2021赣州高二上学期期末考试数学（理）试题含答案

赣州市2020~2021学年度第一学期期未考试

高二数学（理科）试题

2021年1月

（考试时间120分钟，试卷满分150分）

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上．

1．已知命题对任意，有成立，则为（    ）

A．存在，使成立    B．存在，使成立

C．对任意，有成立    D．对任意，有成立

2．已知椭圆的右焦点为，则（    ）

A．    B．    C．    D．

3．若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    C．充分必要条件    D．既不充分也不必要条件

4．某几何体的三视图如图所示，其中网格纸的小正方形的边长是1，则该几何体的体积为（    ）

A．64    B．32    C．16    D．

5．如图是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填的是（    ）

A．    B．    C．    D．

6．正方形的边长为2，以为起点作射线交边于点，则的概率是（    ）

A．     B．    C．     D．

7．已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为与的离心率之积为，则的渐近线方程为（    ）

A．     B．     C．     D．

8．以为斜边的中，，由类比推理，在三棱锥中，若两两垂直，，则（    ）

A．    B．

C．    D．

9．围屋始建于唐宋，兴盛于明清．围屋结合了中原古朴遗风以及南方文化的地域特色，是中国五大民居特色建筑之一在形式上主要有方形围屋、半圆形围屋、圆形围屋，如图所示是墙体厚度为的圆形围屋（主要用泥土建筑而成，大部分是客家民居，又称客家土围楼），从地面测量内环直径是，外环直径是，墙体高，则该围屋所有房间的室内总体积（斜屋顶不计入室内体积及忽略房间之间的墙体厚度与楼板厚度）大约是（    ）

A．    B．     C．    D．

10．已知定圆，定点，动圆满足与外切且与内切，则的最大值为（    ）

A．    B．    C．    D．

11．如图，已知校长为2的正方体中，点是的中点，点分别为的中点，平面平面，与平面相交于一条线段，则该线段的长度是（    ）

A．    B．    C．     D．

12．设直线与圆相切于，与抛物线交于两点，且是线段的中点，若直线有且积有4条，则的取值范围是（    ）

A．     B．     C．    D．

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上．

13．已知抛物线，则其准线方程为____________．

14．下面是两个变量的一组数据：

这两个变量之间的线性回归方程为，变量中缺失的数据是___________．

15．在边长为的菱形中，对角线，将三角形沿折起，使得二面角的大小为，则三棱锥外接球的体积是_________________．

16．已知双曲线右支上一点分别为其左右焦点，圆是内切圆，且与圆相切于点（为半焦距），若，则双曲线离心率的取值范围是_____．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

已知方程表示双曲线，方程表示焦点在轴上的椭圆．

（1）若“且”为真命题，求实数的取值范围；

（2）若“且”是假命题，“或”为真命题，求实数的取值范围．

18．（本小题满分12分）

1971年，江西省赣州地区信丰县开辟脐橙种植实验基地，1975年11月，出自此基地的脐橙参加赣南农产品大比武大放异彩，1976年广交会上脐橙“一炮打响”，1977年脐橙销往香港市场，1980年中科院考察队认定赣南是得天独厚的柑橘生产地，时至今日赣南脐橙已享誉全球．据市场反馈“腰围”长是的脐橙最受消费者青睐，某种植户在甲、乙两块地种植脐橙，从两种植地采摘的脐橙中分别随机抽取100颗脐橙（“腰围”长均在），根据“腰围”长分类画出如下统计图表：

（1）求乙种植地脐橙腰围长的中位数；

（2）从甲种植地样本在两段中用分层抽样的方法抽出6颗脐橙，某同学随机的从6颗中拿走2颗，问拿到的2颗都是受消费者青睐的概率是多少？

19．（本小题满分12分）

在三棱锥中，于点于点，且，若点在平面上的射影为点．

（1）证明：；

（2）若是正三角形，点分别为的中点．

证明：四边形是矩形．

20．（本小题满分12分）

已知动圆与直线相交于两点，且．

（1）当动圆过定点时，求动圆圆心的轨迹方程；

（2）过点的直线交（1）中动圆圆心的轨迹于两点，点为的中点，过点垂直于直线的直线交轴于点，求点的横坐标的取值范围．

21．（本小题满分12分）

如图，已知三棱柱的所有棱长均为2，．

（1）证明：平面；

（2）若平面平面为的中点，求二面角的余弦值．

22．（本小题满分12分）

已知椭圆的左右顶点分别为，椭圆上不同于的任意一点，直线和的斜率之积为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆内一点，作一条不垂直于轴的直线交椭圆于两点，点和点关于轴对称，直线交轴于点，证明：为定值．

赣州市2020~2021学年度第一学期期末考试

高二数学（理科）试题参考答案

一、选择题

二、填空题

13．；    14．4；    15．；     16．．

三、解答题

17．解：（1）若是真命题，则        1分

解得        2分

而是真命题，所以        3分

解得        4分

因为“且”为真命题，所以        6分

（2）当真假时：有，即        8分

若假真时：，解得        10分

所以或        12分

18．（1）           2分

      4分

设乙种植地的中位数为，则             6分

（2）由频率分布直方图可知的脐橙个数为       7分

抽出个，假设为        8分

的脐橙个数，        9分

抽出个，假设为        10分

从这6颗中抽出2颗可能产生的结果为：

共15种．2颗都是受消费者青睐的包括：

共6种        11分

所以2颗都受消费者青睐的概率        12分

19．证明：（1）连接并延长交于点，

因为，所以为的垂心        1分

所以        2分

又因为在平面的射影为，所以平面        3分

所以        4分

又因为，所以平面        5分

所以        6分

（2）分别连接

因为为正三角形

所以分别为的中点        7分

所以        8分

又由（1），所以        9分

因为分别为的中点，所以平行等于，

又因为分别为的中点，所以平行等于        10分

所以平行等于，所以四边形为平行四边形        11分

又，所以，

所以四边形为矩形        12分

20．解：（1）设，则        2分

即，所以圆心的轨迹方程为：        4分

（2）设过点直线，

联立，消得：        6分

所以，即        7分

设，根据韦达定理得：        9分

所以的中点        10分

过点的垂线为        11分

令，则，

所以点的横坐标的取值范围        12分

21．证明：（1）如图取中点，连接．

因为四边形为菱形，所以        1分

又因为三棱柱的所有棱长均为2，，

所以和是等边三角形，所以

因为平面，

所以平面        3分

所以，而，

所以平面        4分

（2）因为平面平面，且交线为，由（Ⅰ）知          5分

所以平面．则两两垂直，则以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系．

则，

        6分

因为为的中点，所以        7分

所以，

设平面的法向量为，

则，取，得        8分

同理设平面的法向量为，

则，取，得        9分

所以        11分

所以所求二面角的余弦值为        12分

22．解：（1）由题可知：          1分

令，所以        3分

所以椭圆的标准方程为        4分

（2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，

联立，消得：        6分

设，根据韦达定理得：         8分

直线，

令，则              9分

        11分

所以（定值）        12分