴k=4×6=24，
∴反比例函数表达式为y=24x，
故选：D．
解方程求得B(8,0)，G(0,−4)，得到OB=8，OG=4，过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，根据正方形的性质得到AB=BC，∠ABC=90°，根据全等三角形的性质得到AE=BF，BE=CF，根据相似三角形的性质得到CFBF=OGOB=12，设CF=x，BF=2x，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到结论．
本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，
∵A1(1,1)，
∴OB1=2，设A2(m,2+m)，
则有m(2+m)=1，
解得m=2−1，
∴OB2=22，
设A3(a,22+n)，则a(22+a)=1，
解得a=3−2，
∴OB3=23，
同法可得，OB4=24，
∴OBn=2n，
∴Bn(0,2n).
故选：D．
由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，想办法求出OB1，OB2，OB3，OB4，…，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题．
8.【答案】D
【解析】解：①∵BC⊥y轴，
∴AD//BC，
又∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
设点B(a,6a)，则C(−a3,6a)，
∴BC=a−(−a3)=43a，AB=(5−a)2+(6a)2，
当a=5时，BC=203，AB=65，
此时，AB
∴四边形ABCD可能是菱形，故①正确，符合题意；
②由①得，当x=5时，BC=203，AB=65，
∴BC≠AB，
∴四边形ABCD不为正方形，故②错误，不符合题意；
③由①得，当点B的横坐标为5时，BC=203，AB=65，
∴C四边形ABCD=2×(BC+AB)=2×(203+65)=23615，
当点B的横坐标为1时，B(1,6)，C(−13,6)，
∴BC=43，AB=(5−1)2+62=213，
∴C四边形ABCD=2(BC+AB)=2(43+213)=83+413≠23615，
∴四边形ABCD的周长不为定值，故③错误，不符合题意；
④如图，过点C作CE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，则四边形EFBC为矩形，
∵BC//AD，
∴S四边形ABCD=S四边形EFBC=|−2|+|6|=8，
∴四边形ABCD的面积为定值，故④正确，符合题意；
故选：D．
①由BC⊥y轴得到AD//BC，结合AD=BC，得到四边形ABCD是平行四边形，设点B(a,6a)，则C(−a3,6a)，得到BC的长，再表示AB的长，利用菱形的性质列出方程求得a的值，即可判断结论；
②当x=5时，求得点B的坐标，然后判断四边形ABCD是否为正方形；
③任取两个点B的坐标，求得AB和BC的长，然后判断四边形ABCD的周长是否为定值；
④过点C作CE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，将四边形ABCD的面积转化为四边形EFBC的面积，进而利用反比例系数k的几何意义判断四边形ABCD的面积是否为定值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，正方形的性质，解题的关键是熟知反比例函数图象上点的坐标特征．
9.【答案】A
【解析】解：过C1、C2、C3…分别作x轴的垂线，垂足分别为D1、D2、D3…
其斜边的中点C1在反比例函数y=4x，
∴C(2,2)即y1=2，
∴OD1=D1A1=2，
设A1D2=a，则C2D2=a
此时C2(4+a,a)，代入y=4x得：a(4+a)=4，
解得：a=22−2，
即：y2=22−2，
同理：y3=23−22，
y4=24−23，
…
∴y1+y2+…+y10=2+22−2+23−22+…210−29=210，
故选：A．
根据点C1的坐标，确定y1，可求反比例函数关系式，由点C1是等腰直角三角形的斜边中点，可以得到OA1的长，然后再设未知数，表示点C2的坐标，确定y2，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点C3的坐标，确定y3，…然后再求和．
考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，通过计算有一定的规律，推断出一般性的结论，得出答案．
10.【答案】D
【解析】解：设点B坐标为(a,b)，则ab=102①，
∵点E为OB中点，
∴点E坐标为(a2,b2)，
∴k=a2⋅b2=ab4=1024=522，y=522x，
yB=yF=b，
将y=b代入y=522x得x=522b，
∴点F坐标为(522b,b)，
由翻折可得FB=FO，
∴a−522b=(522b)2+b2②，
联立方程①②解得b=10或b=−10(舍)，
∴a=102b=25．
∴点B坐标为(25,10).
故选：D．
设点B坐标为(a,b)则点E坐标为(a2,b2)，可用含a，b的式子表示k，点F纵坐标与点B纵坐标相同，则可以用含a，b式子表示出点F坐标，由翻折可得FO=BF，联立两点距离公式可求a，b的值．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键是通过设参数表示出B的坐标．
11.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数k的几何意义，反比例函数上的点的坐标，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，坐标与图形的性质，添加辅助线关键是构造相似三角形是关键．
过点A作AF垂直x轴于F，过点C作CE垂直x轴于E，与过点B平行于x轴数直线交于D，构造k字形相似，先由面积比得出相似比为2，再证明△OAF≌△CBD得AF=CD，设点A坐标为(t,−1t)，则点B坐标为(−2t,−2t,)，最后根据点点B的纵坐标为3得关于t的方程，解方程求得t的值即可解答．
【解答】
解：过点A作AF垂直x轴于F，过点C作CE垂直x轴于E，延长EC与过点B平行于x轴数直线交于D，
∵点A在函数y=−1x(x<0)的图条上，点C在函数y=4x(x>0)的图条上，
∴S△OCE=2，S△AOF=12，
∵CE⊥x轴
∴∠CEO=90∘，∠OCE+∠COE=90∘
∵在矩形OABC中，∠AOC=∠OCB=90∘，OA=BC，
∴∠AOF+∠COE=90∘，∠BCD+∠COE=90∘，
∠AOF+∠OAF=90∘，
∴∠OCE=∠AOF，∠BCD=∠COE=∠OAF
∴△OCE∽△AOF，△OAF≌△CBD，
∴CEOF=OEAF=S△OCES△AOF=2，CD=AF
∴CE=2OF，OE=2AF，
设点A坐标为(t,−1t)，则点B坐标为(−2t,−2t,)，
∵点B的纵坐标为3
∴CD+CE=AF+CE=3，
∴−1t−2t=3，整理得：2t2+3t+1=0
解得：t1=−12，t2=−1，
∴点A坐标为(−12,2)或(−1,1)，
∴所有点A的纵坐标之和为3．
12.【答案】D
【解析】解：∵开机加热时每分钟上升10℃，
∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为：100−2010=8min，
故A选项不合题意；
由题可得，(8,100)在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为y=kx，
代入点(8,100)可得，k=800，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是y=800x，
故B选项不合题意；
令y=20，则800x=20，
∴x=40，
即饮水机每经过40分钟，要重新从20℃开始加热一次，
从8点9点30分钟，所用时间为90分钟，
而水温加热到100分钟，仅需要8分钟，
故当时间是9点30时，饮水机第三次加热，从20℃加热了10分钟，
令x=10，则y=80010=80℃>40℃，
故C选项不符合题意；
水温从20℃加热到30℃所需要时间为：30−2010=1min，
令y=30，则800 x=30，
∴x=803，
∴水温不低于30℃的时间为803−1=773min，
故选：D．
因为开机加热时，饮水机每分钟上升10℃，所以开机加热到100℃，所用时间为100−2010=8min，故A不合题意，利用点(8,100)，可以求出反比例函数解析式，故B不符合题意，令y=20，则x=40，求出每40分钟，饮水机重新加热，故时间为9点30时，可以得到饮水机是第三次加热，并且第三次加热了10分钟，令x=10，代入到反比例函数中，求出y，即可得到C不符合题意，先求出加热时间段时，水温达到30℃所用的时间，再由反比例函数，可以得到冷却时间时，水温为30℃时所对应的时间，两个时间相减，即为水温不低于30℃时的时间．
本题考查了反比例函数的应用，数形结合，是解决本题的关键．
13.【答案】6
【解析】
【分析】
直接利用一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征得出n+m以及mn的值，再利用完全平方公式将原式变形得出答案．此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征，正确得出m，n之间关系是解题关键．
【解答】
解：∵点P(m,n)在直线y=−x+2上，
∴n+m=2，
∵点P(m,n)在双曲线y=−1x上，
∴mn=−1，
∴m2+n2=(n+m)2−2mn=4+2=6．
故答案为：6．
14.【答案】12 (332,0)
【解析】解：如图，
作DG⊥x轴于G，连接OD，设BC和OD交于I，
设点B(b,62b)，D(a,62a)，
由对称性可得：△BOD≌△BOA≌△OBC，
∴∠OBC=∠BOD，BC=OD，
∴OI=BI，
∴DI=CI，
∴DIOI=CIBI，
∵∠CID=∠BIO，
∴△CDI∽△BOI，
∴∠CDI=∠BOI，
∴CD//OB，
∴S△BOD=S△AOB=12S矩形AOCB=922，
∵S△BOE=S△DOG=12|k|=32，S四边形BOGD=S△BOD+S△DOG=S梯形BEGD+S△BOE，
∴S梯形BEGD=S△BOD=922，
∴12(62a+62b)⋅(a−b)=922，
∴2a2−3ab−2b2=0，
∴(a−2b)⋅(2a+b)=0，
∴a=2b，a=−b2(舍去)，
∴D(2b,622b)，
即：(2b,32b)，
在Rt△BOD中，由勾股定理得，
OD2+BD2=OB2，
∴[(2b)2+(32b)2]+[(2b−b)2+(62b−32b)2]=b2+(62b)2，
∴b=3，
∴B(3,26)，D(23,6)，
∵直线OB的解析式为：y=22x，
∴直线DF的解析式为：y=22x−36，
当y=0时，22x−36=0，
∴x=332，
∴F(332,0)，
∵OE=3，OF=332，
∴EF=OF−OE=32，
∴EFOE=12，
故答案为：12，(332,0)．
连接OD，作DG⊥x轴，设点B(b,62b)，D(a,62a)，根据矩形的面积得出三角形BOD的面积，将三角形BOD的面积转化为梯形BEGD的面积，从而得出a，b的等式，将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形BOD中，根据勾股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一步可求得结果．
本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义，勾股定理，一次函数及其图象性质，分解因式等知识，解决问题的关键是变形等式，进行分解因式．
15.【答案】2825
【解析】解：连接AA′交CD于Q，过点A作AN⊥OB于N，交CD于M，过点A′作A′H⊥AN于H，
∵AO=AB，OB=6，AN⊥OB，
∴ON=12OB=3，
由勾股定理得：AN=OA2−ON2=4，
对于y=−12x+72，当x=3时，y=2，
则点M的坐标为(3,2)，
∴AM=2，
∵直线CD的解析式为y=−12x+72，
∴tan∠OEM=12，
∵EQ⊥AQ，AN⊥OB，∠AMC=∠EMN，
∴∠QAM=∠OEM，
∴tan∠QAM=12，
∴sin∠QAM=55，cos∠QAM=255，
则AQ=AM⋅cos∠QAM=455，
∴AA′=855，
∴AH=AA′⋅cos∠QAM=165，A′H=AA′⋅sin∠QAM=85，
∴点A′的坐标为(75,45)，
∵点A′落在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=75×45=2825，
故答案为：2825．
连接AA′交CD于Q，过点A作AN⊥OB于N，交CD于M，过点A′作A′H⊥AN于H，根据等腰三角形的性质求出ON，根据勾股定理求出AN，根据一次函数的性质求出tan∠OEM，根据正弦、余弦的定义计算，求出点A′的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征计算，得到答案．
本题考查的是反比例函数的性质、解直角三角形、一次函数的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、熟记三角函数的定义是解题的关键．
16.【答案】y=12x+112
【解析】解：连接OD、OE.设BC=BC′=m，则EC′=m−2．
∵CD=BD，
∴S△CDO=12k=14S矩形ABCD，
∵S△AOE=12k，
∴S△AOE=S△CDO=14S矩形ABCD，
∴AE=EB，
∵C′(2,4)，
∴AE=EB=4，
在Rt△BEC′中，∵BC′2=BE2+EC′2，
∴m2=42+(m−2)2，
∴m=5，
∴E(5,4)，
∴B(5,8)，则BC=5，
延长EC′交y轴于G，则EG⊥y轴，
∴C′G=2，CG=4，
∴在Rt△FGC′中，C′F2=C′G2+FG2，即(4−FG)2=22+FG2，
∴FG=32，
∴CF=4−32=52，OF=4+32=112
∴F(0,112)
设直线BF的解析式为y=kx+b
把B(5,8)，F(0,112)代入得：
5k+b=8b=112
解得：k=12，b=112
∴直线BF的解析式为y=12x+112．
首先证明点E是线段AB的中点，设BC=BC′=m，则EC′=m−2.在Rt△BEC′中，根据BC′2=BE2+EC′2，构建方程求出m即可求得点E，B的坐标；延长EC′交y轴于G，则EG⊥y轴，由勾股定理求得FG，进而求得CF，OF，求出F点的坐标，根据待定系数法求出直线BF的解析式．
本题考查了反比例函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、翻折变换、勾股定理等知识，综合性较强，学会利用参数构建方程解决问题
17.【答案】解：把A(x1,y1)，B(x2,y2)代入y=kx得y1=kx1，y2=kx2，
∵y1−y2=−43，
∴kx1−kx2=−43，
∴x2−x1x1x2⋅k=−43，
∵x1−x2=−2，x1⋅x2=3，
∴23k=−43，解得k=−2，
∴反比例函数解析式为y=−2x，
当x=−3时，y=23；当x=−1时，y=2，
∴当−3
18.【答案】解：(1)∵点A的坐标为(0,1)，点B的坐标为(0,−2)，
∴AB=1+2=3，
∵四边形ABCD为正方形，
∴Bc=3，
∴C(3,−2)，
把C(3,−2)代入y=kx得k=3×(−2)=−6，
∴反比例函数解析式为y=−6x，
把C(3,−2)，A(0,1)代入y=ax+b得3a+b=−2b=1，
解得a=−1b=1，
∴一次函数解析式为y=−x+1；
(2)设P(t,−6t)，
∵△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，
∴12×1×|t|=3×3，解得t=18或t=−18，
∴P点坐标为(18,−13)或(−18,13).
【解析】(1)先根据A点和B点坐标得到正方形的边长，则BC=3，于是可得到C(3,−2)，然后利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)设P(t,−6t)，根据三角形面积公式和正方形面积公式得到12×1×|t|=3×3，然后解绝对值方程求出t即可得到P点坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
19.【答案】解：(1)过点C作CG⊥OA于G，
∵点C是等边三角形OAB边OB的中点，
∴OC=2，∠AOB=60°，
∴OG=1，CG=OG⋅tan60°=3，
∴C(1,3)，
∴k=1×3=3；
(2)过点D作DH⊥AF于点H，设AH=a，则DH=3a，
∴D(4+a,3a)，
∵点D是双曲线y=3x上的点，
由xy=3得3a(4+a)=3，
即a2+4a−1=0，
解得a=5−2或−5−2(舍去)，
∴AD=2AH=25−4，
∴等边△AEF的边长=2AD=45−8；
(3)连接AP，
由(2)知，AP=2DH=23×(5−2)=215−43，
∵BP≤AB+AP，
∴BP最大值为215−43+4．
【解析】(1)过点C作CG⊥OA于G，利用特殊角的三角函数值求出OG和CG的长，可得点C的坐标，从而得出k的值；
(2)过点D作DH⊥AF于点H，设AH=a，则DH=3a，表示出点D的坐标，根据点D在双曲线y=3x上，可得关于a的方程，从而得出答案；
(3)连接AP，利用三角形ABP的三边关系可得答案．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，等边三角形的性质，三角形三边关系等知识，准确求出等边△AEF的边长是解题的关键．
20.【答案】2
【解析】解：(1)∵反比例函数y=−2x的图象过点A(−1,m)，
∴m=−2−1=2，
故答案为：2；
(2)由勾股定理得，OA=12+22=5，
∵AB//x轴，
∴yB=yA=2，AB⊥y轴，
又∵∠AOB=90°，
∴cosA=OAAB=|xA|OA，
即5AB=15，
∴AB=5，
∴xB=5−1=4，
∴B(4,2)，
∴k=xB⋅yB=4×2=8；
(3)如图，过点P作PM⊥x轴于M，过点B作BN⊥x轴于N，
则S△POM=S△BON=k2=4，
∴S四边形OPBN−S△BON=S四边形OPBN−S△POM，
∴S1=S梯形BNMP，
∴S1=12(2+8t)(4−t)，
∴tS1=12t(2+8t)(4−t)=16−t2，
设点C(n,0)，
∴tan∠BCO=BNCN=PMCM，
即2n−4=8tn−t，
∴n=t+4，
∴S2=12OC⋅BN=12(t+4)×2=t+4，
∴T=tS1+S2=16−t2+t+4=−t2+t+20(0
(1)根据反比例函数y=−2x的图象过点A(−1,m)，可得m=2；
(2)利用平行线的性质和三角函数可得AB=5，从而得出点B的坐标，即可得出k的值；
(3)过点P作PM⊥x轴于M，过点B作BN⊥x轴于N，用含t的代数式分别表示出S1和S2的值，从而得出T关于t的二次函数，从而解决问题．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，三角函数，二次函数的性质，反比例函数k的几何意义等知识，分别表示出S1和S2的值是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵一次函数y=mx+4+m(m≠0)的图象与y轴交于点C，与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于点A(−1,n)，B两点．
∴n=−m+4+m，
∴n=4，
∴点A(−1,4)，
∴k=−1×4=−4，
∴反比例函数的表达式为y=−4x；
(2)当BC=AC时，则点C是AB的中点，
∴点C为原点，
∴0=4+m，
∴m=−4，
∴方程为：−4x2+(4−4)x−(−4)=0，
∴x1=1，x2=−1；
(3)如图，过点A作AN⊥x轴，过点B作BN⊥AN于N，过点C作CM⊥AN于M，
当BC=2AC时，
∵CM//BN，
∴△ACM∽△ABN，
∴ACAB=CMBN=13，
∴BN=3，
∴B(2,−2)，
将点B(2,−2)代入y=mx+4+m，
∴m=−2，
根据图象可知，当k≥−2且k≠0时，BC≤2AC．
【解析】(1)将点A坐标代入直线解析式可求n=4，代入反比例函数解析式可求k，即可求解；
(2)由题意可得点C为原点，可求m=−4，代入方程可求解；
(3)当BC=2AC时，由CM//BN，得△ACM∽△ABN，可求出点B的坐标，代入一次函数可得m=−2，再利用数形结合思想可得答案．
本题是反比例函数的综合题，考查了函数图象上点的坐标的特征，函数与方程的关系，相似三角形的判定与性质，找到临界状态时k的值是解决问题(3)的关键，同时渗透了数形结合的思想．
22.【答案】(1)解：设直线OM的函数表达式为：y=kx，
∵P(a,1a)，R(b,1b)，
∴点M的坐标为(b,1a)，
则1a=kb，
解得：k=1ab，
∴直线OM的函数表达式为：y=1abx；
(2)证明：由题意得：点Q的坐标为：(a,1b)，
∵1b=1ab⋅a，
∴Q点在直线OM上，
∵QR//OB，
∴∠SQR=∠MOB，
∵PM//QR，PQ//MR，PM⊥MR，
∴四边形PQRM为矩形，
∴SQ=SR，PS=12PR，
∴∠SQR=∠SRQ，
∴∠PSQ=2∠SQR=2∠MOB，
∵OP=12PR，PS=12PR，
∴OP=PS，
∴∠AOM=∠PSQ=2∠MOB，
∴∠MOB=13∠AOB．
【解析】(1)根据题意求出点M的坐标，利用待定系数法求出直线OM的函数表达式；
(2)证明Q点在直线OM上，根据矩形的性质得到SQ=SR，PS=12PR，根据三角形的外角性质、等腰三角形的性质证明即可．
本题考查的是反比例函数的性质、矩形的判定和性质、三角形的外角性质、等腰三角形的性质，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出Q点在直线OM上是解题的关键．
23.【答案】12
∴AB=CD=4−1=3，
又∵C(7,5)，
∴点D(4,5)，
故答案为：(4,5)；
(2)∵A(1,2)，C(7,5)，
∴点E的坐标为(4,72)，代入反比例函数关系式得，
k=4×72=14，
故答案为：14；
(3)设直线AD的解析式为y=mx+n，则有m+n=24m+n=5，
解得m=1n=1，
∴直线AD的解析式为：y=x+1，
∴边AD上的整点为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，
由于AB=DC，故每一行均有4个整点，
∴▱ABCD边上及其内部的“整点”数为：4×4=16(个)，
如图，当k=12时，y=12x过点(3,4)，(4,3)，此时及y=12x下方共有8个整点，
而y=15x过点(5,3)，且(4,4)在y=15x的上方，
∴要使整点在两侧数量相同，则12
(2)根据两点中点坐标计算公式求出对角线交点E的坐标，再代入反比例函数关系式可得答案；
(3)先确定▱ABCD边上及其内部的“整点”数，再结合反比例函数进行判断即可．
此题主要考查了反比例函数的图象与性质，找出▱ABCD边上及其内部的“整点”数是解答此题的关键．
24.【答案】解：(1)过点A分别作AM⊥y轴于M，AN⊥x轴于N，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴AM=AN，
∴设点A(a,a)，
∵点A在直线y=3x−4上，
∴a=3a−4，
∴a=2，
∴A(2,2)，
∵y=kx(x>0)的图象也经过点A，
∴2=k2，
∴k=4，
∴反比例函数的解析式为y=4x；
(2)∵A(2,2)，
∴AO2=22+22=8，
把x=0代入y=3x−4，得y=−4，
∴C(0,−4)，
∴OC=4，
在Rt△COD中，CD2=OC2−OD2①，
在Rt△AOD中，AD2=OA2−OD2②，
①−②得CD2−AD2=OC2−OA2=16−8=8，
∴CD2−AD2值为8；
(3)①若∠PAQ=90°，AP=AQ，如图，
∵AO=AB，∠OAP=∠BAQ=90°−∠PAB，AP=AQ，
∴△AOP≌△ABO(SAS)，
∴∠ABQ=∠AOP=45°，
又∵∠ABO=45°，
∴∠OBQ=90°，
即QB⊥OB，
∵A(2,2)，
∴B(4,0)，
把x=4代入y=4x得y=1，
∴Q1(4,1)；
②若∠AQP=90°，AQ=PQ，如图，
过点A作AD//x轴，过点Q分别作QD⊥AD于D，交x轴于E，
在Rt△ADQ与Rt△PEQ中，
∵AQ=PQ，∠AQD=∠PQE=90°−∠DQP，∠D=∠PEQ，
∴Rt△ADQ≌Rt△PEQ(AAS)，
∴AD=QE，DQ=EP，
设Q(m,4m)，则OE=m，AD=EQ=4m，
∴2+4m=m，
∴m=1±5，
∵m>0，
∴m=1+5，
∴Q2(5+1,5−1)；
若∠APQ=90°，PA=PQ，如图，
过点A作AC⊥x轴于C，过点Q作QD⊥x轴于D，
在Rt△ACP与Rt△PDQ中，
∵PA=PQ，∠APC=∠PQD=90°−∠DPQ，
∴Rt△ACP≌Rt△PDQ(AAS)，
∴AC=PD，CP=DQ，
设Q(n,4n)，则OD=n，CP=DQ=4n，PD=AC=2，
由OC+CP+PD=OD，得2+2+4n=n，
∴n=2±22，
∴Q(22+2,22−2)，
综上，所有符合条件的点Q的坐标为(4,1)或(5+1,5−1)或(22+2,22−2).
【解析】(1)过点A分别作AM⊥y轴于M，AN⊥x轴于N，设点A(a,a)，根据点A在直线y=3x−4上，可得a=2，从而得出答案；
(2)根据点A、C的坐标，首先得出OA和OC的长，再利用勾股定理可得答案；
(3)若∠PAQ=90°，利用SAS证明△AOP≌△ABQ，得∠ABQ=∠AOP=45°，可得答案，若∠AQP=90°，过点A作AD//x轴，过点Q分别作QD⊥AD于D，交x轴于E，得Rt△ADQ≌Rt△PEQ(AAS)，则AD=QE，DQ=EP，设Q(m,4m)，则OE=m，列方程从而得出答案，若∠APQ=90°，过点A作AC⊥x轴于C，过点Q作QD⊥x轴于D，同理可解决问题．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握一线三等角的基本模型是解题的关键．
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