(辅导班专用)人教版数学九年级暑假讲义+课堂小测(提高班)11《圆的有关性质》（2份打包，教师版+学生版）

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第11讲    圆的有关性质知识点一　圆的概念 圆的描述性概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．圆的集合性概念：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．圆的表示法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．知识点二　与圆有关的概念及简单计算 如图，(1)连接圆上任意两点的线段叫做弦，如线段AC，AB；(2)经过圆心的弦叫做直径，如线段AB；(3)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A，C为端点的弧记作”，读作“圆弧AC”或“弧AC”．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．大于半圆的弧(如)叫做优弧，小于半圆的弧(如或)叫做劣弧．(4)能够重合的两个圆叫做等圆，在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．知识点三　圆的对称性 圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴．知识点四　垂径定理及其推论 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．2．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．温馨提示：(1)定理中“垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径，甚至可以是过圆心的直线或线段.(2)推论中“平分弦”的“弦”一定是非直径的弦，否则命题就不一定成立了．如图1所示，当弦CD为直径时，AB平分CD于点O，但结论不成立．(3)利用垂径定理及其推论可以证明两条弧相等、一条弦垂直平分另一条弦、一条线段是直径．                                        图1                     图2知识点五　垂径定理的应用 在垂径定理的运用中，常涉及弦长a、弦心距d(圆心到弦的距离)、半径r及弓形高h(弦所对的弧的中点到弦中点的距离)这四者之间的关系．应用时，构造直角三角形，利用勾股定理求解．如图2所示，它们的关系为r2＝d2＋()2，r＝d＋h.1.1、下列说法正确的是(　D　)A．长度相等的弧是等弧            B．两个半圆是等弧C．半径相等的弧是等弧            D．直径是圆中最长的弦1.2、 如图所示,AC是☉O的直径,点B在☉O上.(1)写出图中☉O的弦,并指出最长的弦;(2)写出图中☉O的劣弧和优弧;(3)试判断☉O中有没有相等的线段?有相等的弧吗?解:(1)☉O的弦有AC,BC,AB,直径AC是☉O中最长的弦.(2)和是☉O的劣弧.和是☉O的优弧.(3)因为同圆的半径相等,所以OA=OB=OC;直径AC把☉O分成的两个半圆是相等的弧.1.3、如图所示:点M,G,D在半圆O上,四边形OEDF,HMNO均为矩形,EF=b,NH=c,则b与c之间的大小关系是b　= 　c(填“<”“=”“>”)1.4、如图,点A,B,C是☉O上的三点,BO平分∠ABC.求证:BA=BC.证明:连接OA,OC,如图,因为OA=OB,OB=OC,所以∠ABO=∠BAO,∠CBO=∠BCO.因为BO平分∠ABC,所以∠ABO=∠CBO.所以∠BAO=∠BCO.所以△OAB≌△OCB.所以AB=BC.【变式训练1-1】下列说法中正确的是(　B 　)A.长度相等的弧是等弧            B．半圆是弧C.半圆是圆中最长的弧            D.优弧一定大于劣弧【变式训练1-2】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=40°,以C为圆心,CB为半径的圆交AB于点D,连接CD,则∠ACD的度数为(　A　)A.10°     B．15°     C.20°   D.25°【变式训练1-3】已知,如图,BD,CE是△ABC的高,M为BC的中点.试证明点B,C,D,E在以点M为圆心的同一个圆上.证明:如图,连接ME,MD,因为BD,CE分别是△ABC的高,所以△EBC和△DBC都是直角三角形.因为M为斜边BC的中点,所以ME=MD=BC=MB=MC.所以点B,C,D,E都在以点M为圆心的同一个圆上.  2.1、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立的是(　C　)A．∠COE＝∠DOE      B．CE＝DE     C．OE＝BE         D.＝2.2、 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是(　　)A.               B．2              C．6           D．82.3、已知：如图，M是的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设⊙O的半径为4 cm，MN＝4   cm.(1)求圆心O到弦MN的距离；(2)求∠ACM的度数.解：(1)如图，连接OM，过点O作OD⊥MN于点D.由垂径定理得MD＝MN＝2 .在Rt△ODM中，OM＝4，MD＝2 ，∴OD＝＝2.故圆心O到弦MN的距离为2 cm.(2)∵M是的中点，O是圆心，∴OM⊥AB.在Rt△ODM中，∵OD＝OM，∴∠OMD＝30°，∴∠ACM＝60°.  2.4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，点P在以点C为圆心，5为半径的圆上，连接PA，PB.若PB＝4，则PA的长为________．[解析] 如图，连接CP，PB的延长线交⊙C于点P′.∵CP＝5，CB＝3，PB＝4，∴CB2＋PB2＝CP2，∴△CPB为直角三角形，且∠CBP＝90°，即CB⊥PB，∴PB＝P′B＝4.∵∠ACB＝90°，∴PB∥AC.又∵PB＝AC＝4，∴四边形ACBP为矩形，∴PA＝BC＝3.在Rt△APP′中，∵PA＝3，PP′＝8，∴P′A＝＝.综上所述，PA的长为3或.【变式训练2-1】 如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于点D，连接BE，若AB＝2 ，CD＝1，则BE的长是(　　)A．5         B．6      C．7       D．8            [解析] 由垂径定理可知AD＝.设⊙O的半径为x，则OD＝x－1，OA＝x.由勾股定理得x2＝(x－1)2＋()2，解得x＝4.∴OD＝3.∵OD是△ABE的中位线，∴BE＝6.故选B.【变式训练2-2】如图所示，某窗户由矩形ABCD和弓形AEB组成，已知弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃，请你帮工人师傅求出所在的⊙O的半径.解：由垂径定理，得BF＝AB＝1.5 m，OE⊥AB.设⊙O的半径为x m，则OF＝(x－1)m.在Rt△OBF中，根据勾股定理，得x2＝1.52＋(x－1)2，解得x＝1.625.即所在的⊙O的半径是1.625 m. 【变式训练2-3】如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100 cm，下雨前水面宽为60 cm，一场大雨过后，水面宽为80 cm，则水位上升________cm.                [解析] 对于半径为50 cm的圆而言，圆心到长为60 cm的弦的距离为40 cm，到长为80 cm的弦的距离为30 cm.①当圆心在两平行弦之外时，两弦间的距离＝40－30＝10(cm)；②当圆心在两平行弦之间时，两弦间的距离＝40＋30＝70(cm)．综上所述，水位上升10 cm或70 cm.3.1、如图为一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度为20米．(1)求桥拱的半径；(2)现有一艘宽60米，船舱顶部为长方形并高出水面9米的轮船要经过这里，这艘轮船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．解：(1)如图①，设点E是桥拱所在圆的圆心，过点E作EF⊥AB于点F，延长EF交⊙E于点D，则F是AB的中点，AF＝FB＝AB＝40米，EF＝DE－DF＝AE－DF.由勾股定理，知AE2＝AF2＋EF2＝AF2＋(AE－DF)2.设⊙E的半径为r米，则r2＝402＋(r－20)2.解得r＝50.答：桥拱的半径为50米．　(2)这艘轮船能顺利通过这座拱桥．理由如下：如图②，由题意，知DE⊥MN，PM＝MN＝30米，EF＝50－20＝30(米)．在Rt△PEM中，PE＝＝40米，∴PF＝PE－EF＝40－30＝10(米)．∵10米＞9米，∴这艘轮船能顺利通过这座拱桥．  3.2、如图,一圆弧形桥拱的圆心为E,拱桥的水面跨度AB=80米,桥拱到水面的最大高度DF为20米.(1)求桥拱的半径;(2)现水面上涨后水面跨度为60米,则水面上涨的高度为　　　米. 解:(1)由垂径定理,得AF=AB=40,设半径为r,由勾股定理得AE2=AF2+EF2,即r2=402+(r-20)2.解得r=50.所以桥拱的半径为50米.(2)设水面上涨后水面跨度MN为60米,MN交ED于H,连接EM,如图所示,则MH=MN=30,所以EH==40(米).因为EF=50-20=30(米),所以HF=EH-EF=10(米).所以水面上涨10米.【变式训练3-1】 某地方有座弧形的拱桥,如图,桥下的水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米,现有一艘宽3米,船舱顶部为长方形并高出水面2米的船要经过这里,此船能顺利通过这座拱形桥吗?解:如图,设所在圆的圆心为O,半径为r米,连接OA,OC,过O作OK⊥AB于点K,交CD于点H,交于点G.则OA=OG=r米,GK=2.4米,OK=OG-GK=(r-2.4)米.由垂径定理,得AK=AB=×7.2=3.6(米).在Rt△AOK中,由勾股定理,得AK2+OK2=OA2,即(r-2.4)2+3.62=r2.解得r=3.9.所以OK=3.9-2.4=1.5(米).在Rt△COH中,CH=CD=×3=1.5(米),由勾股定理,得OH2=OC2-CH2,即OH2=3.92-1.52.解得OH=3.6.所以HK=OH-OK=3.6-1.5=2.1(米).因为2.1>2,所以此船能顺利通过这座拱形桥.1.如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为(　　)A．19      B．16       C．18        D．20   [解析] 如图，延长AO交BC于点D，过点O作OE⊥BC于点E.∵∠A＝∠B＝60°，∴△DAB是等边三角形，∴AD＝DB＝AB＝12，∴OD＝AD－OA＝12－8＝4.在Rt△ODE中，∵∠DOE＝90°－∠ADB＝30°，∴DE＝OD＝2，∴BE＝DB－DE＝12－2＝10.由垂径定理，知BC＝2BE＝20.2.如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为(　　)A．3       B．4        C．3        D．4 C　[解析] 如图，过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，连接AO.∵OE⊥AB，∴AE＝AB＝4.在Rt△OAE中，OA＝5，由勾股定理可得OE＝3，同理得OF＝3，因此四边形OEPF是正方形，∴OE＝PE＝3.在Rt△OPE中，由勾股定理可得OP＝3 .   3.如图，坐标平面上，A，B两点分别为⊙P与x轴、y轴的交点，有一直线l经过点P且与AB垂直，C为l与y轴的交点．若点A，B，C的坐标分别为(a，0)，(0，4)，(0，－5)，其中a＜0，则a等于(　　)A．－2      　B．－2      　C．－8       D．－74．A　[解析] 连接AC，OB＝4，OC＝5，BC＝OB＋OC＝9.由垂径定理可知直线l是线段AB的垂直平分线，∴AC＝BC＝9.在Rt△AOC中，AO＝＝2.∵a＜0，∴a＝－2.故选A.4.如图，过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，F，E三点的圆的圆心为D，∠CAE＝63°，则∠CBE＝________°.[解析] 连接EC，ED.∵AE＝CE，∴∠ACE＝∠CAE＝63°，∴∠AEC＝180°－63°×2＝54°.∵DE＝DB，∴∠DEB＝∠CBE，∴∠CDE＝∠DEB＋∠CBE＝2∠CBE.∵CE＝DE，∴∠ECD＝∠CDE＝2∠CBE，∴∠AEC＝∠ECD＋∠CBE＝3∠CBE.又∵∠AEC＝54°，∴∠CBE＝18°.5.如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为________．[答案] [解析] 连接OD，过点O作OE⊥CD于点E，如图所示，则CE＝DE.∵AB是⊙O的直径，AB＝4，M是OA的中点，∴OD＝OA＝2，OM＝1.∵∠OME＝∠CMA＝45°，∴△OEM是等腰直角三角形，∴OE＝OM＝.在Rt△ODE中，由勾股定理得DE＝＝，∴CD＝2DE＝.故答案为. 6.如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,CD⊥AB,垂足为D,已知CD=4,OD=3,则AB的长是　10　. 7.平面上有☉O及一点A,点A到☉O上一点的距离最长为10 cm,最短为4 cm,则☉O的半径为　3 cm或7 cm　. 8.如图,A,B,C是☉O上的三点,∠AOB=50°,∠OBC=40°,求∠OAC的度数.解:如图,连接OC,因为OB=OC,所以∠OCB=∠OBC=40°.所以∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-40°-40°=100°.所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=50°+100°=150°.又因为OA=OC,所以∠OAC==15°.9.如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,且AE=BF,AC与BD相等吗?为什么?解:AC与BD相等.理由如下:连接OC,OD,如图.因为OA=OB,AE=BF,所以OA-AE=OB-BF,即OE=OF.因为CE⊥AB,DF⊥AB,所以∠OEC=∠OFD=90°.在Rt△OEC和Rt△OFD中,所以Rt△OEC≌Rt△OFD(HL).所以CE=DF.在△AEC与△BFD中,所以△AEC≌△BFD(SAS).所以AC=BD.10.已知☉O的半径是 5 cm,弦AB∥CD,AB=6 cm,CD=8 cm,则AB与CD的距离是多少?解:分为两种情况:①当AB和CD在O的同旁时,如图(1),过O作OE⊥AB于E,交CD于F,连接OA,OC,因为AB∥CD,所以OF⊥CD.由垂径定理得AE=AB=3 cm,CF=CD=4 cm.在Rt△OAE中,由勾股定理,得OE===4(cm).同理求出OF=3 cm.所以EF=4-3=1 cm.②当AB和CD在O的两侧时,如图(2),同理求出OE=4 cm,OF=3 cm,所以EF=4+3=7 cm;综上所述,AB与CD的距离是1 cm或7 cm.11.如图所示,残缺的圆形轮片上,弦AB的垂直平分线CD交圆形轮片于点C,垂足为D,解答下列问题:(1)用尺规作图找出圆形轮片的圆心O的位置并将圆形轮片所在的圆补全;(要求:保留所有的作图痕迹,不写作法)(2)若弦AB=8,CD=3,求圆形轮片所在圆的半径.解:(1)如图(1)所示.(2)如图(2),连接OA,因为CD是弦AB的垂直平分线,所以AD=AB=4.设圆的半径是r.在直角△ADO中,AO=r,AD=4,DO=r-3.根据勾股定理得r2=16+(r-3)2,解得r=.即圆形轮片所在圆的半径为.1.如图,AB是☉O的弦,半径OC⊥AB于点D,若☉O的半径为5,AB=8,则CD的长是(　A　)(A)2 (B)3        (C)4    (D)52.如图,已知☉O的直径AB经过弦CD的中点E,连接BC,BD,则下列结论错误的是(　D　)(A)AB⊥CD     (B)BC=BD         (C)∠BCD=∠BDC         (D)OE=BE3.如图:将半径为2厘米的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为(　D　)(A) 厘米        (B)2 厘米           (C)3 厘米           (D)2 厘米4.(2017黔东南州)如图,☉O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,∠A=15°,半径为2,则弦CD的长为(　A　)(A)2 (B)1      (C)    (D)4                第4题图           第5题图               第6题图            第7题图5.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,CD=10,AP∶PB=5∶1,☉O的半径是(　D　)(A)6  (B)5     (C)8       (D)36.半径为5的圆中,弦AB的长不可能是(　D　)A.3    B.5    C.10   D.127.如图所示,MN为☉O的弦,∠ONM=50°,则∠MON的度数为(　C　)A.40°   B．50°     C.80°  D.100°8.如图所示，AB，MN是⊙O中两条互相垂直的直径，点P在上，且不与点A，M重合，过点P作AB，MN的垂线，垂足分别是D，C.当点P在上移动时，矩形PCOD的形状、大小随之变化，则PC2＋PD2的值(　　)A．逐渐变大     B．逐渐变小        C．不变      D．不能确定[解析] 连接OP.∵四边形PCOD是矩形，∴PC＝OD，∴PC2＋PD2＝OD2＋PD2＝OP2，为一个定值．故选C.9.如图,☉O的直径CD=20 cm,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M,若OM=6 cm,则AB的长为　16　cm. 10.如图,水平放置的圆柱形排水管的截面半径为10 cm,截面中有水部分弓形高为5 cm,则水面宽AB为　10　cm. 11.☉O的直径为10,弦AB=6,P是弦AB上一动点,则OP的取值范围是　4≤OP≤5　. 12.如图,∠C=90°,以AC为半径的圆C与AB相交于点D.若AC=3,CB=4,求BD长.解:如图,过点C作CE⊥AD于点E,在Rt△ACB中,AB===5.因为AB·CE=AC·BC,即×5×CE=×3×4,所以CE=.在Rt△AEC中,AE===.因为CE⊥AB,所以AD=2AE=.所以BD=AB-AD=5-=.