(辅导班专用)人教版数学九年级暑假讲义+课堂小测(提高班)12《圆心角和圆周角》（2份打包，教师版+学生版）

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第12讲    圆心角和圆周角1.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M,下列结论不一定成立的是(　  　) A.AC=AD          B.OM=MB         C.∠BCD=∠BDC             D.=                第1题图                       第2题图    2.如图,在半径为5的☉O中,弦AB=6,OP⊥AB,垂足为点P,则OP的长为(　  　) A.3         B.2.5           C.4             D.3.53.如图,AB是☉O的弦,半径OC⊥AB于点D,且AB=8 cm,DC=2 cm,则OC=______cm.                第3题图                       第4题图 4.如图,在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片,则弓形弦AB的长为______cm.5.如图,一条赛道的急转弯处是一段圆弧,点O是这段弧所在圆的圆心,AC=10 m,B是上一点,OB⊥AC,垂足为D,BD=1 m,求这段弯路的半径.  知识点一　圆心角的概念 定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．知识点二　弧、弦、圆心角之间的关系 1．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．2．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．3．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．温馨提示：在同圆或等圆中，两条弧(一般同为优弧或劣弧)、两条弦、两个圆心角中，只要有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等．知识点三　圆周角及圆周角定理 1．定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．圆周角必须具备两个特征：(1)顶点在圆上；(2)两边都与圆相交．温馨提示：同一条弧所对的圆周角有无数个．2．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．知识点四  圆周角定理的推论 圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．温馨提示：(1)在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等．(2)在同圆和等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦及两个圆周角中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．(3)如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．注意：在圆中出现直径，由圆周角定理的推论可知直径所对的圆周角等于90°，在直角三角形中，可利用直角三角形的两锐角互余计算角的度数，利用勾股定理计算边的长度．知识点五　圆内接四边形的性质 1．圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．2．圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．温馨提示：(1)内接和外接是一个相对的概念，是一种位置关系．(2)每一个圆有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都存在外接圆，只有对角互补的四边形才存在外接圆．(3)圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角．1.1、下列四个图中的角，是圆心角的是(　 　)1.2、如图所示,在☉O中,=,则在①AB=CD;②AC=BD;③∠AOC=∠BOD;④=,⑤△AOB≌△COD中,正确的个数是(　    　) A.2        B.3       C.4     D.51.3、如图所示，A，B是半径为3的⊙O上的两点，若∠AOB＝120°，C是的中点，则四边形AOBC的周长等于________．1.4、 如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40°，∠C＝20°，则∠B＝________°.　  1.5、如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，求证：AD＝BE. 【变式训练1-1】已知,是同圆的两段弧,且=2,则弦AB与2CD之间的关系为(　 　) A.AB=2CD      B.AB<2CD         C.AB>2CD      D.不能确定【变式训练1-2】如图,AB是圆O的直径,BC,CD,DA是圆O的弦,且AD=CD=BC,则∠BCD等于(　 　) A.100°          B.110°            C.120°       D.135°【变式训练1-3】 如图所示，AB是⊙O的直径，C，D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，则∠ACE的度数为________．【变式训练1-4】如图,以▱ABCD的顶点A为圆心,AB为半径作☉A,分别交BC,AD于E,F,交BA的延长线于G,判断和是否相等,并说明理由.  2.1、下列四个图中，∠α是圆周角的是(　 　)  2.2、如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，则∠AOB的度数是(　 　)A．75°       B．70°       C．65°      D．35°2.3、如图2，△ABC的顶点A，B，C在⊙O上，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC的长为　　 　2.4、如图:将半径为2厘米的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为(　   )A. 厘米     B.2 厘米     C.3 厘米      D.2 厘米2.5、如图，△ABC的高AD，BF相交于点H，AD的延长线交△ABC的外接圆于点E.求证：DH＝DE. 【变式训练2-1】如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为(　　)A．100°      B．110°       C．115°      D．120°【变式训练2-2】如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为(　　)A．6       B．8        C．5          D．5 【变式训练2-3】已知：如图，△ABC的顶点A，B，C在⊙O上，N为的中点，M为的中点，AN与BM相交于点P，连接NB.求证：NB＝NP. 3.1、如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD＝105°，则∠DCE的度数为(　　)A．115°       B．105°       C．100°      D．95° 3.2、如图，在⊙O中，已知∠OAB＝22.5°，则∠C的度数为(　　)A．135°       B．122.5°     C．115.5°      D．112.5°3.3、如图,已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,交BC的延长线于点D,延长DA交☉O于点F,连接FB,FC.求证:∠FBC=∠BCF.  【变式训练3-1】如图1，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠AOD＝30°，则∠BCD的度数是(　　)A．75°      B．90°     C．105°      D．120°                               图1                       图2【变式训练3-2】如图2，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝________°. 【变式训练3-3】如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证：(1)AD＝CD；(2)AB是⊙O的直径．  1.如图,点A是半圆上一个三等分点,点B是的中点,点P是直径MN上一动点,若☉O的直径为2,则AP+BP的最小值是　　. 2.如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝90°，∠ACB的平分线交⊙O于点D，若AC＝6，BD＝5 ，则BC的长为________．3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接OD交BE于点M，且MD＝2，则BE的长为________.4.如图,AB是☉O的弦,AB=5,点C是☉O上的一个动点,且∠ACB=45°,若点M,N分别是AB,AC的中点,则MN长的最大值是　　. 5.如图,弦AB的长等于☉O的半径,那么弦AB所对的圆周角的度数是　        　. 6.如图,∠AOB=90°,C,D是的三等分点,AB分别交OC,OD于点E,F,求证:AE=CD.   7.如图，已知⊙O上依次有A，B，C，D四个点，＝，连接AB，AD，BD，延长AB到点E，使BE＝AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF.求证：BF＝BD.    8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF.(1)求证：∠1＝∠F； (2)若AC＝4，EF＝2 ，求CD的长．     9.(1)如图①，AB和BC是⊙O的两条弦，BC＞AB，M是的中点，MD⊥BC，垂足为D.求证：CD＝AB＋BD；(2)如图②，已知等边三角形ABC内接于⊙O，AB＝2，D为⊙O上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD于点E，求△BDC的周长．        10.如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为的中点，P是直径MN上一动点．(1)利用尺规作图，确定当PA＋PB最小时点P的位置(不写作法，但要保留作图痕迹)；(2)求PA＋PB的最小值．      1．下列说法中正确的是(　 　)A．等弦所对的弧相等                     B．等弧所对的弦相等C．圆心角相等，它们所对的弦也相等       D．等弦所对的圆心角相等2．如图，在⊙O中，若C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于(　　)A．40°      B．45°      C．50°      D．60°                  第2题图             第3题图 3．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是(　　)A．51°     B．56°       C．68°     D．78°4．在⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是(　　)A．AB＞2AM      B．AB＝2AM      C．AB＜2AM     D．AB与2AM的大小关系不能确定5.如图,☉O中,弦AB与CD交于点M,∠A=45°,∠AMD=75°,则∠B的度数是(　  　) A.15°       B.25°       C.30°    D.75°6.如图,在☉O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD,垂足为E,连接CO,AD,∠BAD=20°,则下列说法中正确的是(　  　)A. AD=2OB      B.CE=EO      C.∠OCE=40°      D.∠BOC=2∠BAD                     第5题图             第6题图                第7题图   7.如图,把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上,两直角边与圆弧分别交于点M,N,量得OM=8 cm,ON=6 cm,则该圆玻璃镜的半径是(　 　) A. cm     B.5 cm     C.6 cm     D.10 cm8.如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形,已知∠BOD=100°,则∠BCD的度数为(　 　) A.50°     B.80°     C.100°    D.130°9.(2017苏州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°.以BC为直径的☉O交AB于点D,E是☉O上一点,且=,连接OE.过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F的度数为(　 　) A.92°     B.108°    C.112°      D.124°                   第8题图             第9题图                第10题图10.如图,∠A是☉O的圆周角,∠OBC=55°,则∠A=　   　.